黑龙江省大庆铁人中学高三数学上学期10月阶段性考试试题 文
《精编》黑龙江省大庆市高三数学10月月考试题 文 新人教A版.doc
大庆实验中学2021-2021学年度上学期10月月考高三年级数学试题〔文〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
1、()()=+--321i i i 〔 〕A.i +3B. i --3C. i +-3D. i -32、设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，假设==84,1S S 则〔 〕A ．17B ．171 C ．5 D ．51 3、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像〔 〕A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位4、等差数列*{}()n a n N ∈的首项10a >，设n S 为{}n a 的前n 项和，且611S S =， 那么当n S 取得最大值时n 的值为〔 〕A ．8 B.9 C.8或9 D. 7或85、在ABC ∆中，B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形6、向量(3,1)a =，向量(sin ,cos ),,b m R ααα=-∈且//a b ，那么m 的最小值为〔 〕A ．2 B.2- C.1 D. 1-7、假设函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象〔局部〕如以下列图，那么ϕω和的取值可以是( ) A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==8、{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，假设111111,a b a b ==， 那么有〔 〕 A ．66a b =B ． 66a b >C ． 66a b <D ．66a b >或66a b <9、,122ABC C AC BC π∆===中，，，那么()=|2(1)|f CA BC λλλ+-的最小值是( )A ． C. 3 D. 110、设O ABC ∆为内部一点，240OA OB OC ++=,那么::BOC AOC AOB S S S ∆∆∆= ( ) A ．1:4:2 B. 1:3:2 C. 1:2:3 D. 1:2:411、函数-6(3-)-3,7()=,>7x a x x f x a x ≤⎧⎨⎩，假设数列{}n a 满足*=()()n a f n n N ∈，且{}n a 是递增数列，那么实数a 的取值范围是( )A ．[2,3) B. (2,3) C. 9(,3)4 D. 9[,3)412、对于任意实数a ，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不少于4次，又不多于8次，那么k 可以取的值为 〔 〕A. 12和B. 23和C. 34和D. 2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高三上学期阶段考试数学(文科)试题
大庆铁人中学高三学年上学期阶段质量检测数学试题(文科)一､选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知133iz i-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1D ∵13(13)(3)=310i i i z i i ---==-+,∴z i =,z 的共轭复数的虚部为1. 2. 已知集合{}220A x x x =--≤，{}2log 0B x x =≤，则A B =（ ）A. {}11x x -≤≤B. {}01x x <≤C. {}01x x ≤<D. {}12x x -≤≤B先求得集合A 、B ，再根据交集的运算法则求解即可. 由题意得集合{}12A x x =-≤≤，集合{01}B x x =<≤， 所以{01}A B x x ⋂=<≤，故选：B3. 函数()()1ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4B根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；解：因为()()1ln 1f x x x =+-，在()0,∞+上是连续函数，且()21101f x x x'=+>+，即()f x 在()0,∞+上单调递增，()1ln 210f =-<，()12ln 302f =->，()()120f f ∴⋅<， 所以()f x 在()1,2上存在一个零点.故选：B .4. 函数()f x 是R 上的奇函数，切满足()()+4=f x f x ，当[)2,0x ∈-时，()2=-2f x x ，则()2013f =（ ） A. -4B. -2C. 2D. 4C利用周期性把自变量的的绝对值变成最小，然后再利用奇函数性质求得值． ∵()()()4,f x f x f x +=∴是以4为周期的周期函数，()()()2013503411f f f ∴=⨯+=，又∵()f x 是R 上的奇函数，∴2(1)(1)1[2(1)]2f f =--=-⨯-⨯-=，故选C ． 5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥ B. 若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβ C. 若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则 D. 若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ B试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ．6. 已知等差数列{}n a 中，11a =，前10项的和等于前5的和，若m 60a a +=，则m =（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 2A由等差数列前10项的和等于前5的和，可得6789100a a a a a ++++=，由等差数列的性质得到()610502a a +=，结合已知m 60a a +=,即可求得m 的值． 因为在等差数列{}n a 中， 105S S =， 所以6789100a a a a a ++++=， 可得()610502a a +=， 6100a a ∴+=，又m 60a a +=，10m ∴=．故选A ．7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 5πB. 12πC. 20πD. 8πA由三视图还原几何体的直观图，补全几何体为长方体有几何体的外接球即为该长方体的外接球，由长方体外接球半径R 为体对角线的一半可求出R ，进而求球体表面积.由三视图知：几何体为上图四棱锥11B ADD A -，且11ADD A 为边长为1的正方形，3AB =，将其补全为长方体1111ABCD A B C D -，则几何体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球半径R 为长方体的体对角线的一半，∴2221135R ++==，由外接球的表面积为245R ππ=，故选：A 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<D根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>> ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D9. 下列选项叙述错误的是（ ）A. 命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B. 若命题:p x A B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C. 若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D. “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 C根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意；对于B ：若命题:p x A B ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B 正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意.故选：C10. 函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上（其中,0m n >），则12m n+的最小值等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4D由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112()(2)2m n m n++，利用基本不等式，即可求解.由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=， 则1211214141()(2)[4()](42)(44)42222n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当4n m m n=，即11,2n m ==等号成立，所以12m n +的最小值为4，故选D.11. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为 A. 0 B. 2C. 4D. 8D试题分析：画出函数f （x ）的图像如下，由图像知，所有实根之和为1234()()8x x x x +++=．故选D ．12. 设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若123a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，0b =，526c f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<A根据题意，构造函数()()cos g x f x x =，求导，可得()g x 在()0,π上的单调性，将a ，b ，c 变形整理，结合单调性，即可得答案.设函数()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-， 因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,π上是增函数，1cos ()23333a f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ()2202f g b πππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，5555cos ()26666c f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c <<，故选：A二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥ ,则a 与b的夹角为__________120把向量垂直用数量积表示后可得夹角． ∵a b =，()2a b b +⊥，∴()22222cos ,0a b b a b b a b a b b +⋅=⋅+=<>+=，∴1cos ,2a b <>=-，∴,120a b <>=︒．故答案为：120︒．14. 设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．8-作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论．解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-，过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-． 故答案为：8-．15. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><则{}n S 中第_________项最大. 6根据已知条件，判断首项和公差的正负，利用等差数列前n 项和的性质，即可容易求得. 因为121330,0,120S S a >=， 故可得10,0a d ><，故1121130,0a a a a +>+<, 由等差数列的性质可知：6770,20a a a +><，故当6n =时，n S 取得最大值. 故答案为：6.16. 已知函数定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)=+xf x e x ，给出下列命题：①0x >时，()(1)xf x e x =- ②函数有2个零点③()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ ④12,x x R ∀∈,都有()()122f x f x -<其中正确命题为__________. ③ , ④分析：先根据奇函数性质求0x >时解析式，根据函数()f x 单调性确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题. 详解：因为函数()f x 定义在R 上的奇函数，所以0x >时，()()e (1)e (1)x x f x f x x x --=--=--+=-，()00f =， 因为当0x <时，()()1xf x e x =+，所以()(2)0,2x f x e x x =+==-'，当20x -<<时2()0,()((2),1)(,1)f x f x f e ->∈-=-'， 当2x <-时2()0,()((2),0)(,0)f x f x f e -<∈-=-'， 因此当0x <时，2()[,1)f x e -∈-， 根据奇函数性质得()(1,1)f x ∈-，max min 12max min ()1,()1()(()()2f x f x f x f x f x f x -∴-<-=因为()10f -=，所以()10f =，即函数有0，1，-1三个零点，当0x <时，()0f x >得-1<x<0,因此0x >时，()0f x >得x>1,所以()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞， 综上正确命题为③ , ④点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.