无锡市崇安区2012～2013学年第一学期期中试卷 初三数学
2013届九年级上册数学期中考试卷(附答案)
2013届九年级上册数学期中考试卷（附答案）无锡市天一实验学校2012-2013学年度第一学期初三数学期中试卷2012.11一、选择题(本大题共l0小题．每小题3分．共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案填在答题卡上相应位置)1．－5的相反数是（）A．－5B．5C．－D．2．下列计算正确的是().A.B.C.D.3．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是() 5．从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．若∠APB＝60°，PA＝8，则弦AB的长是()A．2B．4C．8D．166．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥的高为（）A．53cmB．52cmC．5cmD．7.5cm7．如图，在Rt△ABC中，已知=90°，AM是BC边上的中线，则的值为（）A．B．C．D．8．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．小翔在如图所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图所示，则这个个定位置可能是左图中的（）A．点MB．点NC．点PD．点Q10．记=，令，称为，，……，这列数的“理想数”。
已知，，……，的“理想数”为2004，那么2，，，……，的“理想数”为（）A.2002B.2004C.2006D.2012二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共l6分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处)11．分解因式：．12．函数的自变量的取值范围是_____________.13．无锡是国家微电子产业基地，经过20余年的发展已积累了雄厚的产业基础。
江苏省无锡 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。
无锡市崇安区九级上册期中数学试题目
（第7题）（第9题）（第10题）无锡市崇安区 2011～2012学年第一学期期中试卷九 年 级 数 学（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．1－x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是………………………… （ ）A . x ≤ 1B . x ＜1C . x ＞1D . x ≤ －12．下列根式中，与18是同类二次根式的是…………………………………… （ ）A . 8B . 6C . 13 D . 273．下列方程中，一定是一元二次方程的是……………………………………… （ ）A ．x 2＋1x 2 ＝0 B ．ax 2＋bx ＝0 C ．(x ＋1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝04．下列运算正确的是…………………………………………………………… （ ）A ．23＋42＝6 5B ．8＝4 2C ．27÷3＝3D ．(－3)2＝－35．用配方法解方程x 2―2x ―5＝0时，原方程应变形为………………………… （ ）A ．(x ＋1)2＝6B ．(x ＋2)2＝9C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝96．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有……（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于………… （ ）A ． 60°B ． 50°C ． 40°D ．30°8．已知⊙O 的半径为R ，P 为⊙O 所在平面内某直线l 上一点，若OP ＝R ，则直线l 与⊙O 的公共点个数可能为…………………………………………………………… （ ） A ．0B ．1C ．2D ．1或29．如图⊙O 内有折线OABC ，且OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60º，则BC 长为（ ） A ．19 B ．16 C ．18 D ．2010．如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB 、BC 都相切，点E 、F分别在边AD 、DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2，则正方形ABCD 的边长是………………………（ ） A ．3B ．4C ．2＋ 2D ．2 2（第16题）（第19题）（第20题）A BDCOE二．填空题：（本大题共10小题，每空2分，共22分.）11.3的倒数是.12.在实数范围内分解因式：2a2―4＝．13.关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－l＝0的一个根是0，则a的值为.14.已知关于x的一元二次方程x2－m＝2x有两个不相等实数根，则m取值范围是. 15．若一元二次方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两个实数根分别是3，b，则a＋b＝. 16．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为. 17．已知半径为3的⊙O中，弦AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数. 18．两圆内切，圆心距为2，其中一个圆的半径为5，则另一个圆的半径为.19．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE ∽△ADO；④2CD2＝CE·AB．其中正确结论的序号是．20．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上. ①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是____________；②若半圆的直径AB＝21，ΔABC的内切圆半径r＝4，则正方形DEFG的面积为.三．解答题：（本大题共8小题，共78分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．（16分）计算：①123÷213×125②218－12－(18＋2－213)③ (6x4－2x1x)÷x3④(3－π)2＋(－52＋35)(―52―35)22．（16分）解方程：①3x2＝12x ②2x2－5x＋1＝0③ (x－1)2＋4(x－1)＋4＝0 ④x2－(2a＋1)x＋2a＝0（a为常数）23.（6分）已知x1＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，求m的值及方程的另一个根x2.24.（6分）如图，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长.25.（7分）如图，半圆的直径AB ＝10，点C 在半圆上，BC ＝6． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE ⊥AB 交AC 于点E ，求PE 的长．26.（7分）如图，点A ，B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，连结AB 交OC 于点D . ， （1）求证：AC ＝CD ；（2）若AC ＝2，OD ＝1，求OB 的长度.PBCEAACBOD27．（10分）如图1,直线y ＝－34 x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C (m ，n )是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F . （1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；（2）如图2，若⊙C 与 y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；（4）在⊙C 的移动过程中，能否使△OEF 是等边三角形？若能，请直接写出圆心C 的 坐标；若不能，简要说明理由.28．（10分）如图，已知AB ⊥MN ，垂足为点B ，P 是射线BN 上的一个动点，AC ⊥AP ，∠ACP =∠BAP ，AB =4，BP =x ，CP =y ，点C 到MN 的距离为线段CD 的长． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（2）在点P 的运动过程中，点C 到MN 的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．（3）如果圆C 与直线MN 相切，且与以BP 为半径的圆P 也相切，求BP ∶PD 的值．ABPDCNMABP DCNM备用图初三数学期中考试参考答案与评分标准 2011.11一、选择题（每题3分）A A C C C B B D D C 二、填空题（每空2分）11.3312. 2(a ＋2)(a －2) 13. －1 14. m ＞－1 15. 5 16. 5 17. 60º或120º 18. 3或7 19. ①④ 20. 2:5，100 三、解答题21. ① 原式＝53×37×75＝1 ② 原式＝22－22－32－2＋233＝－42＋233③ 原式＝(3x －2x )· 3x＝3 ④ 原式＝π－3＋50－45＝π＋222. ① x 1＝0，x 2＝4 ② x 1,2＝5±174 ③ x 1＝x 2＝－1④ x 1＝1，x 2＝2a ………………………………（21、22每小题4分，分步酌情给分） 23. m ＝－4，x 2＝5 …………………………………………………………（每个结果3分）24. 设BC ＝x ，则AB ＝32－x2…………………………………………………………（1分）根据题意，32－x2·x ＝120…………………………………………………………（2分）整理得，x 2－32x ＋240＝0，解得x 1＝20，x 2＝12………………………………（1分） 而x ≤16，故x ＝12…………………………………………………………………（1分） 答：该矩形草坪BC 边的长为12米. …………………………………………… （1分） 25.