对连续化简和二导一式的剖析杨飞
代数式的化简与展开
代数式的化简与展开一、代数式的化简1.代数式的定义：代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式，其中字母表示未知数或变量。
2.化简的意义：化简代数式就是将复杂的代数式转化为简单、直观的形式，便于计算和求解。
3.化简的方法：（1）合并同类项：将具有相同字母和相同指数的项相加或相减。
（2）分解因式：将代数式分解为几个整式的乘积，使得每个整式不能再被分解。
（3）约分：将分子和分母中相同的项相消，简化分数形式。
（4）去括号：根据括号前的符号，将括号内的项分别乘以括号前的符号。
二、代数式的展开1.展开的意义：展开代数式就是将复合代数式分解为简单代数式的和，便于计算和分析。
2.展开的方法：（1）分配律：将乘法运算中的数分别与括号内的每一项相乘。
（2）完全平方公式：根据完全平方公式，将含有平方项的代数式展开。
（3）平方差公式：根据平方差公式，将含有平方项和减法的代数式展开。
（4）立方公式：根据立方公式，将含有立方项的代数式展开。
三、化简与展开的实例1.化简实例：（1）化简代数式：3x^2 - 5x + 2（2）化简代数式：(2x + 3)(x - 2)2.展开实例：（1）展开代数式：(x + 2)^2（2）展开代数式：(x - y)(x + y)四、注意事项1.在化简与展开代数式时，要注意符号的变化，特别是去括号和乘方运算。
2.运用公式时要正确，避免出现错误的结果。
3.化简与展开的结果要进行验算，确保结果的正确性。
4.熟练掌握化简与展开的方法，提高解题效率。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握代数式的化简与展开方法，提高代数运算能力，为解决实际问题打下坚实基础。
习题及方法：1.习题：化简代数式 3x^2 - 5x + 2答案：无法再化简，答案为 3x^2 - 5x + 2解题思路：此代数式已经是最简形式，无需进行化简。
2.习题：化简代数式 (2x + 3)(x - 2)答案：2x^2 - x - 6解题思路：使用分配律，将括号内的项分别乘以括号前的项。
初中数学知识归纳代数式化简与因式分解
初中数学知识归纳代数式化简与因式分解初中数学知识归纳：代数式化简与因式分解数学是一门既重要又有趣的学科，而在初中数学课程中，代数式的化简与因式分解是我们必须掌握的基础知识。
通过对代数式的化简与因式分解，我们可以加深对数学概念和运算规则的理解，为后续学习打下坚实基础。
本文将从化简和因式分解两个方面对初中数学中的代数式化简与因式分解进行归纳总结。
一、代数式的化简代数式化简是指将一个复杂的代数表达式简化为最简形式的过程。
在化简代数式时，我们应该遵循以下几个基本原则：合并同类项、因式提取和展开式子。
下面通过几个例子来说明这些原则。
1. 合并同类项合并同类项是将具有相同字母部分的项进行合并的操作。
例如，对于代数式3x + 5y - 2x + 4y，我们可以将相同字母部分的项合并得到：3x - 2x + 5y + 4y = x + 9y。
2. 因式提取因式提取是将一个式子中共有的因子提取出来，使得代数式看起来更简洁。
例如，对于代数式2x + 4xy，我们可以将公共因子2x提取出来，得到2x(1 + 2y)。
3. 展开式子当代数式中存在括号时，我们需要将其展开，即将括号内的项按照分配律进行相乘。
例如，对于代数式2(x + y)，我们可以将括号内的项分别与2相乘得到2x + 2y。
二、代数式的因式分解因式分解是将一个代数表达式分解为若干个较为简单的因式相乘的形式。
因式分解在解方程、求解问题等数学运算中具有重要作用。
下面通过几个例子来说明因式分解的原则和方法。
1. 提取公因式当一个代数式中存在公因子时，我们可以将其提取出来，以达到因式分解的目的。
