2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一(上)数学期末试卷和 解析
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一(上)期末数学试卷
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知直线经过点A(0, 4)和点B(1, 2)，则直线AB的斜率为( )A.−2B.3C.不存在D.22. 圆x2+y2−2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A.外切B.相离C.内切D.相交3. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n // α，则m⊥n②若α // β，β // γ，m⊥α，则m⊥γ③若m // α，n // α，则m // n④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β其中正确命题的序号是()A.②和③B.①和②C.③和④D.①和④4. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()A.60∘B.45∘C.90∘D.120∘5. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A.92B.2C.32D.36. 已知a、b是两条异面直线，c // a，那么c与b的位置关系（）A.一定是相交B.一定是异面C.不可能垂直D.不可能平行7. 自点A(3, 5)作圆C：(x−2)2+(y−3)2=1的切线，则切线的方程为（）A.3x−4y+11=0B.3x+4y−29=0C.y=3或3x−4y+11=0D.x=3或3x−4y+11=08. 如图，O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是( )A.等腰梯形B.直角梯形C.不可能是梯形D.非直角且非等腰的梯形9. k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30∘<θ<90∘，则k的取值范围是（）A.√33<k<1 B.0<k<√33C.k<√33D.k>√3310. 两圆相交于点A(1, 3)、B(m, −1)，两圆的圆心均在直线x−y+c＝0上，则m+c的值为（）A.2B.−1C.3D.011. 在体积为15的斜三棱柱ABC−A1B1C1中，S是C1C上的一点，S−ABC的体积为3，则三棱锥S−A1B1C1的体积为（）A.32B.1C.2D.312. 若动点A(x1, y1)，B(x2, y2)分别在直线l1:x+y−7=0和l2:x+y−5=0上移动，点N在圆C:x2+y2= 8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A.2(√3−√2)B.√2C.2√2D.√3二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．在空间直角坐标系o−xyz中，已知点A(1, −2, 1)，B(2, 1, 3)，点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．已知点A(1, 2)、B(3, 1)，则线段AB的垂直平分线的方程是________．过点(3, 1)作圆(x−2)2+(y−2)2=4的弦，其中最短的弦长为________．如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A1B1BA；③二面角A−B1E−B为钝角；④A1C // 平面AB1E．其中正确命题的序号为________．（写出所有正确命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．求经过直线l1:3x+4y−5=0与直线l2:2x−3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程.(1)与直线2x+y+5=0平行；(2)与直线2x+y+5=0垂直．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S−ABCD中，∠ABC=90∘，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P 的坐标；（3）连接AP，证明：AP // 面EFG．已知圆C:x2+y2+4x+4y+m=0，直线l:x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P(1, 1)，且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．如图1，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′−ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B // 平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．=√2，动点Q的轨迹为曲线C 已知直线l:y=kx−2，M(−2, 0)，N(−1, 0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O:x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=π时，求k的值；2，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否（3）若k=12过定点．参考答案与试题解析2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】此题暂无答案【考点】斜率三州算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用空间验置且与脱面之间的位置关系空间使如得与平度之间的位置关系空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】棱柱三实构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】斜二测来法画兴观图平面图射的直观初【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】正切函射的单调加直线于倾斜落直体的氯率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦直线和圆体方硫的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】过两较燥线自制的直线系方程直线的较般式划程皮直校的垂直关系直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平三平行定判定简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行直线验周面垂直棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦直线与都连位置关系圆锥曲三的综合度题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
福建省南安第一中学2014-2015学年高一上学期数学期末复习卷(一)Word版含答案
ABCDA 1B 1C 1D 1南安一中高一上学期数学期末复习卷（一）2015.1姓名 班级 号数 成绩一．选择题：(每题5分,共60分)1．直线023=+-y x 的倾斜角的大小是： A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 2.如右图所示的直观图，其平面图形的面积为：A. 3B. 6C. 3．已知直线01)1(=-+-y x a a 与直线012=++ay x 垂直，则实数a 的值等于（ ） Ａ．21 B ．23 C ． 0或21 D ． 0或23 4．圆柱的底面积为S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为 （ ）A ．S πB ． 2S πC ．3S πD ．4S π5．经过圆0222=++x y x 的圆心C ，且与直线0=+y x 平行的直线方程是 A.01=++y x B ． 01=+-y x C ．01=-+y xD ．01=--y x6．已知,m n 是两条不重合的直线, ,αβ是不重合的平面, 下面四个命题中正确的是（ ） A.若,m n α⊂∥α, 则m ∥n B.若,m n m β⊥⊥,则n ∥β C.若,n αβ=m ∥n ,则m ∥α且m ∥βD.若,m m αβ⊥⊥, 则α∥β7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为 （ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．908．若直线1=+bya x 与圆122=+y x 有公共点，则 A ．122≤+b a B ．122≥+b a C ．11122≥+b a D ．11122≤+ba9.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k范围是（ ）DBA ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k 10．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 （ ）A ．1)37()3(22=-+-y x B ．1)1()2(22=-+-y xC ．1)3()1(22=-+-y xD ．1)1()23(22=-+-y x11.过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ．042=-+y x B.052=-+y x C.073=-+y x D ．032=++y x 12．侧棱长为a 的正三棱锥P-ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （ ） A ．22a π B ．22a πC ．23a π D ．23a π二．填空题:(每题4分,共16分)13．已知A （1，-2，1），B （2，2，2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|,则点P 的坐标为 ．14．已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，则它们的公共弦所在直线的方程15．已知如右图，正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ， 且AP=2,则PC 与平面PAB 所成的角为 度.16. 已知平面上一点(5,0)M , 若直线上存在点P , 使||4PM =, 则称该直线为“点M 相关直线”, 下列直线中是“点M 相关直线”的是 .(只填序号) ① 1y x =+ ② 2y = ③430x y -= ④210x y -+= 三．解答题:(共76分)17．已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为.43- （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.18、如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，M 、N 分别为BB 1、A 1C 1的中点. （Ⅰ）求证：AB ⊥CB 1； （Ⅱ）求证：MN//平面ABC 1.19、直线l 经过点(5,5)P ，且和圆C ：2225x y +=相交，截得弦长为l 的方程.20、一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中E 、F 分别是PB 、AD 的中点）. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求三棱锥B —AEF 的体积。
福建省南安一中2014届高三上学期期末数学文试题(含答案)
ＡＢＰ ＣＥ Ｆ南安一中2013～2014学年度上学期期末考高三数学文科试卷班级 姓名： 座号： 一、选择题：每小题５分，共６０分１．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，)(x f ＝２2x －x ，则)1(f 的值是（ ） （A ）－1 （B ）－３ （C ）１ （D ）３２．若)(x f ＝3sinϕ+x （]2,0[πϕ∈）是偶函数，则ϕ的值是（ ） （Ａ）2π （Ｂ）32π （Ｃ）23π （Ｄ）35π３．在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别是a 、b 、c ，若bcosA=acosB,则△ＡＢＣ是（ ）（Ａ）等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ） 等腰直角三角形 （Ｄ） 等边三角形４．已知数列{}n a 中，1a =1，若121+=-n n a a （n ≥2），则5a 的值是（ ） （A ） 7 （B ）5 （Ｃ）30 （Ｄ）31５．直线Ｌ：x －y －２＝０被圆4)(22=+-y a x 截得的弦长为２2，则a 的值是（ ）（Ａ）－１或3 （Ｂ）１或３ （Ｃ）－２或６ （Ｄ）０或４６．已知双曲线12222=-by a x （a>0 , b>0 ）的一条渐近线方程是x y 3=，且双曲线与抛物线x y 242=有共同的一个焦点，则双曲线的方程是（ ）（A ）11083622=-y x （B ）127922=-y x （C ）13610822=-y x （D ）192722=-y x ７．已知x>0，y>0，xy ＝２x ＋８y ，当xy 取得最小值时，x 、y 的值分别是（ ）（Ａ）x ＝１６，y ＝４ （Ｂ）x ＝４，y ＝１６ （Ｃ）x ＝８，y ＝８ （Ｄ）x ＝２，y ＝８８．已知)(x f ＝4)cos()sin(++++βπαπx b x a ,若5)2013(=f ，则)2014(f 的值是（ ） （Ａ） ２ （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５９．如图：ＰＡ⊥⊙Ｏ所在的平面，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上的一点，ＡＥ⊥ＰＣ，ＡＦ⊥ＰＢ， 给出下列结论①ＡＥ⊥ＢＣ，②ＡＥ⊥ＰＢ，③ＡＦ⊥ＢＣ④ＡＥ⊥平面ＰＢＣ，其中正确命题的序号是（ ） （Ａ） ① ② （Ｂ）① ③（Ｃ）① ② ④ （Ｄ）① ③ ④ １０．