2013高考理科数学二轮训练20
2013年高考理科数学(新课标Ⅱ卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N = （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z=（A ）-1+i（B ）-1-i （C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ = （A ）-4（B ）-3 （C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++ （C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c（9）已知a＞0，x，y满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y的最小值为1，则a= (A)14(B)12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（A）∃xα∈R,f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则()0'0f x=（11）设抛物线y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)112⎛⎫⎪⎪⎝⎭(C)113⎛⎤⎥⎦⎝(D)11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013届高考理科数学复习演练套题(含答案)
2013届高考理科数学复习演练套题(含答案)(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．解析①当2x－1≥0，即x≥12时，不等式变为2x－1＜3，得x＜2，∴12≤x ＜2.②当2x－1＜0即x＜12时，不等式变为－(2x－1)＜3即x＞－1，∴－1＜x＜12，综上不等式解集为{x|－1＜x＜2}．答案(－1,2)2．已知x＞0，则函数y＝x(1－x2)的最大值为________．解析∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)•12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时取等号．∴y≤239.∴y的最大值为239.答案2393．(2011•江西卷)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．解析法一(零点分段法)由题意可知，x≤－10，－x－10＋x－2≥8或－10＜x＜2，x＋10＋x－2≥8或x≥2，x＋10－x＋2≥8，解得x≥0，故原不等式的解集为{x|x≥0}．法二(几何意义法)如图，在数轴上令点A、B的坐标分别为－10，2，在x轴上任取一点P，其坐标设为x，则|PA|＝|x＋10|，|PB|＝|x－2|，观察数轴可知，要使|PA|－|PB|≥8，则只需x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}．答案{x|x≥0}4．(2011•陕西)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a 的取值范围是________．解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.所以只需a≤3即可．答案(－∞，3]5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析当a＜0时，显然成立；当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，∴a＋4a≤4.∴a＝2..综上可知a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．答案(－∞，0)∪{2}6．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________时，(x，y，z)＝________.解析∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y ＋2z最小值为－6，此时x1＝y－2＝z2.又∵x2＋y2＋z2＝4，∴x＝－23，y＝43，z＝－43.答案－6－23，43，－437．若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x＞0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可．∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5，知0＜1u≤15，∴a≥15.答案15，＋∞8．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h：命题乙：|a－1|＜h 且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．解析|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分二、解答题(共20分)9．(10分)已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a＞0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥52或x≤12.∴不等式的解集为xx≤12或x≥52.注也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0，又a＞0，∴a≥4.10．(10分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－2b|≥|a|(|x －1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．解原不等式等价于|a＋b|＋|a－2b||a|≥|x－1|＋|x－2|，设ba＝t，则原不等式变为|t＋1|＋|2t－1|≥|x－1|＋|x－2|对任意t恒成立．因为|t＋1|＋|2t－1|＝3t，t≥12，－t＋2，－1＜t＜12，－3t，t≤－1，在t＝12时取到最小值为32.所以有32≥|x－1|＋|x－2|＝2x－3，x≥2，1，1＜x＜2，3－2x，x≤1，解得x∈34，94.。
2013年4月高三理科数学二轮复习试题(含答案)
2013年4月高三理科数学二轮复习试题(含答案)山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测数学试题（理工类）2013.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于A．{6,8}B．{5,7}C．{4,6,7}D．{1,3,5,6,8}2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A．B．C．D．3．函数y=与y=图形的交点为（a，b），则a所在区间是A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4.已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋15.阅读右边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写A．iC．i6.函数f(x)=A．在上递增，在上递减B．在上递增，在上递减C．在上递增，在上递减D．在上递增，在上递减7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．13B．23C.1D.28.已知点是边长为1的等边的中心，则等于A．B．C．D．9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有A．96种B．144种C．240种D．300种10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A．95B．91C．88D．7511.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于A．3B.4C.D.12.设函数f(x)=x-,对任意恒成立，则实数m的取值范围是A．(-1,1)B.C.D.或（第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________________.14.已知向量则的值为.15.在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为。
2013二模理科数学答案.doc
