甘肃省临夏中学2014届高三5月9日模拟考试理科数学答案
2014年高三数学高考模拟卷(附详细答案)
2014届高三数学（理）试题注：请将答案填在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥- 3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x = D ．()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的充要条件。
④命题 “00,0xx R e ∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3；将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e x y e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩ 其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=，则5cos()6πα-=_____________. 11. 曲线0,,2y y x y x ===-所围成的封闭图形的面积为 ．12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是___. 13. 设25a b m ==，且112a b+=，则m = _________. 14. 若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．17. （本小题满分14分）已知等比数列{}n a 中，232a =，812a =，1n n a a +<． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求n T 的最大值及相应的n 值．18. （本小题满分14分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）(1)(1)f x f x -+=--；（2）函数在y 轴上的截距为1，且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式; (3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.（本题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 注：e 是自然对数的底数2014届高三数学（理）试题数学（理）试题注：请将答案填在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=（ C ）A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ A ） A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是 （ C ） A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 （ C ) A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“2sin 2A >”的充要条件。
2014级高三三诊数学参考答案及评分标准(理)_看图王
������������������������５ 分 ２ ( ) ( ) 显然 h １ ＞ h e ． ２ ]上存在极值 , 结合函数图象可知 , 若 g( x )在 [ １, e )ȡ０ )＞０ h( １ h( e ������������������������７ 分 则 或 ． ２ )＜０ h( １ h( e )＜０ )＞０ h( e e ( , 当 即 １＜ a ＜ 时, ⅰ) )＜０ ２ h( １ ２ ２ ], 则必定 ∃x１ , 使得 h( 且 １＜ x１ ＜e＜ x２ ＜e x２ ɪ [ １, e x１) x２) ． ＝h( ＝０, ( ) , ( ) , ( ) : 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 hx g ᶄx g x
{
������������������������９ 分
������������������������１ ２分
年龄不低于 ３ ５岁 ５
合计 ４ ０ １ ０ ５ ０ ������������������������２ 分
根据 ２ˑ２ 列联表中的数据 , 得到 K 的观测值为
k＝
( )的 ５ 个受访人中 , 由题意 , 年龄在 [ 有 ４ 人支持发展共享单车 ; 年龄在 Ⅱ) １ ５, ２ ０ [ )的 ６ 个受访人中 , 有 ５ 人支持发展共享单车 ． ２ ０, ２ ５ ������������������������７ 分 随机变量 的所有可能取值为 ʑ X ２, ３, ４．
高三数学 ( 理科 ) 三诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) ２ 页(
2014年甘肃省高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5} 2．（5分）复数（i是虚数单位）化简的结果是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．34．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18﹣a5，则S8＝（）A．72B．68C．54D．906．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．97．（5分）设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣19．（5分）若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84B．84C．﹣36D．3610．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＝f（cosβ）D．以上情况均有可能12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（0，）∪（，+∞）C．（，1）∪（1，）D．（，）∪（，）二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数，则＝．14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c ﹣1），则c＝．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝100，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值．16．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠P AD＝90°，侧面P AD⊥底面ABCD．若P A＝AB＝BC＝AD．（Ⅰ）求证：CD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与＝（，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使•＜0，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝lg（|x+1|+|x﹣2|+a）．（Ⅰ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．2014年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5}【解答】解：A＝{x∈Z||x|＜5}＝{x∈Z|﹣5＜x＜5}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x﹣2≥0}，∴A∩B＝{2，3，4}，故选：C．2．（5分）复数（i是虚数单位）化简的结果是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：＝＝（）2＝（﹣i）2＝﹣1．故选：B．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为＝，解得x＝．故选：C．4．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）＝1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）＝＝．所以P（A）＝．故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18﹣a5，则S8＝（）A．72B．68C．54D．90【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＝18﹣a5，∴a4+a5＝18，则S8＝4（a1+a8）＝4（a4+a5）＝72故选：A．6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．9【解答】解：由程序框图可看出：S＝1×23×25×…×22n+1＝23+5+…+（2n+1）＝＝，由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n2+2n＞6，解得n＝3，∴i＝2n+1＝7．故应输出i的值是7．故选：C．7．（5分）设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．8．（5分）已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：设z＝•，则z＝3x+y，即y＝﹣3x+z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，2），此时z＝3x+y＝3×3+2＝11，故•的最大值为11，故选：B．9．（5分）若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84B．84C．﹣36D．36【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n＝512，则n＝9，T r+1＝（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r＝0，则r＝6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．10．