三､解答题(本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若(),m a c b =+，(),n a c b a =--且m n ⊥. （1）求角C 的大小；（2）若c =sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积. （1）3C π=；（2（1）先根据向量垂直关系坐标表示得边的关系，再根据余弦定理求角；（2）先根据正弦定理化角为边的关系，再根据余弦定理得方程，解得,a b ，最后根据三角形三角形面积公式得结果.（1）由m n ⊥可得：2220a c b ab -+-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由sin 2sin A B =及正弦定理可得：2a b =，∵c =3C π=，∴由余弦定理可得：2222222cos 43c a b ab C b b ab b =+-=+-=，∴解得：b =a =∴11sin 222ABC S ab C ∆==⨯=. 18. 已知数列{}n a 满足112a =且131n n a a +=+. （1）证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n b 满足11b =，112n n n b b a +-=+，求数列{}n b 的通项公式.（1）证明见解析；（2）1*31()2n n b n N -+=∈.（1）根据题意可得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得1132n n a -=-，可得113n n n b b -+-=，利用累加法即可求得数列{}n b 的通项公式.（1）因为131n n a a +=+，所以111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即112312n n a a ++=+， 所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为3的等比数列（2）由（1）可知1132n n a -+=，所以1132n n a -=-因为112n n n b b a +-=+，所以113n n n b b -+-=0213b b -= 1323b b -=……213n n n b b ---=，2n ≥，各式相加得：1122111(133)13331312n n n n b b -----=+++⋅⋅⋅=--+=， 又11b =，所以113131122n n n b ---+=+=， 又当n =1时，11b =满足上式，所以1*31()2n n b n N -+=∈19. 如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，23AB CD ==，32BC =，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ； （2）求多面体BCDFE 的体积． （1）证明见解析；（2）22. （1）由线面垂直推出AB CD ⊥，结合BC CD ⊥可得CD ⊥平面ABC ，再由//EF CD 即可得证； （2）间接利用三棱锥D ABC -的体积减去三棱锥F ABE -的体积即为所求. （1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥， 又∵BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∵//EF CD ，∴EF ⊥平面ABC （2）由（1）知EF ⊥平面ABC ，BCDFE A BCD A BEF D ABC F ABE V V V V V ----=-=-111112332232332332322=⨯⨯⨯⨯⨯22=. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点2,1)，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线: (0)l y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值.（1）22142x y +=（2）证明见解析； （1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求得,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形OAPB 是平行四边形，可得P 点坐标，把P 点坐标代入椭圆方程，得到22212k t +=，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形OAPB 的面积为定值．解：（1）因为椭圆C 过点，代入椭圆方程，可得22211a b +=①，，所以c a =，从而222a b =②， 联立①②，解得24a =，22b =， 所以椭圆为22142x y +=； （2）把y kx t =+代入椭圆方程22142x y +=， 得()()222214220k x ktx t +++-=，所以()()()22222(4)821282210kt k t k t ⎡⎤∆=-+-=+->⎣⎦， 设()11A x y ，，()22,B x y ，则()2121222224,2121t kt x x x x k k -+=-=++， 所以()121222221t y y k x x t k +=++=+， 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以()12122242,2121kt t OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，，所以P 点坐标2242,2121kt t k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又因为点P 在椭圆上，所以()()22222224212121k t t k k +=++，即22212k t +=.因为12||AB x =-===. 又点O到直线l 的距离d =所以平行四边形OAPB 的面积2||OAPB OAB S S AB d ==⋅===即平行四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()2ln 11x f x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）若0m =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．（1）函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调减区间为(),e +∞（2）12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭（1）将0m =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '<和()0f x '>，即可得出该函数的减区间和增区间；（2）由题意得出不等式()2ln 10x x m x --≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()()()21ln 1g x x x m x x =-≥-，利用导数分析出函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，得出该函数的最大值()max g x ，结合()()max 1g x g ≤，可求出实数m 的取值范围.（1）当0m =时，()ln x f x x=，其定义域为()0,∞+， 则()21ln x f x x -'=，当()0,x e ∈时()0f x '>，当(),x e ∈+∞时()0f x '<，故函数()y f x =的单调递增区间为()0,e ，单调减区间为(),e +∞；（2）不等式()0f x ≤，即2ln 110x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即()2ln 10x x m x --≤， 由题可知()2ln 10x x m x --≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，令()()()21ln 1g x x x m x x =-≥-，则()ln 12g x x mx '=+-，令()()ln 121F x x mx x =+-≥，则()12mx F x x-'=， ①若0m ≤，则()0F x '>，函数()y g x '=在[)1,+∞上单调递增，所以()()1120g x g m ''≥=->，则()()10g x g ≥=，不符合题意；②若102m <<，则当11,2x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0F x '>，函数()y g x '=在112,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以当11,2x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()1120g x g m ''≥=->，则()()10g x g ≥=，不符合题意； ③若12m ≥，则()0F x '≤在[)1,+∞上恒成立，函数()y g x '=在[)1,+∞上单调递减， 所以()()1120g x g m ''≤=-≤，所以()()10g x g ≤=，符合题意． 综上，12m ≥，故实数m 的取值范围为12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭． 22. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22sin ―cos ρθρθ=，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数）， （1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P -，求PA PB +的值．（1）220x y -+=，()2214x y ++=；（2. （1）由22sin cos ρθρθ-=，利用,y sin x cos ρθρθ==得到直线l 的普通方程；由曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），利用平方关系消参即可.（2）将直线l的参数方程1xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入曲线C的普通方程得25100t+-=，然后利用t的几何意义，由12||||PA PB t t+=-结合韦达定理求解．（1）因为22sin cosρθρθ-=，所以22y x-=，所以直线l的普通方程为220x y-+=．'因为曲线C的参数方程为2cos12sinxyαα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），所以曲线C的普通方程为()2214x y++=．（2）由题意可得直线l的参数方程为15xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得25100t+-=，则125t t+=-，122t t=-，故12||||PA PB t t+=-==．。
黑龙江省大庆市铁人中学高三数学上学期10月月考试题 文
黑龙江省大庆市铁人中学2015届高三10月月考数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ＝{(x ，y)|x24－y216＝1}，B ＝{(x ，y) |y ＝x )23(}，则A∩B 的子集的个数是( )A ．8B ．4C ．2D ．1 2．在等比数列}{n a 中，4231,4a a a a ⋅==，则=6a （ ）A ．81或—8B ．81或81-C ．81-或8 D ．41或1613．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±52x C ．y ＝±12x D ．y ＝±6x 4．已知圆C 的方程为x2＋y2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13 D ．－155．函数f(x)＝2cos2x －3sin2x(x ∈R)的最小正周期和最小值分别为 ( ) A ．2π，3 B ．2π，－1 C ．π，3 D ．π，－16．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f(x)＝2x －1，则)6(log 21f 的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－67．若函数f(x)＝lnx －12ax2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞-D ．),1[+∞-8．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－6n ，数列{|an|}的前n 项和Tn ，则n T n的最小值是( ) A ．626- B ．513 C ．25D ．39．若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)10．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，y －x≥0，x≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a>1B ．a>－1C ．a<1D ．a<－1 11．函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex ＋1的解集为( )A ．{x|x>0}B ．{x|x<0}C ．{x|x<－1，或x>1}D ．{x|x<－1，或0<x<1} 12．