以下命题中真命题的个数是（ ）（１）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l （２）若直线l 在平面α外，则α//l （３）若n m //，α⊂n ，则α//m（４）若n m //，α⊂n ，则m 平行于α内无数条直线（Ａ）4 （Ｂ）２ （Ｃ）1 （Ｄ）0１１．已知)(x f ＝xx3log 51-⎪⎭⎫ ⎝⎛，若0x 是y ＝)(x f 的零点，当00x x <<时，)(x f 的值是（ ）（Ａ）恒为正值 （Ｂ）恒为负数 （Ｃ）恒为０ （Ｄ）不能确定1２．某几何体的一条棱长为５，该几何体的正视图中，这条棱的投影长为４，在侧视图和俯视图中，这条棱的投影长分别为m 、n ，则22n m +的值是（ ） （A ）3 （B ） 4 （C ）5 （D ） 34 二．填空题：每小题４分，共１６分1３．设)(x f =x x +3（x ∈R ）当20πθ<≤时0)1()sin (≥-+m f m f θ恒成立，则m 的取值范围是 1４．若212sin 2cos 1=+αα，则tan α的值是１5．若点（３，１）是抛物线px y 22=的一条弦的中心点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是1６．在xoy 平面上有一系列点1P （1x ，1y ）、2P （2x ，2y ）┉n P （n x ，n y ），对于每个自 然数n ，点n P （n x ，n y ）位于函数2x y =（x ≥０）图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切， 又与⊙1+n P 外切，若1x ＝１，1+n x <n x （n ∈+N ），则数列{}n x 的通项公式n x ＝ 三．解答题：１7．（１２分）已知)(x f ＝13sin 322sin 2++-x x ， （１）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间 （２）当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域１8．（１２分）设数列{}n a 的首项351=a ，n n a a 31321+=+ （n ∈+N ） （１）求证：数列{}1-n a 为等比数列（２）记n S ＝+1a +2a +3a ┉＋n a ，求n S 的值１9．（１２分）已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，∠ABC ＝４５°，ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１ （１） 求证：ＡＢ//平面ＰＣＤ （２） 求证：ＢＣ⊥平面ＰＡＣ（３） 若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ－ＡＣＤ的体积20．（１２分）已知函数)(x f =m bx ax x --221ln （１）若a ＝b ＝21且m ＝１，求)(x f 的最大值 （２）当a ＝０，b ＝－１时，方程m )(x f ＝2x 有唯一的一个实数解，求正数m 的取值范围Ｍ ＣＢＡ Ｐ21．（１２分）椭圆Ｇ:12222=+by a x （a>0 , b>0 ）与x 轴交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ是它的右焦点，若⋅，＝－１且｜ＯＦ｜＝１（１）求椭圆Ｃ的标准方程（２）设椭圆Ｇ的上顶点为Ｍ，是否存在直线Ｌ，Ｌ交椭圆于Ｐ（1x ，1y ）、Ｑ（2x ，2y ）两点，满足ＰQ ⊥MF ，且｜ＰＱ｜＝34２2．（１４分）已知函数)(x f ＝2x －４，点1A （1x ，０），过点1A 作x 轴的垂线交抛物线Ｃ：y ＝)(x f 于点1B ，过1B 作抛物线Ｃ：y ＝)(x f 的切线与x 轴交于点2A （2x ，０），过点2A 作x 轴的垂线交抛物线Ｃ：y ＝)(x f 于点2B ，过点2B 作抛物线Ｃ：y ＝)(x f 的切线交x 轴于点3A （3x ，０）┉依次下去，得到1x 、2x 、3x ┉，n x ，其中1x >０， （１）求1+n x 与n x 的关系式 （２）若1x >２，记22lg -+=n n n x x a ，证明数列{}n a 是等比数列（３）若1x ＝922，求数列{}n na 的前n 项和n s南安一中2013～2014)高三数学文科试卷一选择题：每小题５分，共６０分 １．Ｂ解：3)12()1()1(-=+-=--=f f ２．Ｃ解：由3sinϕ+x ＝3sin ϕ+-x 得3sin x 3cos ϕ＝０恒成立，∵ ]2,0[πϕ∈ ∴ϕ＝23π ３．Ａ解：Sin （A －Ｂ）＝０ ∵ －π<Ａ－Ｂ<π ∴Ａ＝Ｂ ４．Ｄ解：∵ 121+=-n n a a ∴)1(211+=+-n n a a ∴12-=n n a ５．Ｄ解：由242|2|-=-a 得 a ＝０或４６．Ｂ解：设双曲线方程为λ=-3122y x 则４λ＝３６ ∴127922=-y x ７．A 解：∵xy ＝２x ＋８y xy 162≥，即xy ≥６４，当且仅当x ＝１６，y ＝４时取等号 ８．Ｂ解：∵5)2013(=f ∴54)2013cos()2013sin(=++++βπαπb a∴1cos sin =--βαb a ∴34)2014cos()2014sin(=++++βπαπb a９．C 解：ＡＥ⊥平面ＰＢＣ ＢＣ⊥平面ＰＡＣ 故① ② ④正确１０．C 解：（１）（２）（３）错 （４）正确 １１．A 解：∵)(x f 是减函数 ∴当010x x <<时，)(x f >)(0x f =01２．D 解：在长方体ABCD －1111D C B A 中，对角线11C A =5，设相邻三边长分别为x 、y 、z ，则222z y x ++=25,且22z x +=16 ∴y=3 ∵229m z =+，229n x =+∴22n m +=341822=++z x二．填空题：每小题４分，共１６分1３． m ≤1解：∵)(x f 是奇函数且为增函数，由)1()sin (-≥m f m f θ得1sin -≥m m θ∴m ≤θsin 11- ∵θsin 11-≥1 ∴m ≤11４． 2解：∵212sin 2cos 1=+αα ∴21cos sin 2cos 22=ααα ∴tan α＝２１５． 2解：由⎩⎨⎧=-=pxy x y 2522得４2x －（２０＋２p ）x ＋２５＝０，∴6210=+p∴p ＝２ 1６． 121-=n x n 解：∵212121)()()(++++=-+-n n n n n n y y y y x x ∴112++=-n n n n x x x x三．解答题：１7．(12分)已知)(x f ＝13sin 322sin 2++-x x ， （１）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间 （２）当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域 解（１）：)(x f ＝13sin 322sin 2++-x x ＝1)32sin(2++πx∴ Ｔ＝π 由πk 2－2π≤２x ＋3π≤πk 2+2π得πk －125π≤x ≤πk ＋12π∴)(x f 的单调递增区间是［πk －125π，πk ＋12π］ k ∈Ｚ ┉┉┉┉┉┉６分（２）当]6,6[ππ-∈x 时，]32,0[32ππ∈+x )32s i n (π+x ]1,0[∈ ∴ ]3,1[)(∈x f 即)(x f 的值域是［１，３］ ┉┉┉┉┉┉１２分 １8．(12分)设数列{}n a 的首项351=a ，n n a a 31321+=+ （n ∈+N ） （１）求证：数列{}1-n a 为等比数列（２）记n S ＝+1a +2a +3a ┉＋n a ，求n S 的值 解：（１）∵n n a a 31321+=+ ∴1+n a －１＝31（n a ＋１）∵1a －１＝32∴ 数列{}1-n a 是首项32，公比为31的等比数列 ┉┉┉┉┉┉６分 （２）∵ n a ＝32131-⎪⎭⎫⎝⎛⨯n ＋１∴ n S ＝+1a +2a +3a ┉＋n a＝32n n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-123131311 ＝１＋n －n⎪⎭⎫⎝⎛31 ┉┉┉１２分１9．(12分) 已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，∠ABC ＝４５°，ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１ （４） 求证：ＡＢ//平面ＰＣＤ （５） 求证：ＢＣ⊥平面ＰＡＣ（６） 若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ－ＡＣＤ的体积解：（１）∵ＡＢ//ＣＤ ＡＢ⊄平面ＰＣＤ ＣＤ⊂平面ＰＣＤ∴ＡＢ//平面ＰＣＤ ┉┉┉┉┉┉４分（２）在直角梯形ＡＢＣＤ中，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，则四边形ＡＤＣＥ为矩形， ∴ＡＥ＝ＤＣ＝１又ＡＢ＝２，∴ＢＥ＝１，在Ｒt △ＢＥＣ中，∠ABC ＝４５°，∴ＣＥ＝ＢＥ＝１，ＣＢ＝2 则ＡＣ＝22CD AD +＝2 ∴222AB BC AC =+∴ ＢＣ⊥ＡＣ∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ∴ＰＡ⊥ＢＣ∵ＰＡ∩ＡＣ＝Ａ， ∴ＢＣ⊥平面ＰＡＣ ┉┉┉┉┉┉８分 （３）∵Ｍ是ＰＣ的中点，∴Ｍ到平面ＡＤＣ的距离是Ｐ到平面ＡＤＣ的距离的一半 ∴12121)1121(312131=⨯⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=∆-PA S V ACD ACD M ┉┉┉┉┉┉１２分 20．(12分)已知函数)(x f =m bx ax x --221ln （１） 若a ＝b ＝21且m ＝１，求)(x f 的最大值 （２） 当a ＝０，b ＝－１时，方程m )(x f ＝2x 有唯一的一个实数解，求正数m 的取值范围 解：（１）)(x f =x x x 2141ln 2--∴)('x f ＝xx x x x 2)1)(2(21211-+-=-- 由)('x f ＝０且x>０得x ＝１∴)(x f 的最大值是)1(f ＝－4┉┉┉┉┉┉６分Ｍ Ｃ ＢＡ Ｐ（２）设)ln ()(2x x m m x x g +-=防 则xm x m x m x m x x g ))(2(2)(2'-+=--= 令)('x g ＝０且x>０得x ＝m∴)(x g 的最小值是m m m m m m m m g ln )ln ()(22-=+-=∵方程m )(x f ＝2x 有唯一的一个实数解 ∴m ＝１ ┉┉┉１２分21．(12分)椭圆Ｇ:12222=+by a x （a>0 , b>0 ）与x 轴交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ是它的右焦点，若FB FA ⋅＝－１且｜ＯＦ｜＝１（１）求椭圆Ｃ的标准方程（２）设椭圆Ｇ的上顶点为Ｍ，是否存在直线Ｌ，Ｌ交椭圆于Ｐ、Ｑ两点，满足ＰQ ⊥MF ，且｜ＰＱ｜＝34，若存在，求直线Ｌ的方程，若不存在，请说明理由。
2014-2015年福建省泉州市南安一中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
三、解答题：本大题共 5 小题，其中第 21 题第 22 题 14 分，其他每题 13 分， 共 80 分． 16． （12 分）已知等比数列{an}的公比 q＞1，a1，a2 是方程 x2﹣3x+2=0 的两根． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{2n•an}的前 n 项和 Sn． 17． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AC⊥BD 于 O，E 为 线段 PC 上一点，且 AC⊥BE， （1）求证：PA∥平面 BED； （2）若 BC∥AD，BC= 正弦值． ，AD=2 ，PA=3 且 AB=CD，求 PB 与面 PCD 所成角的
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13． （4 分）设实数 x，y 满足 ∥ ，则实数 m 的最大值为 14． （4 分）若 的系数和为 ．
，向量 =（2x﹣y，m） ， =（﹣1，1） ．若 ． ，则 （1﹣2x）n 的所有项
15． （4 分）函数 f（a）=（3m﹣2）a+b﹣2m，当 m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1 恒成立，则 的最大值与最小值之和为 ．
2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高三（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个正确答 案. 1． （5 分）设集合 P={3，log2a}，Q={a，b}，若 P∩Q={0}，则 P∪Q=（ A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} ）
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）时，顶点 P，Q，
恰好同时落在曲线 y= （x＞0）上（如图所示） ，求实数 k 的值．
19． （12 分）已知抛物线 F 的顶点为坐标原点，焦点为 F（0，1） ． （1）求抛物线 F 的方程； （2）若点 P 为抛物线 F 的准线上的任意一点，过点 P 作抛物线 F 的切线 PA 与 PB，切点分别为 A，B．求证：直线 AB 恒过某一定点； （3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推 广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出 的命题的正确性和一般性酌情给分） 20． （12 分）已知函数 f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ 对数的底数． （1）判断函数 y=f（x）在（0， （2）∀ x1∈[0， ]，∃ x2∈[0， ）内的零点的个数，并说明理由； ]，使得 f（x1）+g（x2）≥m 成立，试求实 ex，其中 e 是自然