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±，即bx±ay＝0圆C：x2+y2﹣6x+5＝0化为标准方程（x﹣3）2+y2＝4∴C（3，0），半径为2∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切∴∴9b2＝4b2+4a2∴5b2＝4a2∵b2＝c2﹣a2∴5（c2﹣a2）＝4a2∴9a2＝5c2∴＝∴双曲线离心率等于故选：D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＝f（cosβ）D．以上情况均有可能【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2，∴f（x）＝＝＝f（x+2），∴f（x）是周期为2的偶函数．∵函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）＝cosβ＞0．则f（sinα）＜f（cosβ），故选：A．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（0，）∪（，+∞）C．（，1）∪（1，）D．（，）∪（，）【解答】解：由f（2﹣x）＝f（2+x），得到函数f（x）关于x＝2对称，由f（﹣x）＝f（x）得函数f（x）是偶函数，且f（2﹣x）＝f（2+x）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4．当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，此时f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x﹣2，由g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）＝0得f（x）＝log a（x+1），（a＞0，a≠1）作出函数f（x）的图象如图：①若a＞1，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点A（2，2）时，两个图象有两个交点，此时g（2）＝log a3＝2，解得a＝，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点B（6，2）时，两个图象有四个交点，此时g（6）＝log a7＝2，解得a＝，此时要使两个函数有3个不同的零点，则，②若0＜a＜1，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点C（4，﹣1）时，两个图象有两个交点，此时g（4）＝log a5＝﹣1，解得a＝，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点D（8，﹣1）时，两个图象有四个交点，此时g（6）＝log a9＝﹣1解得a＝，此时要使两个函数有3个不同的零点，则，综上：实数a的取值范围是（，）∪（，），故选：A．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数，则＝0．【解答】解：∵函数，∴＞0且x≠0，解得：﹣1＜x＜0 或0＜x＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x＜0 或0＜x＜1}，∴＝＝﹣f（x），∴函数是奇函数，∴＝＝0．故答案为：014．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c ﹣1），则c＝2．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c＝2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝100，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值19．【解答】解：a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，…a n+1﹣a n＝2n，这n个式子相加，就有a n+1＝100+n（n+1），即a n＝n（n﹣1）+100＝n2﹣n+100，∴＝n+﹣1≥2﹣1＝19，当且仅当n＝，即n＝10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为16π．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴BC＝＝，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝AC＝1，∴球O的半径R＝＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，由正弦定理得，sin A（1+cos C）+sin C（1+cos A）＝3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）＝3sin B，∴sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理得，a+c＝2b，则a，b，c成等差数列；（2）∵∠B＝60°，b＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B得4＝a2+c2﹣2ac cos60°，即（a+c）2﹣3ac ＝16，又a+c＝2b＝8，解得，ac＝16（或者解得a＝c＝4），＝ac sin B＝4．则S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠P AD＝90°，侧面P AD⊥底面ABCD．若P A＝AB＝BC＝AD．（Ⅰ）求证：CD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠P AD＝90°，∴P A⊥AD，又∵侧面P AD⊥底面ABCD，且侧面P AD∩底面ABCD＝AD，∴P A⊥底面ABCD，又∵∠BAD＝90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴＝0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面P AD，∴是平面P AD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x＝1，得到＝（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5＝0.3，所以高为＝0.06．频率直方图如下：第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝＝1000，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝＝0.65，第四组的频率为0.03×5＝0.15，第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30＝2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝220．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与＝（，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使•＜0，求实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C：＝1（a＞b＞0），则∵A（a，0）、B（0，b），∴＝（﹣a，b），∵与＝（，﹣1）共线，∴a＝b，∵焦距为2，∴c＝1，∴a2﹣b2＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y＝kx+m代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0（*）∵•＜0，∴x1x2+y1y2＜0，∵y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，∴+＜0，∴m2＜，∴m2＜且满足（*）故实数m的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣xf′（x）＝﹣2x﹣1当x＝0时，f（x）取得极值，∴f′（0）＝0故，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，则实数a的值为1；（Ⅱ）由a＝1知f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x由f（x）＝﹣x+b，得ln（x+1）﹣x2+x﹣b＝0令φ（x）＝ln（x+1）﹣x2+x﹣b，则f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．φ′（x）＝﹣2x+＝，当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）＝﹣b≤0，φ（1）＝ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）＝ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）＝，令f′（x）＝0得，x＝0或x＝﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x＝0时，等号成立）对任意正整数n，取x＝＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln＝ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP＝90°，∴∠ONB+∠BNP＝90°∵OB＝ON，∴∠OBN＝∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO＝90°，故∠BNP＝∠BMO＝∠PMN，PM＝PN∴PM2＝PN2＝P A•PC（Ⅱ）∵OM＝2，BO＝2，BM＝4∵BM•MN＝CM•MA＝（2+2）（2﹣2）（2﹣2）＝8，∴MN＝2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程x2+y2＝4x．由直线l的参数方程：，（t是参数），消去t可得x﹣y﹣m＝0．（Ⅱ）由圆C的方程（x﹣2）2+y2＝4可得圆心C（2，0），半径r＝2．∴圆心C到直线l的距离d＝＝．∵，|AB|＝∴，化为|m﹣2|＝1，解得m＝1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝lg（|x+1|+|x﹣2|+a）．（Ⅰ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|与y＝5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x＜﹣2或x＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。
