中考数学第一轮复习专题训练之五一元二次方程级分式方程(含答案)
中考一轮复习分式方程同步练习(含答案)
分式方程1.(2019百色)方程11+x =1的解是( ) A.无解 B.x=-1 C.x=0 D.x=12.(2019深圳一模)解分式方程x x x -++111-2=3时,去分母后变形正确的是( ) A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1) 3.(2019海口模拟)若代数式xx x ---3233与+1的值相等,则x= . 4.(2019临沂)解方程:.xx 325=-5.(2019广州一模)解方程:x x x -=--42416.(2019玉林)解方程:)2)(1(311+---x x x =1.7.(2019辽阳)某施工队承接了60公里的修路任务,为了提前完成任务,实际每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前60天完成了这项任务.设原计划每天修路x 公里,根据题意列出的方程正确的是( ) A.6060%)251(60=-+⨯xx B.60%)251(6060=+⨯-x x C.6060%)251(60=-+x x D.6060%)251(6060=+-x x8.(2019沈阳改编)2019年3月12日是第41个植树节,某单位积极开展植树活动,决定购买甲、乙两种树苗,用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同,乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元.甲种树苗每棵多少元?9.(2019眉山改编)在我市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为3 600 m2的区域进行绿化,经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用6天.求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化.10.(2019佛山模拟)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同.（1）现在平均每天生产多少台机器?（2）生产3 000台机器,现在比原计划提前几天完成?11.(2019鸡西)已知关于x 的分式方程32--x m x =1的解是非正数,则m 的取值范围是( ) A.m ≤3 B.m<3 C.m>-3D.m ≥-3 12.(2019滨州)方程xx x -=+--23123的解是 . 13.(2019泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3 000元购进A ,B 两种粽子1 100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.（1）求A ,B 两种粽子的单价各是多少?（2）若计划用不超过7 000元的资金再次购进A ,B 两种粽子共2 600个,已知A ,B 两种粽子的进价不变,求A 种粽子最多能购进多少个?14.(2018广东)某公司购买了一批A,B 型芯片,其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元,已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等.（1）求该公司购买的A,B 型芯片的单价各是多少元?（2）若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6 280元,求购买了多少条A 型芯片?1.C2.D3.44.解:去分母得5x=3x-6,解得x=-3.经检验,x=-3是分式方程的解.∴方程的解是x=-3.5.解:去分母得1-2(x-4)=-x,去括号得1-2x+8=-x,解得x=9.经检验x=9是分式方程的解,∴方程的解是x=9.6.解:去分母得x(x+2)-3=(x-1)(x+2),∴x2+2x-3=x2+x-2,解得x=1,经检验,x=1时分母x-1=0,∴原方程无解.7.D8.解:设甲种树苗每棵x元,根据题意得,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解.答:甲种树苗每棵40元.9.解:设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2,根据题意得=6,解得x=50,经检验,x=50是原方程的解,则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2).答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2,50 m2.10.解:(1)设原计划平均每天生产x台机器,则现在平均每天生产(x+50)台机器,根据题意得,解得x=150,经检验,x=150是原方程的解,∴x+50=200.答:现在平均每天生产200台机器.(2)=20-15=5(天).答:现在比原计划提前5天完成.11.A12.x=113.解:(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1.2x元/个,根据题意得=1 100,解得x=2.5,经检验,x=2.5是原方程的解,∴1.2x=3.答:A种粽子单价为3元/个,B种粽子单价为2.5元/个.(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2 600-m)个,根据题意得3m+2.5(2 600-m)≤7 000,解得m≤1 000.答:A种粽子最多能购进1 000个.14.解:(1)设B型芯片的单价为x元/条,则A型芯片的单价为(x-9)元/条.根据题意,得.解得x=35.经检验,x=35是原方程的解,∴x-9=26.答:A型芯片的单价为26元/条,B型芯片的单价为35元/条.(2)设购买a条A型芯片,则购买(200-a)条B型芯片.根据题意,得26a+35(200-a)=6 280.解得a=80.答:购买了80条A型芯片.。
中考数学第一轮复习专题训练5 -一元二次方程和分式(含答案)
年中考数学第一轮复习专题训练 一元二次方程及分式方程一、填空题：1．当______a 时，方程02)1(2=-+-x x a 是一元二次方程； 2．方程3)1(2=+x x 的一般形式为 ； 3．当_____=x 时，分式21++x x 的值等于54； 4．方程3222=x 的解为 ； 5．方程x x +=--111122的解为 ；6．方程0652=--x x 可分解成 与 两个一元一次方程；7．已知m 是方程0322=--x x 的一个根，则_____2=-m m ；8．_________)(2104222++=++x x x ；9．方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ； 10．如果方程032=+-m x x 的一根为 1，那么方程的另一根为 ； 11．如果方程xmx x -=--+2121有增根，那么____=m ； 12．如果3-是分式方程 xa a x a +=++32的增根，则_____=a ； 二、选择题：13．下列方程中是一元二次方程的是 （ ）A 、53=+xB 、3=xyC 、112=+xx D 、0122=-x 14．若关于x 的方程112=--x ax 无解，则a 的值等于 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、415．