已知点P 是椭圆x216＋y28＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F1PF2的平分线上一点，且01=⋅F ，则||的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若关于x 的不等式2－x2=|x －a|至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________． 14．已知21,e e 是互相垂直的两个单位向量，若向量21e e t +⋅=与向量21e t e ⋅+=的夹角是钝角，则实数t 的取值范围是15．已知1,0,0=+>>b a b a ，则)1)(1(b b a a ++的最小值是 16．下列结论：①已知直线l1：ax ＋3y －1＝0，l2：x ＋by ＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab ＝－3；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③函数f(x)＝lg(x ＋1＋x2)是奇函数；④在△ABC 中，若sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 是直角三角形；⑤“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件；⑥已知a 、b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b|＝|a －2b|；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．其中正确结论的序号为________．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）若函数f(x)＝－x3＋6x2－9x ＋m 在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值． 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)． (1)证明：f(x)在定义域上是增函数；(2)如果f(13)＝－1，求满足不等式f(x)－f(1x －2)≥2的x 的取值范围．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量)2,(c a b -=，)cos ,(cos C B =，且//(1)求角B 的大小；(2)设f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (0<ω)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调区间．20．（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数 f ′(x)＝2x ＋2，数列{an}的前n 项和为Sn ，点(n ，Sn)(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝2n·an，Tn 是数列{bn}的前n 项和，求Tn. 21．（本小题满分12分） 若椭圆C1：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的离心率等于32，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆C1的一个顶点．(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l 的方程． 22．（本小题满分12分） 椭圆的两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且椭圆过点P(1，－32)． (1)求椭圆方程；(2)若 A 为椭圆的左顶点，作AM ⊥AN 与椭圆交于两点M 、N ，试问：直线MN 是否恒过x 轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．[解析] 结合双曲线x24－y216＝1的图形及指数函数y ＝x )23(的图象可知，有3个交点，故A∩B子集的个数为8. 2．[答案] B[解析] 由已知23423a a a a =⋅=，所以41,11323===a a q a ，所以81336±=⋅=q a a ，故选B3．[答案] C[解析] 设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，∵e ＝ca ＝5，c ＝a2＋b2，∴a2＋b2a2＝1＋b a 2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.5．[答案] D[解析] 由题可知，f(x)＝2cos2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝π，最小值为－1，故选D.6．[答案] C[解析] ∵)(x f 为奇函数，6log 6log 221-=，且)(x f 周期为2∴21)12()23(log )26(log )6(log )6(log 23log 222212-=--=-=--=-=f f f f7．[答案] C[解析] 解法1：f ′(x)＝1x －ax －2＝1－ax2－2xx ，由题意知f ′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x －1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，综上知a>－1.解法2：f ′(x)＝1x －ax －2＝1－ax2－2xx ，由题意可知f ′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解． 即a>1x2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a>－1.8．[答案] C [解析] 由已知<<<<<-=43210,72a a a a n a n⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-≤+-=-=)4(1862)3(6232n n n S S n n n S T n n n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-=)4(618)3(6n n n n n n T n当4=n 时，有最小值259．[答案] C[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sinC<sinA<1，又因为BC sinA ＝AB sinC＝2，故BC ＝2sinA ，所以3<BC<2，故选C.解法二：由条件知，BCsin π3<3<BC ，∴3<BC<2.10．[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a>1， 故a<－1，故选D. 11．[答案] A[解析] 构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex ，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f ′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f ′(x)]－ex>ex －ex ＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex 为R 上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0. 12．[答案] B[解析] 延长F1M 交PF2或其延长线于点G ，∵01=⋅F ，∴01=⊥F 又MP 为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|且M 为F1G 的中点，∵O 为F1F2的中点， ∴OM//F2G.，且|OM|=12|F2G|. ∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF2|－|PF1||，∴|OM ＝12|2a －2|PF2||＝|4－|PF2||.∵4－22<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋22，∴||OM ∈(0,22)．解法2：||22|)224()224(|21||||||21||00021x x x PF PF =--+=-=而)4,0(||0∈x ，∴||OM ∈(0,22)．13．[答案] [－94，2)[解析] y ＝2－x2是开口向下的抛物线，y ＝|x －a|是与x 轴交于(a,0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2－x2(x<0)的图象都在折线下方，由2－x2＝x －a 得x2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝－94，此时y ＝x －a 与y ＝2－x2(x<0)相切，故－94≤a<2.14．[答案] )0,1()1,(-⋃--∞[解析] ∵向量与向量的夹角是钝角，∴0<⋅，且π>≠<, 由0)()(2121<⋅+⋅+⋅e t e e e t ，且0,1||||2121=⋅==e e e e ，得0<t令0),(2121<⋅+=+⋅λλe t e e e t ，则⎩⎨⎧⋅==t t λλ1，于是1-=t 故，0<t ，且1-=t15．[答案] 425[解析] 由已知ab b a 21≥+=，∴410≤<ab∴2112)(1)1)(1(2222222-+=+-++=+++=++ab ab ab ab b a b a ab b a b a b b a a当且仅当41=ab 时，取最小值42516．[答案] ③④⑤[解析] 当b ＝a ＝0时，有l1⊥l2，故①不正确；②的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；f(－x)＝lg(－x ＋1＋x2)＝lg(1x ＋1＋x2)＝－f(x)，所以③正确；由sinAcosB ＝sinC 得sinAcosB ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ，所以cosAsinB ＝0，所以cosA ＝0，即A ＝π2，所以△ABC是直角三角形，所以④正确；∵m>n>0，∴0<1m <1n ，方程mx2＋ny2＝1化为x21m ＋y21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴⑤是真命题；由于|a ＋2b|＝|a －2b|⇔(a ＋2b)2＝(a －2b)2⇔a·b＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴⑥是假命题．17．[解析] f ′(x)＝－3x2＋12x －9＝－3(x －1)(x －3)，----------------------------------2分 由f ′(x)=0得， x=1或x=3， f(x)的值随x 的变化情况如下表：-------------6分 由已知f(x)的最小值为f(1)＝f(4)＝m －4＝2，∴m ＝6 ------------8分 ∴f(x)在[0,4]上的最大值为f(0)＝f(3)＝m ＝6 -------------10分18．[解析] (1)令x ＝y ＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0. -------------2分 令y ＝1x ，得f(1)＝f(x)＋f(1x )＝0，故f(1x )＝－f(x)． -------------4分任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)，由于x2x1>1，则f(x2x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．------6分(2)由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)，故f(3)＝1，在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x ＝y ＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2， ------------8分又由(1)知－f(1x －2)＝f(x －2)，故所给不等式可化为f(x)＋f(x －2)≥f(9)，即f[x(x －2)]≥f(9)， ------------10分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x －2>0，x x －2≥9，解得x≥1＋10，∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)． ------------12分 19．[解析] (1)由m ∥n 得，bcosC ＝(2a －c)cosB ， ∴bcosC ＋ccosB ＝2acosB.由正弦定理得，sinBcosC ＋sinCcosB ＝2sinAcosB ， 即sin(B ＋C)＝2sinAcosB.又B ＋C ＝π－A ，∴sinA ＝2sinAcosB. ------------2分 又sinA≠0，∴cosB ＝12，而B ∈(0，π)，∴B ＝π3. ------------4分(2)由题知f(x)＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)，-----6分由已知得πωπ=||2，∵0<ω，∴2-=ω，f(x)＝－3sin(2x －π6)，------------8分由226222πππππ+≤-≤-k x k ，得Zk k x k ∈+≤≤-,36ππππ由2326222πππππ+≤-≤+k x k ，得Zk k x k ∈+≤≤+,653ππππ 故，函数f(x)的单调递增区间是Z k k k ∈++],65,3[ππππ；单调递减区间是Zk k k ∈+-],3,6[ππππ ------------12分20．