高二精选题库 数学7-7北师大版

第7模块 第7节[知能演练]一、选择题1．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四个点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AD →·AB →＝0，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定解析：因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2＝AB →2>0，同理DB →·DC →>0，CB →·CD →>0，所以△BCD 是锐角三角形．答案：C2．如图，在正方体AC 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是平面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意一点，则直线AM 与OP 所成角是( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：设正方体的棱长为2a ，建立如右图所示的空间坐标系，则有A (2a,0,0)，M (0,0，a )，O (a ，a,0)．∵P 是A 1B 1上任意一点，∴不妨设P (2a ，m,2a )(0≤m ≤2a )． ∴AM →＝(0,0，a )－(2a,0,0) ＝(－2a,0，a )OP →＝(2a ，m,2a )－(a ，a,0)＝(a ，m －a,2a )， ∴AM →·OP →＝－2a ×a ＋0×(m －a )＋a ×2a ＝0. ∴异面直线AM 与OP 所成角为π2.∴选D. 答案：D3．如图，直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A.3010 B.12 C.3015D.1510解析：以CB 、CA 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立坐标系， 设BC ＝CA ＝CC 1＝1，则B (1,0,0)，A (0,1,0)，D 1(12，12，1)，F 1(0，12，1)，∴BD 1→＝(－12，12，1)，AF 1→＝(0，－121)，∴BD 1→·AF 1→＝34，|BD 1→|＝62，|AF 1→|＝52，∴cos 〈BD 1→，AF 1→〉＝3010.答案：A4．如右图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3解析：在Rt △ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝22AB .在Rt △ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12AB .在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝12AB .∴AB ∶A ′B ′＝2∶1，选A. 答案：A 二、填空题5．如右图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1，a2)∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝(－1,1，a 2)由cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)． 答案：(1,1,1)6．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．解析：如右图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)， C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a2)．则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30° 三、解答题7．如右图所示，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．解：以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)． ∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)．设平面BDF 的一个法向量为 n ＝(2，a ，b )， ∵n ⊥DF →，n ⊥BD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·BD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧(2，a ，b )·(1，－2，0)＝0，(2，a ，b )·(0，2，1)＝0.解得a ＝1，b ＝－2.∴n ＝(2,1，－2)． 设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈BA →，n 〉＝BA →·n |BA →||n |＝(2，0，0)·(2，1，－2)2×3＝23，故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.8．如下图所示的正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B (如下图(2))．在下图(2)中：(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使得AP ⊥DE ？证明你的结论．解：(1)在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)．平面CDF 的一个法向量为DA →＝(0,0,2)，设平面EDF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝03y ＋z ＝0，取x ＝3，则n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217，∴二面角E －DF －C 的余弦值为217. (3)设P (x ，y,0)，则AP →·DE →＝3y －2＝0，∴y ＝233又BP →＝(x －2，y,0)，PC →＝(－x,23－y,0)，∵BP →∥PC →，∴(x －2)(23－y )＝－xy ，∴3x ＋y ＝23， 把y ＝233x ＝43，∴BP →＝13BC →.∴在线段BC 上存在点P ，使得AP ⊥DE . [高考·模拟·预测]1．如右图，设地球半径为R ，点A 、B 在赤道上，O 为地心，点C 在北纬30°的纬线(O ′为其圆心)上，且点A 、C 、D 、O ′、O 共面，点D 、O ′、O 共线，若∠AOB ＝90°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.64B ．－64C.6＋24D.6－24解析：分别以OB 、OA 、OD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，易得A (0，R,0)，B (R,0,0)，C (0，－32R ，12R )，D (0,0，R )，∴AB →＝(R ，－R,0)，CD →＝(0，－32R ，12R )，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝64.∴选A. 答案：A2．已知二面角α—l —β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：过P 点作平面α、β的法向量n 1、n 2，过P 有几条直线与α、β都成25°角即是过P 有几条直线与n 1、n 2都成65°角．又∵α、β所成二面角为50°，∴n 1、n 2夹角中锐角为50°.相当于过P 点有两相交直线n 1、n 2成50°角，过P 点与n 1、n 2都成65°角的直线有3条，其中n 1、n 2所在平面内一条，平面外两条．答案：B3．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．解析：由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 答案：垂直4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为________．解析：如下图建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C (4,4,0)，C 1(4,4,2)， 显然AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC →＝(4,4,0)为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 又BC 1→＝(0,4,2)，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝1616＋4·16＋16＝105. 即BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：1055．如右图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD ＝2，DC ＝SD ＝2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°.(1)证明：M 是侧棱SC 的中点； (2)求二面角S －AM －B 的大小．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如右图所示的直角坐标系D －xyz . 设A (2，0,0)，则B (2，2,0)，C (0,2,0)，S (0,0,2)． (1)设SM →＝λMC →(λ>0)，则M (0，2λ1＋λ，21＋λ)，MB →＝(2，21＋λ，－21＋λ)．又AB →＝(0,2,0)，〈MB →，AB →〉＝60°， 故MB →·AB →＝|MB →|·|AB →|cos60°，即41＋λ＝(2)2＋(21＋λ)2＋(－21＋λ)2，解得λ＝1，即SM →＝MC →. 所以M 为侧棱SC 的中点．(2)由M (0,1,1)，A (2，0,0)，得AM 的中点G (22，12，12)． 又GB →＝(22，32，－12，MS →＝(0，－1,1)，AM →＝(－2，1,1)．GB →·AM →＝0，MS →·AM →＝0，所以GB →⊥AM →，MS →⊥AM →. 因此〈GB →，MS →〉等于二面角S －AM －B 的平面角． cos 〈GB →，MS →〉＝GB →·MS →|GB →|·|MS →|＝－63.所以二面角S －AM －B 的大小为arccos(－63)． [备选精题]6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值；(3)在平面PAD 内是否存在一点G ，使G 在平面PCB 上的射影为△PCB 的外心，若存在，试确定点G 的位置；若不存在，说明理由．解：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如右图)． 设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)， B (a ，a,0)，C (0，a,0)， E (a ，a2，0)，P (0,0，a )，F (a 2，a 2，a 2． (1)∵EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF →⊥DC →，∴EF ⊥CD .(2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0，得⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a 2)＝0(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0，即⎩⎨⎧a2(x ＋y ＋z )＝0ax ＋a2y ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)，∴cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →|·|n |＝a 2a ·6＝36.设DB 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝36. (3)假设存在点G 满足题意，因为G ∈平面P AD ，可设G 点坐标为(x,0，z )． ∵CB →·CP →＝(a,0,0)·(0，－a ，a )＝0， ∴BC ⊥PC . 在Rt △PBC 中，∵F 为PB 中点，∴F (a 2，a 2，a2)为Rt △PBC 的外心，FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)．由FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，得x ＝a2.由FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a2)＝0，得z ＝0. ∴存在点G ，其坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．。