方程)2(3)2(2-=-x x x 的根是 （ ） A 、23=x B 、2=x C 、231=x ，22=x D 、23-=x 16．把方程x x 432=+配方得 （ ）A 、7)2(2=-xB 、1)2(2=-xC 、1)2(2=+xD 、2)2(2=+x 17．下列方程适合用因式方程解法解的是 （ ）A 、02222=+-x x B 、 422+=x xC 、70)2)(1(=+-x xD 、 010112=--x x 18．用公式法解方程：()()22212(1) 430 ? 1 , 4 , 3 , 444132804 2222x x a b c b ac x x x --===-=--=--⨯⨯-=>±∴==±∴==Q 解:()22212(2) 3410 3 , 4 , 1 , 44431280 , x x a b c b ac x x x +-====--=-⨯⨯-=>∴==∴==Q 解:()22212(3) 41250 ： 4 , 12 , 5 , 412445640121283251, , 88222x x a b c b ac x x x -+===-=-=--⨯⨯=>±±∴===∴==Q 解 其中解法正确的个数是 （ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个 19．根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是 （ ） A 、3＜x ＜3.23 B 、3.23＜x ＜3.24 C 、3.24＜x ＜3.25 D 、3.25 ＜x ＜3.2620．若分式1232－＋－x x x 的值为零，则x 的值是 （ ）A 、1B 、1或2C 、2D 、0 21．如果关于x 的方程0222=--kx x 没有实数根，那么k 的最大整数值是 （ ） A 、3- B 、2- C 、1- D 、022．已知关于x 的方程01)152(22=-+---a x a a x 的两个根互为相反数，则a 是（ ）A 、5 B 、3- C 、5或3- D 、1三、解下列方程：23．24)5(=+x x 24．x x )32(22+=25．542=-x x 26．22)1()1(4+=-x x27．275-=x x 28．141112-=--+x x x四、解答题： 29．解关于x 的方程)(1b a x baax ≠+=-30．方程032=++m x x 的一个根是另一根的 2 倍，求m 的值；31．某商场销售一种各牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?32．如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m ；①鸡场的面积能达到150m 2吗？②鸡场的面积能达到180m 2吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
2021-2022学年九年级中考数学 一轮训练：一元二次方程及其应用含答案
中考数学一轮训练：一元二次方程及其应用一、选择题1. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是()A. 14 B. －14 C. 4 D. －12. 2018·福建已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是()A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根C．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根D．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－24. 关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元下降到现在的64元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是( )A．年平均下降率为80%，符合题意B．年平均下降率为18%，符合题意C．年平均下降率为1.8%，不符合题意D．年平均下降率为180%，不符合题意6. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7. 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是()A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于38. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价()A．5元B．10元C．20元D．10元或20元二、填空题9. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为.10. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少个小分支．如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可列方程为__________________．11. 已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±7，则q＝________．12. 配方法解一元二次方程x2－2 2x＋1＝0，所得结果是x1＝________，x2＝________．13. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．14. 2018·内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．15. 某校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.16. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．三、解答题17. (1)解方程:x2-2x-5=0.(2)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.(3) x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等?18. 某果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%(m≠0)，销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%.如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值．19. 已知xy＞0，且x2－8y2＝2xy，求5x－2yx＋2y的值．20. 如图，某工程队在工地上利用互相垂直的两面墙AE，AF，另两边用铁栅栏围成一个矩形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个矩形，铁栅栏的总长为180米，已知墙AE的长为90米，墙AF的长为60米．(1)设BC＝x米，则CD＝________米，四边形ABCD的面积为____________平方米；(2)若矩形ABCD的面积为4000平方米，则BC的长为多少米？21. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．22. 