[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx ，f ′(x)＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2，f(x)＝x2＋2x ， ------------2分 ∴Sn ＝n2＋2n ，∴当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(n2＋2n)－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1， 又a1＝S1＝3，适合上式，∴an ＝2n ＋1. ------------6分 (2)bn ＝(2n ＋1)·2n，∴Tn ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n，∴2Tn ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n＋1， ------------8分 相减得－Tn ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n)－(2n ＋1)·2n＋1 ＝6＋2·4·1－2n －11－2－(2n ＋1)·2n＋1＝(1－2n)·2n＋1－2，∴Tn ＝(2n －1)·2n＋1＋2. ------------12分 21．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b2，由离心率e ＝c a ＝4－b22＝32得，b2＝1. ------------2分∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x2＝4y. ------------4分(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y ＝14x2，∴y′＝12x ，∴切线l1、l2的斜率分别为12x1、12x2，当l1⊥l2时，12x1·12x2＝－1，即x1·x2＝－4， ------------8分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x2＝4y.得x2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0. 又x1·x2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足Δ>0∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0. ------------12分22．[解析] (1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意c ＝3，且椭圆过点P(1，－32)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝1.∴椭圆方程为x24＋y2＝1. ------------4分(2)解法1：由已知直线MN 与y 轴不垂直，假设其过定点)0,(a T ，设其方程为a my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x a my x 得042)4(222=-+++a amy y m ------------6分设)(),,(2211y x N y x M ，则44422221221+-=⋅+-=+m a y y m amy y∴a y y m a my a my x x 2)(212121++=+++=+2212122121)())((a y y am y y m a my a my x x +++=++=⋅∵AN AM ⊥，∴0=⋅，即0)2(),2(211=+⋅+x y x ∴04)(2212121=++++y y x x x x∴0)2())(2()1(221212=++++++a y y a m y y m ------------10分 即0)2(4)2(24)2)(2)(1(22222=++++-+-++a m a am m a a m若2-=a ，则T 与A 重合，不合题意，∴02≠+a ，整理得56-=a综上，直线MN 过定点)0,56(-T ------------12分 以下解法请酌情给分(2)解法2：由已知，AM 与AN 斜率存在且不为0 不妨设直线AM 的方程为2-=my x ，则直线AN 的方程为21--=y m x当1±=m 时，MN ⊥x 轴，可得直线MN 方程为56-=x ，∴直线MN 过定点)0,56(-T②当1±≠m 时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y xmy x 得04)4(22=-+my y m ，解得442+=m m y M，于是4)4(2222+-=-=m m my x M M由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=142122y x y m x 同理得222414,41)41(2m my m m x N N +-=+-=∴直线MN 斜率)1(4541)41(24)4(2414442222222-=+--+-+++=--=m m m m m m m mm m x x y y k N M N M MN∴直线MN 方程为)4)4(2()1(45442222+---=+-m m x m m m m y 即)56()1(45)5)1(4444)4(2()1(45222222+-=-⋅+++---=x m m m m m m m m x m m y综上，直线MN 过定点)0,56(-T (2)解法3：①若MN ⊥x 轴，由AM ⊥AN 及椭圆的对称性知：4π=∠=∠NAO MAO由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x x y 得56-=x 或2-=x （舍），可见，直线MN 过定点)0,56(-T ②若直线MN 与x 轴不垂直，假设直线MN 过定点)0,(a T ，由已知，直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为)0()(≠-=k a x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)(22y x a x k y 得0448)41(22222=-+-+a k ax k x k设)(),,(2211y x N y x M ，则2222122214144418k a k x x k ak x x +-=⋅+=+∴222122122121)()()(a k x x a k x x k a x k a x k y y ++-=-⋅-=⋅ ∵AN AM ⊥，∴0=⋅，即0)2(),2(211=+⋅+x y x ∴04)(2212121=++++y y x x x x∴04))(2()1(22212212=+++-++a k x x a k x x k ∴04418)2(41)44)(1(222222222=+++⋅-++-+a k k a k a k k a k k整理得0121652=++a a ，解得56-=a ，或2-=a （舍）‘①当1±=k 时，MN ⊥x 轴，可得直线MN 方程为56-=x∴直线MN 过定点)0,56(-T ②当1±≠k 时， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得0)28(216)41(2222=-+++k x k x k ，即0]28)41)[(2(22=-+++k x k x ∴222414,41)41(2k ky k k x M M +-=+-= 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=14)2(122y x x k y 同理得44,4)4(2222+-=+-=m k y m k x N N∴直线MN斜率)1(454)4(241)41(2414442222222kkkkkkkkkkxxyykNMNMMN-=+--+-+--+-=--=。
黑龙江省大庆铁人中学2015届高三上学期10月月考数学文试卷
黑龙江省大庆铁人中学2015届高三上学期10月月考数学文试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24－y 216＝1}，B ＝{(x ，y ) |y ＝x )23(}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．8B ．4C ．2D ．12．在等比数列}{n a 中，4231,4a a a a ⋅==，则=6a （ ）A ．81或—8B ．81或81-C ．81-或8D ．41或1613．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±52xC ．y ＝±12x D ．y ＝±6x4．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13 D ．－155．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最小值分别为 ( ) A ．2π，3 B ．2π，－1 C ．π，3 D ．π，－16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则)6(log 21f 的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12 D ．－67．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞-D ．),1[+∞- 8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则nT n的最小值是( ) A ．626- B ．513 C ．25D ．3 9．若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)10．已知x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a >1B ．a >－1C ．a <1D ．a <－111．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}12．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且01=⋅MP M F ，则||OM 的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3) D ．(0,4]第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若关于x 的不等式2－x 2=|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________． 14．已知21,e e 是互相垂直的两个单位向量，若向量21e e t a +⋅=与向量21e t e b ⋅+=的夹角是钝角，则实数t 的取值范围是15．已知1,0,0=+>>b a b a ，则)1)(1(bb a a ++的最小值是16．下列结论：①已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③函数f (x )＝lg(x ＋1＋x 2)是奇函数；④在△ABC 中，若sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 是直角三角形；⑤“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件；⑥已知a 、b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．其中正确结论的序号为________．三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）若函数f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋m 在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)证明：f (x )在定义域上是增函数；(2)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (1x －2)≥2的x 的取值范围．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量)2,(c a b m -=，)cos ,(cos C B n =，且n m // (1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (0<ω)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )的单调区间．20．（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n .21．（本小题满分12分）若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆C 1的一个顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）椭圆的两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且椭圆过点P(1，－3 2)．(1)求椭圆方程；(2)若A为椭圆的左顶点，作AM⊥AN与椭圆交于两点M、N，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．[解析] 结合双曲线x 24－y 216＝1的图形及指数函数y ＝x )23(的图象可知，有3个交点，故A ∩B 子集的个数为8. 2．[答案] B[解析] 由已知23423a a a a =⋅=，所以41,11323===a a q a ，所以81336±=⋅=q a a ，故选B 3．[答案] C[解析] 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝ca ＝5，c ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15. 5．[答案] D[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最小值为－1，故选D. 6．[答案] C[解析] ∵)(x f 为奇函数，6log 6log 221-=，且)(x f 周期为2∴21)12()23(log )26(log )6(log )6(log 23log 222212-=--=-=--=-=f f f f 7．