永州市2013年高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11． （二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14． －10 15． ＜16． （1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分 （3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分 （2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分） 解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1， 即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1）， 故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+， 点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分 （2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412， 得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分 设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分 线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分 （2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的 斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==， 则()g x 在点B 处切线方程为2y x =． 由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-， 令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==， 所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立， 函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分 又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分 从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。
2013届高考理科数学复习演练系列试题(附答案)
2013届高考理科数学复习演练系列试题（附答案）A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0解析对于A，当x0＝1时，lgx0＝0正确；对于B，当x0＝π4时，tanx0＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．答案C2．(2012•杭州高级中学月考)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是()．A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞0解析根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x0＞0，x20＋x0≤0.答案B3．(★)(2012•郑州外国语中学月考)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是()．A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案C4．(2012•合肥质检)已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p 是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为()．A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1＜a＜6解析解不等式可得p：－4＋a＜x＜4＋a，q：2＜x＜3，因此綈p：x≤－4＋a或x≥4＋a，綈q：x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4＋a≥3，解得－1≤a≤6.答案C5．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()．A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012•西安模拟)若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.答案－22≤a≤227．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．解析因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，x－2x－3＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由x＞1或x＜－3，x≥3或x≤2，得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)8．(2012•南京五校联考)令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵对∀x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则a＞0，Δ＝4－4a2＜0，∴a＞1.答案a＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p：∀x∈1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．解由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．p：x2≥a在1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.由a≤1，a≥1或a≤－2得a＝1或a≤－2∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x0∈R，|x0|＞0.解(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列命题错误的是()．A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案C2．(★)(2011•广东广雅中学模拟)已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．－1,1]解析(直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________．解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案∀x∈R，x＞1且x2≤44．(2012•太原十校联考)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋152a＞0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a＜0，解得a＞56，即实数a的取值范围为56，＋∞.答案56，＋∞三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r(x)：sinx＋cosx＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．解∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，∴当r(x)是真命题时，m＜－2.又∵对∀x∈R，当s(x)为真命题时，即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.6．(12分)已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x＞1c恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．解由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋1x≤52要使此式恒成立，则2＞1c，即c＞12.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤12.当p为假，q为真时，c≥1.综上，c的取值范围为c0＜c≤12或c≥1.。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类、选择题：本大题共 （ 全国新课标卷 II ）第Ⅰ卷12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 21）已知集合 M ＝{x |（ x － 1） 2< 4， x ∈ R} ，N ＝{－1,0,1,2,3} B ．{ －1,0,1,2} C ．{ －1,0,2,3} D 1． （2013 课标全国Ⅱ，理 A ．{0,1,2} 2． （2013 课标全国Ⅱ，理 2）设复数 z 满足（1 － i ） z ＝2i ，则 z ＝（ A ．－1＋i B ．－ 1－I C3．（2013 课标全国Ⅱ，理 3）等比数列 { a n }的前 n 项和为 11A ． 3B ． 3C 4．（2013 课标全国Ⅱ， 理 4） 已知 m ，n 为异面直线， m ⊥平面 l β，则 （ A ．α∥ β 且 l ∥α B，则 M ∩N ＝( ) ． ．{0,1,2,3} )． ． 1＋i D ．1－i S n . 已知 S 3＝ a 2＋ 10a 1，a 5＝ 9， 1． 9 D α ，n ⊥平面 β . 直线 l 满足 l )．．α⊥β 且 l ⊥ β则 a 1＝（ ） ．⊥m ，l ⊥n ，l α， C ． α 与 β 相交，且交线垂直于 l D ． α 与 β 相交，且交线平行于 5．（2013 课标全国Ⅱ，理 5）已知（1 ＋ ax ）（1 ＋ x ） 5的展开式中 x 2的系数为 5，则a ＝（ ．－ 1 N ＝ 10，那么输出的 S A ．－4 B ．－ 3 C ．－ 2 D6．（2013 课标全国Ⅱ，理 6） 执行下面的程序框图，如果输入的 ＝（）．A． 2 3 101+ 1 11B ．2! 3!10!1+1 111C ． 2 3111+1 1 1 1D 2! 3! 11 1+1 11 l )． 7．（2013 课标全国Ⅱ，理 7） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 （0,1,1） ，（0,0,0） O － xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ，(1,1,0) ，( ) ．