2014-2015年福建省泉州市高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．（5分）设向量=（1，2），=（﹣2，1），则下列结论中不正确的是（）A．|﹣|=|+|B．（﹣）⊥（+）C．||=||D．∥3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤84．（5分）若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n5．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使+取得最小值的正实数．若曲线y=a x ﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M，则点M的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）8．（5分）在平面直角坐标系中，以点C（﹣1，3）为圆心的圆与双曲线r：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（）A．或B．或C．或D．9．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30°B．AB=2，CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°C．AB=2，CD=2，AC=4，∠ACD=30°D．CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°10．（5分）已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知i为虚数单位，则复数的化简结果为．12．（4分）已知sin（+θ）=，θ∈（，2π），则sin2θ．13．（4分）一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为．14．（4分）设f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*．若f n （x）的图象经过点（a n，1）则a n=．15．（4分）已知函数f（x）=，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项与公差都为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2，试求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．18．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，F在线段AC1上，且AF=2FC1，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1F∥平面A1BD；（Ⅲ）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．19．（13分）已知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短半轴长为；斜率为的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）试探究是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．20．（14分）已知：函数f（x）=，g（x）=；直线l1：x=a，l2：x=b（0＜a ＜b）．（Ⅰ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），试求h（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S1；函数g（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S2；①若a+b=2，试判断S1、S2的大小，并加以证明；②证明：对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【选修4-2】矩阵与交换21．（7分）已知矩阵A=的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量=．（Ⅰ）试求矩阵A﹣1；（Ⅱ）求曲线2x﹣y+1=0经过A﹣1所对应的变换作用下得到的曲线方程．【选修4-4】坐标系与参数方程22．（7分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．【选修4-5】不等式选讲23．已知函数f（x）=3+2的最大值为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）解关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≥M2．2014-2015学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：由x2﹣2x≤0，得0≤x≤2，∴B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则∁R B={x|x＜0或x＞2}，又A={x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（∁R B）={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故选：A．2．（5分）设向量=（1，2），=（﹣2，1），则下列结论中不正确的是（）A．|﹣|=|+|B．（﹣）⊥（+）C．||=||D．∥【解答】解：由已知﹣=（3，1），+=（﹣1，3），所以|﹣|=|+|=；故A正确；并且3×（﹣1）+1×3=0，所以（﹣）⊥（+）正确；||==||，故C正确；故选：D．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤8【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．4．（5分）若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解答】解：对于A，若m∥n，n⊂α，则直线m⊂α或者m∥α；故A错误；对于B，若m∥α，n⊂α，直线m与n可能平行或者异面；故B错误；对于C，若m⊥n，n⊂α，直线m与α可能平行或者斜交；故C错误；对于D，m⊥α，n⊂α，则m⊥n，由线面垂直的性质可知，D正确．故选：D．5．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线平行，则（m﹣1）（m﹣1）﹣8=0，即即m2﹣9=0，解得m=﹣3或m=3，当m=3时，两直线方程为2x+y+2=0，8x+4y+2=0满足直线平行，当m=﹣3时，两直线方程为﹣4x+y+2=0，8x﹣2y﹣4=0，此时两直线重合，m≠﹣3，故m=3，则“m=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C．6．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数f（x﹣1）在（﹣∞，0）上是增函数，∵函数f（x）的图象，是由函数f（x﹣1）的图象像左平移一个单位得到，∴选项B符合故选：B．7．（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使+取得最小值的正实数．若曲线y=a x ﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M，则点M的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：∵m+n=1，∴+=（m+n）（+）=1+4+≥5=9，当且仅当，即n2=4m2，即n=2m，由m+n=1，得3m=1，解得n=，m=，取等号，曲线y=a x﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M（m，1+n），即（，），故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系中，以点C（﹣1，3）为圆心的圆与双曲线r：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（）A．或B．或C．或D．【解答】解：设圆的半径为r，双曲线的渐近线方程为y=x，设C到渐近线bx﹣ay=0的距离为圆的半径r，C到渐近线bx+ay=0的距离为d，则由劣弧所对的圆心角为120°，即有rcos60°=d，即r=2d，由点到直线的距离公式可得=2•，即为3a+b=2|3a﹣b|，即有3a+b=6a﹣2b或3a+b=2b﹣6a，即a=b或b=9a，即c=a或c=a，即有e==或．故选：B．9．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30°B．AB=2，CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°C．AB=2，CD=2，AC=4，∠ACD=30°D．CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°【解答】解：对于A，设AC∩BD=O，由∠ABD=45°，∠ACD=30°，结合正弦定理可得OD与OC，OB与OA的比例关系，再由AC=4可求BD的长；对于B、C，由已知结合三角形全等的条件可确定梯形ABCD，梯形确定，则BD 长度确定；对于D，CD的长度一定，∠ABD、∠ACD的大小一定，但AC、BD的长度可以变化，只要保证变化过程中满足AB∥CD，四边形ABCD就是梯形，∴BD长度不能确定．故选：D．10．（5分）已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（）A．4B．6C．8D．12【解答】解：∵集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤2，a，b∈R}，Q⊆P，∴数对（a，b）满足|a|+|b|≤2，∴圆心可行域为{（a，b）||a|+|b|≤2}画出圆心的可行域如图所示正方形ABCD所表示的区域，包含边界，设目标函数z=2a+3b，则当目标函数过点A（0，2）时，z有最大值，最大值为2×0+3×2=6故选：B．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知i为虚数单位，则复数的化简结果为1﹣i．【解答】解：=．故答案为：1﹣i．12．（4分）已知sin（+θ）=，θ∈（，2π），则sin2θ﹣．【解答】解：∵sin（+θ）=cosθ=，又∵θ∈（，2π），∴sinθ=﹣=﹣，∴s in2θ=2sinθcosθ=2×=﹣，故答案为：﹣．13．（4分）一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为16+8．【解答】解：根据几何体的三视图，得，该几何体是如图所示的四棱柱；底面ABCD是边长为2的正方形，且棱A 1D1在底面ABCD内的射影是BC，∴该四棱柱的表面积为2S 正方形ABCD+2+2=2×22+2×2×2+2×2×=16+8．故答案为：16+8．14．（4分）设f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*．若f n （x）的图象经过点（a n，1）则a n=21﹣n﹣1．（x）=f（f n（x）），n∈N*．【解答】解：∵f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1∴f1（x）=2x+1，2a1+1=1，解得a1=0，图象经过点（0，1）；f2（x）=f（f1（x））=2（2x+1）+1=4x+3，由4a2+3=1，解得，图象经过点（﹣，1）；f3（x）=f（f2（x））=2（4x+3）+1=8x+7，由8a3+7=1，解得a3=﹣，图象经过点（﹣，1）；…，∴a1=0=﹣，a2=﹣=﹣，a3=﹣=﹣，…，可得a n=﹣=21﹣n﹣1．故答案为：21﹣n﹣1．15．（4分）已知函数f（x）=，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，]∪[1，+∞）．【解答】解：y=f（x）﹣|x﹣1|=，在直角坐标系中，画出函数y=f（x）﹣|x﹣1|和y=|x﹣k|的图象，①当k=1时，它们都过（1，0），当x＜1时，y=|x﹣1|=1﹣x，y=f（x）﹣|x﹣1|=﹣2x2+3x﹣1，由1﹣x﹣（﹣2x2+3x﹣1）=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2＞0，则有x≤1时，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，x＞1由图象可得f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；②当k=时，它们都过（，0），当x＞，y=|x﹣|=x﹣，由于x＞1时，f（x）＜0，只要考虑＜x＜1，y=f（x）﹣|x﹣1|=﹣2x2+3x﹣1，由x﹣﹣（﹣2x2+3x﹣1）=2x2﹣2x+=2（x﹣）2＞0，则有＜x＜1，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，x＞1或x＜时，由图象可得，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则k=1，时，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；③当k＞1或k＜时，由图象平移可得，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立．综上可得，k的取值范围为k≥1或k≤．故答案为：（﹣∞，]∪[1，+∞）．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项与公差都为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2，试求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{}是首项和公差都为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴，当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，n=1时上式成立，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n﹣1，∴b n=a n+2=2n﹣1+22n﹣1，∴T n=（1+2）+（3+23）+…+（2n﹣1+22n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（2+23+25+…+22n﹣1）=n2+=．17．（13分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．