[答案] C[解析] 解法1：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x－1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x 2－2x 在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1. 8．[答案] C[解析] 由已知 <<<<<-=43210,72a a a a n a n⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-≤+-=-=)4(1862)3(6232n n n S S n n n S T n n n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-=)4(618)3(6n n n n n n T n当4=n 时，有最小值259．[答案] C[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝ABsin C ＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C.解法二：由条件知，BC sin π3<3<BC ，∴3<BC <2. 10．[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1， 故a <－1，故选D. 11．[答案] A[解析] 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 12．[答案] B[解析] 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G ，∵01=⋅MP M F ，∴01=⊥MP M F 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点， ∴OM //F 2G .，且|OM|=12|F 2G|. ∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 2|－|PF 1||， ∴||OM ＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|||OM ∈(0,22)．解法2：||22|)224()224(|21||||||21||00021x x x PF PF OM =--+=-=而)4,0(||0∈x ，∴|||OM ∈(0,22)． 13．[答案] [－94，2)[解析] y ＝2－x 2是开口向下的抛物线，y ＝|x －a |是与x 轴交于(a,0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2－x 2(x <0)的图象都在折线下方，由2－x 2＝x －a 得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝－94，此时y ＝x －a 与y ＝2－x 2(x <0)相切，故－94≤a <2. 14．[答案] )0,1()1,(-⋃--∞[解析] ∵向量a 与向量b 的夹角是钝角，∴0<⋅b a ，且π>≠<b a , 由0)()(2121<⋅+⋅+⋅e t e e e t ，且0,1||||2121=⋅==e e e e ，得0<t令0),(2121<⋅+=+⋅λλe t e e e t ，则⎩⎨⎧⋅==t t λλ1，于是1-=t故，0<t ，且1-=t 15．[答案]425 [解析] 由已知ab b a 21≥+=，∴410≤<ab ∴2112)(1)1)(1(2222222-+=+-++=+++=++abab ab ab b a b a ab b a b a b b a a 当且仅当41=ab 时，取最小值425 16．[答案] ③④⑤[解析] 当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故①不正确；②的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；f (－x )＝lg(－x ＋1＋x 2)＝lg(1x ＋1＋x 2)＝－f (x )，所以③正确；由sin A cos B ＝sin C 得sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以cos A sin B ＝0，所以cos A ＝0，即A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形，所以④正确；∵m>n>0，∴0<1m<1n，方程mx2＋ny2＝1化为x21m＋y21n＝1，故表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．∴⑤是真命题；由于|a＋2b|＝|a－2b|⇔(a＋2b)2＝(a－2b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，因此p是q的充要条件，∴⑥是假命题．17．[解析]f′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，----------------------------------2分由f′(x)=0得，x=1或x=3，f(x)的值随x的变化情况如下表：分由已知f(x)的最小值为f(1)＝f(4)＝m－4＝2，∴m＝6 ------------8分∴f(x)在[0,4]上的最大值为f(0)＝f(3)＝m＝6 -------------10分18．[解析](1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0. -------------2分令y＝1x，得f(1)＝f(x)＋f(1x)＝0，故f(1x)＝－f(x)．-------------4分任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)，由于x2x1>1，则f(x2x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．------6分(2)由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)，故f(3)＝1，在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，------------8分又由(1)知－f (1x －2)＝f (x －2)， 故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f [x (x －2)]≥f (9)， ------------10分 ∴⎩⎨⎧ x >0，x －2>0，x (x －2)≥9，解得x ≥1＋10，∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)． ------------12分19．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ，∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . ------------2分又sin A ≠0，∴cos B ＝12，而B ∈(0，π)，∴B ＝π3. ------------4分 (2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， -----6分由已知得πωπ=||2，∵0<ω，∴2-=ω，f (x )＝－3sin(2x －π6)，------------8分 由226222πππππ+≤-≤-k x k ，得Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ 由2326222πππππ+≤-≤+k x k ，得Z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ 故，函数f (x )的单调递增区间是Z k k k ∈++],65,3[ππππ；单调递减区间是Z k k k ∈+-],3,6[ππππ ------------12分20．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ------------2分∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. ------------6分(2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ，∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1， ------------8分相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2. ------------12分21．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ------------2分∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y . ------------4分(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， ------------8分 由⎩⎨⎧ y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y .得x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足Δ>0∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0. ------------12分22．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点P (1，－ 32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1.⇒⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. ------------4分 (2)解法1：由已知直线MN 与y 轴不垂直，假设其过定点)0,(a T ，设其方程为a my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x a my x 得042)4(222=-+++a amy y m ------------6分 设)(),,(2211y x N y x M ，则44422221221+-=⋅+-=+m a y y m am y y ∴a y y m a my a my x x 2)(212121++=+++=+2212122121)())((a y y am y y m a my a my x x +++=++=⋅∵AN AM ⊥，∴0=⋅AN AM ，即0)2(),2(211=+⋅+x y x ∴04)(2212121=++++y y x x x x∴0)2())(2()1(221212=++++++a y y a m y y m ------------10分即0)2(4)2(24)2)(2)(1(22222=++++-+-++a m a am m a a m 若2-=a ，则T 与A 重合，不合题意，∴02≠+a ，整理得56-=a 综上，直线MN 过定点)0,56(-T ------------12分 以下解法请酌情给分(2)解法2：由已知，AM 与AN 斜率存在且不为0不妨设直线AM 的方程为2-=my x ，则直线AN 的方程为21--=y mx ① 当1±=m 时，MN ⊥x 轴，可得直线MN 方程为56-=x ，∴直线MN 过定点)0,56(-T ②当1±≠m 时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x my x 得04)4(22=-+my y m ， 解得442+=m m y M ，于是4)4(2222+-=-=m m my x M M 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=142122y x y m x 同理得222414,41)41(2m m y m m x N N +-=+-= ∴直线MN 斜率)1(4541)41(24)4(2414442222222-=+--+-+++=--=m m m m m m m m m m x x y y k N M NM MN ∴直线MN 方程为)4)4(2()1(45442222+---=+-m m x m m m m y 即)56()1(45)5)1(4444)4(2()1(45222222+-=-⋅+++---=x m m m m m m m m x m m y综上，直线MN 过定点)0,56(-T (2)解法3：:①若MN ⊥x 轴，由AM ⊥AN 及椭圆的对称性知：4π=∠=∠NAO MAO 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x x y 得56-=x 或2-=x （舍），可见，直线MN 过定点)0,56(-T ②若直线MN 与x 轴不垂直，假设直线MN 过定点)0,(a T ，由已知，直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为)0()(≠-=k a x k y 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)(22y x a x k y 得0448)41(22222=-+-+a k ax k x k 设)(),,(2211y x N y x M ，则2222122214144418ka k x x k a k x x +-=⋅+=+ ∴222122122121)()()(a k x x a k x x k a x k a x k y y ++-=-⋅-=⋅ ∵AN AM ⊥，∴0=⋅AN AM ，即0)2(),2(211=+⋅+x y x ∴04)(2212121=++++y y x x x x∴04))(2()1(22212212=+++-++a k x x a k x x k ∴04418)2(41)44)(1(222222222=+++⋅-++-+a k ka k a k k a k k 整理得0121652=++a a ，解得56-=a ，或2-=a （舍） ‘①当1±=k 时，MN ⊥x 轴，可得直线MN 方程为56-=x ∴直线MN 过定点)0,56(-T ②当1±≠k 时， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得0)28(216)41(2222=-+++k x k x k ， 即0]28)41)[(2(22=-+++k x k x ∴222414,41)41(2kk y k k x M M +-=+-= 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=14)2(122y x x k y 同理得44,4)4(2222+-=+-=m k y m k x N N ∴直线MN 斜率)1(454)4(241)41(2414442222222k k k k k k k k k k x x y y k N M NM MN -=+--+-+--+-=--=。