（1）∵AB 是半圆的直径 ∴∠C ＝90º ………………………………………… （1分） 在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AB ＝10，BC ＝6 ∴AC ＝8 ……………… （2分） （2）∵PE ⊥AB ∠APE ＝∠C ＝90º ………………………………………… （1分） 又∵∠A ＝∠A ∴△APE ∽△ACB ………………………………………… （1分）∴PE CB ＝AP AC ∴PE ＝AP ·BC AC ＝5×68 ＝154……………………………… （2分）26.（1）连结OA∵直线AC 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥AC …………（1分） ∴∠1＋∠2＝90º又∵OC ⊥OB ，∴∠3＋∠B ＝90º ……………（1分） 而⊙O 中，OA ＝OB ，∴∠2＝∠B∴∠1＝∠3＝∠4 ∴AC ＝CD ………………（1分） （2）∵OD ＝1，CD ＝AC ＝2 …………………… （1分）ACB OD12 3 4∴OC ＝OD ＋CD ＝1＋2＝3 …………………（1分） 在Rt △AOC 中，AC ＝2，OC ＝3 ∴OA ＝5………（1分） ∴OB ＝OA ＝ 5 .………………………………………（1分）27.（1）由题意，A (4，0)，B (0，3)，则OA ＝4，OB ＝3，AB ＝5. …………………（1分） 连结CB 、CE 、CF ，由直线AB 与⊙C 相切于点F ，知CF ⊥AB . 且CF ＝CE ＝OB ＝3，则Rt △CBF ≌Rt △BAO ，BC ＝AB ＝5从而点C 的坐标为(－5，3). ………………………………………………… （1分） （2）由切线长定理可知，AF ＝AE ，OD ＝OE ，BD ＝BF且正方形ODCE 的边长即为⊙C 的半径r ………………………………… （1分） 4＋r ＝5＋3－r ，即可解得r ＝2………………………………………………… （1分） （3）如图①，延长EC 交AB 于点G ，可证△AOB ∽△AEG ∽△CFG易知CE ＝CF ＝n ，在Rt △CFG 中，CG ＝54 n ，则EG ＝94n ………………（1分）而GE AE ＝34 ，有94n 4－m＝34 ，………………………………………………… （2分）（1分）（4）△OEF 不可能是等边三角形. ……………………………………………………（1分） 若△OEF 是等边三角形，则∠AEF ＝60º，另AE ＝AF ，得等边△AEF于是∠EAF ＝60º，显然与题意不符.故△OEF 不可能是等边三角形…………（1分） 28.（1）先证△CAP ∽△ABP …………………………………………………………（1分）有AP CP ＝BPAP，即AP 2＝BP ·CP ，则42＋x 2＝xy ………………………………（1分）整理可得，y ＝x ＋16x （x ＞0） ………………………………………………（1分）（2）点C 到MN 的距离不会发生变化. ……………………………………………（1分） 延长CA ，与直线BD 交于点M ，证得等腰△PCM ……………………………（1分） 于是点A 是MC 的中点，且AB 为△MCD 的中位线可知CD ＝2AB ＝8，即点C 到MN 的距离是8. ………………………………（1分） 此外，也可作CE ⊥AB 于E ，AF ⊥CP 于F ，证出AE ＝AF ＝AB ，于是CD ＝2AB ＝8.（3）由题意，⊙C 的半径为8，⊙P 的半径为x ，且圆心距CP ＝y ＝x ＋16x.……（1分）若两圆外切，则x ＋16x ＝8＋x ，解得x ＝2， ………………………………（1分）此时y ＝10，PD ＝6，则BP ∶PD ＝2∶6＝1∶3 ……………………………（1分）若两圆内切，则x ＋16x＝||8－x ，无实数解 …………………………………（1分）综上所述，BP ∶PD 的值为1∶3.AB P D CN M AB P D CNM E F。
江苏省无锡市2013届九年级数学上学期期中考试试题 苏教版
某某省某某市2013届九年级数学上学期期中考试试题 苏教版注意事项：1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟． 2．卷中各题均应给出精确结果．3．所有的试题都必须在答题纸上作答，在试卷或草稿纸上答题无效．一、选择题（本大题共有9小题，每小题3分，共27分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题．．卷．相应位置．．．．上） 1．下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）A ．12B ．23C ．32 D ．18 2．下列方程中，两个实数根的和为4的是 （ ） A ．x 2－4x －1= 0B ．x 2+4x －1= 0C ．x 2－8x+4= 0D ．x 2－4x+5= 03．已知相交两圆的半径分别为方程028112=+-x x 的两个根，则它们的圆心距可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．11 4．下列命题中，错．误．的个数是 （ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②经过半径外端的直线是圆的切线；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等；⑥三角形内心到三角形的三个顶点的距离相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）A ．94π- B ．984π- C ．948π- D ．988π-6．若关于x 的方程023)1(2=++-x x k 有两个不等的实数根，则k 的取值X 围为 ( )A.817≤k B.1k 817≠≤且k C ．1k 817≠<且k D. 817<k7．学校组织一次乒乓球赛, 要求每两队之间都要赛一场. 若共赛了15场，则有几个球队参赛?设有x 个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）A ．x (x ＋1)＝15B ．12x (x ＋1)＝15C ．x (x －1)＝15D ．12x (x －1)＝158．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值是（ ） A. 5 B.－3 C.5或－3 D. －5或39．如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 切线交OE 的延长线于点F ，连结CF 并延长交BA 的延长线于点P ，则下列说法中正确的个数有（ ）①EO EF AE ⋅=2；②PC 是⊙O 的切线；③∠F AC=∠FCA ；④AF PC AO PA ⋅=⋅． A ．4个 B.3个 C. 2个 D. 1个二、填空题（本大题共有12小题，共16空，每空2分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卷．相应位置．．．．上） 10．若代数式21-+x x 有意义，则x 的取值X 围是_______________．11．直接写出下列方程的解：①(x －2)2－1=0；②(x ＋8)(x ＋1)=－12．12.化简（1）1832=；（2）b a 327（b<0）=．13. 在实数X 围内分解因式：5424--a a =.14. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简21a a -+=. 15．最简二次根式1232-+x x 与3+x 是同类二次根式，则x=_________.16．若关于x 的一元二次方程()09322=-++-a x x a 一根为0，则a =. 17．用换元法解方程021033122=-+-+x x x x 时，若设t x x =-1，则方程可化为.18．如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、F 、E ，若AF 、BE 的长度是方程024102=+-x x 的两个根，则△ABC 的面积是．19．如图，在梯形ABC D 中，AB ∥CD ，∠BAD =90°，AD=12，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切.（1）若梯形ABCD 的中位线为6.5，则AB=；（2）若∠ BCD =60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，则⊙O 1的面积为．（2）若一只小虫从纸杯底面的点C 出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点A ，则 小虫爬行的最短路程为cm ．（精确到1cm ）三、解答题（本大题共有8小题，共71分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 22．计算：（1）32)2145051183(÷-+ （2）8)63(3121+-+-23．解方程：(1)01322=--x x （配方法） (2) )14(3)12(422-=+x x24．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(k －3)x －3k ＝0 （1）求证：无论k 取值，方程一定有两个实数根；（2）若直角△ABC 三边长分别为2、a 、b ，且a ，b 恰好是这个方程的两个根，试求k 的值．25．先阅读，再化简求值：⑴ 在化简625-的过程中。
江苏省无锡市崇安区九年级数学上学期期中试题 苏科版-苏科版初中九年级全册数学试题