2018·常州阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3＋x 2－2x ＝0，可以通过因式分解把它转化为x (x 2＋x －2)＝0，解方程x ＝0和x 2＋x －2＝0，可得方程x 3＋x 2－2x ＝0的解．(1)问题：方程x 3＋x 2－2x ＝0的解是x 1＝0，x 2＝________，x 3＝________；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x ＋3＝x 的解；(3)应用：如图1－T －2，已知矩形草坪ABCD 的长AD ＝8 m ，宽AB ＝3 m ，小华把一根长为10 m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD ，DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C .求AP 的长．答案一、选择题1. 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a ＝－2，x 1·x 2＝－2b ＝1，则a ＝2，b ＝－12，∴b a ＝(－12)2＝14，故选A. 2. 【答案】D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≠0，Δ＝（2b ）2－4（a ＋1）2＝0， ∴b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)．当b ＝a ＋1时，有a －b ＋1＝0，此时－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；当b ＝－(a ＋1)时，有a ＋b ＋1＝0，此时1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)，∴1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．3. 【答案】C4. 【答案】B 【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝2－4sin α＝0，∴sin α＝12，又∵α为锐角，∴α＝30°.5. 【答案】D [解析] 设年平均下降率为x ，则可得100(1－x )2＝64，解之得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.8＝180%.由于0＜x ＜1，因此年平均下降率为180%不符合题意．6. 【答案】A [解析] 因为b ＋c ＝5，所以c ＝5－b.因为Δ＝b 2－4×3×(－c)＝b 2－4×3×(b －5)＝(b －6)2＋24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．7. 【答案】D [解析] 将一元二次方程(x ＋1)(x －3)＝2x －5化简为x 2－4x ＋2＝0.其判别式Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴方程的两根为x ＝－（－4）±82，即x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.∵2＋2＞3，2－2＞0，∴该方程有两个正根，且有一根大于3.故选D.8. 【答案】C [解析] 设每件衬衫降价x 元，则每天可售出(20＋2x )件，根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1200，解得x 1＝10，x 2＝20.∵要扩大销售，减少库存，∴x ＝20.二、填空题9. 【答案】16 [解析]解方程x 2-10x +21=0，得x 1=3，x 2=7，因为已知两边长为3和6，所以第三边长x 的范围为:6-3<x<6+3，即3<x<9，所以三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16.10. 【答案】x 2＋x ＋1＝73 [解析] 设每个支干又长出x 个小分支，根据题意，得x 2＋x ＋1＝73.11. 【答案】212. 【答案】2－1 2＋113. 【答案】－3或4 [解析] 根据题意，得[(m ＋2)＋(m －3)]2－[(m ＋2)－(m －3)]2＝24. 整理，得(2m －1)2＝49，即2m －1＝±7，所以m 1＝－3，m 2＝4.14. 【答案】1 [解析] 设x ＋1＝t ，方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2＋bt ＋1＝0.由题意可知：t 1＝1，t 2＝2，∴t 1＋t 2＝3，∴x 3＋x 4＋2＝3，∴x 3＋x 4＝1.15. 【答案】(1)20(32－x)(2)1[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2.(2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．即小道的宽度为1 m.16. 【答案】32[解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，∴10x＋(x－1)＝32.三、解答题17. 【答案】解:±x2-2x-5=0，∵Δ=4+20=24>0，∴x=，∴x1=1+，x2=1-.(2)原方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，x2-x=17，x2-x+=17+，x-2=，x-=±，∴x1=，x2=.(3)由题意得x2+1=4x+1，∴x2-4x=0，∴x(x-4)=0，解得x1=0，x2=4，∴当x的值为0或4时，代数式x2+1，4x+1的值相等.18. 【答案】解：由题意可得1000×6＋2000×4＝1000×(1－m%)×6＋2000×(1＋2m%)×4(1－m%)，解得m1＝0(舍去)，m2＝12.5，即m的值是12.5.19. 【答案】解：由已知，得x2－2xy－8y2＝0.左边分解因式，得(x－4y)(x＋2y)＝0.∵xy ＞0，∴x ，y 同号，可见x ＋2y≠0.∴x －4y ＝0，即x ＝4y.∴原式＝5×4y －2y 4y ＋2y＝18y 6y ＝3.20. 【答案】解：(1)(180－2x ) x (180－2x )(2)设红星公司要制作的BC ＝x 米．由题意，得x (180－2x )＝4000， 整理，得x 2－90x ＋2000＝0，解得x 1＝40，x 2＝50.当x ＝40时，180－2x ＝100＞90，不符合题意，舍去；当x ＝50时，180－2x ＝80＜90，符合题意．答：BC 的长为50米．21. 【答案】解：设这三个连续的正奇数分别为2n －1，2n ＋1，2n ＋3(n 为正整数)． 根据题意，得(2n ＋3)(2n －1)－6(2n ＋1)＝3，解得n 1＝3，n 2＝－1(舍去)．当n ＝3时，2n －1＝5，2n ＋1＝7，2n ＋3＝9.即这三个奇数分别为5，7，9.22. 【答案】解：(1)x 3＋x 2－2x ＝0，x (x 2＋x －2)＝0，x (x ＋2)(x －1)＝0，∴x ＝0或x ＋2＝0或x －1＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2，x 3＝1.故答案为：－2，1. (2)2x ＋3＝x ，方程两边平方，得2x ＋3＝x 2，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.当x ＝－1时，2x ＋3＝1＝1≠－1，∴－1不是原方程的解．∴方程2x＋3＝x的解是x＝3.(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m.设AP＝x m，则PD＝(8－x)m.∵BP＋CP＝10 m，BP＝AB2＋AP2，CP＝PD2＋CD2，∴9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，∴（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20 9＋x2＋9＋x2，整理，得5 9＋x2＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4 m.。