大庆铁人中学高三上学期期中考试数学 (文科) 试卷
大庆铁人中学高三上学期期中考试数学 (文科) 试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.sin600°的值是A.21B. -21C. 23D. -232.等差数列{}n a 中，11a =,3514a a +=，其前n 项和100n S =,则n =（ ）A.9B.10C.11D.123. 函数1y =04x ≤≤）的反函数是（ ）（A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤）（C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤ 4.若()x x f 2cos 3sin -=，则()=x f cos ( )（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （ ）A.向左平移3π个单位 B.向左平移125π个单位C.向右平移3π个单位 D.向右平移125π个单位6.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]37.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n T S 、，已知37+=n nT S n n ，则55b a 等于（ ） A ． 7 B ．32 C ．827 D ．4218.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9.函数)2(log )(2+-=ax x x f a 在区间()+∞,1上恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,1B.(]2,1C.()()2,11,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,1 10.若数列{}n a 的通项公式为)()43(3)43(7*122N n a n n n ∈-=--，则数列{}n a 的 ( )A.最大项为,5a 最小项为6aB. 最大项为,6a 最小项为7aC. 最大项为,1a 最小项为6aD. 最大项为,7a 最小项为6a11.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21312.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为 （ ）（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置） 13.已知数列{}n a 为等比数列，若S n ＝49，S n 2＝112，求S n 3= 。
黑龙江省大庆市铁人中学高三10月月考数学(理)试题(含
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2)∪(3,4)2.下列命题中是假命题的是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∀a >0，f (x )＝ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减3.已知a 、b 为实数，则“2a >2b ”是“ln a >ln b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.函数f (x )＝2x ＋x －4的零点所在的区间为( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)5. 已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A. 0 B.43 C ．－3 D ．236.x ＝π4是函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的一条对称轴，且f (x )的最大值为22，则函数g (x )＝a sin x ＋b ( )A ．最大值是2，最小值是－2B ．最大值可能是0C ．最大值是4，最小值是0D ．最小值不可能是－47. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量CD →在AB →方向上的投影A.322B. C ．－322D ．－8. 已知f (x )＝(1)(4)2(1)2x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 9. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到 g (x )＝cos2x 的图象，则只要将f (x )的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 10. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( ) A ．102n mile B ．103n mile C ．202n mile D ．203n mile 11.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *).若b 3＝－2,b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 12. 函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为A ．8B ．9C ． 16D ．17二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13设{a n }是首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为14如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 _________ ．15.数列{a n }通项公式a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2,前n 项和为S n ，则S 2015＝16. 给出下列四个命题： ①命题的否定是；②函数)10(11)(≠>+-=a a a a x f xx 且在上单调递减； ③设是上的任意函数， 则|| 是奇函数， +是偶函数；④定义在上的函数对于任意的都有,则为周期函数； ⑤已知幂函数的图象经过点，则的值等于其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）。
黑龙江省大庆市铁人中学高三10月月考数学(文)试题(含
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24－y 216＝1}，B ＝{(x ，y ) |y ＝}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．8B ．4C ．2D ．1 2．在等比数列中，，则（ ）A ．或—8B ．或C ．或8D ．或3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±52xC ．y ＝±12x D ．y ＝±6x4．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A.13B.15 C ．－13 D ．－155．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最小值分别为 ( ) A ．2π，3 B ．2π，－1 C ．π，3 D ．π，－16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－67．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则的最小值是( ) A ． B ． C ． D ．39．若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2) 10．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a >1B ．a >－1C ．a <1D ．a <－111．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}12．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且，则的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3) D ．(0,4]第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若关于x 的不等式2－x 2=|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．14．已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 15．已知，则的最小值是 16．下列结论：①已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③函数f (x )＝lg(x ＋1＋x 2)是奇函数；④在△ABC 中，若sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 是直角三角形；⑤“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件；⑥已知a 、b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．其中正确结论的序号为________．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）若函数f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋m 在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)证明：f (x )在定义域上是增函数；(2)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (1x －2)≥2的x 的取值范围．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量，，且 (1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B2＋sin ωx ()，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )的单调区间． 20．（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n .21．（本小题满分12分） 若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆C 1的一个顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点P (1，－ 32)． (1)求椭圆方程；(2)若 A 为椭圆的左顶点，作AM ⊥AN 与椭圆交于两点M 、N ，试问：直线MN 是否恒过x 轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．[解析] 结合双曲线x 24－y 216＝1的图形及指数函数y ＝的图象可知，有3个交点，故A ∩B 子集的个数为8.2．[答案] B[解析] 由已知，所以，所以，故选B 3．[答案] C[解析] 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝ca ＝5，c ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2a 2＝1＋(b a)2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.4．[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.5．[答案] D[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最小值为－1，故选D. 6．[答案] C[解析] ∵为奇函数，，且周期为2∴21)12()23(log )26(log )6(log )6(log 23log 222212-=--=-=--=-=f f f f7．[答案] C[解析] 解法1：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.1－ax 2－2xx ， 解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x 2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.8．[答案] C[解析] 由已知 <<<<<-=43210,72a a a a n a n⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-≤+-=-=)4(1862)3(6232n n n S S n n n S T n n n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-=)4(618)3(6n n n n n n T n 当时，有最小值 9．