例如，对于代数式12x + 6y，我们可以将公共因子6提取出来，得到6(2x + y)。
2. 分解差平方差平方的公式是数学中常见的一种因式分解形式，即a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)。
通过运用差平方公式，我们可以将一些特殊的代数式进行因式分解。
例如，对于代数式x^2 - 4，我们可以利用差平方公式得到(x - 2)(x + 2)。
导学案+数学+中学+竹条实验中学+杨飞+《平行线的性质》
竹条实验中学七年级数学学科课堂导学案第周第课时上课时间：年月日星期：备课组长签字：蹲点领导签字：【学习目标】主备人：杨飞复备人：1、经历探索平行线的性质的过程,初步掌握平行线的性质2、通过观察,操作推理交流等活动,进一步发展学生的空间观念和推理能力.一、明确目标（（在教师的设疑、创景下，学生解读学习目标，从而基本明晰学习任务。
）如图已知00040,1140,40A D∠=∠=∠=,那么AB∥CD吗?BF∥DE吗?二、思考探究例如图是一块梯形铁片的残余部分,量得00100,115A B∠=∠=,梯形另外两个角分别是多少度?[试做练习] 1如图直线a∥b, 0154,2,3,4?∠=∠∠∠那么各是多少度2,如图D是AB上一点,E是AC上一点,00060,60,40ADE B AED∠=∠=∠=①DE和BC平行吗?为什么?②C∠是多少度?为什么? 三、合作交流（学科组长组织交流，收集本组典型错例和疑惑展示在黑板上）四、学以致用1如图所示,已知直线AB∥CD, 0150,∠=,则2∠=____2如图所示,已知直线AB∥CD,,则A∠=______3如图已知0001100,280,3105,4∠=∠=∠=∠=则____ _____4如图已知12,80,D BCD∠=∠∠=∠=__________5如图，已知DE∥BC,∠D：∠DBC=2:1，∠1=∠2，求∠DEB的度数。
6如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD 于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G, 0140∠=，求2∠的度数。
五、收获整理（学到的知识、学会的方法、锻炼的能力等；不懂得知识、不同的看法法、没说的意见等）六、课后拓展：。
【结构】对连续化简和二导一式的剖析杨飞
【关键字】结构对“连续化简”和“二导一式”的剖析---杨飞一、“连续化简”的实质是形变化归唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中提出：解题的根本要求是“连续化简”。
他说：“在符合逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较易证的题目，一直到所得到的新题目已成为一项根底知识为止，这种连续化简是解每个题目的正确思考过程的共性，是不可避免的规律。
”对于“连续化简”这4个字，通常理解为：把复杂的问题简单化，主要指形式简单化。
事实上这又不很恰当，因为并不是每一个数学综合题的解答都要求从形式上化简。
且看例1 若a、b、c为非负数，证明：≥+b+c。
（1997年全苏十年级数学竞赛题）证明若，结论显然成立.当，令，，则，原不等式化为即证成立①因①式右边②由①②可知命题成立。
（此题证法较多，留与读者思考）从上述解答过程来看，此题在形式上不但没有化简，相反是化繁。
唐老师认为，“连续化简把原题转化为比较易证的题目，一直到所得到的新题目已成为一项根底知识为止。
”其实，对于“比较易证的题目”，我们应该理解为“针对个人的熟悉结构而言为比较易证的题目”较为恰当，例1用三角变换化代数不等式为三角不等式①，①式就是“易证的题目”吗？如果熟悉结构中缺乏三角解题经验，①式也许是更难解决的问题。