中考数学易错题专题复习-一元二次方程组练习题及答案解析
∴ ．
（2）（y+2）2=12，
∴ 或 ，
∴
2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．
【答案】x1=1+ ，x2=1﹣
【解析】
试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.
试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ．
（1）解方程求两条线段的长。
（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。
（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。
【答案】（1）2和6；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是 和 ，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得 ，
即： 或 ，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：
∴此等腰三角形面积为 = ．
（3）设分为 及 两段
∴ ，
∴ ，
∴面积为 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
8．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．
【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．
2024年中考数学复习练习专题：一元二次方程含参考答案
2024年中考数学复习练习专题：一元二次方程一、选择题1．把x 2−5x =31配方，需在方程的两边都加上（）A．5B．25C．2.5D．2542．方程x 2−8x +16=0根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．若x =0是关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+2x +m 2−1=0的解，则m 的值为（）A．m =±1B．m =0C．m =1D．m =−14．一元二次方程3x 2−mx −3=0有一根是x =1，则另一根是（）A．x =1B．x =−1C．x =2D．x =45．关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1=0有两个实根，则实数k 的取值范围是（）A．k ≤1B．k <1C．k ≤1且k ≠0D．k <1且k ≠06．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有x 名同学，那么依题意可列出的方程是（）A．x(x −1)=30B．x(x +1)=30C．2x(x −1)=30D．12x(x −1)=307．若a 是方程3x 2−6x −2=10的一个解，则2a 2−4a −2031的值是（）A．2023B．－2023C．2022D．－20228．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题9．若关于x 的方程(m −1)⋅x 2+x +m 2−1=0，有一根为0，则m =．10．已知抛物线y =x 2+2x +k −1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是．11．若x 1、x 2是一元二次方程x 2+2x＝3的两根，则x 1•x 2的值是．12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加行。
中考数学专题练习 一元二次方程(含解析)
一元二次方程一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣+2=（x ）2．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是cm2．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ，q= ．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= ．9．当t 时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=012．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣114．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠015．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤016．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：x2﹣8x﹣4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为：﹣8 ，常数项为：﹣4 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．【解答】解：去括号得，x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1，移项得，x2﹣8x﹣4=0，所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0；二次项系数为1；一次项系数为﹣8；常数项为﹣4．故答案为x2﹣8x﹣4=0，1，﹣8，﹣4．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m =1 时为一元一次方程；当m ≠1 时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．可以确定m的取值．【解答】解：要使方程是一元一次方程，则m﹣1=0，∴m=1．要使方程是一元二次方程，则m﹣1≠0，∴m≠1．故答案分别是：m=1；m≠1．【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定m的取值．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= 2或﹣4 ．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】把原方程中的（a+b）代换成y，即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0，求得y的值即为a+b 的值．