[答案] C[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝ABsin C＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C.解法二：由条件知，BC sin π3<3<BC ，∴3<BC <2.10．[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1， 故a <－1，故选D. 11．[答案] A[解析] 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 12．[答案] B[解析] 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G ，∵，∴又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，∴OM //F 2G .，且|OM|=12|F 2G|. ∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 2|－|PF 1||，∴＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|∈(0,22)． 解法2：||22|)224()224(|21||||||21||00021x x x PF PF OM =--+=-=而，∴|∈(0,22)． 13．[答案] [－94，2)[解析] y ＝2－x 2是开口向下的抛物线，y ＝|x －a |是与x 轴交于(a,0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2－x 2(x <0)的图象都在折线下方，由2－x 2＝x －a 得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝－94，此时y ＝x －a 与y ＝2－x 2(x <0)相切，故－94≤a <2.14．[答案][解析] ∵向量与向量的夹角是钝角，∴，且由0)()(2121<⋅+⋅+⋅e t e e e t ，且0,1||||2121=⋅==e e e e ，得 令0),(2121<⋅+=+⋅λλe t e e e t ，则，于是 故，，且 15．[答案] [解析] 由已知，∴∴2112)(1)1)(1(2222222-+=+-++=+++=++abab ab ab b a b a ab b a b a b b a a 当且仅当时，取最小值 16．[答案] ③④⑤[解析] 当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故①不正确；②的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；f (－x )＝lg(－x ＋1＋x 2)＝lg(1x ＋1＋x2)＝－f (x )，所以③正确；由sin A cos B ＝sin C 得sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以cos A sin B ＝0，所以cos A ＝0，即A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形，所以④正确；∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y 21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴⑤是真命题；由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴⑥是假命题．17．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋12x －9＝－3(x －1)(x －3)，----------------------------------2分 由f ′(x )=0得， x =1或x =3， f (x )的值随x 的变化情况如下表： x 0 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )m递减m －4递增m递减m －4-------------6分 由已知f (x )的最小值为f (1)＝f (4)＝m －4＝2，∴m ＝6 ------------8分 ∴f (x )在[0,4]上的最大值为f (0)＝f (3)＝m ＝6 -------------10分18．[解析] (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0. -------------2分 令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )． -------------4分任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)，由于x 2x 1>1，则f (x 2x 1)>0，从而f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．------6分(2)由于f (13)＝－1，而f (13)＝－f (3)，故f (3)＝1，在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2， ------------8分 又由(1)知－f (1x －2)＝f (x －2)，故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f [x (x －2)]≥f (9)， ------------10分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x (x －2)≥9，解得x ≥1＋10，∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)． ------------12分19．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . ------------2分 又sin A ≠0，∴cos B ＝12，而B ∈(0，π)，∴B ＝π3. ------------4分(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， -----6分由已知得，∵，∴，f (x )＝－3sin(2x －π6)，------------8分由226222πππππ+≤-≤-k x k ，得Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ由2326222πππππ+≤-≤+k x k ，得Z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ 故，函数f (x )的单调递增区间是Z k k k ∈++],65,3[ππππ； 单调递减区间是Z k k k ∈+-],3,6[ππππ ------------12分20．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ------------2分 ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1， 又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. ------------6分 (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ，∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1， ------------8分 相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2. ------------12分21．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝ca＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ------------2分 ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y . ------------4分(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， ------------8分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y .得x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足Δ>0∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0. ------------12分22．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点P (1，－ 32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. ------------4分 (2)解法1：由已知直线MN 与y 轴不垂直，假设其过定点，设其方程为由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x a my x 得042)4(222=-+++a amy y m ------------6分设，则44422221221+-=⋅+-=+m a y y m amy y∴a y y m a my a my x x 2)(212121++=+++=+2212122121)())((a y y am y y m a my a my x x +++=++=⋅∵，∴，即0)2(),2(211=+⋅+x y x ∴04)(2212121=++++y y x x x x∴0)2())(2()1(221212=++++++a y y a m y y m ------------10分即0)2(4)2(24)2)(2)(1(22222=++++-+-++a m a am m a a m 若，则T 与A 重合，不合题意，∴，整理得 综上，直线MN 过定点 ------------12分 以下解法请酌情给分(2)解法2：由已知，AM 与AN 斜率存在且不为0 不妨设直线AM 的方程为，则直线AN 的方程为① 当时，MN ⊥x 轴，可得直线MN 方程为，∴直线MN 过定点②当时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x my x 得04)4(22=-+my y m ，解得，于是4)4(2222+-=-=m m my x MM由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=142122y x y mx 同理得222414,41)41(2m my m m x N N +-=+-=∴直线MN 斜率)1(4541)41(24)4(2414442222222-=+--+-+++=--=m m m m m m m mm m x x y y k NM NM MN ∴直线MN 方程为)4)4(2()1(45442222+---=+-m m x m m m m y 即)56()1(45)5)1(4444)4(2()1(45222222+-=-⋅+++---=x m m m m m m m m x m m y 综上，直线MN 过定点(2)解法3：:①若MN ⊥x 轴，由AM ⊥AN 及椭圆的对称性知：4π=∠=∠NAO MAO由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x x y 得或（舍），可见，直线MN 过定点②若直线MN 与x 轴不垂直，假设直线MN 过定点，由已知，直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为)0()(≠-=k a x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)(22y x a x k y 得0448)41(22222=-+-+a k ax k x k 设，则2222122214144418ka k x x k a k x x +-=⋅+=+ ∴222122122121)()()(a k x x a k x x k a x k a x k y y ++-=-⋅-=⋅∵，∴，即0)2(),2(211=+⋅+x y x∴04)(2212121=++++y y x x x x∴04))(2()1(22212212=+++-++a k x x a k x x k ∴04418)2(41)44)(1(222222222=+++⋅-++-+a k ka k a k k a k k 整理得，解得，或（舍）‘①当时，MN ⊥x 轴，可得直线MN 方程为 ∴直线MN 过定点②当时， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得0)28(216)41(2222=-+++k x k x k ， 即0]28)41)[(2(22=-+++k x k x ∴222414,41)41(2k k y k k x M M +-=+-= 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=14)2(122y x x k y 同理得44,4)4(2222+-=+-=m k y m k x N N∴直线MN 斜率)1(454)4(241)41(2414442222222k k k k k k k k k k x x y y k N M NM MN -=+--+-+--+-=--=。
大庆铁人中学2023届高三上学期期末阶段考试数学试题及答案(含解析)
A. 的图象关于点 对称B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上单调递减D. 在 上的最小值为0
【答案】ABC
【解析】
【详解】当 时， ，所以 的图象关于点 对称，A正确；
当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，B正确；
当 时， ， 在 上单调递减，故C正确；
当 时， ， 在 上的最小值为 ，D错误.