至于“得到一个新题目是可能的”，但要“成为一项根底知识”谈何容易。
因为许多复杂的问题很难转化为“一项根底知识”，一般只能转化到“与我们认知结构中的某项知识经验（尤其是熟悉结构）取得联系”。
对于“繁”“简”，不能仅从形式看，也不能仅从内容上理解，同一问题给不同的人的感受绝不相同，这与每个人的认知结构有关。
解决数学问题的根本原则不是化简，而是化归，化归与化简不同，化归就是对问题信息进行加工使之与我们的认知结构相联系，化陌生为熟悉。
这才是解题规律。
尽管“化简”一词不很准确，但唐老师所说的“化简”，我们绝不能单从字面上理解，因为唐老师又这样写道：“连续化简的道路是曲折的，只要我们全面的、辩证的理解连续化简，就可以引出结论，解题的根本要求是连续化简。
《比化简》教学设计及反思
比化简教学设计及反思1. 教学设计1.1 教学目标本次教学的主要目标是让学生掌握化简的基本方法和技巧，并能够灵活应用在不同的题型中。
具体目标如下：•理解化简的概念和意义；•熟练运用消元法进行化简；•能够分析并解决实际问题中的化简问题；•提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
1.2 教学内容和步骤1.2.1 教学内容本次教学的内容主要包括以下几个方面：•化简的定义和基本概念；•消元法的基本原理和步骤；•化简的应用场景和实例分析。
1.2.2 教学步骤本次教学将分为以下几个步骤进行：步骤一：导入引入化简的概念，并与学生进行互动交流，了解学生对化简的理解和应用。
步骤二：讲解化简的基本方法和技巧通过示例和讲解，介绍化简的基本原则和技巧，包括常见的化简法则和消元法的基本原理。
步骤三：练习与巩固提供一系列的习题，让学生进行化简的练习，巩固所学知识点。
步骤四：应用拓展引入实际问题，让学生运用所学的化简方法解决实际生活中的问题，提高学生的应用能力。
步骤五：总结与反思对本节课的学习内容进行总结，让学生思考所学的化简方法对日常生活和学习中的应用。
2. 反思与改进2.1 教学反思本次教学中，教学内容的安排合理，各个环节衔接紧密。
通过多种教学方法的运用，激发了学生的学习兴趣，培养了他们的数学思维能力和逻辑推理能力。
然而，也存在一些问题需要改进：•教学时间安排过于紧凑，学生有时难以完整理解和掌握所学的内容；•部分学生对于化简的概念和基本方法理解欠缺，需要特别关注，提供额外的巩固训练；•实际应用的习题设计可以更加贴近学生的生活实际，增加学生的学习兴趣。
2.2 改进方案为了解决上述问题，可以考虑以下改进方案：•调整教学时间安排，适当增加化简的讲解和练习时间，确保学生能够充分理解和掌握所学的内容；•针对化简的概念和基本方法，设置小组讨论或个别辅导，帮助学生加深理解；•对于实际应用习题的设计，与其他学科的教师进行沟通，结合实际生活场景设计更富有启发性和实践性的习题。
代数式的化简与展开
代数式的化简与展开代数式是数学中一个重要的概念，常用于表示数学关系和计算过程。
化简和展开是处理代数式的基本操作，既可以简化复杂的代数式，又可以拆解简单代数式的组成部分。
本文将介绍代数式的化简和展开的基本原理，并通过具体例子进行说明。
一、代数式的化简化简代数式是将复杂的代数式转化为简单的形式，以便进行进一步的计算和分析。
下面是一些常见的化简规则：1. 合并同类项：对于含有相同字母的项，可以合并它们的系数。
例如，将3x + 2x化简为5x。
2. 合并同底数幂：对于同底数的幂，可以将它们的指数相加或相减。
例如，4x^2 * 5x^3可以化简为20x^5。
3. 提取公因式：对于含有公因式的项，可以提取出它们的最大公因式，并将其放在括号外面。
例如，将2x + 4xy化简为2x(1 + 2y)。
4. 整理分式：对于含有分数的代数式，可以进行分子、分母的因式分解，然后约去公因式。