【解答】解：把原方程中的a+b换成y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，∴a+b=2或﹣4．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣2x +2=（x ﹣）2．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】（1）根据首项是x的平方及中间项3x，利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答．（2）根据首项与尾项分别是x与的平方，那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答．【解答】解：（1）∵首项是x的平方及中间项3x，∴3x=2×x×，x2+3x+=，∴应填，．（2）首项与尾项分别是x与的平方，∴2×x×即为中间项．∴x2﹣2x+2=，故应填：2，﹣．故答案为：，，2，﹣．【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是96 cm2．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设两直角边分别是3x、4x，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=400，解得：x=4，（负值舍去）则：3x=12cm，4x=16cm．故这个三角形的面积是×12×16=96cm2．【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ﹣1 ，q= ﹣6 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，分别求出p、q的值．【解答】解：由题意知，x1+x2=﹣p，即﹣2+3=﹣p，∴p=﹣1；又x1x2=q，即﹣2×3=q，∴q=﹣6．【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=解答．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是1或﹣．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得x的值．【解答】解：∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0，即（x﹣1）（3x+2）=0，解得x=1或﹣．【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= 0 ．【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．【解答】解：∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2（2x2+3x）﹣10=2×（12﹣7）﹣10=0．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．9．当t ≤时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，则△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，∴△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a== b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）方程是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）只含有一个未知数．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得4x2﹣1=1，移项得4x2=2，系数化为1得x2=；开方得x=±．故选C．【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值．【解答】解：把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0，又∵m≠0，方程两边同除以m，可得m+n=1；故本题选A．【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零．14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围．【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立．得到n=0；则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0则方程的根是0或﹣m，因为两根中只有一根等于0，则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．故选C．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．【解答】解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，故选：C．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；（2）运用公式法分解因式求解；（3）运用平分差公式分解因式求解；（4）运用公式法求解．【解答】解：（1）（x+4）2=5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1．（2）（x+1）2=4x，x2+2x+1﹣4x=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1．（3）（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，（4﹣x）（3x+2）=0，∴x1=4，x2=﹣．（4） 2x2﹣10x=3，2x2﹣10x﹣3=0，x=，x1=，x2=．【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0，∴m1=﹣4，m2=1．由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0恒成立即可证明．（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．（4）令x=0代入方程求解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣2ax+a=4，可化为：x2﹣2ax+a﹣4=0，∴△=4a2﹣4（a﹣4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a﹣4＞0，解得：a＞4．（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a﹣4＜0，解得：a ＜0．（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4，得：a=4．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．。
初三中考数学复习分式方程专项复习练习含答案与解析
x－ 3
3－ m
3－m
＝3－m，即 x＝ 3 ，原方程无解，即此时存在 x＝ 3 ＝3，m＝－ 6.