8．（2013 课标全国Ⅱ，理 8）设 a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则（ ）．． a > c > b D ． a > b > cx 1,x y 3, 若 z ＝ 2x ＋y 的最小值为 1，则 y a x 3 .A ．c >b > aB ．b >c > a C9． （2013 课标全国Ⅱ，理 9） 已知a >0，x ， y 满足约束条件 a ＝( 1 ．2）． 1 A ． 4 ． 1 D ．210．(2013 课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x) ＝x 3＋ax2＋bx＋ c ，下列结论中错误的是( )．A．x0∈R，f(x0) ＝0B．函数y ＝f(x) 的图像是中心对称图形C．若x0 是f(x) 的极小值点，则f(x) 在区间( －∞，x0) 单调递减D．若x0 是f(x) 的极值点，则f′ (x0) ＝011．(2013 课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px( p> 0)的焦点为F，点M在C上，| MF| ＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为( ) ．A．y2 ＝4x 或y2＝8x B ．y2＝2x 或y2＝8xC．y2＝4x 或y2＝16x D ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2013 课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0) ，B(1,0) ，C(0,1) ，直线y＝ax＋b(a>0)将△ ABC分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( ) ．12 , 11,12 ,11,1,1 A．(0,1) B．2 2 C ． 2 3 D ．3,2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
山东省2013届高三高考模拟卷(二)理科数学.pdf
山东省2013届高三高考模拟卷（二） 数学（）本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分全卷满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一选择题：本大题共1小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 满足，那么复数的虚部为 A．1 B． C． D． 2．已知集合，，，，，则 A．P=M B．Q=S 3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率的分布表如下： 则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为 A．40 B．20 C．30 D．60 ：，，则 A．：， B．：， C．：， D．：， 5．如图所示，已知向量，，，，则下列等式中成立的是 A． B． C． D． 6．如图，若程序框图输出的S是254，则判断框①处应为 A． B． C． D． 7．在△ABC中角A，B，C的对边分别为，已知，且，，则△ABC的面积为 A． B． C． D． 8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，为常数)，则函数的大致图象为 9．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是 A． B． C． D． 10．设O为坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点满足不等式组，则使取得最大值的点N有 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 11．若P是双曲线：和圆：的一个交点且，其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3 12．已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（2，+）上有两个根，其中，则的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共小题，每小题分． 13．设，则曲线在点处的切线的斜率为__________. 14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______． 15．的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为_______． 16．设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，若直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围是__________. 三、解答题：解答应写文字说明证明过程或演算步骤． 已知函数． (1)求的最小正周期及其单调增区间： (2)当时，求的值域． 18．(本小题满分12分) 如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=． (1)当时，求证：AO⊥平面BCD； (2)当二面角的大小为时，求二面角的正切值． 19．(本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表： 日销售量(吨)11．52天数102515(1)计算这50天的日平均销售量； (2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立． ①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X表示该种商品两天销售利润的和，求X的分布列和数学期望． 20．(本小题满分12分) 已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列对任意的，均有成立，求． 21．(本小题满分13分) 已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为，为椭圆C上一点，的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OM的直线，使得直线与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 22．(本小题满分13分) 已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：． 数学（） 一选择题： 14．2 15．61 16． 三、计算题 17．【解析】 ． (1)函数的最小正周期． 由正弦函数的性质知，当， 即时，函数为单调增函数，所以函数的单调增区间为，． (2)因为，所以，所以， 所以，所以的值域为[1，3]． 18．【解析】(1)根据题意知，在△AOC中，，， 所以，所以AO⊥CO． 因为AO是等腰直角E角形ABD的中线，所以AO⊥BD． 又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD． (2)法一 由题易知，CO⊥OD．如图，以O为原点， OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有O(0，0，0)，，，． 设，则，． 设平面ABD的法向量为， 则即 所以，令，则． 所以． 因为平面BCD的一个法向量为， 且二面角的大小为，所以， 即，整理得． 因为，所以， 解得，，所以， 设平面ABC的法向量为， 因为，， 则即 令，则，．所以． 设二面角的平面角为，则 ． 所以，即二面角的正切值为． 法二 在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO， 所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=． 如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H， 因为BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O， 所以BD⊥平面AOC． 因为AH平面AOC，所以BD⊥AH． 又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD． 过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK． 因为BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK． 因为HK平面AHK，所以BC⊥HK， 所以∠AKH为二面角的平面角． 在△AOH中，∠AOH=，，则，， 所以． 在Rt△CHK中，∠HCK=，所以． 在Rt△AHK中，， 所以二面角的正切值为． 19．【解析】(1)日平均销售量为(吨)． (2)①日销售量为1．5吨的概率． 设5天中该商品有Y天的销售量为1．5吨，则， 所以． ②X的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为，日销售量为2吨的概率为，则 ； ； ； ； ． 所以X的分布列为 数学期望． 20．【解析】(1)由已知得，，， 所以，解得或． 又因为，所以． 所以． 又，，所以等比数列的公比， 所以． (2)由 ①，得当时， ②， ①-②，得当时，，所以2)． 而时，，所以．所以． 所以 ． 21．【解析】(1)因为椭圆C的一个焦点为， 所以，则椭圆C的方程为， 因为，所以，解得． 故点M的坐标为(1，4)． 因为M(1，4)在椭圆上，所以，得， 解得或（不合题意，舍去），则． 所以椭圆C的方程为． (2)假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于，两点，其方程为（因为直线OM的斜率， 由消去，化简得． 进而得到，． 因为直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 化简，得，解得． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点， 所以，所以． 又， ， 解得． 由于，所以符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或． 22．【解析】(1)当时，函数， 则． 当时，，当时，1， 则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，． (2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立． 设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而． (3)，． 因为对任意的总存在，使得成立， 所以， 即， 即 ． 设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又． 所以，即．。
