通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业22二倍角公式与简单的三角恒等变换理新人教A版
通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理5
第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α:sin 2α= .(2)公式C 2α:cos 2α= = = . (3)公式T 2α:tan 2α= . 2.常用的部分三角公式(1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式) (2)1±sin α= .(升幂公式) (3)sin 2α= ,cos 2α= , tan 2α= .(降幂公式) (4)sin α=2tanα21+tan 2α2,cos α= ,tan α= .(万能公式)(5)a sin α+b cos α= ,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin 2α+cos 2α=tan π4.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论 半角公式: sin α2=±√1-cos α2,cos α2=±√1+cos α2,tan α2=±√1-cos α1+cos α=1-cos αsin α=sin α1+cos α.题组一 常识题1.[教材改编] sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.[教材改编] 已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 . 3.[教材改编] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4.[教材改编] 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 .题组二 常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;a sinα+b cos α=√α2+α2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一 三角函数式的化简例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos 2x-π12+sin 2x+π12= ( )A .1+12cos 2xB .1+12sin 2x C .1+cos 2x D .1+sin 2x (2)化简:tan α+1tan (π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cos α D .1sin α[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 √1+sin6+√1-sin6= ( ) A .2sin 3 B .-2sin 3 C .2cos 3D .-2cos 3探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725D .-1825(2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ+1tan α=4,则cos 2(α+π4)= ( ) A .15 B .14 C .13D .12[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25C .±4√27D .2√25(2)[2018·广州七校联考] 若sin π6-α=13,则cos (2π3+2α)的值为 ( )A .-13B .-79 C .13 D .79角度2 给角求值例3 [2019·重庆南州中学月考] 2cos10°sin70°-tan 20°=( ) A .1 B .√3-12C .√3D .√32[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦较好.变式题 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .探究点三 三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a 的最大值为3. (1)求a 的值及f (x )的单调递减区间; (2)若α∈(0,π2),f (α2)=115,求cos α的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号. 变式题 设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α (3)2tan α1-tan 2α 2.(1)2sin 2α2 2cos 2α2 (2)sin α2±cos α22(3)1-cos2α21+cos2α21-cos2α1+cos2α(4)1-tan 2α21+tan 2α22tanα21-tan 2α2(5)√α2+α2sin(α+φ)对点演练1.-√2 [解析] sin 15°-√3cos 15°=212sin 15°-√32cos 15°=2(sin 30°sin 15°-cos30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-√2. 2.π [解析] f (x )=sin 2x-12=-cos2α2,故f (x )的最小正周期T=2π2=π.3.-14 [解析] 由cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,得{cos αcos α-sin αsin α=13,cos αcos α+sin αsin α=15, 解得{cos αcos α=415,sin αsin α=-115,所以tan αtanβ=sin αsin αcos αcos α=-14.4.-2425[解析] ∵sin θ=35,θ为第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcosθ=2×35×(-45)=-2425.5.79 [解析] 由题意知,cos (π3-2α)=1-2sin 2(π6-α)=1-29=79. 6.3π4 [解析] tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=7+431-7×43=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4.7.2k π-π4,k ∈Z [解析] sin α-cos α=√2√22sin α-√22cos α,则cos φ=√22,sin φ=-√22, 所以φ=2k π-π4,k ∈Z .8.-12 [解析] 因为2α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cosα=-√(sin α-cos α)2=-√1-2sin αcos α=-√1-34=-12.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解. (1)B (2)C [解析] (1)cos 2(α-π12)+sin 2(α+π12)=1+cos (2α-π6)2+1-cos (2α+π6)2=1+12cos2x cos π6+sin 2x sin π6-cos 2x cos π6-sin 2x sin π6=1+sin 2x sin π6=1+12sin 2x ,故选B .(2)tan α+1tan (π4+α2)=sin αcos α+cos (π4+α2)sin (π4+α2)=sin αsin (π4+α2)+cos αcos (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=cos (π4+α2-α)cos αsin (π4+α2)=cos (π4-α2)cos αsin (π4+α2)=sin (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=1cos α.故选C .