【解答】解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），则函数f（x）的最小正周期T=，由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，即函数的单调递增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．（2）∵若f（A）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，则＜A+＜，∴A+=，解得A=，∵a=b，∴，即sinB=1，则B=．18．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，F在线段AC1上，且AF=2FC1，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1F∥平面A1BD；（Ⅲ）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴BC⊥CC1，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cos∠BAC=3，则|AB|2=|BC|2+|AC|2，∴∠BAC=90°，BC⊥AC，又∵AC⊆平面AA1CC1，CC1⊆平面AA1CC1，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1CC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥CB，如图，以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则有A（1，0，0），B（0，0，），A1（1，1，0），B1（0，1，），C1（0，1，0），D（，0，0），设F（x，y，0），则=（x﹣1，y，0），1=（﹣x，1﹣y，0），∵AF=2FC1，∴，解得，即F（，，0），=（﹣，，），若令，可解得m=1，n=，∴存在m=1，n=，使得，∴向量与，共面，又∵B1，F⊄平面A1BD，∴B1F∥平面A1BD．（Ⅲ）=（﹣，0，），=（，1，0），=（0，0，），设平面A1BD的一个法向量m=（x，y，z），直线BC与平面A1BD所成的角为θ，由得，整理得，令x=2，得平面A1BD的一个法向量m=（2，﹣，1），所以sinθ=||=||=．故直线BC与与平面A1BD所成的角的正弦值为．19．（13分）已知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短半轴长为；斜率为的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）试探究是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得b=，所以a2﹣c2=3，①，又，得，a=2c．②由①②得a=2．所以椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线l过原点时，由椭圆得对称性，可知，|AP|=|BQ|，即以下给出具体证明过程：由（Ⅰ）得，故设直线l的方程为：y=令y=0，得x=，故P（）；令x=0，得y=n，故Q（0，n）故PQ中点横坐标为联立方程组消去y，得3x2+2nx+2n2﹣6=0令△=12n2﹣12（2n2﹣6）＞0，得当时，直线l与椭圆C相交于A，B设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以线段AB的中点横坐标为又因为线段PQ的中点的横坐标为所以综合①②可知，为定值，且定值为120．（14分）已知：函数f（x）=，g（x）=；直线l1：x=a，l2：x=b（0＜a ＜b）．（Ⅰ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），试求h（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S1；函数g（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S2；①若a+b=2，试判断S1、S2的大小，并加以证明；②证明：对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【解答】解：（Ⅰ）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣，∴h′（x）=﹣+，∵x＞0，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令h′（x）＜0，解得：x＞2，∴h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）∵0＜a＜b，∴S1=dx=lnx=lnb﹣lna，S2=dx=（﹣）=﹣，S1﹣S2=lnb﹣lna+﹣，①∵a+b=2，0＜a＜b，∴b=2﹣a，0＜a＜1，且S1﹣S2=ln（2﹣a）﹣lna+﹣，令t（a）=ln（2﹣a）﹣lna+﹣，（0＜a＜1），则t′（a）=﹣++=，∵0＜a≤1时，t′（a）≥0，∴t（a）在区间（0，1]上单调递增，∴当0＜a＜1时，t（a）＜t（1）=0，从而S1＜S2；②证明：令m（x）=﹣lnx﹣+lnb+，（x∈（，1）），则m′（x）=﹣+=，m（1）=lnb+﹣1，m（）=2lnb﹣b+，当x∈（，1）时，m′（x）=≥0，∴m（x）在（，1）单调递增，…①，令p（x）=lnx+﹣1，（x≥1），则p′（x）=≥0，∴p（x）在区间[1，+∞）单调递增，∴当b＞1时，m（1）=lnb+﹣1=p（b）＞p（1）=0，…②，令q（x）=2lnx﹣x+，（x≥1），则q′（x）=﹣1﹣=﹣≤0，∴q（x）在区间[1，+∞）单调递减，∴m（）=2lnb﹣b+=q（b）＜q（1）=0，…③，由①②③得：函数m（x）在区间（，1）内有且只有一个零点，即存在唯一的x∈（，1），使得m（x）=0，综上，对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【选修4-2】矩阵与交换21．（7分）已知矩阵A=的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量=．（Ⅰ）试求矩阵A﹣1；（Ⅱ）求曲线2x﹣y+1=0经过A﹣1所对应的变换作用下得到的曲线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A=的与特征值λ=2对应的一个特征向量为量=，∴=2，解得，所以．∵detA==2，∴．（Ⅱ）矩阵A﹣1对应的变换为，整理，得…（*）将（*）代入2x﹣y+1=0，得2（3x′﹣y′）﹣2x′+1=0，化简，得4x′﹣2y′+1=0．故所求的曲线方程为：4x﹣2y+1=0．【选修4-4】坐标系与参数方程22．（7分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线ρ=4cosθ对应的普通方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，圆心C（2，0）到直线l的距离d==＜2，∴直线l与C相交，过圆心C（2，0）与直线l垂直的直线l′：x+y﹣2=0，与x﹣y﹣4=0联立，解方程组得AB中点的坐标为（，﹣）．【选修4-5】不等式选讲23．已知函数f （x ）=3+2的最大值为M ．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）解关于x 的不等式|x ﹣1|+|x +3|≥M 2． 【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（3+2）2≤（9+4）（x ﹣1+2﹣x ）=13， 则有3+2≤，当且仅当x=时，等号成立，即有M=；（Ⅱ）不等式|x ﹣1|+|x +3|≥M 2．即为|x ﹣1|+|x +3|≥13． ①当x ≤﹣3时，原不等式可化为﹣2﹣2x ≥13，解得x ≤﹣，则有x ≤﹣；②当﹣3＜x ＜1时，原不等式可化为1﹣x +x +3≥13，此时不等式无解； ③当x ≥1时，原不等式可化为x ﹣1+x +3≥13，解得x ≥，则有x≥．综上可得，原不等式的解集为{x |x≤﹣或x ≥}．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一(上)期末数学试卷
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C.2D.不存在【答案】B【解析】解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==-2，故选B．把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．本题考查直线的斜率公式的应用．2.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切【答案】C【解析】解：把圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x-1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，-2），半径分别为R=2和r=1，∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R-r=1，∴R-r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选C把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R-r和R+r的值，判断d与R-r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．圆与圆的位置关系有五种，分别是：当0≤d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）．3.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．4.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A.45°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】解：将展开图还原为正方体后，A、B、C是三个面上的相对顶点，即构成以面对角线为边的正三角形，故∠ABC=60°，故选B．根据展开图还原为正方体后，确定A、B、C构成以面对角线为边的正三角形，即求出所求角的度数．本题考查了正方体的结构特征，关键是根据展开图还原为正方体后，确定A、B、C的具体位置，考查了空间想象能力．5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A.2B.C.D.3解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6.已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能垂直【答案】C【解析】解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C由平行公理，若c∥b，因为c∥a，所以a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．7.自点A（3，5）作圆C：（x-2）2+（y-3）2=1的切线，则切线的方程为（）A.3x+4y-29=0B.3x-4y+11=0C.x=3或3x-4y+11=0D.y=3或3x-4y+11=0【答案】C【解析】解：圆心坐标为（2，3），半径R=1，若切线斜率k不存在，则切线方程为x=3，此时圆心到直线的距离d=3-2=1，满足条件．若切线斜率k存在，则对应的切线方程为y-5=k（x-3），即kx-y+5-3k=0，则由圆心到直线的距离d=，即|2-k|=，平方得k=，则对应的切线斜率为x=3或y-5=k（x-3），即x=3或3x-4y+11=0，故选：C根据直线和圆相切的等价条件即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．8.如图中O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（）A.直角梯形B.等腰梯形C.非直角且非等腰的梯形D.不可能是梯形【答案】A【解析】解：根据斜二测直观图，得；OC⊥OA，OA=O′A′，BC=B′C′，OC=2O′C′；∴原平面图形OABC是直角梯形，如图所示：故选：A．根据斜二测直观图形的特征，得出原平面图形OABC是直角梯形．本题考查了斜二测画出的平面图形的直观图的应用问题，是基础题目．9.k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30°＜θ＜90°，则k的取值范围是（）A.0＜k＜B.＜k＜1C.k＞D.k＜【答案】C【解析】解：由于直线l的倾斜角为α，且30°＜θ＜90°，由正切函数在（0°，90°）是增函数可知：直线的斜率k=tanα＞．直线l斜率的取值范围是k＞故选：C．则当0°≤α＜90°时，斜率k=tanα＞0；当α=90°时，斜率k=tanα不存在；当30°＜θ＜90°时，利用正切函数的单调性，可得直线l斜率的取值范围．本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，正切函数的单调性，属于基础题．10.两圆相交于点A（1，3）、B（m，-1），两圆的圆心均在直线x-y+c=0上，则m+c 的值为（）A.-1B.2C.3D.0【答案】C【解析】解：由题意可知：直线x-y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x-y+c=0的斜率为1，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=-2，则m+c=5-2=3．故选C根据题意可知，x-y+c=0是线段AB的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为-1，而直线x-y+c=0的斜率为1，所以得到过A和B的直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入x-y+c=0中即可求出c 的值，利用m和c的值求出m+c的值即可．此题考查学生掌握两圆相交时两圆心所在的直线是公共弦的垂直平分线，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．11.