铁人中学2020级高三学年上学期期末阶段考试
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若 ，则 的值为（）
A. B.2C. D.3
【答案】D
【解析】
【详解】解：因为 ，所以 ，
故设 ，则 ，
所以 .
故选：D
2.已知集合 ， ，则 （）
B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C.勒洛四面体的截面面积的最大值为
D.勒洛四面体的体积
【答案】ABD
【解析】
【详解】首先求得正四面体的一些结论：
正四面体 棱长为 ， 是底面 的中心， 是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为 ， 是高，如图．
， ，
由 得 ，解得 ， （内切球半径）．
正四面体 的体积为 ，外接球体积为 ．
对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，故A正确；
对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，
其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，
易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，
易知B、O、E三点共线，且 ， ，
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大庆铁人中学高三年级上学期阶段考试文科数学试题满分：150分 考试时间:120分钟第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
请考生把答案填写在答题纸相应位置上。
） 1.设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N 等于( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1} D ．{1,2}2.设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若┑p 是┑q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 4．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α等于( ) A.55 B.255 C ．－55D ．－2555．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)6．已知,x y 满足约束条件，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ． 3B ． 2C ． ﹣2D ． ﹣37．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）+（y ﹣2）=1相切，则反射 A ． ﹣或﹣ B ． ﹣或﹣ C ． ﹣或﹣ D ．﹣或﹣ 8．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值59．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．5 B.15 C ．4 D.1410．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( ) A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0 B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0 C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0 D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<011．设函数()(sin cos )x f x e x x =-(02015)x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．220152(1)1e e e πππ--B ．22015(1)1e e eπππ-- C ．2015211e e ππ-- D ．20162(1)1e e e πππ-- 12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98] C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
请考生把答案填写在答题纸相应位置上。
）13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤2)，f (x －2)(x >2)则f (log 27)＝________.14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.15．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x2x2的大小关系是__________________．(用“<”连接)16．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
） 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,已知3,2π==C c .(1)若ABC ∆的面积等于3,求b a ,(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．(1)证明：直线EE 1∥平面FCC 1；(2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．20．（本小题满分12分）抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若＝2，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 21．（本小题满分12分）已知曲线2()(1)ln (,)y f x a x b x a b R ==-+∈在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1. (1)若函数f (x )的图象在[)2,+∞上为减函数，求a 的取值范围； (2)当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．22．（本小题满分12分） 设函数()2()1.x f x x e ax =-- （1）若1,2a =求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.参考答案DADBA BDABA DC742.5(ln xx)2<ln xx<ln x2x2[－1e，＋∞)17.解18.解法一设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－32.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m－12<2，f(2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m－1)2－4≥0，－3<m<1，4＋(m－1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m≥3或m≤－1，－3<m<1，m≥－32.∴－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．方法二显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋1x，又∵y＝x＋1x在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增，∴y＝x＋1x在(0,2]的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1]．19.(1)证：取A 1B 1的中点F 1，连接FF 1，C 1F 1，由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此平面FCC 1，即为平面C 1CFF 1，连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C . 又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1， 故EE 1∥平面FCC 1. (2)取FC 的中点H ，由于FC ＝BC ＝FB ，所以BH ⊥FC .又BH ⊥CC 1，所以BH ⊥平面FCC 1.过H 作HG ⊥C 1F 于G ，连接BG .由于HG ⊥C 1F ，BH ⊥平面FCC 1，所以C 1F ⊥BHG ，因此BG ⊥C 1F ，所以∠BGH 为所求二面角的平面角，在Rt △BHG 中，BH ＝3，又FH ＝1，且△FCC 1为等腰直角三角形，所以HG ＝22，BG ＝3＋12＝142，因此cos ∠BGH ＝GH BG ＝22142＝77，即所求二面角的余弦值为77. 20.(1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为＝2，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB.因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.21.解 (1)因为'()2ax 2a bf x x=-+，由题可知'(1)1f b ==2()(1)ln f x a x x =-+，2'1221(x)2ax 2a ax ax f x x -+=-+=2min 1112,,24a a x x ⎛⎫⎛⎤≤-=-∈-∞- ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦ （2）令()()[)'2111()()1,()2ax 2a 1,1,ax x g x f x x g x x x x--=-+=-+-=∈+∞ 当20a ≤，即0a ≤，'()0g x ≤，()g x 在[)1,+∞上递减，则≤g(x)g(1)=0,符合[)(]'11()0,g(x)1,+()(1)0,21111111,g(1)ln(1)0,,02g x g x g a a a a a ≤≥∞>=>+>+=+>-∞当0<时，在递增，矛盾当时，且矛盾，综上a 的取值范围是 22.(理科)解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x )＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x－kx )x 3.由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减，故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增．故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e22.综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e ，e22)．（文科）解（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，'()1(1)(1)x x xf x e xe x e x =-+-=-+。