A BC PO ·某某省某某市崇安区2016届九年级数学上学期期中试题（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．如果关于x 的方程(m ＋2)x ||m ＋3mx ＋1＝0是一元二次方程，则m 的值是… （ ） A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．m ≠－22．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为………………………………… （ ） A ．(x ＋4)2＝17 B ．(x ＋4)2＝15 C ．(x －4)2＝17 D ．(x －4)2＝15 3．某厂1月份生产原料a 吨，以后每个月比前一个月增产x %，3月份生产原料的吨数是（ ） A ．a ＋a ·x %B ．a ＋a ·(x %)2C ．a (1＋x )2D ．a (1＋x %)24．若关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值X 围是………………（ ） A ．m ＜1B ．m ＞1 C ．m ≤1 D ．m ≥15．⊙O 的直径为9，圆心O 到直线l 的距离为6，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定6．下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ） A ．等弧所对的圆心角相等 B ．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C ．经过三点可以作一个圆 D ．相等的圆心角所对的弧相等7．如图，⊙O 的直径AB ＝12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB 于P ，且 BP : AP ＝1 : 5，则CD 的长为…………………………………………………………………………（ ）A ．4 2B ．8 2C ．2 5D ．4 58．如图，半径为5的⊙A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧⊙A 的优弧上一点，∠OBC ＝30º，则点C 的坐标为 …………………………………………………（ ） A ．（0，5）B ．（0，53）C ．（0，523）D ．（0，533）9．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋43与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30º，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是………………（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．1210．如图，半径为3的⊙P 在第一象限，动点A 沿着⊙P 运动一周，在点A 运动的同时，作点A 关于原点O 的对称点B ，再以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第二象限，点C 随点A 运动所形成的图形的面积为………………………………………………（ ）A ．4336B ．27πC ．3 3D ．337π二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.） 11．方程x 2＝x 的解是.12．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0的一个根是0，则m 的值为. 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD : DB ＝1 : 2，DE ＝2，则BC 的长是．14．如图，点E 在⊙O 的内接四边形ABCD 的DC 边延长线上．若∠A ＝50°，则∠BCE ＝．15. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点为C ， 若∠A ＝25º，则∠D ＝.16. 已知P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB ＝50°，C 为⊙O 上一点（不与点A 、B 重合），则∠ACB 的度数为．17．李老师自制圆锥教具，已经用一个圆心角为90º、半径为4分米的扇形围成了圆锥的侧面，还需用一个半径为分米的圆来做这个圆锥的底面圆．18．已知△ABC 的面积为100，它的内切圆半径为5，则△ABC 的周长为.（第19题图）C（第13题图）BDEA ABDCO·（第15题图） （第14题图）19．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB ＝5，AD ＝4，则AE 的长为．20．如图，在△ABD 中，AB ＝6cm ，AD ＝BD ＝5cm ，点P 以每秒1cm 的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠CPD ＝∠A ． 设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，DC 为半径的圆 与AB 相切时，则t 的值是．三．解答题（本大题共8小题，共80文字说明或演算步骤） 21．解方程（每小题4分，共16分）（1）(x ―2)2－9＝0 （2）x 2－2x －8＝0（3）2x 2＋3x ―1＝0 （4）(x －3)2＋2x (x －3)＝022. （8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1、x 2，并且 满足x 12＋x 22＝1，求m 的值.23. （8分） 如图，四边形ABCD 为菱形，M 为BC 上一点，连接AM ，交对角线BD 于点G ，并且∠ABM ＝2∠BAM ． （1）求证：AG ＝BG ；（2）若点M 为BC 的中点，同时S △BMG ＝1，求△ADG 的面积．PDACB（第20题图）24.（8分）如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA＝60º，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120º得到菱形ODEF.（1）直接写出点F的坐标；（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积.25．（8分）水果店X阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤. 通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤. 为保证每天至少售出260斤，X阿姨决定降价销售.（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，X阿姨需将每斤的售价降低多少元？26．（10分）已知，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC ＝∠B ，以DE 为直径的半圆交AD 于点F ，交AE 于点M ． （1）判断AF 与DF 的数量关系，并说明理由； （2）只用无刻度的直尺．．．．．．．．画出△ADE 的边DE 上的高（3）若EF ＝4，DF ＝3，求DH 的长．27．（12分）问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有CD CP ＝CP CB ＝12，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ， ∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋12BP 的最小值为．DBCEAC BPD （图3）PB DOCA（图2）（图1）A C BP自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP ＋BP 的最小值为．拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是⌒CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值.28．（10分）（1）阅读下列材料，求函数y ＝3x 2＋2x x 2＋x ＋0.25的最大值.解：将原函数转化成关于x 的方程，得(y －3)x 2＋(y －2)x ＋14y ＝0.当y ＝3时，为一元一次方程x ＋34＝0，得x ＝－34；当y ≠3时，为一元二次方程，∵x 为实数，∴△＝(y －2)2－4(y －3)×14y ＝－y ＋4≥0，∴y ≤4且y ≠3.综上所述，y 的取值X 围是y ≤4，即y 的最大值为4. 根据材料给你的启示，求函数 y ＝3x 2＋x ＋2x 2＋2x ＋1的最小值.（2）如图所示，酒店大堂一吊灯的下圆环直径为22米，通过拉链悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB ）为2米. 在圆环上设置三个等分点A 1、A 2、A 3，点C 为OB 上一点（不与端点O 、B 重合），同时点C 与点A 1、A 2、A 3和点B 均用拉链相连结，且CA 1、CA 2、CA 3的长度相等. 要使拉链的总长最短，BC 应为多长？参考答案与评分标准一、选择题（每题3分）B C D B C A D A A B 二、填空题（每空2分）11. x 1＝0，x 2＝112. －113. 614. 50º15. 40º 16. 65º或115º17. 118. 4019.7420. 1或5三、解答题21. ①x 1＝5，x 2＝－1②x 1＝4， x 2＝－2 ③x 1,2＝－3±174④x 1＝3，x 2＝1………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分） 22. ∵原方程有实数根，∴△＝(2m －1)2－4m 2≥0……………………………………（2分） 解得m ≤14，故m 的取值X 围是m ≤14……………………………………………（3分）又∵方程两实数根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－(2m －1)，x 1x 2＝m 2……………（5分） 由x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2m 2－4m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝2…………（7分） 考虑到m ≤14，故实数m 的值为0…………………………………………………（8分）23. （1）在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，AD ∥BC ………………………………………（1分） ∴∠ABD ＝∠ADB ＝∠DBC ，…………………………………………………（2分）B COA 1A 2A 3∴∠ABM ＝2∠ABD ＝2∠BAM ，即∠ABD ＝∠BAM ………………………（3分） ∴AG ＝BG ………………………………………………………………………（4分） （2）∵AD ∥BC ，∴△ADG ∽△BMG ………………………………………………（5分） ∴S △ADG : S △BMG ＝(AD : BM )2…………………………………………………（6分） 又∵M 为BC 的中点，BM ＝12BC ＝12AD ……………………………………（7分）∴S △ADG ＝4S △BMG ＝4…………………………………………………………（8分）24.