在体积为15的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，S是C1C上的一点，S-ABC的体积为3，则三棱锥S-A1B1C1的体积为（）A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】解：∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=15，三棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A1B1C1的体积和为V=5∵三棱锥S-ABC的体积为3，∴三棱锥S-A1B1C1的体积2故选C由棱柱的体积与棱锥体积的关系，由于三棱锥S-ABC三棱锥S-A1B1C1的底面全等，高之和等于棱柱的高，我们可得棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A1B1C1的体积和为V（其中V为斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积），进而结合三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=15，三棱锥S-ABC的体积为3，得到答案．本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中分析出棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A1B1C1的体积和为V（其中V为斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积），是解答本题的关键．12.若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，点N在圆C：x2+y2=8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，AB中点M的轨迹方程为：x+y-6=0．圆C：x2+y2=8的圆心（0，0），半径为2，点N在圆C：x2+y2=8上移动，AB中点M到点N距离|MN|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以=．故选：A．求出AB的中点M的轨迹方程，利用圆的圆心到直线的距离，求出最小值减去半径，即可得到结果．力．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.在空间直角坐标系o-xyz中，已知点A（1，-2，1），B（2，1，3），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为______ ．【答案】（0，0，2）【解析】解：设P（0，0，z），因为点A（1，-2，1），B（2，1，3），|PA|=|PB|，所以（1-0）2+（-2-0）2+（1-z）2=（2-0）2+（1-0）2+（3-z）2，解得：z=2．故答案为：（0，0，2）．设出P的坐标，利用距离公式列出方程即可求出P的坐标．本题考查空间两点间的距离公式的应用，设出点的坐标，列出方程是解题的关键．14.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是______ ．【答案】4x-2y-5=0【解析】解：设M的坐标为（x，y），则x==2，y==，所以M（2，）因为直线AB的斜率为=-，所以线段AB垂直平分线的斜率k=2，则线段AB的垂直平分线的方程为y-=2（x-2）化简得4x-2y-5=0故答案为：4x-2y-5=0要求线段AB的垂直平分线，即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB的中点M的坐标，利用A与B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1得到垂直平分线的斜率，根据M的坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程即可．此题考查学生会利用中点坐标公式求线段中点的坐标，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道中档题．15.过点（3，1）作圆（x-2）2+（y-2）2=4的弦，其中最短的弦长为______ ．【答案】2【解析】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：2由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．16.如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A1B1BA；③二面角A-B1E-B为钝角；④A1C∥平面AB1E．其中正确命题的序号为______ ．（写出所有正确命题的序号）【答案】④【解析】解：①CC1与B1E在同一个平面，不是异面直线，不正确；②AE⊥底面A1B1BA，因此不正确；③由AE⊥底面A1B1BA，因此二面角A-B1E-B为直角，因此不正确；④如图所示，连接A1B交AB1于点O，连接EO，则EO∥A1C，∵EO⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E．∴A1C∥平面AB1E．综上可得：其中正确命题的序号为④．故答案为：④．①CC1与B1E在同一个平面，不是异面直线；②AE⊥底面A1B1BA，即可判断出；③由AE⊥底面A1B1BA，因此二面角A-B1E-B为直角；④如图所示，连接A1B交AB1于点O，连接EO，利用三角形的中位线定理可得：EO∥A1C，利用线面平行的判定定理即可得出：A1C∥平面AB1E．本题考查了空间中线线、线面平行与垂直的位置关系判定，考查了推理能力，考查了空间想象能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.求经过直线l1：3x+4y-5=0与直线l2：2x-3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．【答案】解：由，解得，所以，交点M（-1，2）．（1）∵斜率k=-2，由点斜式求得所求直线方程为y-2=-2（x+1），即2x+y=0．（2）∵斜率，由点斜式求得所求直线方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0．的方程，并化为一般式．（2）根据垂直关系求出求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般式．本题考查求两直线的交点坐标的方法，两直线平行、垂直的性质，直线的点斜式方程．18.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【答案】（1）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB，∵BC⊂面SAB，∴面SAB⊥面SBC…（6分）（2）解：已知SA⊥面ABCD，连结AC，则∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，SA=2，，∠…（12分）【解析】（1）证明SA⊥BC利用AB⊥BC，即可证明BC⊥面SAB，利用平面与平面垂直的判定定理证明面SAB⊥面SBC．（2）连结AC，说明∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，求解即可．本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P的坐标；（3）连接AP，证明：AP∥面EFG．【答案】（1）解：如图二（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分）…（4分）（2）解：建立如图一直角坐标系E（4，0，2）P（2，3，4）…（8分）（3）证明：连接AB1，AD1，B1D1，依题意知：E，F，G分别为原长方体所在棱中点，∵GF∥B1D1，GF⊄面AB1D1∴GF∥面AB1D1∵EF∥AB1，EF⊄面AB1D1∴EF∥面AB1D1又GF∩EF=F∴面EFG∥面AB1D1又∵AP⊂面AB1D1∴AP∥面EFG…（12分）【解析】（1）通过几何体的结构特征画出在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸直接写出点E，P的坐标；（3）连接AB1，AD1，B1D1，证明GF∥面AB1D1，EF∥面AB1D1，利用平面与平面平行证明AP∥面EFG．本题考查空间几何体的三视图，以及空间点的坐标的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，空间想象能力以及逻辑推理能力．20.已知圆C：x2+y2+4x+4y+m=0，直线l：x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P（1，1），且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．【答案】解：（1）圆C：x2+y2+4x+4y+m=0即（x+2）2+（y+2）2=8-m圆心C（-2，-2）到直线l的距离，…（2分）若圆C与直线l相离，则d＞r，∴r2=8-m＜2即m＞6…（4分）又r2=8-m＞0即m＜8，∴6＜m＜8…（6分）（2）设圆D的圆心D的坐标为（x0，y0），由于圆C的圆心C（-2，-2），依题意知：点D和点C关于直线l对称，…（7分）则有：⇒，…（10分）∴圆C的方程为：x2+y2=r2，又因为圆C过点P（1，1），∴⇒，∴圆D的方程为：x2+y2=2…（12分）【解析】（1）求出圆C的圆心与直线l相离，通过距离大于半径，即可求m的取值范围；（2）通过圆D过点P（1，1），以及求出圆C关于直线l对称的对称点，求出圆的半径即可求圆D的方程．本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离以及直线与的位置关系的应用，考查计算能力．21.如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE 折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′-ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．【答案】解：（1）证明：在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠AEB=90°，即ABCE=AE，∴BE⊥平面D'AE，AD'⊂平面D'AE∴AD'⊥BE…（4分）（2）取AE中点F，连接D'F，则D'F⊥AE∵平面D'A E⊥平面ABCE，且平面D'A E∩平面ABCE=AE，D'F⊥平面ABCE，∴′′=…（8分）（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，若D'B∥平面PAC∵D'B⊂平面D'BE平面D'BE∩平面PAC=PQ∴D'B∥PQ…（10分）∴在△EBD'中，，∵在梯形ABCE中′，即′∴′∴在棱D'E上存在一点P，且′，使得D'B∥平面PAC…（12分）【解析】（1）证明BE⊥AE，然后BE⊥平面D'A E，通过直线与平面垂直的性质定理证明AD'⊥BE．（2）取AE中点F，连接D'F，证明D'F⊥平面ABCE，得到棱锥的高，然后求解棱锥的体积．（3）连接AC交BE于Q，连接PQ，证明D'B∥PQ利用比例关系，即可在棱D'E上存在一点P，且′，使得D'B∥平面PAC．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力．22.已知直线l：y=kx-2，M（-2，0），N（-1，0），O为坐标原点，动点Q满足，动点Q 的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值；（3）若k=，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．【答案】解：（1）设点Q（x，y），依题意知…（2分）（2）∵点O为圆心，∠AOB=，∴点O到l的距离…（6分）∴=• ⇒…（8分）（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，…（9分）设，，则圆心，，半径得）即又C、D在圆O：x2+y2=2上∴：即…（12分）由得∴直线CD过定点，…（14分）【解析】（1）设点Q（x，y），依题意知，整理得曲线C的方程；（2）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离，可求k的值；（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x2+y2=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点．本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
福建省南安一中2014届高三上学期期末数学文试题(含答案)