2013届江苏省高三数学二轮专题训练解答题(20)
江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（20）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．（1）若,65cos =α求证：;PQ PA ⊥ （2)42sin(πα+的值．2. (本题满分14分)设集合{}32|≤≤-=x x A ,函数)34(log)(26+++=k x kx x f (1)当1-=k 时, 求函数)(x f 的值域.(2)若 B 为函数)(x f 的定义域,当A B ⊆时,求实数k 的取值范围.3. (本题满分14分)已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若()2f C =,2sin cos()cos()B A C A C =--+,求tan A 的值.BP4. (本题满分14分)已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠（1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若b a 3-=，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．5. (本题满分16分)如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．⑴若12CDDB =，求||AD ； ⑵求CP BQ ⋅的最小值．⑶判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．6. (本题满分18分)已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-． （1）若2m =，写出函数)(x f 的对称轴方程、并求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意1(,4]x ∈-∞，均存在2[4,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．1. 解：（1）（方法一）由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--=所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a POPA -+--=⋅ .1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分（方法二）因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ，故.611,65(）P 因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA 因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥（2）因为，PO PA ⊥所以,22PO PA =即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a ……………………9分因为,20π<<a 所以.54sin =a因此.2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a ……………………12分从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π……………14分2. 解:(1) 当1-=k 时, 66)2(3422≤+--=+++x k x kx ……………2分 ∴26log)(6=≤x f ……………4分∴函数)(x f 的值域为]2,(-∞……………5分(2)设g (x)=kx 2+4x+k+3,则B={x|g(x)>0}.①当k=0时,B=(-,+∞)⊈A,不合题意,故舍去. ……………7分②当k>0时,注意到g(x)的图象开口向上,显然B ⊈A,故舍去. ……………9分 ③当k<0时,由A B ⊆知解得-4<k ≤-.综上知k ∈(-4,-]. ……………14分3. 解：（1）f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1． ………………………………3分因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6．……………………………………………5分所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1．所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2所以f (x )∈[0，3]．即函数f (x )在[－π6，π3]上的值域为[0，3]．………………………7分（2）由f (C )＝3得，2sin(2C ＋π6)＋1＝2，所以sin(2C ＋π6)＝12．在△ABC 中，因为0＜C ＜π，所以π6＜2C ＋π6＜13π6．所以2C ＋π6＝5π6．所以C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3． ………………………………………9分 因为2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )．所以2sin B ＝2sin A sin C ． …………………11分因为B ＝2π3－A ， C ＝π3．所以2sin(2π3－A )＝3sin A ． 即3cos A ＋sin A ＝3sin A ．即(3－1)sin A ＝3cos A ．所以tan A ＝sin A cos A ＝33－1＝3＋32．………………14分4. 解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数……………6分 当0,0a b <<时，同理函数()f x 在R 上是减函数。
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训练20 统计及其与概率的交汇问题
(时间：45分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·珠海三模)要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为
( )．
A ．①简单随机抽样调查，②系统抽样
B ．①分层抽样，②简单随机抽样
C ．①系统抽样，②分层抽样
D ．①②都用分层抽样
2．(2012·陕西五校联考)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
则y 与x 的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过
( )．
A ．(1,3)
B ．(2,5)
C ．(1.5,4)
D ．(3,7)
3．(2012·湖南)设某大学的女生体重y (单位：k g)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是
( )．
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 k g
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 k g
4．“母亲节”当天某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；当天卖不出去的鲜花以每束1.6元的价格处理．根据前四年销售情况预测，“母亲
节”当天这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布列：
( )．
A ．706元
B ．690元
C ．754元
D ．720元
5．(2012·潍坊一模)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，则身高为176 cm 的同学被抽中的概率为
( )．
A.15
B.25
C.35
D.45 二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(2012·泗县质检)防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取，泗县一中高三有学生1600人，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数应该有________．
7．将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________.