（1）F （－2，0）……………………………………………………………………（3分） （2）OB ＝23…………………………………………………………………………（5分） S 阴影＝13π(23)2－32×22＝4π－23，……………………………………（8分）25. （1）（100＋200x ）…………………………………………………………………（2分） （2）根据题意，得(2－x )(100＋200x )＝300，…………………………………（4分） 解得，x 1＝1，x 2＝12…………………………………………………………（6分）考虑到要保证每天至少售出260斤，即100＋200x ≥260，x ≥0.8，∴x ＝1…（7分） 答：X 阿姨需将每斤水果降价1元来销售………………………………………（8分） 26.（1）判断AF ＝DF ……………………………………………………………………（1分） 说理，略…………………………………………………………………………（4分） （2）连结DM ，与EF 的交点为G ，再连结AG 并延长，与BE 的交点即为H （6分） （3）DH ＝185………………………………………………………………………（10分）27.（1）37………………………………………………………………………………（2分） （2）2337……………………………………………………………………………（6分）（3）延长OA 到点E ，使CE ＝6，连接PE ………………………………………（8分） 证得△OAP ∽△OPE ，得EP ＝2PA ，………………………………………（10分） ∴2PA ＋PB ＝EP ＋PB ，当E 、P 、B 三点共线时，能取到最小值13……（12分）28.（1）将原函数转化成关于x 的方程，得(y －3)x 2＋(2y －1)x ＋y －2＝0 …………（1分） 当y ＝3时，为一元一次方程5x ＋1＝0，得x ＝－15；………………………（2分）当y ≠3时，为一元二次方程，∵x 为实数，∴△＝(2y －1)2－4(y －3)( y －2) ＝16y －23≥0，∴y ≥2316且y ≠3……………（3分）综上所述，y 的取值X 围是y ≥2316，即y 的最小值为2316………………………（4分）（2）设BC ＝x ，则OC ＝2－x …………………………………………………………（5分） 在Rt △CA 1O 中，CA 1＝(2－x )2＋2……………………………………………（6分） 设拉链的总长为y ，则y ＝3(2－x )2＋2＋x ……………………………………（7分） 将其转化成关于x 的方程：8x 2＋(2y ―36)x ―y 2＋54＝0………………………（8分） 令△≥0，得(y －6)(y ＋2)≥0，于是y ≥6或y ≤－2（不合）………………（9分） 当y ＝6时，8x 2―24x ＋18＝0，得x 1＝x 2………………………………（10分） 答：当BC 长为1.5米时，拉链的总长最短，是6米.。
2012～2013学年无锡市东林中学九年级第一学期期中试卷数学试题
A．k＞－1B．k＞－1且k≠0 C．k＜－1D．k＜1且k≠0
7．如图，AB是⊙O地直径，点C在⊙O上，若∠A＝40º，则∠B地度数为………（）A．80º B．60º C．50º D．40º
8．形如半圆型地量角器直径为4cm，放在如图所示地平面 直角坐标系中（量角器地中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线地外端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A地坐标为…………………………………………（）
（2）解得m＝2. ………………………………………………………………………（4分）
求出另一个根为3………………………………………………………………（5分）
以1、3为边长地直角三角形地第三边为2 或 …………………………（6分）
从而周长为4＋2 或4＋ .…………………………………………………（7分）
∴AC是⊙O地切线……………………………………………………………（4分）[来源:Z§xx§]
（2）∵∠ADO＝∠C＝90º，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC……………………（5分）
∴ ＝ ……………………………………………………………………（6分）
∴ ＝ ，解得r＝ ……………………………………………………（8分）
（2）当DE＝8时，求线段EF地长；
（3）在点C运动过程中，是否存在以点 E、O、F为顶点地三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E地坐标；若不存在，请说明理由．
初三数学期中考试参考答案与评分标准2012.11
一、选择题（每题3分）C B D A D B C A B D
二、填空题（每空2分）
11. 2－ 12. b(a＋ )(a－ ) 13. 8 14. 2 15.－1
江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷
江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程①7x2﹣8x=1 ②2x2﹣5xy+6y2=0 ③5x2﹣﹣1=0 ④=3y中是一元二次方程的为（）A．①②B．①③C．①④D．①②③2．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程中两根之和等于1的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x=﹣1 C．x2﹣x﹣100=0 D．3．（3分）（2015秋•无锡期中）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），则点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．无法确定4．（3分）（2010•芜湖）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠55．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，△ABC中，DE∥BC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是（）A．AD：DE=2：3 B．AD：BD=2：3 C．AD：AE=2：3 D．AD：AB=2：3 6．（3分）（2011•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7．（3分）（2015秋•无锡期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（）A．6 B．2 C．2或3 D．4或68．（3分）（2016•湘潭一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．9．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定10．（3分）（2012•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是______．12．（2分）（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=______．13．（2分）（2014•泰州一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______．14．（2分）（2011秋•香河县期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值等于______．15．（2分）（2015秋•宜兴市校级期末）若a，b是方程x2+x﹣2015=0的两实数根，则a2+2a+b=______．16．（2分）（2011•津南区一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为______cm．17．（2分）（2015•永春县校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是______cm．18．（2分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为______．三、精心做一做（本大题共9小题，满分84分）19．（16分）（2015秋•无锡期中）用适当的方法解下列方程（1）4x2﹣1=0（2）x2﹣4x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x2﹣2x﹣3=0．20．（8分）（2015秋•揭阳校级期末）已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．21．（8分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．22．（8分）（2015秋•无锡期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3．（1）求⊙O的半径；（2）若点P是AB上的一动点，试求线段OP的取值范围．23．（8分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．24．（8分）（2015秋•无锡期中）万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出．（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？25．（8分）（2014•防城港）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．26．（10分）（2002•陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1______S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画______个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27．（10分）（2015•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程①7x2﹣8x=1 ②2x2﹣5xy+6y2=0 ③5x2﹣﹣1=0 ④=3y中是一元二次方程的为（）A．①②B．①③C．①④D．①②③【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①7x2﹣8x=1是一元二次方程，②2x2﹣5xy+6y2=0 是二元二次方程，③5x2﹣﹣1=0是分式方程，④=3y是一元二次方程，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程中两根之和等于1的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x=﹣1 C．