7. 解：方程两边同乘以 (x－1)，得 2＝1＋x－1，解得 x＝2，把 x＝2 代入原方 程检验： ∵左边＝右边， ∴x＝2 是分式方程的根 8. 解：方程两边同乘 x－2，1－3(x－2)＝－ (x－1)，即 1－3x＋6＝－ x＋1，则 －2x＝－ 6，得 x＝3.检验，当 x＝3 时， x－2 ≠，０所以原方程的解为 x＝3 【解析】分式方程同乘 (x－2)去分母转化为整式方程． 9. 解：去分母得 x＋1＝2x－14，解得 x＝15， 经检验 x＝15 是分式方程的解
y 900 (2)小明家与图书馆之间的路程最多是 y 米，根据题意可得 60≤180×2，解得 y≤ 60，0 则小明家与图书馆之间的路程最多是 600 米
【解析】 (1)根据等量关系：小明步行回家的时间＝骑车返回时间＋ 10 分钟，列 分式方程求解即可； (2)根据 (1)中计算的速度列出不等式解答即可．
【解析】 (1)设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.6x
万平方米．根据 “实际每年绿化面积是原计划的 1.6 倍，这样可提前 4 年完成任
务”列出方程； (2)设平均每年绿化面积增加 a 万平方米．则由 “完成新增绿化面
积不超过 2 年”列出不等式． 13. 解：设甲队每天筑路 5x 公里，乙队每天筑路 8x 公里，根据题意得
m
无解，求 m 的值．
x－5 10－2x
12. 某市为创建全国文明城市，开展 “美化绿化城市 ”活动，计划经过若干年使城 区绿化总面积新增 360 万平方米．自 2013 年初开始实施后，实际每年绿化面积 是原计划的 1.6 倍，这样可提前 4 年完成任务． (1)问实际每年绿化面积多少万平方米？ (2)为加大创城力度，市政府决定从 2016 年起加快绿化速度，要求不超过 2 年完 成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
备战中考数学专题《一元二次方程组》综合检测试卷含详细答案
备战中考数学专题《一元二次方程组》综合检测试卷含详细答案一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1，x2=12．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．3．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b2﹣4ac=9＞0∴73 2±∴x1=5，x2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.4．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121xx=--或3321xx=-．解得x=15或x=1．经检验：x=15或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=15或x=1．【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．7．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1＋2x 2＝－1－22）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴1=-∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.8．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.9．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.10．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．11．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．12．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；()2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x列出方程：（10＋x）（200－5x）＝2625，求出x，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】 （1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多， 设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=． 解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80% 400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
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2012年中考数学第一轮复习专题训练(五)
（一元二次方程及分式方程）
一、填空题：（每题3 分，共36 分）
１、当a ＿＿＿＿时，方程(a－1) x2＋x－2＝0 是一元二次方程。
２、方程2x (1＋x)＝3 的一般形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
３、当x＝＿＿＿＿时，分式x＋1
x＋2
的值等于
4
5。
４、方程2x2＝32 的解为＿＿＿＿。
５、方程
2
1－x2
－1＝
1
1＋x
的解为＿＿＿＿。
６、方程x2－5x－6＝0 可分解成＿＿＿＿与＿＿＿＿两个一元一次方程。