变式题 D [解析]√1+sin6+√1-sin6=√(√1+sin6+√1-sin6)2=√1+sin6+1-sin6+2√(1+sin6)(1-sin6)=√2+2cos6=√2+2(2cos 23-1)=√4cos 23=-2c os 3.例2 [思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A (2)B [解析] (1)由题意得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(-β)=-sinβ=35,所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin 2β=725,故选A . (2)由tan θ+1tan α=4,得sin αcos α+cos αsin α=4,即sin 2α+cos 2αsin αcos α=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-2sin αcos α2=1-2×142=14.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=cos α=13,∴sinα=-2√23,tan α=-2√2,∴tan(π+2α)=tan 2α=2tan α1-tan 2α=-4√2-7=4√27.(2)cos (2π3+2α)=cos [π-(π3-2α)]=-cos (π3-2α)=-cos2(π6-α)=-1-2sin 2(π6-α)=-(1-2×19)=-79.例3 [思路点拨] 首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果. C [解析] 2cos10°sin70°-tan 20°=2cos10°sin70°-sin20°cos20°=2cos10°-sin(30°-10°)sin70°=32cos10°+√32sin10°sin70°=√3sin(10°+60°)sin70°=√3,故选C .变式题 C [解析] 原式=sin70°cos70°·cos 10°(√3·sin20°cos20°-1)=cos20°cos10°sin20°·(√3sin20°-cos20°cos20°)=cos10°sin20°×2sin(20°-30°)=-sin20°sin20°=-1. 例4 [思路点拨] 转化为求cos(α+β)的值,再求角α+β的值. A [解析] ∵α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π], 又0<sin 2α=√55<12,∴2α∈(5π6,π),即α∈(5π12,π2),∴cos 2α=-√1-sin =-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈(π2,13π12),又sin(β-α)=√1010,∴β-α∈(π2,π),∴cos(β-α)=-√1-sin 2(α-α)=-3√1010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22. 又α∈(5π12,π2),β∈[π,3π2],∴α+β∈(17π12,2π),∴α+β=7π4,故选A .变式题 -3π4[解析] ∵α∈(0,π),tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-α)+tan α1-tan(α-α)tan α=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×131-(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan2α-tan α1+tan2αtan α=34+171-34×17=1.∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.例5 [思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a ,进而根据正弦函数的单调性得到f (x )的单调递减区间;(2)由题意易得sin (α-π6)=35,进而得到cos (α-π6)=45,利用配角法可得cos α=cos α-π6+π6,从而得到结果. 解:(1)由题意知,f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a=4cos x ·(√32sin α-12cos α)+a=2√3sin x cosx-2cos 2x+a=√3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin (2α-π6)-1+a.当sin (2α-π6)=1时,f (x )取得最大值,此时f (x )=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π,k ∈Z,得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z,∴f (x )的单调递减区间为π3+k π,5π6+k π,k ∈Z .(2)由(1)可知,f (x )=2sin (2α-π6)+1,∵f (α2)=115,∴sin (α-π6)=35,又α∈(0,π2),∴α-π6∈(-π6,π3),∴cos (α-π6)=45, ∴cos α=cos [(α-π6)+π6]=√32cos (α-π6)-12sin (α-π6)=4√3-310.变式题 解:(1)依题意得f (x )=sin x+√3cos x+1=2sin (α+π3)+1.因为-2≤2sin (α+π3)≤2,所以-1≤2sin (α+π3)+1≤3, 即函数f (x )的值域是[-1,3]. 令-π2+2k π≤x+π3≤2k π+π2,k ∈Z,解得-5π6+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π6+2απ,π6+2απ],k ∈Z .(2)由f (α)=2sin (α+π3)+1=135,得sin (α+π3)=45. 因为π6<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cos (α+π3)=-35,所以sin (2α+2π3)=sin 2(α+π3)=2sin (α+π3)cos (α+π3)=-2×45×35=-2425.【备选理由】 例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键. 例1 [配合例1使用] 化简:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]= .[答案] sin β[解析] 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β+α)-sin β]=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-sin β] =12[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β.例2 [配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2,1),则tan (2α+π4)= ( )A .-7B .-17C .17 D .7[解析] A 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,且它的终边经过点P (2,1),可得tan α=12,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=11-14=43,∴tan (2α+π4)=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-43×1=-7.故选A .例3 [配合例3使用] 若a=√2(cos 216°-sin 216°),b=sin 15°+cos 15°,c=√,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<b<aB .b<c<aC .a<b<cD .b<a<c[解析] C a=√2(cos 216°-sin 216°)=√2cos 32°,b=sin 15°+cos 15°=√2cos 30°,c=√1+cos56°=√2cos 228°=√2cos 28°, 又∵y=cos x 在(0°,90°)上单调递减, ∴cos 28°>cos 30°>cos 32°,∴c>b>a.故选C .例4 [配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α=√55,cos β=√1010,则α-β的值为 .[答案] -π4[解析] ∵α,β均为锐角,sin α=√55,cos β=√1010, ∴cos α=√1-sin 2α=2√55,sin β=√1-cos 2α=3√1010,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=√55×√1010-2√55×3√1010=-√22. 又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.。