x2﹣x﹣100=0 D．【分析】根据根的判别式对A、B、D进行判断；根据根与系数的关系对C进行判断．【解答】解：A、△=12﹣4×1＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、x2﹣x+1=0，△=（﹣1）2﹣4×1＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、x1+x2=1，所以C选项正确；D、△=12﹣4×＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．3．（3分）（2015秋•无锡期中）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），则点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．无法确定【分析】由已知条件可知圆的半径为4，再根据勾股定理可求出OB的长，和圆的半径4比较大小即可判断点B和⊙O的位置关系．【解答】解：∵以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），∴圆的半径r=4，∵点B（﹣2，3），∴OB==＜4，∴点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是在圆内，故选A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．4．（3分）（2010•芜湖）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，△ABC中，DE∥BC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是（）A．AD：DE=2：3 B．AD：BD=2：3 C．AD：AE=2：3 D．AD：AB=2：3 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴AD：AB=2：3，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解题的关键．6．（3分）（2011•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三对相似三角形．故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．7．（3分）（2015秋•无锡期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（）A．6 B．2 C．2或3 D．4或6【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离﹣最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点M在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离MB=1，最大距离MA=5，∴直径AB=1+5=6，∴半径r=3；②当点M在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离MB=1，最大距离MA=5，∴直径AB=5﹣1=4，∴半径r=2．故选C．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．8．（3分）（2016•湘潭一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．9．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定【分析】连接OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解．【解答】解：∵直角△PAB中，AB2=PA2+PB2，又∵矩形PAOB中，OP=AB，∴PA2+PB2=AB2=OP2．故选C．【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键．10．（3分）（2012•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D 分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．【分析】首先延长DC与A′D′交于点M，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案．【解答】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，∵AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M=30°，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tanM=tan30°==，∴x=y，∴==．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．（2分）（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．13．（2分）（2014•泰州一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．14．（2分）（2011秋•香河县期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值等于4．【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2=k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2=k∴（k+1）（k﹣3）=5∴k2﹣2k﹣3=5，即k2﹣2k﹣8=0∴k=4，或k=﹣2又∵x2+y2的值一定是非负数∴x2+y2的值是4．故答案为：4．【点评】此题注意把x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．15．（2分）（2015秋•宜兴市校级期末）若a，b是方程x2+x﹣2015=0的两实数根，则a2+2a+b= 2014．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=2015+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2015+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2015+（﹣1）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．16．（2分）（2011•津南区一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为cm．【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4，∴R=4cm，故答案为：4【点评】本题考查了勾股定理的运用和正方形的性质，解题的关键是正确的做出辅助线构造直角三角形．17．（2分）（2015•永春县校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．【分析】本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知．【解答】解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，∵∠AOD=90°，AO=OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°，∵∠ODC+∠DOC=90°，∴∠DOC=∠BAO，∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD，∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得AD=2cm，∴AO=OD=2cm，S△AOD=AO•DO=AD•OF，∴OF=cm．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解．18．（2分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴=，即：，所以可得：PM=．【点评】本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结．三、精心做一做（本大题共9小题，满分84分）19．（16分）（2015秋•无锡期中）用适当的方法解下列方程（1）4x2﹣1=0（2）x2﹣4x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x2﹣2x﹣3=0．【分析】（1）通过移项，化二次项系数为1，利用直接开平方法解方程；（2）解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；（3）方程移项分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（4）等式的左边利用“十字相乘法”进行因式分解．【解答】解：（1）由原方程，得4x2=1，x2=，解得x1=，x2=﹣；（2）方程变形得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，则x1=2+，x2=2﹣．（3）移项得：5（x+2）﹣4x（x+2）=0，分解因式得：（5﹣4x）（x+2）=0，可得5﹣4x=0或x+2=0，解得：x1=，x2=﹣2．（4）x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，则x﹣3=0或x+1=0，解得x1=3，x2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．（8分）（2015秋•揭阳校级期末）已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为x2．∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，解得m=﹣4；又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，解得x2=5．即方程的另一根是5．