数学_2014年甘肃省某校高考数学五模试卷(理科)(含答案)
2014年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位,2i 31−i=( )A 1+iB −1+iC 1−iD −1−i2. 已知集合A ={1, 2}，B ={1, a, b}，则“a =2”是“A ⊆B”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若函数f(x)=sinx +3cosx ，x ∈R ，则f(x)的值域是（ ） A [1, 3] B [1, 2] C [−√10,√10] D [0, √10]4. 已知函数f(x)=|lnx|，若1c >a >b >1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是（ ）A f(c)>f(b)>f(a)B f(b)>f(c)>f(a)C f(c)>f(a)>f(b)D f(b)>f(a)>f(c)5. 设z =x +y ，其中x ，y 满足{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A −2B −3C −4D −56. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( )A 108cm 3B 100cm 3C 92cm 3D 84cm 37. 已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y =sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A(−π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ω=2，φ=π6 B ω=2，φ=π3 C ω=12，φ=π3 D ω=12，φ=π6 8. 已知P 为双曲线C:x 29−y 216=1上的点，点M 满足|OM →|=1，且OM →⋅PM →=0，则当|PM →|取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（ ） A 95B 125C 4D 59. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（ ） A 240种 B 300种 C 360种 D 420种10. 扇形的半径为1，圆心角90∘．点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，0E ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是（ ） A 310B 15C 25D 1211. 执行如图所示的程序框图，输出的M 的值是（ ）A 2B −1C 12 D −212. 函数y =f(x)为定义在R 上的减函数，函数y =f(x −1)的图象关于点(1, 0)对称，x ，y 满足不等式f(x 2−2x)+f(2y −y 2)≤0，M(1, 2)，N(x, y)，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →⋅ON →的取值范围为( )A [12, +∞]B [0, 3]C [3, 12]D [0, 12]二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知圆x 2+y 2−4x −9=0与y 轴的两个交点A ，B 都在某双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．14. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n+1−a n =2n ，则数列{a n }的前n 项和S n =________．15. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________． 16. 由曲线y =√x ，直线y =x −2及y 轴所围成的图形的面积为________．三、解答题（每小题12分，共60分）17. 已知向量a →=(sin x2, 12)，b →=(√3cos x2−sin x2, 1)，函数f(x)=a →⋅b →，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(B +C)=1，a =√3，b =1，求△ABC 的面积S ．18. 如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB =90∘，PM // BC ，PM =1，BC =2．又AC =1，∠ACB =120∘，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60∘．（1）求证：PC ⊥AC ；（2）求二面角M −AC −B 的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离．19. 今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 赞成人数4 6 9 6 3 4（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15, 25)，[25, 35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1, √22)，右焦点为F 2．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为−12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)求F 2P →⋅F 2Q →的取值范围．21. 已知函数f(x)＝lnx +ax 2+bx （其中a ，b ）为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (Ⅰ)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(0, e]上的最大值为1，求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号共1小题，满分10分）22. 如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD̂中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG⋅EF＝CE⋅GD；（2）求证：GFAG =EF2CE2．23. 在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为{x=2+ty=t+1（t为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．24. 设函数f(x)=|2x+1|−|x−2|．(1)求不等式f(x)>2的解集；（2）∀x∈R，使f(x)≥t2−112t，求实数t的取值范围．2014年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. C5. B6. B7. B8. B9. D10. A11. B12. D13. y29−x272=114. 2n+1−n −2 15. 16π 16. 16317. 解：（1）由题意得f(x)=a →⋅b →=sin x 2(√3cos x 2−sin x 2)+12=√3sin x 2cos x 2−sin 2x 2+12 =√32sinx −1−cosx 2+12=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，令2kπ−π2≤x +π6≤2kπ+π2，k ∈z ， 解得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间为[2kπ−2π3，2kπ+π3](k ∈Z)．（2）∵ f(B +C)=1，∴ sin(B +C +π6)=1， 又B +C ∈(0, π)，∴ B +C +π6∈(π6, 7π6)， ∴ B +C +π6=π2，B +C =π3，∴ A =2π3．由正弦定理asinA=b sinB，把a =√3，b =1代入，得到sinB =12，可得B =π6，或者B =5π6，∵ A =2π3为钝角，∴ B =5π6舍去，∴ B =π6，C =π6，所以，△ABC 的面积S =12absinC =12⋅√3⋅1⋅12=√34． 18. 解：方法1：（1）证明：∵ PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴ PC ⊥平面ABC ，∴ PC ⊥AC ．（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵ PM = // CN ，∴ MN = // PC ，∴ MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ．由三垂线定理得AC ⊥MH ，∴ ∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角． ∵ 直线AM 与直线PC 所成的角为60∘， ∴ 在Rt △AMN 中，∠AMN =60∘．在△ACN 中，AN =√AC 2+CN 2−2AC ⋅CN ⋅cos120∘=√3． 在Rt △AMN 中，MN =AN ⋅cot∠AMN =√3cot60∘=1． 在Rt △NCH 中，NH =CN ⋅sin∠NCH =1×sin60∘=√32． 在Rt △MNH 中，∵ MH =√MN 2+NH 2=√72，∴ cos∠MHN =NHMH =√217． 故二面角M −AC −B 的余弦值为√217．（3）作NE ⊥MH 于E ．∵ AC ⊥平面MNH ，∴ AC ⊥NE ，∴ NE ⊥平面MAC ， ∴ 点N 到平面MAC 的距离为NE =MN⋅NH MH=√217． ∵ 点N 是线段BC 的中点，∴ 点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为2√217． 方法2：（1）证明：∵ PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴ PC ⊥平面ABC ，∴ PC ⊥AC ．（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示． 设P(0, 0, z)，则CP →=(0,0,z)．AM →=(0,1,z)−(√32,−12,0)=(−√32,32,z)． ∵ cos60∘=|cos <AM →，CP →>|=||AM →|⋅|CP →|˙|=z 2√3+z 2⋅|z|，且z >0，∴z √z 2+3=12，得z =1，∴ AM →=(−√32,32,1)． 