例如，将(2x + 4) / (x + 2)化简为2。
二、代数式的展开展开代数式是将括号中的式子按照分配律展开，并进行相应的计算。
下面是一些常见的展开规则：1. 单项式与多项式的展开：将单项式乘以多项式时，可以将单项式的每一项与多项式展开，然后合并同类项。
例如，将2x * (3x + 4y)展开为6x^2 + 8xy。
2. 二次式的展开：对于二次式的平方形式，可以将其展开为一次项和二次项的和。
例如，将(x + 2)^2展开为x^2 + 4x + 4。
3. 二次式的乘法：对于两个二次式相乘，可以按照分配律展开，然后合并同类项。
例如，将(x + 2)(x - 1)展开为x^2 + x - 2。
4. 三次式的立方形式：对于三次式的立方形式，可以使用二项式定理将其展开。
例如，将(x + y)^3展开为x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3。
三、示例下面通过几个具体的例子来说明代数式的化简与展开：例一：化简代数式将3x + 4y + 2x - 3y + 5x化简为10x + y。
初二下册数学第四课优质课代数式的化简
初二下册数学第四课优质课代数式的化简代数式的化简是数学中非常重要和基础的一部分。
在数学的学习中，我们经常会遇到各种复杂的代数式，而化简代数式可以帮助我们更好地理解代数式的性质和规律。
本文将从几个方面探讨代数式的化简，并通过具体的例子来说明。
一、代数式的基本性质在进行代数式化简之前，我们需要掌握一些代数式的基本性质。
首先，加法和乘法的结合律和交换律对代数式的化简非常重要。
根据这些性质，我们可以灵活地调整代数式的顺序，进而使其更加简洁。
此外，我们还需要掌握一些特殊符号的含义，如指数和系数等。
二、化简代数式的方法化简代数式的方法有很多，我们可以根据具体的情况选择合适的方法。
在这里，我将为大家介绍几种常见且实用的方法。
1. 合并同类项合并同类项是化简代数式的常用方法，它可以将具有相同变量部分的项合并为一个项。
例如，考虑以下代数式：3x + 2x + 5y + 4x + 7y我们可以将其中的同类项合并，得到：(3 + 2 + 4)x + (5 + 7)y进一步计算得到：9x + 12y通过合并同类项，我们使代数式更加简洁，便于计算和分析。
2. 提取公因式提取公因式是化简代数式的另一种重要方法。
通过提取公因式，我们可以将代数式中的公共部分提取出来，使其更易于计算。
例如，考虑以下代数式：6x^2 + 9xy我们可以将其中的公因式3x提取出来，得到：3x(2x + 3y)通过提取公因式，我们再次使代数式更加简洁，并且可以更好地理解代数式的结构。
3. 分配律的运用分配律是化简代数式时常用到的方法。
分配律是指乘法对于加法的分配规则。
例如，考虑以下代数式：2(x + 3)我们可以使用分配律，将2分别乘以(x)和(3)，得到：2x + 6通过运用分配律，我们将代数式进行了化简，使其更加直观和易于计算。
三、实例分析下面，我们通过具体的例子来进一步说明代数式的化简。
例1：对于代数式2x + 3(x + 1)进行化简。
解析：根据分配律，我们可以将代数式展开，得到：2x + 3x + 3然后，我们将同类项合并，得到：5x + 3通过化简，我们得到了原代数式的简洁形式。
有关高中数学化简与拓展思维的思考
有关高中数学化简与拓展思维的思考高中数学作为升学考试中的重点科目之一，被广大学生所关注。
其中，数学化简和拓展思维是数学学习中的重要方向，本文将从这两个方面进行探讨。
一、数学化简数学化简是指将一个较为复杂的式子化简为简单易懂的形式。
数学化简在高中数学中占据了很重要的地位，它不仅能够增强学生的数学思维能力，同时也有助于提高数学应用能力。
化简的方法可以分为以下几类。
1.因式分解法：将一个式子分解成若干个因数的积，即化简成因式分解的形式。
