2015-2016学年北京市西城区高一(上)数学期末试卷 及解析

2015-2016学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．（4分）化简+﹣等于（）A．B．C．D．3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）5．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．﹣8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）A．2 B．2 C．D．9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）A．3 B．4 C．7 D．810．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：①函数f（x）的最小值是1；②函数f（x）的最大值是；③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．其中全部正确结论的序号是（）A．②B．②③C．①③D．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）sin=．12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则=．（用，表示）13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=．21．（4分）log2=，3=．22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=．23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x ∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是．24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=和x1=时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）2015-2016学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．2．（4分）化简+﹣等于（）A．B．C．D．【解答】解：+﹣=﹣=．故选：B．3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±【解答】解：向量=（，1），=（2，x）共线，可得，解得x=．故选：B．4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）【解答】解：函数f（x）=cosx的单调递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z．故选：C．5．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y=sinxcosx=sin2x，周期为T==π，且其图象关于原点对称，故为奇函数，故选：A．6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：B．7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：当x=时，函数y=sin（x+）取得最大值，所以a的值可以是．故选：A．8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）A．2 B．2 C．D．【解答】解：非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．可得=4，4﹣2||+||2=4则||=2．故选：A．9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【解答】解：∵函数y=2sin（2πx）的振幅为2，∴作函数y=2sin（2πx）与y=x在[﹣2，2]上的图象如下，，结合图象可知，函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为7，故选：C．10．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：①函数f（x）的最小值是1；②函数f（x）的最大值是；③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．其中全部正确结论的序号是（）A．②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：∵函数f（x）=|sinx|+|cosx|=，故当sin2x=0时，函数取最小值1，故①正确；当sin2x=±1时，函数取最大值，故②正确；当x∈（0，）时，2x∈（0，），此时sin2x随x的增大从0增至1，故函数f（x）为增函数，故③正确；故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）sin=．【解答】解：sin=﹣．故答案为：．12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则=．（用，表示）【解答】解：==，=．故答案为．13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．【解答】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===﹣．故答案为：．14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．【解答】解：=2．||=2，||=2，∴cos＜＞==．∴，的夹角是．故答案为．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．【解答】解：∵α∈（0，π），且cosα=﹣sin，∴cosα=cos（）=cos，∴．故答案为：．16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，∴f（π）=sinπω=﹣1，即πω=2kπ﹣，即ω=2k﹣，∵在区间（0，）上单调递增，∴T=≥，即2ω≤3，则0＜ω≤，则当k=1时，ω=，满足条件．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵α∈（，π），且sinα=．∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．（Ⅱ）===﹣．18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．【解答】解：（Ⅰ）若A=2，求f（x）=2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[﹣，2]．（Ⅱ）分别令2x+=，2x+=，求得B、C的横坐标分别为，，故B（，A）、C（，A），可得D（+，0），即D（，0）．若BD⊥CD，∴=（﹣，A）（，A）=﹣+A2=0，∴A=．19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．【解答】解：（1）以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：则A（0，0），B（1，0），C（﹣，）.=（1，0），=（﹣，）．∴•=﹣．（2）=x+y=（x﹣，）．∵||=1．∴（x﹣）2+（）2=1．∴x2+y2=1+xy≥2xy．∴xy≤1．∴xy的最大值是1．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1} ．【解答】解：∵U=R，B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，又A={x|x＞0}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．21．（4分）log2=，3=6．【解答】解：log2=，3=3×2=6．故答案为：；6．22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=﹣1．【解答】解：∵f（2）=﹣，∴f（a）+f（2）=0可化为f（a）=，∴2a=或﹣=，解得，a=﹣1或a=﹣2（舍去）；故答案为：﹣1．23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x ∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是a＜2．【解答】解：f（a）＞f（x+1）在x∈[1，2]上恒成立，∵函数f（x）是定义在R上的减函数，∴a＜x+1在x∈[1，2]上恒成立，∴a＜2．24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为0.4升/小时．【解答】解：根据题意得，x=0时，y=0.1；x=30时，y=0.8；代入函数y=e kx+b中，可得e b=0.1，e30k+b=0.8，∴e30k=8，∴e10k=2；当x=20时，y=e20k+b=e20k•e b=（e10k）2•e b=22×0.1=0.4；即液体在20℃的蒸发速度是0.4升/小时．故答案为：0.4．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）为奇函数，证明如下：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=；∴f（x）为奇函数；（Ⅱ）由f（2x）＞2x得，；∴；∴2x＜log25；∴；即；∴实数x的取值范围为（﹣∞，）．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，∴f（x）在区间[0，2]上的值域为[﹣1，0]；（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）=x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，故t（a）=g（2）=4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，而g（a）=a2，g（2）=4﹣4a，g（a）﹣g（2）=a2+4a﹣4=（a﹣2+2）（a+2+2），故当0＜a＜2﹣2时，t（a）=g（2）=4﹣4a，当2﹣2≤a＜1时，t（a）=g（a）=a2，当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，故t（a）=g（a）=a2，当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，t（a）=g（2）=4a﹣4，故t（a）=，故t（a）的最小值为t（2﹣2）=12﹣8．27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=和x1=时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）【解答】解：（Ⅰ）由已知，∴d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}=max{max{}，max{}}=max{}=．（Ⅱ）取，此时试验误差为．以下证明，这是使试验误差达到最小的试验设计．证明：分两种情况讨论x1点的位置，①当时，如图所示，如果≤x2，那么d≥1﹣x2＞，如果≤x2≤1，那么d≥x2﹣x1＞；②当．综上，时，d．同理得时，．∴时，试验的误差蕞小．（Ⅲ）当x1=时预计误差d′的最小值为，当x1=时预计误差d′的最小值为．。