设平面MAC 的一个法向量为n →=(x, y, 1)，则由{n →⋅CA →=0˙ 得{−√32x +32y +1=0√32x −12y =0得{x =−√33y =−1∴ n →=(−√33,−1,1)．平面ABC 的一个法向量为CP →=(0,0,1)．cos <n →，CP →>=|n →|⋅|CP|→˙=√217． 显然，二面角M −AC −B 为锐二面角，∴ 二面角M −AC −B 的余弦值为√217． （3）点B 到平面MAC 的距离d =||n →|˙|=2√217． 19. 解：（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．… ∴ 被调查人员的频率分布直方图如右图：… （2）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3… p(ξ=0)=C 42C 52⋅C 62C 102=1575，P(ξ=1)=C 41C 62C 52C 102+C 42C 52⋅C 41C 61C 102=3475，P(ξ=2)=C 41C 52⋅C 41C 61C 102+C 42C 52⋅C 42C 102=2275，P(ξ=3)=C 41C 52⋅C 42C 102=475，…∴ ξ的分布列是：∴ ξ的数学期望Eξ=0×1575+1×3475+2×2275+3×475=65．…20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1, √22)， ∴ {a 2−b 2=11a 2+12b 2=1，∴ a 2＝2，b 2＝1∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1⋯（2）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x =−12，此时P(−√2,0)、Q(√2,0)， 得F 2P →⋅F 2Q →=(−√2−1, 0)⋅(√2−1, 0)＝1−2＝−1．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k(k ≠0)，M(−12,m)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)由线段AB 的中点M 的横坐标为−12，得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=0，则−1+4mk ＝0，故4mk ＝1．此时，直线PQ 斜率为k 1＝−4m ，PQ 的直线方程为y −m =−4m(x +12)．即y ＝−4mx −m ． 联立{y =−4mx −mx 22+y 2=1消去y ，整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x +2m 2−2＝0．设P(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)∴ x 3+x 4=−16m 232m 2+1，x 3x 4=2m 2−232m 2+1．于是F 2P →⋅F 2Q →=(x 3−1)(x 4−1)+y 3y 4=x 3x 4−(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m)(4mx 4+m) =(4m 2−1)(x 3+x 4)+(16m 2+1)x 3x 4+m 2+1=(1+16m 2)(2m 2−2)32m 2+1+(4m 2−1)(−16m 2)32m 2+1+1+m 2 =19m 2−132m 2+1．由于M(−12,m)在椭圆的内部，故0<m 2<78令t ＝32m 2+1，1<t <29，则F 2P →⋅F 2Q →=1932−5132t ． 又1<t <29，所以−1<F 2P →⋅F 2Q →<125232．综上，F 2P →⋅F 2Q →的取值范围为[−1, 125232)．21. （I ）因为f(x)＝lnx +ax 2+bx 所以f′(x)=1x +2ax +b ，因为函数f(x)＝lnx +ax 2+bx 在x ＝1处取得极值 f′(1)＝1+2a +b ＝0 当a ＝1时，b ＝−3，f′(x)=2x 2−3x+1x，f′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间为(0, 12)，(1, +∞) 单调递减区间为(12, 1) (II)因为f′(x)=(2ax−1)(x−1)x令f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=12a ⋯ 因为f(x)在 x ＝1处取得极值，所以x 2=12a≠x 1＝1，当12a <0时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e]上单调递减 所以f(x)在区间(0, e]上的最大值为f(1)， 令f(1)＝1，解得a ＝−2 当a >0，x 2=12a >0当12a<1时，f(x)在(0, 12a )上单调递增，(12a, 1)上单调递减，(1, e)上单调递增所以最大值1可能在x =12a或x ＝e 处取得而f(12a )＝ln 12a +a(12a )2−(2a +1)12a =ln 12a −14a <0 所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1，解得a =1e−2⋯当1≤12a <e 时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增，(1, 12a )上单调递减，(12a , e)上单调递增 所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得 而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1， 解得a =1e−2，与1<x 2=12a <e 矛盾 当x 2=12a ≥e 时，f(X)在区间(0, 1)上单调递增，在(1, e)单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0，矛盾 综上所述，a =1e−2或a ＝−2．22. 连接AB ，AC ，∵ AD 为⊙M 的直径，∴ ∠ABD ＝90∘， ∴ AC 为⊙O 的直径，∴ ∠CEF ＝∠AGD ， ∵ ∠DFG ＝∠CFE ，∴ ∠ECF ＝∠GDF ， ∵ G 为弧BD 中点，∴ ∠DAG ＝∠GDF ， ∴ ∠DAG ＝∠ECF ， ∴ △CEF ∽△AGD ， ∴ CEEF =AGGD ，∴ AG ⋅EF ＝CE ⋅GD由（1）知∠DAG ＝∠GDF ， ∠G ＝∠G ，∴ △DFG ∽△ADG ， ∴ DG 2＝AG ⋅GF ， 由（2）知EF 2CE 2=GD 2AG 2，∴GF AG=EF 2CE 2．23. 由曲线C 的参数方程为{x =2+ty =t +1（t 为参数），消去参数t 得到曲线C 的普通方程为x −y −1＝0；∵ x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，曲线P 在极坐标系下的方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0， ∴ 曲线P 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x +3＝0．曲线P 可化为(x −2)2+y 2＝1，表示圆心在(2, 0)，半径r ＝1的圆，则圆心到直线C 的距离为d =√1+1=√22， 故|AB|=2√r 2−d 2=√2．24. 解：（1）f(x)={−x −3,x <−123x −1,−12≤x <2x +3,x ≥2当x <−12，−x −3>2，x <−5，∴ x <−5 当−12≤x <2，3x −1>2，x >1，∴ 1<x <2 当x ≥2，x +3>2，x >−1，∴ x ≥2 综上所述 {x|x >1或x <−5}．(2)由(1)得f(x)min =−52，若∀x ∈R ，f(x)≥t 2−112t 恒成立，则只需f(x)min =−52≥t 2−112t ⇒2t 2−11t +5≤0⇒12≤t ≤5，综上所述12≤t ≤5．。
2014年甘肃省高三第一次诊断考试理科数学(解析版)
甘肃省2014年高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）（2014•甘肃一模）复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 解析==（）2=（﹣i ）2=﹣1． 故选：B ．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 解析 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．4．（5分）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M x y （，），则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16解析 可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）==．所以P （A ）=．故选：B ．5．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a ﹣，则8S =（）A ．72B ．68C ．54D ．90解析 在等差数列{a n }中，∵a 4=18﹣a 5，∴a 4+a 5=18，则S 8=4（a 1+a 8）=4（a 4+a 5）=72故选：A6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．7．（5分）设lg lg 2a e b e c ===，（）， ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>解析 ∵1＜e ＜3＜， ∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．8．（5分）（2014•甘肃一模）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11，故•的最大值为11，故选：B ．9．（5分）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 解析 展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C 9r x 18﹣3r 令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B ．10．