例如：3.配方法：指对于一个多项式中的某一个项，通过配方公式或者特殊的技巧，将其转化为一种更好计算的形式。
例如：4.化简公式法：在高中数学中，有很多常见的化简公式，例如二次恒等式的三种形式：这些公式虽然看似简单，但因为能够改变一个式子的形式，因此被广泛应用于化简。
5.通分法：用最简分数的形式表示两个或多个分数之和或之差的方法，也是化简方法之一。
例如：二、拓展思维拓展思维在高中数学中同样具有非常重要的地位，它能够帮助学生更好地理解数学知识，并将知识应用到实际当中。
接下来，本文将从数列和数学证明两个方面进行探讨。
1.数列问题：数列是高中数学中比较基础的一个概念，但不少学生在解题时却很容易被一些基本的限制给束缚住了。
因此，在解数列问题时，不妨尝试一些不同的思路，从不同的角度出发，以达到更加深入的理解，例如：（1）尝试“更大的思路”：当一个数列很难以寻常的方式求解时，有时不妨加大比较的难度，即比较几个数列之间的相关性而不是某一个数，从而得出一些性质。
例如：（2）尝试“逆向思维”：逆向思维即从逆向的角度考虑问题，如从一个已知的结果或者假设，逐渐推导到一个条件或者答案。
例如：2.数学证明问题：在高中数学中，证明题对学生来说往往是一个难题。
但是，通过对一些经典的证明题进行分析，我们可以得出一些证明的技巧，例如：（1）借助等比数列：若问题涉及到特殊的等比数列，可以尝试使用等比数列的性质，例如前后项比值相等的特征，而退一步考虑，若学生能够将等比数列的性质应用到其它证明问题的场景中，那么就可能会产生出耐人寻味的思路。
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对“连续化简”和“二导一式”的剖析---杨飞
一、“连续化简”的实质是形变化归
唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中提出：解题的根本要求是“连续化简”。
他说：“在符合逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较易证的题目，一直到所得到的新题目已成为一项基础知识为止，这种连续化简是解每个题目的正确思考过程的共性，是不可避免的规律。
”
对于“连续化简”这4个字，通常理解为：把复杂的问题简单化，主要指形式简单化。
事实上这又不很恰当，因为并不是每一个数学综合题的解答都要求从形式上化简。
且看
例1 若a 、b 、c 为非负数，证明：
3
)(2
c b a ++≥bc a +b ca +c ab 。
（1997年全苏十年级数学竞赛题） 证明 若0=abc ，结论显然成立.
当0≠abc ，令αθαθ2222cos sin ,cos cos k b k a ==，α2sin k c =，
则c b a k ++=))2
,0(,,0(π
αθ∈>k ，原不等式化为 即证]sin )4
sin(cos 2[sin cos 2sin 322απθαααθ++≥成立 ① 因①式右边)sin cos 2(sin cos 2αααα+≤
⨯≤2632223cos cos sin 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ααα3
2= ② 由①②可知命题成立。
（此题证法较多，留与读者思考）
从上述解答过程来看，此题在形式上不但没有化简，相反是化繁。
唐老师认为，“连续化简把原题转化为比较易证的题目，一直到所得到的新题目已成为一项基础知识为止。
”其实，对于“比较易证的题目”，我们应该理解为“针对个人的熟悉结构而言为比较易证的题目”较为恰当，例1用三角变换化代数不等式为三角不等式①，①式就是“易证的题目”吗？如果熟悉结构中缺乏三角解题经验，①式也许是更难解决的问题。
至于“得到一个新题目是可能的”，但要“成为一项基础知识”谈何容易。