Ｐ Ｅ Ｆ福建南安一中2013～2014学年度上学期期末考高三数学文科试卷班级 姓名： 座号： 一、选择题：每小题５分，共６０分１．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，)(x f ＝２2x －x ，则)1(f 的值是（ ） （A ）－1 （B ）－３ （C ）１ （D ）３ ２．若)(x f ＝3sin ϕ+x （]2,0[πϕ∈）是偶函数，则ϕ的值是（ ）（Ａ）2π（Ｂ）32π （Ｃ）23π （Ｄ）35π３．在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别是a 、b 、c ，若bcosA=acosB,则△ＡＢＣ是（ ） （Ａ）等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ） 等腰直角三角形 （Ｄ） 等边三角形４．已知数列{}n a 中，1a =1，若121+=-n n a a （n ≥2），则5a 的值是（ ） （A ） 7 （B ）5 （Ｃ）30 （Ｄ）31 ５．直线Ｌ：x －y －２＝０被圆4)(22=+-ya x 截得的弦长为２2，则a 的值是（ ）（Ａ）－１或3 （Ｂ）１或３ （Ｃ）－２或６ （Ｄ）０或４６．已知双曲线12222=-by ax （a>0 , b>0 ）的一条渐近线方程是xy 3=，且双曲线与抛物线x y242=有共同的一个焦点，则双曲线的方程是（ ）（A ）11083622=-yx（B ）127922=-yx（C ）13610822=-yx（D ）192722=-yx７．已知x>0，y>0，xy ＝２x ＋８y ，当xy 取得最小值时，x 、y 的值分别是（ ） （Ａ）x ＝１６，y ＝４ （Ｂ）x ＝４，y ＝１６ （Ｃ）x ＝８，y ＝８ （Ｄ）x ＝２，y ＝８８．已知)(x f ＝4)cos()sin(++++βπαπx b x a ,若5)2013(=f ，则)2014(f 的值是（ ） （Ａ） ２ （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５９．如图：ＰＡ⊥⊙Ｏ所在的平面，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上的一点，ＡＥ⊥ＰＣ，ＡＦ⊥ＰＢ， 给出下列结论①ＡＥ⊥ＢＣ，②ＡＥ⊥ＰＢ，③ＡＦ⊥ＢＣ④ＡＥ⊥平面ＰＢＣ，其中正确命题的序号是（ ） （Ａ） ① ② （Ｂ）① ③（Ｃ）① ② ④ （Ｄ）① ③ ④ １０．以下命题中真命题的个数是（ ）（１）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l （２）若直线l 在平面α外，则α//l （３）若n m //，α⊂n ，则α//m（４）若n m //，α⊂n ，则m 平行于α内无数条直线（Ａ）4 （Ｂ）２ （Ｃ）1 （Ｄ）0１１．已知)(x f ＝x x3log51-⎪⎭⎫⎝⎛，若0x 是y ＝)(x f 的零点，当00x x <<时，)(x f 的值是（ ）（Ａ）恒为正值 （Ｂ）恒为负数 （Ｃ）恒为０ （Ｄ）不能确定1２．某几何体的一条棱长为５，该几何体的正视图中，这条棱的投影长为４，在侧视图和俯视图中，这条棱的投影长分别为m 、n ，则22n m +的值是（ ） （A ）3 （B ） 4 （C ）5 （D ） 34 二．填空题：每小题４分，共１６分 1３．设)(x f =x x +3（x ∈R ）当20πθ<≤时0)1()sin (≥-+m f m f θ恒成立，则m 的取值范围是 1４．若212sin 2cos 1=+αα，则tan α的值是１5．若点（３，１）是抛物线px y22=的一条弦的中心点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是1６．在xoy 平面上有一系列点1P （1x ，1y ）、2P （2x ，2y ）┉n P （n x ，n y ），对于每个自 然数n ，点n P （n x ，n y ）位于函数2x y =（x ≥０）图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切， 又与⊙1+n P 外切，若1x ＝１，1+n x <n x （n ∈+N ），则数列{}n x 的通项公式n x ＝ 三．解答题：１7．（１２分）已知)(x f ＝13sin 322sin 2++-x x ，（１）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间 （２）当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域１8．（１２分）设数列{}n a 的首项351=a ，n n a a 31321+=+ （n ∈+N）（１）求证：数列{}1-n a 为等比数列（２）记n S ＝+1a +2a +3a ┉＋n a ，求n S 的值１9．（１２分）已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，∠ABC ＝４５°，ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１ （１） 求证：ＡＢ//平面ＰＣＤ （２） 求证：ＢＣ⊥平面ＰＡＣ（３） 若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ－ＡＣＤ的体积20．（１２分）已知函数)(x f =m bx axx --221ln（１）若a ＝b ＝21且m ＝１，求)(x f 的最大值（２）当a ＝０，b ＝－１时，方程m )(x f ＝2x 有唯一的一个实数解，求正数m 的取值范围Ｍ ＣＢＡ Ｐ21．（１２分）椭圆Ｇ:12222=+by ax （a>0 , b>0 ）与x 轴交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ是它的右焦点，若FB FA ⋅，＝－１且｜ＯＦ｜＝１（１）求椭圆Ｃ的标准方程（２）设椭圆Ｇ的上顶点为Ｍ，是否存在直线Ｌ，Ｌ交椭圆于Ｐ（1x ，1y ）、Ｑ（2x ，2y ）两点，满足ＰQ ⊥MF ，且｜ＰＱ｜＝34２2．（１４分）已知函数)(x f ＝2x －４，点1A （1x ，０），过点1A 作x 轴的垂线交抛物线Ｃ：y ＝)(x f 于点1B ，过1B 作抛物线Ｃ：y ＝)(x f 的切线与x 轴交于点2A （2x ，０），过点2A 作x 轴的垂线交抛物线Ｃ：y ＝)(x f 于点2B ，过点2B 作抛物线Ｃ：y ＝)(x f 的切线交x 轴于点3A （3x ，０）┉依次下去，得到1x 、2x 、3x ┉，n x ，其中1x >０， （１）求1+n x 与n x 的关系式 （２）若1x >２，记22lg-+=n n n x x a ，证明数列{}n a 是等比数列（３）若1x ＝922，求数列{}n na 的前n 项和n s南安一中2013～2014)高三数学文科试卷一选择题：每小题５分，共６０分 １．Ｂ解：3)12()1()1(-=+-=--=f f ２．Ｃ解：由3sinϕ+x ＝3sinϕ+-x 得3sinx 3cosϕ＝０恒成立，∵ ]2,0[πϕ∈ ∴ϕ＝23π３．Ａ解：Sin （A －Ｂ）＝０ ∵ －π<Ａ－Ｂ<π ∴Ａ＝Ｂ４．Ｄ解：∵ 121+=-n n a a ∴)1(211+=+-n n a a ∴12-=nn a５．Ｄ解：由242|2|-=-a 得 a ＝０或４６．Ｂ解：设双曲线方程为λ=-3122yx则４λ＝３６ ∴127922=-yx７．A 解：∵xy ＝２x ＋８y xy 162≥，即xy ≥６４，当且仅当x ＝１６，y ＝４时取等号 ８．Ｂ解：∵5)2013(=f ∴54)2013cos()2013sin(=++++βπαπb a∴1cos sin =--βαb a ∴34)2014cos()2014sin(=++++βπαπb a９．C 解：ＡＥ⊥平面ＰＢＣ ＢＣ⊥平面ＰＡＣ 故① ② ④正确 １０．C 解：（１）（２）（３）错 （４）正确 １１．A 解：∵)(x f 是减函数 ∴当010x x <<时，)(x f >)(0x f =01２．D 解：在长方体ABCD －1111D C B A 中，对角线11C A =5，设相邻三边长分别为x 、y 、z ，则222z y x ++=25,且22z x +=16 ∴y=3 ∵229m z =+，229n x =+∴22n m +=341822=++z x 二．填空题：每小题４分，共１６分1３． m ≤1解：∵)(x f 是奇函数且为增函数，由)1()sin (-≥m f m f θ得1sin -≥m m θ∴m ≤θsin 11- ∵θsin 11-≥1 ∴m ≤11４． 2解：∵212sin 2cos 1=+αα ∴21cos sin 2cos22=ααα∴tan α＝２１５． 2解：由⎩⎨⎧=-=pxy x y 2522得４2x －（２０＋２p ）x ＋２５＝０，∴6210=+p∴p ＝２1６． 121-=n x n 解：∵212121)()()(++++=-+-n n n n n n y y y y x x ∴112++=-n n n n x x x x三．解答题：１7．(12分)已知)(x f ＝13sin322sin 2++-x x ，（１）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间 （２）当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域解（１）：)(x f ＝13sin322sin 2++-x x ＝1)32sin(2++πx ∴ Ｔ＝π 由πk 2－2π≤２x ＋3π≤πk 2+2π得πk －125π≤x ≤πk ＋12π∴)(x f 的单调递增区间是［πk －125π，πk ＋12π］ k ∈Ｚ ┉┉┉┉┉┉６分（２）当]6,6[ππ-∈x 时，]32,0[32ππ∈+x )32s i n (π+x ]1,0[∈∴ ]3,1[)(∈x f 即)(x f 的值域是［１，３］ ┉┉┉┉┉┉１２分 １8．(12分)设数列{}n a 的首项351=a ，n n a a 31321+=+ （n ∈+N）（１）求证：数列{}1-n a 为等比数列（２）记n S ＝+1a +2a +3a ┉＋n a ，求n S 的值 解：（１）∵n n a a 31321+=+ ∴1+n a －１＝31（n a ＋１）∵1a －１＝32∴ 数列{}1-n a 是首项32，公比为31的等比数列 ┉┉┉┉┉┉６分（２）∵ n a ＝32131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯n ＋１∴ n S ＝+1a +2a +3a ┉＋n a＝32n n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⨯-123131311 ＝１＋n －n⎪⎭⎫⎝⎛31 ┉┉┉１２分１9．(12分) 已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，∠ABC ＝４５°，ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１ （４） 求证：ＡＢ//平面ＰＣＤ （５） 求证：ＢＣ⊥平面ＰＡＣ（６） 若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ－ＡＣＤ的体积解：（１）∵ＡＢ//ＣＤ ＡＢ⊄平面ＰＣＤ ＣＤ⊂平面ＰＣＤ∴ＡＢ//平面ＰＣＤ ┉┉┉┉┉┉４分（２）在直角梯形ＡＢＣＤ中，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，则四边形ＡＤＣＥ为矩形， ∴ＡＥ＝ＤＣ＝１又ＡＢ＝２，∴ＢＥ＝１，在Ｒt △ＢＥＣ中，∠ABC ＝４５°，∴ＣＥ＝ＢＥ＝１，ＣＢ＝2 则ＡＣ＝22CDAD+＝2 ∴222ABBCAC=+∴ ＢＣ⊥ＡＣ∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ∴ＰＡ⊥ＢＣ∵ＰＡ∩ＡＣ＝Ａ， ∴ＢＣ⊥平面ＰＡＣ ┉┉┉┉┉┉８分 （３）∵Ｍ是ＰＣ的中点，∴Ｍ到平面ＡＤＣ的距离是Ｐ到平面ＡＤＣ的距离的一半 ∴12121)1121(312131=⨯⨯⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=∆-PA S V ACD ACD M ┉┉┉┉┉┉１２分 20．(12分)已知函数)(x f =m bx axx --221ln（１） 若a ＝b ＝21且m ＝１，求)(x f 的最大值（２） 当a ＝０，b ＝－１时，方程m )(x f ＝2x 有唯一的一个实数解，求正数m 的取值范围 解：（１）)(x f =x xx 2141ln 2--∴)('x f ＝xx x x x2)1)(2(21211-+-=--由)('x f ＝０且x>０得x ＝１∴)(x f 的最大值是)1(f ＝－43 ┉┉┉┉┉┉６分Ｍ Ｃ ＢＡ Ｐ（２）设)ln ()(2x x m m x x g +-=防 则xm x m x m xm x x g ))(2(2)(2'-+=--=令)('x g ＝０且x>０得x ＝m∴)(x g 的最小值是m mm m m m mm g ln )ln ()(22-=+-=∵方程m )(x f ＝2x 有唯一的一个实数解 ∴m ＝１ ┉┉┉１２分21．(12分)椭圆Ｇ:12222=+by ax （a>0 , b>0 ）与x 轴交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ是它的右焦点，若FB FA ⋅＝－１且｜ＯＦ｜＝１（１）求椭圆Ｃ的标准方程（２）设椭圆Ｇ的上顶点为Ｍ，是否存在直线Ｌ，Ｌ交椭圆于Ｐ、Ｑ两点，满足ＰQ ⊥MF ，且｜ＰＱ｜＝34，若存在，求直线Ｌ的方程，若不存在，请说明理由。
2013-2014学年福建省泉州市南安一中高一(上)期末数学试卷
2013-2014学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）1．（5.00分）下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形B．四边相等的四边形C．梯形D．平行四边形2．（5.00分）若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．（5.00分）函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）4．（5.00分）以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆的方程为（）A．x2+y2﹣2x+4y=0 B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x﹣4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=05．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π6．（5.00分）△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．27．（5.00分）若不论m取何实数，直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）8．（5.00分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x+1 B．f（x）=x3C．f（x）=x2D．f（x）=lnx9．（5.00分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=010．（5.00分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞011．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5.00分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6]D．[4，6]二、填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）13．（4.00分）已知一个球的表面积为64πcm2，则这个球的体积为cm3．14．（4.00分）两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0间的距离是．15．（4.00分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．16．（4.00分）如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D﹣ABC的体积是；④AB与CD所成的角是60°．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）17．