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．21．（8分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．22．（8分）（2015秋•无锡期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3．（1）求⊙O的半径；（2）若点P是AB上的一动点，试求线段OP的取值范围．【分析】（1）作OC⊥AB于点C，构造直角三角形，利用勾股定理求得半径即可；（2）最长等于半径，最小等于弦心距．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，∵圆心O到AB的距离为3，∴OC=3，∵弦AB的长为8，∴AC=BC=4，∴OA==5，∴⊙O的半径为5；（2）∵点P是AB上的一动点，∴3≤PO≤5．【点评】本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握．23．（8分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．24．（8分）（2015秋•无锡期中）万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出．（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？【分析】（1）第二周的销售量=400+100x．利润=售价﹣成本价；（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．【解答】解：（1）第二周的销售量为：400+100x=400+100x=400+100×2=600．总利润为：200×（10﹣6）+（8﹣6）×600+200（4﹣6）=1600．答：当单价降低2元时，第二周的销售量为600和售完这批面具的总利润1600；（2）由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1000﹣200）﹣（400+100x）]=1300，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3；x2=﹣1（舍去），∴10﹣3=7（元）．答：第二周的销售价格为7元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．25．（8分）（2014•防城港）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM 和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．26．（10分）（2002•陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【分析】（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0∴L1﹣L2＞0，∴L1＞L2，同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．【点评】注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法．27．（10分）（2015•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出结论；（2）连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，进而得出结论；（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3两种情况进行分类讨论．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC===12．∵==，==，∴=．∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；（2）解：连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2，∴CP=3x=6．（3）解：当点E在AB上时，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PGB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PGB，∴PB=PG=5x，∴3x+5x=9，解得x=．①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤；②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴==．∵PG=PB=9﹣3x，∴==，∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]=x+，此时，＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；T=16时，即x+=16，解得x=．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤．【点评】本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．。
江苏省无锡市崇安区2013届九年级上学期期末考试数学试题 2
（第7题图）题图）无锡市☆☆中学2012—2013学年第一学期期末考试初三数学（考试时间：120分钟 满分：130分）一、选择题：（本大题有10小题，每题3分，共30分.）1. tan30º的值是 ………………………………………………………………………（ ）A ．12B ．32C ．33 D ． 3 2．下列等式一定成立的是………………………………………………………………（ ） A ．9－2＝7 B ．5³3＝15 C ．4＝±2D ．－(－4)2＝43．已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是…（ ） A.1 B. －1 C.0 D.无法确定4．抛物线y ＝ax 2－2x －a ＋1的对称轴是直线x ＝1，则a 的值是…………………（ ） A. －2 B. 2 C. －1 D. 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是……………………………（ ） A ．AC ＝AB •cos B B ．AC ＝BC •tan B C ．BC ＝AB •sin A D ．BC ＝AC •tan A 6．如果一组数据－1，0，3，5，x 的极差是8，那么x 的值可能有…………………（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为（ ） A ．35° B ．45° 75°8．如图，平面直角坐标系中，⊙O 2，把⊙P 向左平移，当⊙P 与⊙O 相切时，a 的值为…………………………………………（ ） A ．3 B ．1 C ．1，3 D ．±1，±39．方程2x －x 2＝2x的正根的个数有……………………………………………………（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB ＝4，点E 、F 分别是线段CD 、AB 上的动点，设AF ＝x ，AE2－FE2＝y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）二、填空题：（本大题有8小题，每题2分，共16分.）11．使5－x 有意义的x 的取值范围是 ．12．二次函数y ＝x 2－2的图像与x 轴的两个交点间的距离是 ．13．若关于x 的方程x 2－23x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 ．C D E FA （第10题图）14．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 .15．在－1，0，13，2，π，0.101101110中任取一个数，取到无理数的概率是 ．16．如图⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，若AB ＝26，CD ＝24，则tan ∠OCE ＝ ． 17．如图坐标系中，点A 的坐标是（－2，4），AB ⊥y 轴于B ，抛物线y ＝－x2－2x ＋c 经过点A ，将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△AOB 的内部（不包括△AOB 的边界），则m 的取值范围是 ．18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF ＝12∠A ，sin ∠CBF ＝55，则BF 的长为 ．三、解答题：（本大题有10小题，共计84分．） 19．（8分）计算：（1）9－||2－5＋(－1)2013（2）22cos45º－(3＋22)220．（8分）解方程：（1）x 2－7x －78＝0 （2）x 2－2x ＝2x ＋121．（8分）关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0．求m 的值.22.（8分）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2 只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其它区别. 从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出第二只球并记录颜色. 求两次都摸出白球的概率.（第16题图）（第18题图）23. （8分）我们已经学过用方差来描述一组数据的离散程度，其实我们还可以用“平均差”来描述一组数据的离散程度. 在一组数据x 1，x 2，…，x n中，各数据与它们的平均数－x 的差的绝对值的平均数，即T ＝1n(||x 1－－x ＋||x 2－－x ＋…＋||x n －－x ) 叫做这组数据的“平均差”，“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说明数据的离散程度越大. 请你解决下列问题：（1）分别计算下面两个样本数据的“平均差”，并根据计算结果判断哪个样本波动较大.甲：12，13，11，10，14， 乙：10，17，10，13，10（2）分别计算上面两个样本数据的方差，并根据计算结果判断哪个样本波动较大． （3）以上的两种方法判断的结果是否一致？24. （8分）周末小亮一家去游玩，妈妈在湖心岛岸边P 处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P 处出发，沿北偏东60°划行200米到达A 处，接着向正南方向划行一段时间到达B 处．