（5分）（2014•西藏一模）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x ++=﹣相切，则该双曲线离心率等于（ ）A BC ．32D 解析 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±，即bx ±ay=0 圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0化为标准方程（x ﹣3）2+y 2=4∴C （3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切∴∴9b 2=4b 2+4a 2∴5b 2=4a 2∵b 2=c 2﹣a 2∴5（c 2﹣a 2）=4a 2∴9a 2=5c 2∴=∴双曲线离心率等于故选：A ．11．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ） A ．sin cos f f αβ（）<（） B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能 解析 ∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）f （x ）=﹣2，∴f （x ）===f （x+2），∴f （x ）是周期为2的偶函数．∵函数f （x ）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sin α＞sin （﹣β）=cos β＞0． 则f （sin α）＜f （cos β），故选：A ．12．（5分）（2014•甘肃一模）设f x （）是定义在R 上的函数，x R ∀∈，都有22f x f x =+（﹣）（），f x f x =（﹣）（），且当[02]x ∈，时，22x f x =（）﹣，若函数log 10,1)g x f x a x a a =+≠（）（）﹣（）(＞在区间12014]（﹣，内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95B ．1(0,)(7,)9+∞C ．1(,1)(1,3)9D ．11(,)(3,7)73解析 由f （2﹣x ）=f （2+x ），得到函数f （x ）关于x=2对称，由f （﹣x ）=f （x ）得函数f （x ）是偶函数，且f （2﹣x ）=f （2+x ）=f （x ﹣2），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．当x ∈[﹣2，0]时，﹣x ∈[0，2]，此时f （x ）=f （﹣x ）=2﹣x ﹣2，由g （x ）=f （x ）﹣log a （x+1）=0得f （x ）=log a （x+1），（a ＞0，a ≠1）作出函数f （x ）的图象如图：①若a ＞1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点A （2，2）时，两个图象有两个交点，此时g （2）=log a 3=2，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点B （6，2）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 7=2，解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， ②若0＜a ＜1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点C （4，﹣1）时，两个图象有两个交点， 此时g （4）=log a 5=﹣1，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点D （8，﹣1）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 9=﹣1解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， 综上：实数a 的取值范围是（，）∪（，）， 故选：A ．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数211()log ()1x f x x x -=++，则11()()20142014f f +-= ．解析 ∵函数， ∴＞0且x ≠0，解得：﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1}，∴==﹣f （x ），∴函数是奇函数，∴==0． 故答案为：0 14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布29N （，），若(1)(1)P c P c ξξ+=＞＜﹣，则c = ． 解析 ∵N （2，32）⇒， ，∴，解得c=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{}n a 满足110012n n a a a n =+=，﹣，则n a n的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100，∴=n+﹣1≥2﹣1=19， 当且仅当n=，即n=10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥SABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，12AB AC ==，，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为 ．解析 如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∵SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=AC=1， ∴球O 的半径R==2， ∴球O 的表面积S=4πR 2=16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，三个内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若1cos 1cos 3a C c A b +++=（）（）， （1）求证：a b c ，，成等差数列；（2）若604B b ∠=︒=，，求ABC 的面积．解析 （1）∵a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得，sinA （1+cosC ）+sinC （1+cosA ）=3sinB ，即sinA+sinC+sin （A+C ）=3sinB ，∴sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得，a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列；（2）∵∠B=60°，b=4，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得4=a 2+c 2﹣2accos60°，即（a+c ）2﹣3ac=16， 又a+c=2b=8，解得，ac=16（或者解得a=c=4），则S △ABC =acsinB=4．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，且90AD BC ABC PAD ∠=∠=︒，，侧面PAD ABCD ⊥底面．若12PA AB BC AD ===． （Ⅰ）求证：CD PC ⊥； （Ⅱ）求二面角APD C ﹣﹣的余弦值．解析（Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，又∵∠BAD=90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴=0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x=1，得到=（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n a p ，，的值（2）从[4045，）岁和[4550，）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[4045，）岁得人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X （）解析 （1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=2﹣共线．20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=1)（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，O 为坐标原点，总使0OP OQ ∙<，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）解：设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），则∵A （a ，0）、B （0，b ）， ∴=（﹣a ，b ）， ∵与=（，﹣1）共线，∴a=b ，∵焦距为2， ∴c=1， ∴a 2﹣b 2=1， ∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），把直线方程y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=16k 2m 2﹣4×（2k 2+1）（2m 2﹣2）=16k 2﹣8m 2+8＞0（*） ∵•＜0，∴x 1x 2+y 1y 2＜0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=，∴+＜0，∴m 2＜，∴m 2＜且满足（*） 故实数m 的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数2ln f x x a x x =+（）（）﹣﹣在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程52f x x b =+（）﹣在区间[]02，上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n++++⋯++＞都成立． 