2020高考数学总复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业22 简单的三角恒等变换 文(含解析)
课时作业22 简单的三角恒等变换1．已知270°＜α＜360°，则三角函数式错误!的化简结果是（ D ）A．sin错误!B．－sin错误!C．cos α2D．－cos错误!解析: 错误!＝错误!＝错误!＝错误!，由于135°＜错误!＜180°，所以cos错误!＜0，所以化简结果为－cos错误!。
2.错误!等于（ C ）A．－错误!B．错误!C．错误!D．1解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
3．（2019·广州模拟）已知f（x)＝sin错误!,若sinα＝错误!错误!，则f错误!＝( B ）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!解析：因为sinα＝错误!错误!,所以cosα＝－错误!，f错误!＝sin错误!＝sin错误!＝错误!sinα＋错误!cosα＝－错误!.4．（2019·合肥质检）已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈错误!,若f(x1)＜f(x2），则一定有( D )A．x1＜x2B．x1＞x2C．x21＜x错误!D．x错误!＞x错误!解析：f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x cos2x＝错误!cos4x ＋错误!，4x∈[－π，π],所以函数f(x)是偶函数，且在错误!上单调递减，根据f(x1)＜f（x2)，可得f(|x1|)＜f(｜x2|），所以｜x1|＞|x2｜,即x错误!＞x错误!。
5．已知α∈R，sinα＋2cosα＝错误!,则tan2α＝（ C ）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!解析:因为sinα＋2cosα＝错误!，所以sin2α＋4cos2α＋4sinαcosα＝104（sin2α＋cos2α），整理得3sin2α－3cos2α－8sinαcosα＝0，则－3cos2α＝4sin2α，所以tan2α＝－34。
6．（2019·豫北名校联考)若函数f（x）＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于( B )A．513B．－错误!C．1213D．－错误!解析:f（x)＝5cos x＋12sin x＝13错误!＝13sin(x＋α)，其中sinα＝错误!，cosα＝错误!，由题意知θ＋α＝2kπ－错误!(k∈Z），得θ＝2kπ－π2－α（k∈Z），所以cosθ＝cos错误!＝cos错误!＝－sinα＝－错误!.7．（2019·湖南湘东五校联考)已知sin（α＋β）＝错误!,sin(α－β）＝错误!，则log错误!错误!2等于（ C )A．2 B．3C．4 D．5解析：由sin（α＋β）＝错误!,得sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!，①由sin（α－β）＝错误!，得sinαcosβ－cosαsinβ＝错误!,②由①②可得sinαcosβ＝错误!，cosαsinβ＝错误!.∴tanαtanβ＝错误!＝错误!＝5.∴log5错误!2＝log错误!25＝4，故选C．8．(2019·武汉模拟)在△ABC中，A，B,C是△ABC的内角,设函数f(A)＝2sin错误!sin错误!＋sin2错误!－cos2错误!，则f（A）的最大值为错误!.解析：f(A）＝2cos错误!sin错误!＋sin2错误!－cos2错误!＝sin A－cos A＝错误!sin错误!,因为0＜A＜π,所以－错误!＜A－错误!＜错误!.所以当A－错误!＝错误!，即A＝错误!时,f(A）有最大值错误!.9．已知α，β∈错误!，tan（α＋β)＝9tanβ,则tanα的最大值为错误!.解析：∵α，β∈错误!，∴tanα＞0，tanβ＞0,∴tanα＝tan（α＋β－β）＝错误!＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!（当且仅当错误!＝9tanβ时等号成立），∴tanα的最大值为错误!.10．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1）的两根分别为tanα，tanβ,且α,β∈错误!,则α＋β＝－错误!.解析：依题意有错误!∴tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝1.又错误!∴tanα＜0且tanβ＜0，∴－错误!＜α＜0且－错误!＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β）＝1,得α＋β＝－错误!.11．(2019·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（－3，错误!)．（1)求sin2α－tan α的值；(2）若函数f (x )＝cos （x －α)cos α－sin(x －α)sin α,求函数g （x )＝错误!f 错误!－2f 2（x ）在区间错误!上的值域．解：（1）∵角α的终边经过点P （－3，错误!)，∴sin α＝12,cos α＝－错误!，tan α＝－错误!. ∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－错误!＋错误!＝－错误!.（2）∵f （x )＝cos(x －α)cos α－sin （x －α）sin α＝cos x ，x ∈R , ∴g (x )＝3cos 错误!－2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin 错误!－1，∵0≤x ≤错误!，∴－错误!≤2x －错误!≤错误!。
通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理新人教A版