8．(2012·宝鸡三模)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程：y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型，若广告费用为10元，则预报销售额等于________．
三、解答题(本题共3小题，共35分)
9．(11分)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512554528549536556534541522
538
乙：515558521543532559536548527
531
(1)用茎叶图表示两学生的高考备考成绩；
(2)分别求两学生的高考备考成绩的中位数和平均分．
10.(12分)(2012·合肥三模)某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：
(2)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小
微企业和B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研．设选取的4家小微企业中是B行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
11．(12分)(2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投
放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最
大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．
(注：s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)
参考答案
训练20 统计及其与概率的交汇问题
1．B
2．C [由题意知：样本中心点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，4一定在回归直线上．]
3．D [由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．]
4．A [前四年“母亲节”当天售出鲜花的期望EX ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，则“母亲节”当天利润的均值为340×2.5＋160×(－0.9)＝706.]
5．B [从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，共有10种不同的取法．设A 表示随机事件“抽到身高为176 cm 的同学”，则A 中的基本事件有4个．故所求概率为P (A )＝410＝2
5.]
6．解析 设该校的女生为x 人，男生为(1 600－x )人，则按照分层抽样，各层的比例为2001 600＝18，所以女生抽取x 8，男生抽取1 600－x 8，所以x
8＋10＝1 600－x 8，
解得x ＝760. 答案 760
7．解析 设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x ，x ，则2x ＋3x ＋4x ＋6x ＋4x ＋x ＝1，解得，x ＝120，所以前三组数据的频率分别是110，320，1
5，故前三组数据的频数之和⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋320＋15n ＝27，解得n ＝60. 答案 60
8．解析x＝4.5，y＝35，∴^
a＝y－b x＝3.5，
∴当x＝10时，^
y＝70＋3.5＝73.5(元)
答案73.5(元)
9．解(1)两学生的高考备考成绩的茎叶图如图所示：
(2)将甲、乙两学生的高考备考成绩从小到大排列为：
甲：512522528534536538541549554556 乙：515521527531532536543548558559 从以上排列可知
甲学生的高考备考成绩的中位数为
536＋538
2＝537.
乙学生的高考备考成绩的中位数为
532＋536
2＝534.
甲学生的高考备考成绩的平均分为
500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56
10＝537；
乙学生的高考备考成绩的平均分为
500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59
10＝537.
10．解(1)由统计表得，该市小微企业资金缺额的平均值约为x＝10×0.05＋30×0.1＋50×0.35＋70×0.3＋90×0.2＝60(万元)．
(2)ξ的可能值为0,1,2,3则P(ξ＝0)＝C44
C47＝
1
35，P(ξ＝1)＝
C34·C13
C47＝
12
35，P(ξ＝2)＝
C24·C23 C47＝18
35，P(ξ＝3)＝
C14·C33
C47＝
4
35；
∴ξ的分布列为：
11.解 (1)“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100
＝2
3.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋60
1 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.
(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝1
3(a ＋b ＋c )＝200，
所以s 2＝1
3[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000. 即s 2的最大值为80 000.。