解析 （Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x 2﹣x f ′（x ）=﹣2x ﹣1当x=0时，f （x ）取得极值，∴f ′（0）=0 故，解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a 的值为1；（Ⅱ）由a=1知f （x ）=ln （x+1）﹣x 2﹣x 由f （x ）=﹣x+b ，得ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b=0 令φ（x ）=ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b ，则f （x ）=﹣x+b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x ）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根． φ′（x ）=﹣2x+=，当x ∈[0，1]时，φ′（x ）＞0，于是φ（x ）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）=﹣b≤0，φ（1）=ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）=ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）=，令f′（x）=0得，x=0或x=﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：2•=；PM PA PC（Ⅱ）若O的半径为OA=，求MN的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°， ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ， ∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA •PC （Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m ty t=+⎧⎨=⎩，（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||AB ，试求实数m 的值． 解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ． 由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2． ∴圆心C 到直线l 的距离d==．∵，|AB|=∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。
2014年,高考模拟试卷及答案,数学
第6题图俯视图2014年高考数学模拟考试试卷第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x =|=，集合{}2,1,1,2B =--，则A B =A.(1,2)B.{}1,2C.{}1,2--D.(0,)+∞2.若(4i)i i a b +=+其中,a b ∈R ，i 是虚数单位，则a b - = A.3B.5C.3-D.5-3.设0.32a =，20.3b =，2log (0.3)(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是 A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<4.不等式2311x x +≥-的解集是 A.[4,)-+∞ B.(4,)-+∞ C.[4,1)- D.(,4](1,)-∞-+∞5.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件6.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形， 该四棱锥的体积等于B.C.D.7.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编 号之和为偶数的概率为 A.16 B.23 C.12D.13 8.已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是A.2B.9C.4D.149.设函数3()f x x =+sin x ，若02θπ≤≤时, (cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数 m 的取值范围是A.(0,1)B.(,0)-∞C.1(,)2-∞ D.(,1)-∞D CBA10.当n *∈N 且2n ≥时，24112225n p q -++++=+(其中p 、q 为非负整数，且05q ≤≤，则q 的值为A.0B.1C.3D.与n 有关第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号 的横线上.11.若下框图所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .12.函数()37ln f x x x =-+的零点位于区间(,1)()n n n +∈N ，则n = . 13.已知锐角三角形的边长分别为2、4、x ，试求x 的取值范围 . 14.对于函数321()(2)3f x x ax a x b=-+-+，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 .15.（文科做②；理科从①②两小题中任意选作一题） ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π()6θρ=∈R 截圆π2cos()6ρθ=- 的弦长是 .②(不等式选做题)关于x 的不等式|||1|1x a x ---≤在R 上恒成立（a 为常数），则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.(本大题满分12分)在ABC ∆中，已知45ABC ∠=，AB =，D 是BC 边上的一点，5,3AD DC ==，求AC 的长.17. (本大题满分12分)A 、B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B 袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A 袋中取1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片， 求： （1）取出的3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率； （3）取出的3张卡片数字之积的数字期望.18.(本大题满分12分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.(本大题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n n S a λλ=+-，其中λ是不等于1-和0的常数. （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足111,()3n n b b f b -==（n *∈N ，且2n ≥），求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .20.(本大题满分13分)已知函数()sin f x ax b x =+，当3x π=时，()f x取得极小值3π-. （1）求,a b 的值；（2）设直线:()l y g x =，曲线:()S y f x =.若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： ①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有()()g x f x ≥.则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.试证明：直线:2l y x =+为曲线:sin S y ax b x =+“上夹线”.A BCDEF21.(本大题满分14分)一直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线于,A B 两点，C 为抛物线准线的一点 （1）求证：ACB ∠不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C ，使得ABC ∆为正三角形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：1～5. BBBDA ； 6～10. ADCDA. 二、填空题：11.8k >； 12.2; 13.1t ≤<； 14.(1,2)； 15. ①2；②[]0,2. 三、解答题：16.解：在ABD ∆中，由正弦定理得sin 22sin 5AB B ADB AD ∠∠===∴3ADB π∠=或23π，①若3ADB π∠=，则23ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 49AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2 ∴7AC =，②若23ADB π∠=，则3ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 19,AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2∴AC =17.（文科）（1）每颗骰子出现的点数都有6种情况，∴基本事件总数为3666=⨯个.记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， .365)(=∴A P（2）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ；当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．.3617)(=∴B P （理科）解：（1）设事件A 表示：“取出的3张卡片都写0”F HG EMDCBA2427C 11()6C 21P A =⋅=（2）设事件B 表示：“取出的3张卡片数字之积是4”2112122277C C C 234()6C 6C 63P B =⋅+⋅=（3）设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ，则ξ可取0，2，4，82327C 1537(0)(1)66C 42P ξ==+⋅-=； 111227C C 22(2)6C 63P ξ==⋅= 11121222C C C 234(4)6C 6C 63P ξ==⋅+⋅=； 222C 31(8)6C 42P ξ==⋅= 24863634263E ξ=⋅+⋅+⋅=18.解（1） 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、． ∵F 为CD 的中点，∴//FM CE ．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB ． 