因为许多复杂的问题很难转化为“一项基础知识”，一般只能转化到“与我们认知结构中的某项知识经验（尤其是熟悉结构）取得联系”。
对于“繁”“简”，不能仅从形式看，也不能仅从内容上理解，同一问题给不同的人的感受绝不相同，这与每个人的认知结构有关。
解决数学问题的根本原则不是化简，而是化归，化归与化简不同，化归就是对问题信息进行加工使之与我们的认知结构相联系，化陌生为熟悉。
这才是解题规律。
尽管“化简”一词不很准确，但唐老师所说的“化简”，我们绝不能单从字面上理解，因为唐老师又这样写道：“连续化简的道路是曲折的，只要我们全面的、辩证的理解连续化简，就可以引出结论，解题的根本要求是连续化简。
”可见，唐老师已知“化简”容易曲解，要求我们一定要“辩证理解”。
其实，这里的“化简”就是形变化归。
二、“二导一式”的核心是题变化归
《中学数学综合题解题规律讲义》的精华是“二导一式”，此见解发前人之未发，西南师范大学严栋开教授对此大为称赞，此方法的重要性就显而易见了。
简介如下：
二导一式顺推法：指思考过程的多数环节的形式是⎭
⎬⎫B A C ⇒的解题方法。
即由Ａ与Ｂ可以引出共同的结论Ｃ。
其中“二导一式”的“二”系泛指，允许是“三”、“四”或“一”。
例2 ABC ∆中，已知0322 ,0222=+-+=---c b a c b a a ，求ABC ∆的最大的角。
由于条件信息都是三角形边的关系式，而结论信息是确定三角形的内角大小，综合条件信息和结论信息并结合认知经验可以发现：通过正、余弦定理可以建立边与角的关系。
继而找到解题思路：求出cosA 、cosB 、cosC 的值。
又综合认知结构中 “大边对大角”这一经验，找到解答的最优策略：首先比较a 、b 、c 的大小，可以缩短解题步骤。
解 由题意知：a a c b a b c -=+>+=-222 ,0322，
从而解出 432+=a c ,4
322--=a a b ＞00)3)(1(>-+⇒a a . 可知3>a ，于是=-+=-a a a c 4324
)3)(1(--a a ＞0. 所以C ∠为最大角。
又=-+=ab c b a C 2cos 22221)
32(8)3()32(1622
2222-=--+---+a a a a a a a 。
则︒=120C .
此题解答的每一环节毫无半点化简之意，步步紧依我们认知结构中的知识经验（大边对大角，正、余弦定理），一切思路的产生都是综合加工信息的结果。
二导一式的目的就是要产生新信息，产生与认知结构既熟悉又相联系的新信息。
二导一式逆推法：思考过程中的多数环节的形式是：⇒⎭
⎬⎫B A 已知要证应先证Ｃ的解题方法。
即，只要先证明了Ｃ，它与已知Ｂ的共同结论就是要证明的Ａ。
其中“二导一式”的“二”是泛指，允许Ｂ是一项或几项已知条件。
例3 已知1=++c z b y a x ，0=++z c y b x a ，求证：1222222=++c
z b y a x . 证明 由已知1=++c
z b y a x ，可得 +++222222c
z b y a x 21)(=++ca zx bc yz ab xy ① 要证结论，只需先证
0=++ca
zx bc yz ab xy ② 0=++⇔cxy bxz ayz ③ 即证0=++z
c y b x a 成立（这是已知条件，从而得证）. ④
此题的条件信息是两个关于x、y、z的一次分式，而结论信息是关于x、y、z的二次分式，通过对条件信息和结论信息的综合加工，就产生了平方这一思路（得到①式），继而得到②③以至④.可见，综合加工信息不但为我们提供了信息①②③④，而且也为我们提供了解题思路。
综上所述，无论是顺推法还是逆推法，都是加工处理一项或几项信息从而得到一项新信息的方法，顺推法是综合条件信息引出新信息；逆推法是综合条件和结论信息引出一个新问题。
所以说“二导一式”的核心内容就是题变化归。