（12.00分）已知直线l的方程为4x+3y﹣12=0，求满足下列条件的直线l′的方程：（Ⅰ）l′与l平行且过点（﹣1，﹣3）；（Ⅱ）l′与l垂直且过点（﹣1，﹣3）．18．（12.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．19．（12.00分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=1，（Ⅰ）求证：BA⊥平面SAD；（Ⅱ）求异面直线AD与SC所成角的大小．20．（12.00分）求半径为2，圆心在直线L：y=2x上，且被直线l：x﹣y﹣1=0所截弦的长为2的圆的方程．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（2）证明平面EFG⊥平面PAD，并求出D到平面EFG的距离．22．（14.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．2013-2014学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）1．（5.00分）下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形B．四边相等的四边形C．梯形D．平行四边形【解答】解：A、由不共线的三点确定一个平面和图形知，三角形是平面图形，故A不对；B、当空间四边形的四边相等时，是空间几何体而不是平面图形，故B对；C、因梯形的一组对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，梯形是平面图形，故C不对；D、因平行四边形的对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，平行四边形是平面图形，故D不对；故选：B．2．（5.00分）若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵直线经过两点∴直线的斜率k=，即k=tan，∴θ=60°，即直线AB的倾斜角为60°．故选：C．3．（5.00分）函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=e x+x是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，故函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（﹣1，0），故选：B．4．（5.00分）以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆的方程为（）A．x2+y2﹣2x+4y=0 B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x﹣4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0【解答】解：由圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，则圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=5，化为一般方程为：x2+y2+2x﹣4y=0．故选：C．5．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选：D．6．（5.00分）△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵OA=1，OB=2，∠ACB=45°∴原图形中两直角边长分别为2，2，因此，Rt△ACB的面积为S==2故选：D．7．（5.00分）若不论m取何实数，直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）【解答】解：直线l：mx+y﹣1+2m=0可化为m（x+2）+（y﹣1）=0由题意，可得，∴∴直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点（﹣2，1）故选：A．8．（5.00分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x+1 B．f（x）=x3C．f（x）=x2D．f（x）=lnx【解答】解：由于函数f（x）=x2的零点为x=0，而函数在此零点两侧的函数值都是正值，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点．而选项A、B、D中的函数，在它们各自的零点两侧的函数值符号相反，故可以用二分法求函数的零点，故选：C．9．（5.00分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5.00分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选：B．11．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①设m∩α=O，过O与直线n的平面β，α∩β=a，∵n∥α，∴a∥n，又m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故①是真命题；②∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，β∥γ，∴m⊥γ，故②是真命题；③设经过m的平面与α相交于b，则∵m∥α，∴m∥b，同理设经过m的平面与β相交于c，∵m∥β，∴m∥c，∴b∥c，∴b∥β，∵α∩β=n，∴b∥n，∴m ∥n，故③是真命题；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，过m上任意一点作γ的垂线a，利用面面垂直的性质，可知a既在α内，又在β内，∴a与m重合，则m⊥γ，故④是真命题．故选：D．12．（5.00分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6]D．[4，6]【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1得4＜r＜6，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）13．（4.00分）已知一个球的表面积为64πcm2，则这个球的体积为cm3．【解答】解：设球的半径为r，∵球的表面积为64πcm2，∴4πr2=64π，即r2=16，解得r=4cm，∴球的体积为cm3．故答案为：14．（4.00分）两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0间的距离是．【解答】解：∵直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0互相平行∴直线l1与直线l2的距离等于d==故答案为：15．（4.00分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是2．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为2，底面是直角边长分别为2，的直角三角形，∴三棱柱的体积V=××2=．故答案是2．16．（4.00分）如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D﹣ABC的体积是；④AB与CD所成的角是60°．其中正确命题的序号是①②④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：DO=BO=，∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，①正确；∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD⊂平面BOD，∴AC ⊥BD，②正确；∵V D=××=，∴③错误；﹣ABC建立空间直角坐标系如图：则=（﹣，，0），=（，0，），∴cos＜，＞=﹣，∴异面直线AB与CD所成的角是60°，∴④正确．故答案为：①②④．三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）17．（12.00分）已知直线l的方程为4x+3y﹣12=0，求满足下列条件的直线l′的方程：（Ⅰ）l′与l平行且过点（﹣1，﹣3）；（Ⅱ）l′与l垂直且过点（﹣1，﹣3）．【解答】解：（Ⅰ）由l′∥l，则可设l′的方程为：4x+3y+C=0．∵l′过点（﹣1，﹣3），∴4×（﹣1）+3×（﹣3）+C=0解得：C=13，∴l′的方程为：4x+3y+13=0．（Ⅱ）由l′⊥l，则可设l′：3x﹣4y+m=0，∵l′过（﹣1，﹣3），∴3×（﹣1）﹣4×（﹣3）+m=0解得：m=﹣9，∴l′的方程为：3x﹣4y﹣9=0．18．（12.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．﹣﹣﹣（1分）又EF⊄平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）AB⊂平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴EF∥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，∴PE⊥AC．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴PE⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又EF∩PE=E，∴BC⊥平面PEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴平面PEF⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣（14分）19．（12.00分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=1，（Ⅰ）求证：BA⊥平面SAD；（Ⅱ）求异面直线AD与SC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥BA又∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴BA⊥AD，又∵SA∩AD=A，∴BA⊥面SAD．…（6分）（Ⅱ）解：∵AD∥BC，∴异面直线AD与SC所成角是∠BCS或其补角，∵BC⊥SA，BC⊥BA，且SA∩BA=A，∴BC⊥平面SAB，SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，在Rt△SAB中，∵SB2=SA2+AB2=2，，∴∠BCS=45°，∴异面直线AD与SC所成角的大小为45°．…（12分）20．（12.00分）求半径为2，圆心在直线L：y=2x上，且被直线l：x﹣y﹣1=0所截弦的长为2的圆的方程．【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），∵圆被直线l：x﹣y﹣1=0所截弦的长为2，∴圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，根据题意，有，解得，或．∴所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，或（x+3）2+（y+6）2=4．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（2）证明平面EFG⊥平面PAD，并求出D到平面EFG的距离．【解答】解：（1）证明：Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．取PB中点Q，连接DE，EQ，AQ，由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ为平面四边形，由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC，又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，所以DE⊥PC，AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．（2）因为CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD．（9分）取AD中点H，连接FH，GH，则HG∥CD∥EF，平面EFGH即为平面EFG，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，（11分）在三角形PAD中，H，F为AD，PD中点，．即D到平面EFG的距离为．（12分）22．（14.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k +ak ﹣b |=|5k +4﹣a ﹣bk |∴1+3k +ak ﹣b=±（5k +4﹣a ﹣bk ）即（a +b ﹣2）k=b ﹣a +3或（a ﹣b +8）k=a +b ﹣5 因k 的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P 1（，﹣）或点P 2（﹣，）（12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。