在B 处小亮观测妈妈所在的P 处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）25.（8分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB ＝2∠BCP ．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝25，sin ∠BCP ＝55，求点B 到AC 的距离；（3）在（2）的条件下，求△ACP 的周长．26.（8分）大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒. 调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知A(－2，0)、B(3，0)、C(5，6)，过C作x 轴的平行线交y轴于点D.（1）若直线y＝kx＋b（k≠0）过B、C两点，求k、b的值；（2）如图，P是线段BC上的点，PA交y轴于点Q，若P的横坐标是4，求S四边形PCDQ ；（3）设点E在线段DC上，AE交y轴于点F，若∠CEB＝∠AFB，求cos∠BAE的值.28．（10分）如图，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO．抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的抛物线上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；（3）设直线AB与y轴的交点为D，在x轴上是否存在点P，使∠DPB＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．初三数学参考答案及评分标准 2013.1一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分）1.C2.B3.B4.D5. A6.B7.A8.D9.A 10.C二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分）11. x ≤5 12. 2 2 13. 3 14. 1 15. 13 16. 51217. 1＜m ＜3 18.203三、解答题：（本大题共10小题，共计84分）19．（1）原式＝3＋2－5－1………(2分) ＝4－ 5 ………(4分)（2）原式＝112－(17＋122) ………(2分) ＝－17－ 2 ………(4分) 20．（1）x 1＝13，x 2＝－6 （2）x 1,2＝2±5………………(8分，每少一解扣2分)21．（1）由△＝9－4(m －1)≥0………(2分) 解得m ≤134………(4分)（2）x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝m －1………(6分) 可得－6＋m －1＋10＝0………(7分) 解得m ＝－3，经检验，符合要求. ………(8分)22．画树状图或列表（略）………………………………………………………………(4分)由树状图（表格）可知，共有等可能的结果16种………………………………(5分) 其中两次都摸出白球的结果有4种…………………………………………………(6分)故P (两次都摸出白球)＝416 ＝14……………………………………………………(8分)23．（1）T 甲＝15(0＋1＋1＋2＋2)＝1.2；T 乙＝15(2＋5＋2＋1＋2)＝2.4……………（3分）乙的平均差较大，因此样本乙的波动较大. …………………………………(4分) （2）S 2甲＝15(0＋1＋1＋4＋4)＝2；S 2乙＝15(4＋25＋4＋1＋4)＝7.6……………（6分）乙的方差较大，因此样本乙的波动较大. ……………………………………(7分)H（3）两种方法判断的结果一致……………………………………………………（8分） 24.解：过点P 作PH ⊥AB 于H ，………………………………………………………（1分） 在Rt △APH 中，AP ＝200，∠PAH ＝60°，∴PH ＝100 3 ……………………（4分）在Rt △PBH 中，PH ＝1003，∠B ＝37°，∴ sin37°＝PHPB……………………（5分）∴PB ＝PH sin37º≈100³1.730.60≈288（米）…………………………………………（7分）答：那时小亮与妈妈相距约288米. ……………………………………………（8分） 25.（1）在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180º，且∠ABC ＝∠ACB ∴12∠A ＋∠ACB ＝90º………………………………………………………（1分） ∴∠BCP ＋∠ACB ＝90º，即直径AC ⊥CP ，CP 是⊙O 的切线…………（2分）（2）如图，连结AN ，再作BH ⊥AC 于H ………………………………………（3分） 则∠HBC ＝∠NAC ＝∠BCP ……………………（4分）在Rt △BCH 中，BC ＝25，sin∠HBC ＝55∴CH ＝2，BH ＝4，故点B 到AC 的距离4……（5分）（3）在Rt △ACN 中，CN ＝5，sin∠NAC ＝55∴AC ＝5，AH ＝5－2＝3…………………………（6分）∴△AHB 的周长为3＋4＋5＝12…………………（7分）∴△ACP 的周长＝53△AHB 的周长＝20…………（8分）26.（1）y ＝－10x ＋300…………………………………………………………………（3分） （2）设每星期所获利润为W则W ＝(x －8)²y ＝(x －8)(－10x ＋300)＝－10(x 2－38x ＋240) …………（5分） ＝－10(x －19) 2＋1210………………………………………………（6分） 当x ＝19时，W 有最大值， W 最大＝1210 ………………………………（7分） 每个文具盒的定价是19元时，可获得每星期最高销售利润1210元…（8分）27.（1）k ＝3，b ＝－9…………………………………………………………………（2分） （2）连结PD ，可求得P (4，3)，Q (0，1) ………………………………………（3分）S ＝12³5³4＋12³5³3＝17.5…………………………………………………（5分） （3）易证△AFB ∽△ABE ……………………（6 则AB 2＝AF ²AE ，即AF ²AE ＝25……（7 若设F (0，t )，则127≤t ＜6；另有AF AE ＝t6两式相乘得AF 2＝25t 6另外AF 2＝22＋t 2…………………（8分）于是25t 6＝4＋t 2，即6t 2－25t ＋24＝0解得t ＝83 或 32（舍去）…………（9分）于是cos ∠BAE ＝35…………………（10分）28．（1）∵C (0，4)，且抛物线的对称轴是直线x ＝52，∴B (5，4)……………（1分）又AC ＝BC ＝5，∴AO ＝3，即A (－3，0) ，由9a ＋15a ＋4＝0，得a ＝－16故抛物线的解析式是y ＝－16x2＋56x ＋4………………………………（2分）（2）不妨设正方形的边长为m (m ＞0)，则F (－3＋3m ，m代入抛物线求解，m ＝0或3………（4分） 正方形EFGH 的边长为3…………（5分）（3）作BK ⊥x 轴于K ，再取M (－32，0)和N (9，0)只有当点P 落在M 、O 之间和K 、N 之间各一个位置 能使∠DPB ＝45°………………………（6分）如图，当点P 在KN 上时，再作PQ ⊥BN 于Q ，可证△DOP ∽△PQB 有OP ＝QB， 先求出D (0，32)，再设P （x ，0），∴32(42－9－x 2)＝x ²9－x2经整理得，2x 2－15x －3＝0，解得x ＝15±2494，应取x ＝15＋2494…………（8分）同理，当当点P 在AO 上时，4(322－x ＋322)＝x ＋322(5－x )，经整理得，2x 2－15x －3＝0，解得x ＝15±2494，应取x ＝15－2494…………（10分）综上所述，在x 轴上存在符合要求的两点P (15±2494，。
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（第7题图）（第8题图）（第9题图）无锡市崇安区2012～2013学年第一学期期中试卷初三数学（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．要使二次根式x ＋1有意义，则x 的取值范围是………………………………（ ）A. x ≥1B. x ＞－1C. x ≥－1D. x ≤－12．下列根式中，与3是同类二次根式的是……………………………………… （ ） A. 24B. 12C.32D. 183．解方程2(5x －1)2－3(5x －1)＝0最适当的方法是……………………………… （ ） A ．直接开平方法 B ．配方法 C ．公式法 D ．因式分解法 4．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻. 据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，则根据题意，可得方程……………………………………………… （ ） A ．5.4(1－x ) 2＝4.2 B ．5.4(1－x 2)＝4.2 C ．5.4(1－2x )＝4.2 D ．4.2(1＋x ) 2＝5.4 5．下列说法中，正确的是……………………………………………………………（ ） A ．长度相等的两条弧是等弧 B ．优弧一定大于劣弧C ．不同的圆中不可能有相等的弦D ．直径是弦且是同一个圆中最长的弦6．若关于x 的方程kx 2―2x ―1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞－1B ．k ＞－1且k ≠0C ．k ＜－1D ．k ＜1且k ≠0 7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A ＝40º，则∠B 的度数为………（ ）A ．80ºB ．60ºC ．50ºD ．40º8．形如半圆型的量角器直径为4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O 重合，零刻度线在x 轴上），连接60°和120°刻度线的外端点P 、Q ，线段PQ 交y 轴于点A ，则点A 的坐标为…………………………………………（ ）A ．(0，3)B ．(－1，3)C ．(3，0)D ．(1，3) 9．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值是………………………………………………（ ） A. 13 B. 5 C. 3 D.210. 