第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α:sin 2α= .(2)公式C 2α:cos 2α= = = . (3)公式T 2α:tan 2α= . 2.常用的部分三角公式(1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式) (2)1±sin α= .(升幂公式) (3)sin 2α= ,cos 2α= , tan 2α= .(降幂公式)(4)sin α=2tanα21+tan 2α2,cos α= ,tan α= .(万能公式)(5)a sin α+b cos α= ,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin 2α+cos 2α=tan π4.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论 半角公式: sin α2=±√1-cos α2,cos α2=±√1+cos α2,tan α2=±√1-cos α1+cos α=1-cos αsin α=sin α1+cos α.题组一 常识题1.[教材改编] sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.[教材改编] 已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 .3.[教材改编] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4.[教材改编] 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 . 题组二 常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;a sinα+b cos α=√α2+α2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一 三角函数式的化简例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos 2x-π12+sin 2x+π12= ( )A .1+12cos 2xB .1+12sin 2x C .1+cos 2x D .1+sin 2x (2)化简:tan α+1tan (π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cos αD .1sin α[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 √1+sin6+√1-sin6= ( ) A .2sin 3 B .-2sin 3 C .2cos 3D .-2cos 3探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725D .-1825(2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ+1tan α=4,则cos 2(α+π4)= ( ) A .15 B .14C .13 D .12[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25C .±4√27D .2√25(2)[2018·广州七校联考] 若sin π6-α=13,则cos (2π3+2α)的值为 ( )A .-13 B .-79 C .13 D .79角度2 给角求值例3 [2019·重庆南州中学月考] 2cos10°sin70°-tan 20°=( ) A .1 B .√3-12C .√3D .√32[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦较好.变式题 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 . 探究点三 三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a 的最大值为3. (1)求a 的值及f (x )的单调递减区间; (2)若α∈(0,π2),f (α2)=115,求cos α的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号. 变式题 设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α (3)2tan α1-tan 2α2.(1)2sin 2α2 2cos 2α2 (2)sin α2±cos α22(3)1-cos2α21+cos2α21-cos2α1+cos2α(4)1-tan 2α21+tan 2α22tanα21-tan 2α2(5)√α2+α2sin(α+φ)对点演练1.-√2 [解析] sin 15°-√3cos 15°=212sin 15°-√32cos 15°=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-√2. 2.π [解析] f (x )=sin 2x-12=-cos2α2,故f (x )的最小正周期T=2π2=π.3.-14[解析] 由cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,得{cos αcos α-sin αsin α=13,cos αcos α+sin αsin α=15, 解得{cos αcos α=415,sin αsin α=-115,所以tan αtanβ=sin αsin αcos αcos α=-14.4.-2425 [解析] ∵sin θ=35,θ为第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcosθ=2×35×(-45)=-2425.5.79 [解析] 由题意知,cos (π3-2α)=1-2sin 2(π6-α)=1-29=79. 6.3π4 [解析] tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=7+431-7×43=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4.7.2k π-π4,k ∈Z [解析] sin α-cos α=√2√22sin α-√22cos α,则cos φ=√22,sin φ=-√22,所以φ=2k π-π4,k ∈Z .8.-12[解析] 因为2α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cosα=-√(sin α-cos α)2=-√1-2sin αcos α=-√1-34=-12.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解. (1)B (2)C [解析] (1)cos 2(α-π12)+sin 2(α+π12)=1+cos (2α-π6)2+1-cos (2α+π6)2=1+12cos2x cos π6+sin 2x sinπ6-cos 2x cos π6-sin 2x sin π6=1+sin 2x sin π6=1+12sin 2x ,故选B .(2)tan α+1tan (π4+α2)=sin αcos α+cos (π4+α2)sin (π4+α2)=sin αsin (π4+α2)+cos αcos (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=cos (π4+α2-α)cos αsin (π4+α2)=cos (π4-α2)cos αsin (π4+α2)=sin (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=1cos α.故选C .变式题 D [解析]√1+sin6+√1-sin6=√(√1+sin6+√1-sin6)2=√1+sin6+1-sin6+2√(1+sin6)(1-sin6)=√2+2cos6=√2+2(2cos 23-1)=√4cos 23=-2c os 3.例2 [思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A (2)B [解析] (1)由题意得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(-β)=-sinβ=35,所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin 2β=725,故选A . (2)由tan θ+1tan α=4,得sin αcos α+cos αsin α=4,即sin 2α+cos 2αsin αcos α=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-2sin αcos α2=1-2×142=14.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=cos α=13,∴sinα=-2√23,tan α=-2√2,∴tan(π+2α)=tan 2α=2tan α1-tan 2α=-4√2-7=4√27.