又12AB DE ME ==， ∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE ． ∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE ． 又FMAM M =，∴平面//AFM 平面BCE ．∵AF ⊂平面AFM ， ∴//AF 平面BCE ．（2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥．∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． 又CDDE D =，故AF ⊥平面CDE ．∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．（3）平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角设22AD DE AB a ===，则2sin 45FH CF==2BF a ==，Rt FHB ∆中，sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCF 19.（1）证明：∵(1)n n S a λλ=+-∴11(1)(2)n n S a n λλ--=+-≥∴1n n n a a a λλ-=-+，即1(1)n n a a λλ-+= 又1λ≠-且0λ≠，∴11n n a a λλ-=+ 又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1λλ+为公比的等比数列.（2）解：由（1）知：()1q f λλλ==+∴111()(2)1n n n n b b f b n b ---==≥+故有1111111n n n n b b b b ---+==+，∴1111(2)n n n b b --=≥ ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列，∴2(1)53()22n n n n nT n n *-+=+=∈N20.解：（1）∵()sin f x ax b x =+，∴()cos f x a b x '=+而由已知得：10233a b a ⎧+=⎪⎪⎨ππ⎪⋅+=⎪⎩∴1,2a b ==-此时()2sin f x x x =-，∴()12cos f x x '=-，当(0,)3x π∈时，()0f x '<，当(,)32x ππ∈时，()0f x '>∴当3x π=时，()f x取得极小值3π即1,2a b ==-符合题意（2）由()12cos 1f x x '=-=，得cos 0x =当2x π=-时，cos 0x =，此时1222y x π=+=-+，22sin 22y x x π=-=-+12y y =，∴(,2)22ππ--+是直线l 与曲线S 的切点当2x 3π=时，cos 0x =，此时1222y x 3π=+=+，22sin 22y x x 3π=-=+ 12y y =，∴(,2)223π3π+也是直线l 与曲线S 的切点∴直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点对任意x ∈R ，()()(2)(2sin )22sin 0g x f x x x x x -=+--=+≥即()()g x f x ≥，因此直线:2l y x =+为曲线:2sin S y x x =-“上夹线”21.解：设1122(,),(,),(,)2pA x yB x yC m -，直线AB 方程为2p x ty =+由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pty p --=，则212122,y y pt y y p +==-∴2212122,4p x x pt p x x +=+=（1）11(,)2p CA x y m =+-，22(,)2pCB x y m =+- ∴2()0CA CB pt m ⋅=-≥∴,CA CB <>不可能为钝角，故ACB ∠不可能是钝角（2）假设存在点C ，使得ABC ∆为正三角形 由（1）得：线段AB 的中点为2(,)2pM pt pt +①若直线AB 的斜率不存在，这时0t =，(,),(,)22p p A p B p -，点C 的坐标只可能是(,)2pp -，由CM AB =，得：2p p =，矛盾，于是直线AB 的斜率必存在 ②由CM AB ⊥，得：1CM AB k k ⋅=-，即21122pt m p p t pt -⋅=-++∴32m pt pt =+，∴3(,2)2pC pt pt -+2(CM p t =+22(1)AB p t =+由CM =，得：t =，∴(,)2p C -±故存在点(,)2pC -±，使得ABC ∆为正三角形。
甘肃省临夏中学2014届高三5月10日模拟考试文综答案
临夏中学2014届高三年级模拟考试卷（一）答案地理试题（参考答案）（11×4=44分）1 C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.C 10.A 11.C36 . ( 24 分） ( 1 ）主要集中分布在我国北部地区（或新疆、内蒙） ( 2 分），以及东部沿海风能资源丰富的地区（ 2 分）。
( 2 ）甲地区缺乏风能资源；因为地处内陆, 受地形（盆地）因素影响，风力小（3分）。
乙地区虽然风能资源丰富；但是人口稀少，（或经济规模小）当地能源需求量少（或距东部电力市场远）；替代能源（太阳能、地热等）丰富（3分）。
( 3 ）缓解能源紧张状况；优化能源消费结构；带动相关产业发展；增加就业机会；改善环境质量等。
（答出其中任意3点可得6分）（4）位于我国西北内陆地区，靠近冬季风的源地；地形平坦，植被覆盖率低，风力达；由于地形影响，形成狭管效应，地面风力强劲。
（6）37．（24分）（1）地处内陆盆地，四周山脉的阻挡；水汽难以到达，降水少，气候干旱；地表水缺乏；植被稀少；岩石裸露，物理风化和风力作用强烈易形成沙漠和戈壁。
（答对其中任意四点得8分）（2）北坡为迎风坡，降水量较多；北坡为背阳（或阴）坡，气温较低，蒸发较弱，土壤水分好。
（或南坡为背风坡，降水量较少；南坡为向阳坡，气温较高，蒸发较强，土壤水分差。
）（4分）（3）C（4）答案1：支持“引渤入疆”方案（2分）理由是：可用海水填充沙漠中的干盐湖等形成人造的海水河、湖，有利于治理荒漠化；增大沿线的大气湿度；改善局部小气候，增加西北地区的降水量；利于绿化西北沙漠等。
（8分）答案1：支持“引渤入疆”方案（2分）理由是：投资巨大；有可能加重土地盐碱化，破坏生态；可能破坏几千公里沿线原生态环境；海水淡化成本高；有可能影响渤海的生态环境等。
（8分）42．第(1)问，甘肃省敦煌市地处西北干旱区，风力较大，风力作用成为塑造地貌的主要地质作用。
第(2)问，甘肃省经济相对较落后，距离经济发达地区较远，游客数量较小。
答案2014学年第一学期高三数学(理)
2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷参考答案（理）一、填空题1、2π2、]2,0[3、i 24、⎩⎨⎧∈≥==*-N n n n a n n ,2,21,32 5、28 6、103 7、4 8、060 9、63 10、)14,12( 11、61 12、53 13、2 14、]41,0(19、[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π 所以 3π=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分 2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN // 所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分 101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分 20、【解】（1）由条件得到03tan 8tan 32=-+αα，………………2分解得31tan =α或者3tan -=α ………………4分 παπ<<2Θ，.3tan -=∴α ………………6分（2）54tan 1tan 12cos )22sin(22=+--=-=-αααπα ………………2分+2分+2分=6分 21、（理）【解】：（1）设0)(=x f ，02)2(2=--+n x n x 得 n x x =-=21,2。
所以n a n =…………………………………………………………………………4分（2）n n n n b 2)1(31⋅⋅-+=-λ，若存在0≠λ，满足n n b b >+1恒成立 即：n n n n n n 2)1(32)1(3111⋅⋅-+>⋅⋅-+-++λλ，………………………………6分λ⋅->--11)1()23(n n 恒成立 ……………………………………………………8分 当n 为奇数时，λ>-1)23(n ⇒ 1<λ ………………………………………10分 当n 为偶数时，λ->-1)23(n ⇒ 23->λ …………………………………12分 所以 123<<-λ ………………13分， 故：1-=λ………………………14分22、【解】（1）由0)1(=f ，得21=+c a ，………………1分 因为0)(≥x f 在R x ∈时恒成立，所以0>a 且△0441≤-=ac ，161≥ac ， ………………2分 即16121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，0161212≤+-a a ，0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，所以41==c a ．……………4分 （2）由（1）得412141)(2+-=x x x f ，由0)()(<+x h x f ，得 02212<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x ，即021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，………………7分 所以，当21<b 时，原不等式解集为)21,(b ； 当21>b 时，原不等式解集为),21(b ； 当21=b 时，原不等式解集为空集 ． ………………10分 （3）412141)(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x x g ， ………………11分 )(x g 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线12+=m x ．假设存在实数m ，使函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-．