在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r 为半径的圆上有且仅有．．．．两点到x 轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是…………………………………（ ） A ．r ＞4 B. 0＜r ＜6 C. 4≤r ＜6 D. 4＜r ＜6 二．填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.） 11. 3－2的绝对值是 .12. 在实数范围内分解因式：a 2b ―2b ＝ ． 13．若实数x 满足x 2－2x －1＝0，则3x 2－6x ＋5＝ .14. 关于x 的一元二次方程(a ＋2)x 2＋x ＋a 2－4＝0的一个根是0，则a 的值为 . 15. 若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两根互为倒数，则a ＝ . 16．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AB ∥CO ，∠B ＝22º，则∠A ＝ º. 17．已知⊙O 的半径为r ，弦AB ＝2r ，则AB 所对圆周角的度数为 . 18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，∠A ＝60º，BC ＝4cm ，以点C 为圆心、3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 .19．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，∠AED ＝30º，则CD 的长为 .20．如图，P 是双曲线y ＝4x （x ＞0）的一个分支上的一点，以点P 为圆心，1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线y ＝3相切时，点P的坐标为 .三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 21．（16分）计算：① 8＋||―2－20120＋(12)－1 ②12313÷213×125（第16题图）（第19题图） （第20题图）③239x－(6x4－2x1x) ④ (1－2)2－3－6322．（16分）解方程：①(x－2)2＝25②2x2－3x－4＝0③x2－(2＋3)x＋6＝0 ④x2－2ax＋a2＝0 （a为常数）23.（6分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，求AB的长度.（可利用的围墙长度超过6m）．24.（7分）已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0.（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.25.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r．26.（8分）已知：如图，矩形ABCD 中，CD ＝2，AD ＝3，以C 点为圆心，作一个动圆，与线段AD 交于点P （P 和A 、D 不重合），过P 作⊙C 的切线交线段AB 于F 点. （1）求证：△CDP ∽△P AF ；（2）设DP ＝x ，AF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，及自变量x 的取值范围； （3）是否存在这样的点P ，使△APF 沿PF 翻折后，点A 落在BC 上，请说明理由.27.（9分）如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AD ⊥BC 于D ， （1）①若作直径AP ，求证：AB ·AC ＝AD ·AP ；②已知AB ＋AC ＝12，AD ＝3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .求y 与x 的函数关系式，及自变量x 的取值范围；（2）图2中，点E 为⊙O 上一点，且 ⌒AE ＝ ⌒AB ，求证：CE ＋CD ＝BD .图2O DB.AC E图1O DB.ACP28.（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D 作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF．（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与评分标准2012.11一、选择题（每题3分）C B D A D B C A B D 二、填空题（每空2分）11. 2－ 3 12. b (a ＋2)(a －2) 13. 8 14. 2 15. －1 16. 44º 17. 45º或135º 18. 相交 19. 4 2 20. (1，4)或(2，2) 三、解答题21. ①原式＝22＋2－1＋2＝32＋1 ②原式＝12103×37×75＝22③原式＝2x －3x ＋2x ＝x ④原式＝3－22－1＋2＝2－ 2 22. ① x 1＝7，x 2＝－3 ② x 1,2＝3±414③x 1＝2，x 2＝3④x 1＝x 2＝a ……………………………………（21、22每小题4分，分步酌情给分） 23. 设AB ＝x ，则BC ＝6－2x ……………………………………………………………（1分）根据题意，x (6－2x )＝4……………………………………………………………（3分） 整理得，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2………………………………………（4分） 而x ≠6－2x ，即x ≠2故x ＝1………………………………………………………（5分） 答：该矩形花圃AB 的长度为1米. ……………………………………………… （6分） 24.（1）∵△＝(m ＋2)2－4(2m －1) ………………………………………………………（1分）＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0……………………………………………（2分）∴原方程恒有两个不相等的实数根. ……………………………………………（3分） （2）解得m ＝2. ………………………………………………………………………（4分） 求出另一个根为3………………………………………………………………（5分） 以1、3为边长的直角三角形的第三边为22或10…………………………（6分） 从而周长为4＋22或4＋10.…………………………………………………（7分） 25.（1）连结OD ……………………………………………………………………………（1分）∵⊙O 中，OB ＝OD ，∴∠1＝∠2；又∵AC 平分∠ABC ，∴∠2＝∠3，（图略） ∴∠1＝∠3，∴OD ∥BC …………………………………………………………（2分） 又∵∠C ＝90º，∴OD ⊥AC ………………………………………………………（3分） ∴AC 是⊙O 的切线…………………………………………………………… （4分）（2）∵∠ADO ＝∠C ＝90º，∠A ＝∠A ，∴△AOD ∽△ABC …………………… （5分） ∴OD BC ＝AOAB…………………………………………………………………… （6分）∴r 6＝10－r 10，解得r ＝154…………………………………………………… （8分） 26.（1）∵PF 切⊙C 于点P ，∴CP ⊥PF ………………………………………………（1分） ∴∠1＋∠2＝90º，而矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90º，∴∠2＋∠3＝90º， ∴∠1＝∠3，∴△CDP ∽△P AF ………………………………………………（2分）（2）∴CD DP ＝P A AF ，即2x ＝3－x y，……………（3分）整理可得，y ＝－x 2＋3x2（0＜x ＜3）…（5分）（3）假设点A 的落点为A ’，则AA ’⊥PF ，AF ＝A ’F …………………………………………（6分） ∴AA ’∥PC ，得□AA ’CP ，则A ’B ＝DP在Rt △A ’BF 中，x 2＋(2－y )2＝y 2，……………………………………………（7分）即x 2＝4y －4＝－2x 2＋6x －4，该方程无实数根，不存在符合要求的点P …（8分）27.（1）①连结BP （图略）∵AP 是⊙O 的直径，∴∠ABP ＝90º＝∠ADC ………………………………（1分） 又∵⊙O 中，∠P ＝∠C ，∴△ABP ∽△ADC …………………………………（2分） ∴AB AD ＝APAC，即AB ·AC ＝AD ·AP ………………………………………………（3分） ②根据题意，x (12－x )＝2y ×3，得y ＝－x 2＋12x6……………………………（4分）由⎩⎪⎨⎪⎧3＜x ＜123＜12－x ＜12，得3＜x ＜9………………………………………………（5分）（2）在BC 上截取BF ＝EC ，连结AE 、AF∵⊙O 中， ⌒AB＝ ⌒AE ，∴AB ＝AE ………………（6分） 又∵∠B ＝∠E ，∴△ABF ≌△AEC （SAS ）……（7分） ∴AF ＝AC ，又∵AD ⊥BC ，∴DF ＝DC …………（8分） ∴CE ＋CD ＝BF ＋DF ＝BD ………………………（9分）28.（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º…………………………………………（1分）F D A B C P 1 2 3 A ’ O DB.AC EF在Rt △ABC 中，AB ＝10，∠BAC ＝30º，∴BC ＝5，AC ＝5 3 ∴S △ABC ＝2532…………………………………………………………………（2分） （2）连结AD ，则AD ＝AB ＝10，当DE ＝8时，AE ＝6……………………………（3分） ∴BE ＝4，即BE ＝12DE ，且△AEF ∽△DEB …………………………………（4分）∴EF ＝12AE ＝3…………………………………………………………………（5分）（3）当 ⌒BC 的度数为60º时，点E ①当0º＜ ⌒BC 的度数＜60º时，点E 在 ∠EOF ＞∠BAC ＝∠D ， 必须令∠此时有△EOF ∽△EBD 另OF ∥CE ，AO AE ＝OF CE ＝2OF BD ＝2OE BE ，即解得x ＝－15±5174 而x ＞0，∴x ②当60º＜ ⌒BC 的度数＜90º时，点E 在O 点左侧.若∠EOF ＝∠B ，则OF ∥BD ，OF ＝12BC ＝14BD ，且OF BD ＝OE BE ＝14，即 －x 5－x ＝14，解得x ＝－53……（9若∠EOF ＝∠BAC ，则x ＝－52………………（10 综上所述，点E 的坐标为(517－154,0)、(－53,0)、(。