(2)cos (2π3+2α)=cos [π-(π3-2α)]=-cos (π3-2α)=-cos 2(π6-α)=-1-2sin 2(π6-α)=-(1-2×19)=-79.例3 [思路点拨] 首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果. C [解析] 2cos10°sin70°-tan 20°=2cos10°sin70°-sin20°cos20°=2cos10°-sin(30°-10°)sin70°=32cos10°+√32sin10°sin70°=√3sin(10°+60°)sin70°=√3,故选C .变式题 C [解析] 原式=sin70°cos70°·cos 10°(√3·sin20°cos20°-1)=cos20°cos10°sin20°·(√3sin20°-cos20°cos20°)=cos10°sin20°×2sin(20°-30°)=-sin20°sin20°=-1. 例4 [思路点拨] 转化为求cos(α+β)的值,再求角α+β的值. A [解析] ∵α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π], 又0<sin 2α=√55<12,∴2α∈(5π6,π),即α∈(5π12,π2),∴cos 2α=-√1-sin =-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈(π2,13π12),又sin(β-α)=√1010,∴β-α∈(π2,π),∴cos(β-α)=-√1-sin 2(α-α)=-3√1010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22. 又α∈(5π12,π2),β∈[π,3π2],∴α+β∈(17π12,2π),∴α+β=7π4,故选A .变式题 -3π4[解析] ∵α∈(0,π),tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-α)+tan α1-tan(α-α)tan α=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×131-(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan2α-tan α1+tan2αtan α=34+171-34×17=1.∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.例5 [思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a ,进而根据正弦函数的单调性得到f (x )的单调递减区间;(2)由题意易得sin (α-π6)=35,进而得到cos (α-π6)=45,利用配角法可得cos α=cosα-π6+π6,从而得到结果.解:(1)由题意知,f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a=4cos x ·(√32sin α-12cos α)+a=2√3sin x cosx-2cos 2x+a=√3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin (2α-π6)-1+a.当sin (2α-π6)=1时,f (x )取得最大值,此时f (x )=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π,k ∈Z,得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z,∴f (x )的单调递减区间为π3+k π,5π6+k π,k ∈Z .(2)由(1)可知,f (x )=2sin (2α-π6)+1,∵f (α2)=115,∴sin (α-π6)=35, 又α∈(0,π2),∴α-π6∈(-π6,π3),∴cos (α-π6)=45,∴cos α=cos [(α-π6)+π6]=√32cos (α-π6)-12sin (α-π6)=4√3-310.变式题 解:(1)依题意得f (x )=sin x+√3cos x+1=2sin (α+π3)+1.因为-2≤2sin (α+π3)≤2,所以-1≤2sin (α+π3)+1≤3, 即函数f (x )的值域是[-1,3].令-π2+2k π≤x+π3≤2k π+π2,k ∈Z,解得-5π6+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π6+2απ,π6+2απ],k ∈Z .(2)由f (α)=2sin (α+π3)+1=135,得sin (α+π3)=45. 因为π6<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cos (α+π3)=-35,所以sin (2α+2π3)=sin 2(α+π3)=2sin (α+π3)cos (α+π3)=-2×45×35=-2425.【备选理由】 例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键. 例1 [配合例1使用] 化简:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]= . [答案] sin β[解析] 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β+α)-sin β]=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-sin β] =12[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β.例2 [配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2,1),则tan (2α+π4)= ( ) A .-7 B .-17C .17 D .7[解析] A 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,且它的终边经过点P (2,1),可得tan α=12,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=11-14=43,∴tan (2α+π4)=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-43×1=-7.故选A .例3 [配合例3使用] 若a=√2(cos 216°-sin 216°),b=sin 15°+cos 15°,c=√1+cos56°,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<b<aB .b<c<a11 C .a<b<c D .b<a<c[解析] C a=√2(cos 216°-sin 216°)=√2cos 32°, b=sin 15°+cos 15°=√2cos 30°,c=√1+cos56°=√2cos 228°=√2cos 28°,又∵y=cos x 在(0°,90°)上单调递减,∴cos 28°>cos 30°>cos 32°,∴c>b>a.故选C .例4 [配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α=√55,cos β=√1010,则α-β的值为 .[答案] -π4[解析] ∵α,β均为锐角,sin α=√55,cos β=√1010,∴cos α=√1-sin 2α=2√55,sin β=√1-cos 2α=3√1010,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=√55×√1010-2√55×3√1010=-√22.又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.。
2020版高考数学一轮课时规范练22三角恒等变换理