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2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5.00分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在2．（5.00分）圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④4．（5.00分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．36．（5.00分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直7．（5.00分）自点A（3，5）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．3x+4y﹣29=0B．3x﹣4y+11=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=08．（5.00分）如图中O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．非直角且非等腰的梯形D．不可能是梯形9．（5.00分）k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30°＜θ＜90°，则k的取值范围是（）A．0＜k＜B．＜k＜1 C．k＞D．k＜10．（5.00分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x ﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．011．（5.00分）在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S ﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A．1 B．C．2 D．312．（5.00分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，点N在圆C：x2+y2=8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4.00分）在空间直角坐标系o﹣xyz中，已知点A（1，﹣2，1），B（2，1，3），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为．14．（4.00分）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是．15．（4.00分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．16．（4.00分）如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A1B1BA；③二面角A﹣B1E﹣B为钝角；④A1C∥平面AB1E．其中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12.00分）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．18．（12.00分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．19．（12.00分）如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P的坐标；（3）连接AP，证明：AP∥面EFG．20．（12.00分）已知圆C：x2+y2+4x+4y+m=0，直线l：x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P（1，1），且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．21．（12.00分）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′﹣ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．22．（14.00分）已知直线l：y=kx﹣2，M（﹣2，0），N（﹣1，0），O为坐标原点，动点Q满足，动点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值；（3）若k=，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5.00分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在【解答】解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==﹣2，故选：B．2．（5.00分）圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R=2和r=1，∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：C．3．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A．4．（5.00分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：将展开图还原为正方体后，A、B、C是三个面上的相对顶点，即构成以面对角线为边的正三角形，故∠ABC=60°，故选：B．5．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．6．（5.00分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直【解答】解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选：C．7．（5.00分）自点A（3，5）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．3x+4y﹣29=0B．3x﹣4y+11=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=0【解答】解：圆心坐标为（2，3），半径R=1，若切线斜率k不存在，则切线方程为x=3，此时圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若切线斜率k存在，则对应的切线方程为y﹣5=k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k=0，则由圆心到直线的距离d=，即|2﹣k|=，平方得k=，则对应的切线斜率为x=3或y﹣5=k（x﹣3），即x=3或3x﹣4y+11=0，故选：C．8．（5.00分）如图中O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．非直角且非等腰的梯形D．不可能是梯形【解答】解：根据斜二测直观图，得；OC⊥OA，OA=O′A′，BC=B′C′，OC=2O′C′；∴原平面图形OABC是直角梯形，如图所示：故选：A．9．（5.00分）k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30°＜θ＜90°，则k的取值范围是（）A．0＜k＜B．＜k＜1 C．k＞D．k＜【解答】解：由于直线l的倾斜角为α，且30°＜θ＜90°，由正切函数在（0°，90°）是增函数可知：直线的斜率k=tanα＞．直线l斜率的取值范围是k＞故选：C．10．（5.00分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x ﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．0【解答】解：由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣y+c=0 的斜率为1，则=﹣1①，且﹣+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．故选：C．11．（5.00分）在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S ﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=15，三棱锥S﹣ABC的体积与三棱锥S﹣A1B1C1的体积和为V=5∵三棱锥S﹣ABC的体积为3，∴三棱锥S﹣A1B1C1的体积2故选：C．12．（5.00分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，点N在圆C：x2+y2=8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，AB中点M的轨迹方程为：x+y﹣6=0．圆C：x2+y2=8的圆心（0，0），半径为2，点N在圆C：x2+y2=8上移动，AB中点M到点N距离|MN|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以=．故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4.00分）在空间直角坐标系o﹣xyz中，已知点A（1，﹣2，1），B（2，1，3），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为（0，0，2）．【解答】解：设P（0，0，z），因为点A（1，﹣2，1），B（2，1，3），|PA|=|PB|，所以（1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（1﹣z）2=（2﹣0）2+（1﹣0）2+（3﹣z）2，解得：z=2．故答案为：（0，0，2）．14．（4.00分）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是4x﹣2y﹣5=0．【解答】解：设M的坐标为（x，y），则x==2，y==，所以M（2，）因为直线AB的斜率为=﹣，所以线段AB垂直平分线的斜率k=2，则线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=2（x﹣2）化简得4x﹣2y﹣5=0故答案为：4x﹣2y﹣5=015．（4.00分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：216．（4.00分）如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A 1B1BA；③二面角A﹣B1E﹣B为钝角；④A1C∥平面AB1E．其中正确命题的序号为④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①CC1与B1E在同一个平面，不是异面直线，不正确；②AE⊥底面A1B1BA，因此不正确；③由AE⊥底面A1B1BA，因此二面角A﹣B1E﹣B为直角，因此不正确；④如图所示，连接A1B交AB1于点O，连接EO，则EO∥A1C，∵EO⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E．∴A1C∥平面AB1E．综上可得：其中正确命题的序号为④．故答案为：④．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12.00分）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．【解答】解：由，解得，所以，交点M（﹣1，2）．（1）∵斜率k=﹣2，由点斜式求得所求直线方程为y﹣2=﹣2（x+1），即2x+y=0．（2）∵斜率，由点斜式求得所求直线方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0．18．（12.00分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB，∵BC⊂面SAB，∴面SAB⊥面SBC…（6分）（2）解：已知SA⊥面ABCD，连结AC，则∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，SA=2，，…（12分）19．（12.00分）如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P的坐标；（3）连接AP，证明：AP∥面EFG．【解答】（1）解：如图二（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分）…（4分）（2）解：建立如图一直角坐标系E（4，0，2）P（2，3，4）…（8分）（3）证明：连接AB1，AD1，B1D1，依题意知：E，F，G分别为原长方体所在棱中点，∵GF∥B1D1，GF⊄面AB1D1∴GF∥面AB1D1∵EF∥AB1，EF⊄面AB1D1∴EF∥面AB1D1又GF∩EF=F∴面EFG∥面AB1D1又∵AP⊂面AB1D1∴AP∥面EFG…（12分）20．（12.00分）已知圆C：x2+y2+4x+4y+m=0，直线l：x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P（1，1），且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x+4y+m=0即（x+2）2+（y+2）2=8﹣m圆心C（﹣2，﹣2）到直线l的距离，…（2分）若圆C与直线l相离，则d＞r，∴r2=8﹣m＜2即m＞6…（4分）又r2=8﹣m＞0即m＜8，∴6＜m＜8…（6分）（2）设圆D的圆心D的坐标为（x 0，y0），由于圆C的圆心C（﹣2，﹣2），依题意知：点D和点C关于直线l对称，…（7分）则有：，…（10分）∴圆C的方程为：x2+y2=r2，又因为圆C过点P（1，1），∴，∴圆D的方程为：x2+y2=2…（12分）21．（12.00分）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′﹣ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠AEB=90°，即BE⊥AE…（2分）∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面D'AE，AD'⊂平面D'AE∴AD'⊥BE…（4分）（2）取AE中点F，连接D'F，则D'F⊥AE∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，D'F⊥平面ABCE，∴=…（8分）（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，若D'B∥平面PAC∵D'B⊂平面D'BE平面D'BE∩平面PAC=PQ∴D'B∥PQ…（10分）∴在△EBD'中，，∵在梯形ABCE中∴，即∴在棱D'E上存在一点P，且，使得D'B∥平面PAC…（12分）22．（14.00分）已知直线l：y=kx﹣2，M（﹣2，0），N（﹣1，0），O为坐标原点，动点Q满足，动点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值；（3）若k=，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．【解答】解：（1）设点Q（x，y），依题意知…（2分）整理得x2+y2=2，∴曲线C的方程为x2+y2=2…（4分）（2）∵点O为圆心，∠AOB=，∴点O到l的距离…（6分）∴=•⇒…（8分）（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，…（9分）设，则圆心，半径得）即又C、D在圆O：x2+y2=2上∴即…（12分）由得∴直线CD过定点…（14分）。