７、已知m 是方程x2－x－23＝0 的一个根，则m2－m＝＿＿＿＿。
８、2x2＋4x＋10＝2 (x＋＿＿＿)2＋＿＿＿＿。
９、以－2 和3 为根的一元二次方程为＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）。
10、如果方程x2－3x＋m＝0 的一根为1，那么方程的另一根为＿＿＿＿。
11、如果方程x＋1
x－2
－1＝
m
2－x
有增根，那么m＝＿＿＿＿。
12、长20m、宽15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的1
2
，若四周未铺
地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。
二、选择题：（每题4 分，共24 分）
１、下列方程中是一元二次方程的是（）
A、x＋3＝5
B、xy＝3
C、x2＋1
x
＝0D、2x2－1＝0
２、若关于x 的方程2x－a
x－1
＝1 无解，则a 的值等于（）
A、0
B、1
C、2
D、4 ３、方程2x (x－2)＝3 (x－2) 的根是（）
A、x＝3
2
B、x＝2
C、x1＝
3
2
，x2＝2D、x＝－
3
2
４、把方程x2＋3＝4x 配方得（）
A、(x－2)2＝7
B、(x－2)2＝1
C、(x＋2)2＝1
D、(x＋2)2＝2
５、某车间原计划x 天内生产零件50 个，由于采用新技术，每天多生产零件5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（）
A、
50
x－3
＝
50
x
－5B、
50
x
＝
50
x－3
－5C、
50
x－3
＝
50
x
－5D、
50
x
＝
50
x－3
－5
６、把一个小球以20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度h (m) 与时间t (s) 满足关系：h ＝20t－5t2，当h＝20 时，小球的运动时间为（）
A、20s
B、2s
C、(22＋2) s
D、(22－2) s
三、解下列方程：（每题6 分，共36 分）
１、x (x＋5)＝24２、2x2＝(2＋3) x
３、x2－4x＝5４、4 (x－1)2＝(x＋1)2
５、5x ＝7x －2 ６、x ＋1x －1－1＝4x 2－1
四、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、解关于 x 的方程ax －a b
＝1＋x （a ≠b ）
２、方程 x 2＋3x ＋m ＝0 的一个根是另一根的 2 倍，求 m 的值。
３、电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都具有电阻。
如图所示，当两
个电阻 R 1、R 2 并联时，总电阻满足1R ＝1R 1＋1R 2，若R 1＝4，R 2＝6，求总电阻R 。
４、电力局的维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需的材料出发，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度。
五、（10分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点Ｐ从A 开始沿AB 边向点B
以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，求经过几秒时，
①△PBQ 的面积等于 8 平方厘米？ ②五边形APQCD 的面积最小？最小值是多少？
R 1 R 2 R D C Q B A P
六、（12分）小明的爸爸下岗后一直谋职业，做起了经营水果的生意，一天他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.80元零售，结果，乙种水果很快售完，
甲种水果售出4
5
时，出现滞销，他又按原零售价的5折售完剩余的水果。
请你帮小明的爸爸算一算这
一天卖水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
答案：
（五）
一、1、≠12、2x2＋2x－3＝03、34、x＝±45、x＝06、x－6＝0x＋1＝0
7、x2－x－23＝08、189、x2－x－6＝010、x＝211、－312、2.5
二、1、D2、C3、C4、B5、B6、B
三、1、x1＝3，x2＝－82、x1＝0，x2＝2＋3
23、x1＝5，x2＝－14、x1＝3，x2＝
1
3
5、x＝－5
6、x＝1，增根∴原方程无解
四、1、ax－a＝b＋bx ax－bx＝a＋b(a－b) x＝a＋b∵a≠b∴x＝a＋b a－b
2、设两根为k、2k，则k2＋3k＋m＝0…①
4k2＋6k＋m＝0…②
解得k1＝0，k2＝－1当k1＝0时，m＝0
当k2＝－1时，m＝2∴m＝0或＝2
3、解：1
R
＝
1
4
＋
1
6
＝
3
12
＋
2
12
＝
5
12
∴R＝
12
5
4、解：设摩托车的速度为x 千米/时30
x
＝
30
1.5x
＋
15
60
x＝40检验：1.5x＝60
五、①2秒或 4 秒② 3 秒时，面积最小，最小值为63cm2
六、设甲种水果批发价为x 元/千克，则乙种水果的批发价为(x＋0.5)元/千克由题意，
得100
x
＋10＝
150
x＋0.5
x2－4.5x＋5＝0 ∴x1＝2.5 x2＝2 经检验：都是原方程的根
但x＝2.5时，乙种水果的批发价2.5＋0.5＝3元，高于零售价，不含题意舍去∴x＝2
∴甲：2.8×100
x
×(
4
5
＋
1
5
×
1
2
)－100＝2.8×45－100＝26乙：150
x＋0.5
×2.8－150＝18
26＋18＝44(元)。