课时规范练22 三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.π C. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B. C. D.3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则的值是()A. B.- C. D.4.(2018四川成都七中模拟)已知sin,则cos=()A.-B.-C.D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sin+sin α=-,则cos=()A.-B.-C.D.7.(2018全国第一次大联考)已知sin,则sin-cos的值为.8.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=.9.设α为锐角,若cos,则sin的值为.10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈,满足sin α+cos α=.(1)求cos的值;(2)求cos的值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.- C. D.-12.已知α∈,cos-sin α=,则sin的值是()A.-B.-C.D.-13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为.14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C.D.216.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.参考答案课时规范练22 三角恒等变换1.B f(x)= 2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin=,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选A.3.D∵tan α=2,∴======.4.B由题意sin=sin=-sin,所以sin=-,由于cos=cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-,故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=+sin 2x=+-=+sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.6.D∵sin+sin α=sincos α+cossin α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,即sin α+cos α=-.∴sin=-.故cos=cos=-sin=.7. sin-cos=sin-cos 2=-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=.8.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.9. ∵α为锐角,cos=,∴sin=,∴sin=2sincos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin=sin-cos=.10.解 (1)∵sin α+cos α=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈,∴cos=.(2)由(1)可得cos=2cos2-1=2×-1=.∵α∈,∴2α+∈,∴sin=.∴cos=cos=coscos+sinsin=.11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin=.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2××=-.故选D.12.B由cos-sin α=,可得cos α-sin α=,cos α-sin α=,cos=.∵α∈,∴α+∈,sin=,sin=sin=sin-cos==-,故选B.13. f(x)=2sin x·+cos x sin φ-sin x=sin x+sin x cos φ+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sin φ=sin(x+φ).因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=.14.解 (1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin.令2x-=kπ+,得x=+π(k∈Z),即y=f(x)的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cos=cos=cos=sin=.15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)∵k====2sin αcos α,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.∵<α≤,∴sin α+cos α>0.∴sin α+cos α=.∴y=-2k+1.由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,∴0≤k<1.∴f(k)=-2k+1(0≤k<1).(2)设=t,则k=t2-1,1≤t<.∴y=t-(2t2-2)+1,即y=-2t2+t+3(1≤t<).∵关于t的二次函数在区间[1,)内是减少的,∴t=1时,y取最大值2.。
2020年高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题(含解析)(最新整理)
考点20 二倍角公式与简单的三角恒等变换1．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试)在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1,sinB＝，则（tan 2A ﹣2）sin2C 的最小值为_______．【答案】5 【解析】在∆ABC 中，由sinB所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12，当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以,cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-)＜12，化简得：21sin 2cos 02A A +<,因为04A π<<，所以sin2A ＞0,即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- （tan 2A ﹣2）sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯- ＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+ ＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++ ＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 21A =时取等号故答案为:5．2．（江苏省常熟市高三下学期期中考试)在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，则cos 2α的值是__．【答案】79- 【解析】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-．3．(江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知倾斜角为的直线l 的斜率等于双曲线的离心率,则＝_______．【答案】 【解析】双曲线的离心率，,因为为直线的倾斜角，所以∴＝sin =2sin=故答案为： 。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业22简单的三角恒等变换 含解析
4．若 ＝－ ，则sinα＋cosα的值为()
A．－ B．－
C. D.
解析：由已知得 ＝
＝－ ，整理得sinα＋cosα＝ .