① 当m m <+12，即1-<m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上是增函数，所以5)(-=m g ，即54121412-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m m ，解得3-=m 或37=m ， 因为1-<m ，所以3-=m ； ………………13分②当212+≤+≤m m m ，即11≤≤-m 时，函数)(x g 的最小值为5)12(-=+m g ，即 541)12(21)12(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得22121--=m 或22121+-=m ，均舍去； ………………15分③当212+>+m m ，即1>m 时，)(x g 在区间]2,[+m m 上是减函数，所以5)2(-=+m g ，即541)2(21)2(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得221--=m 或221+-=m ，因1>m ，所以221+-=m ． ………………17分综上，存在实数m ，3-=m 或221+-=m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-． ………………18分23、【解】(1)113,2n n n n a a b b n ++-=∴-=+Q , ………………2分1231,4,8b b b =∴==Q ………………4分(2)由3112727n n n n n a a n b b n ++-=-⇒-=-, ………………5分 由104n n b b n +->⇒≥,即456b b b <<<L ; ………………7分由104n n b b n +-<⇒<,即1234b b b b >>> ………………9分4k ∴=. ………………10分(3)由1111(1)(1)(2)n n n n n n n a a b b n ++++-=-⇒-=-+, ………………11分故1*1(1)(21)(2,)n n n n b b n n n N ---=-+-≥∈,12121213212121,(1)(22),,(1)(22),(1)(21)n n n n n n n n b b b b b b n b b n ------∴-=+-=-+-=-+--=-+-L ………………13分当*2()n k k N =∈时,以上各式相加得 1221122(2)(2222)[12(2)(1)]1(2)2n n n n n b b n n ------=-+-++-+--+-=+--L L 2232n n +=+ 2225132323n n n n n b +∴=++==++ ………………15分 当*21()n k k N =-∈时,111221213(1)(2)1(2)32326n n n nn n n n n b b n n +++++=--+=++-+=--+ ………………17分213,32625,323n n n n b n ⎧--+⎪⎪∴=⎨⎪++⎪⎩(21)(2)n k n k =-=,*()k N ∈ ………………18分。
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临夏中学2014届高三年级模拟考试数学（理科）答案
13． 1 14． 10 15．
3
)
32(8- 16．92
17.解（1）由条件可得)(43sin 212
22b a c C ab --=，即ab
c b a C 2)(3sin 222-+-
=，再由余弦定理得C C cos 3sin -=，即3
2,3tan π
=
∴-=C C . —————— 3分 由4
π
=
B 可得12
π
=
A ,故4
2
6)6
4sin(
sin -=-=π
π
A ， 由正弦定理，1sin sin ==
B
A
b a . —————— 6分
（2）)4
2sin(222122cos 12sin 2121sin cos sin )(2
π-=--+=-
+=x x x x x x x f ，则)4
s i n (22)2(π
-=A A f . ———————— 9分 由（1）可知32π=
C ,30π<<∴A ,则1244-πππ<-<A ，)4
2
6,22()4sin(--∈-πA ，故)2
(A
f 的取值范围是⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛41-321-，
. ———————12分 18.解(1)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,
由余弦定理可知2
2
2
2
3)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=, 即AD CD BD 33==,在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.————————4分
又AE⊥BD,⊂AD 平面AED,⊂AE 平面AED,
且A AE AD = ,故BD⊥平面AED; —————6分
(2)由(1)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D
A
D
C
B
A
B
A
D
A
A
B
标系,)0,2
1
,23(
),0,1,0(),01,0(-D B F ,向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量. ———————8分 设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
02323z y y x , 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量. ————10分
5
5
5
1,cos =
=
⋅>=
<n
m n m n m ,而二面角F-BD-C 的平面角为锐角,则 二面角F-BD-C 的余弦值为
5
5
. ——————12分 19.解（1）A 班15人，B 班20人，C 班10人，D 班5人；————4分 （2）
1225
4
42
50=C ； ————8分 （3）
———————
—————12分
20.解（1）圆1F 的圆心坐标为()
0,3-，半径41=r ，设动圆圆心为),y x P （，半径为2r ，依题意有22PF r =,由3221=F F ,可知点2F 在圆1F
内，从而圆P 内切于圆1F ，故211r r PF -=，即421=+PF PF ,所以点
P 的轨迹是以21F F ，为焦点的椭圆，由322,42==c a ，得曲线方程为14
22
=+y x . ——————5分
（2）由方程组
⎪⎩⎪⎨⎧+==+m
kx y y x 1422
得0
448)412
22=-+++m kmx x k （，
0)44)(41(4)8222>-+-=∆m k km （，整理得01422>+-m k . ————7分
ξ
1 2
P
20
3
2
1
20
7
z
x y
设),(),,2211y x N y x M （，则221418k km x x +-=+，2
221414
4k m x x +-=.由AN AM ⊥且椭圆
的右顶点为）（0,2A ，得0)2)(22121=+--y y x x （， 因为2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=. 所以04))(2()1221212=+++-++m x x km x x k （，
即04418)2(4144)122
222
=+++-⋅-++-⋅+m k
km
km k m k （，整理得：01216522=++k km m ，解得5
6,2k m k m -
=-=或，均满足0142
2>+-m k . ——————10分 当k m 2-=时，直线方程为k kx y 2-=，过定点()0,2，不合题意，舍去； 当56k m -
=时，直线方程为)56(-=x k y ，过定点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,56. ——————12分 21.解（1）定义域为()∞+，0，x b ax x f +-
=2'
1)(，由题意知2
1)1(,21)1('
==f f ，1,2==∴b a ——————2分 22'212121)(,ln 21)(x x x x x f x x x f -=+-=+=
∴，由210)('
==x x f 得. 当210<<x 时，0)('<x f ，当21>x 时，0)('
>x f ，)(x f ∴有极小值2ln 1)2
1(-=f ，
无极大值； ————————6分
（2）由（1）知函数)(x f 在[]3,1∈x 时是递增的，2
1
)1()(=≥∴f x f ，——8分 所以原问题等价于[]3,12
1
232
∈≤
+-t mt t 在时恒成立，————9分 令[]3,1,233)(2
∈+-=t mt t t h ，则有⎩⎨⎧≤≤0
)3(0)1(h h ，解得67
≥m ——————12分
22.证明:连接AD .
∵AB 是圆O 的直径,∴090ADB ∠=(直径所对的圆周角是直角).
∴AD BD ⊥(垂直的定义).
又∵BD DC =,∴AD 是线段BC 的中垂线(线段的中垂线定义). ∴AB AC =(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等). ∴B C ∠=∠(等腰三角形等边对等角的性质). 又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点,
∴B E ∠=∠(同弧所对圆周角相等). ∴E C ∠=∠(等量代换).
23.解（1）曲线C 的极坐标方程化为θρρsin 22=， 得直角坐标方程为0222=-+y y x . —————2分
直线的普通方程为0834=-+y x . ————4分
（2）解得M 点的坐标为()0,2，又曲线C 为圆，且圆心坐标为()1,0，半径5,1=∴=MC r , ——————8分
r MC MN +≤.所以MN 的最大值为15+.——————10分
24.解（1）当1=a 时，不等式为2432<-+-x x ，若4≥x ，则2103<-x ，得4<x ，舍去；若43<<x ，则22<-x ，得43<<x ；若3≤x ，则23-10<x ，得
33
8
≤<x ，综上，不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<438x x
. ——————5分 （2）设432)(-+-=x x x f ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-<<-≥-=3,31043,24
,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f ，由题意，不等
式的解集不是空集，21,12>
>∴a a ，即a 的取值范围为⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，21.———10分。