答案：C
5．[2019·四川成都诊断]已知α为第二象限角，且sin2α＝－ ，则cosα－sinα的值为()
A. B．－
C. D．－
解析：通解因为cos ＝－sin2α＝ ，又 <α<π，所以 <α＋ < ，则由cos ＝2cos2 －1，解得cos ＝－ ，所以cosα－sinα＝ cos ＝ × ＝－ ，故选B.
解析：由cosβ＝ ，β∈ ，
得sinβ＝ ，tanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝ ＝ ＝1.
∵α∈ ，β∈ ，
∴ <α＋β< ，∴α＋β＝ .
10．已知cos ＝ ，若 π<x< π，求 的值．
解析：解法一由 π<x< π，得 π<x＋ <2π.
又cos ＝ ，所以sin ＝－ ，所以cosx＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝ × － × ＝－ ，
答案：2
7．[2019·河南商丘模拟]已知α∈ ，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则 ＝________.
解析：∵α∈ ，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，
又sin2α＋cos2α＝1，
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课时规范练22三角恒等变换含解析
课时规范练22三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.π C. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B. C. D.3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则的值是()A. B.- C. D.4.(2018四川成都七中模拟)已知sin,则cos=()A.-B.-C.D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sin+sin α=-,则cos=()A.-B.-C.D.7.(2018全国第一次大联考)已知sin,则sin-cos的值为.8.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=.9.设α为锐角,若cos,则sin的值为.10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈,满足sin α+cos α=.(1)求cos的值;(2)求cos的值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.- C. D.-12.已知α∈,cos-sin α=,则sin的值是()A.-B.-C.D.-13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为.14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C.D.216.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.参考答案课时规范练22三角恒等变换1.B f(x)= 2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin=,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选A.3.D∵tan α=2,∴======.4.B由题意sin=sin=-sin,所以sin=-,由于cos=cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-,故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=+sin 2x=+-=+sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.6.D∵sin+sin α=sincos α+cossin α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,即sin α+cos α=-.∴sin=-.故cos=cos=-sin=.7.sin-cos=sin-cos 2=-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=.8.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.9.∵α为锐角,cos=,∴sin=,∴sin=2sin cos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin=sin-cos=.10.解 (1)∵sin α+cos α=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈,∴cos=.(2)由(1)可得cos=2cos2-1=2×-1=.∵α∈,∴2α+∈,∴sin=.∴cos=cos=cos cos+sin sin=.11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin=.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2××=-.故选D.12.B由cos-sin α=,可得cos α-sin α=,cos α-sin α=,cos=.∵α∈,∴α+∈,sin=,sin=sin=sin-cos==-,故选B.13.f(x)=2sin x·+cos x sin φ-sin x=sin x+sin x cos φ+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sinφ=sin(x+φ).因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=.14.解 (1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin.令2x-=kπ+,得x=+π(k∈Z),即y=f(x)的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cos=cos=cos=sin=.15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), 即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)∵k====2sin αcos α,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.∵<α≤,∴sin α+cos α>0.∴sin α+cos α=.∴y=-2k+1.由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,∴0≤k<1.∴f(k)=-2k+1(0≤k<1).(2)设=t,则k=t2-1,1≤t<.∴y=t-(2t2-2)+1,即y=-2t2+t+3(1≤t<).∴t=1时,y取最大值2.。
2020年高考数学一轮复习考点21二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题理含解析
考点21 二倍角公式与简单的三角恒等变换1．设cos50cos127cos40cos37a =︒︒+︒︒，)sin 56cos56b =︒-︒，221tan 391tan 39c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】由三角恒等变换的公式，可得cos50cos127cos 40cos37cos(50127)cos(77)cos77sin13a =︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=︒=︒，)sin 56cos5656sin(5645)sin11222b =︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒ 22222222sin 3911tan 39cos 39cos 39sin 39cos78sin12sin 391tan 391cos 39c ︒--︒︒===︒-︒=︒=︒︒+︒+︒， 因为函数sin ,[0,]2y x x π=∈为单调递增函数，所以sin13sin12sin11︒>︒>︒，所以a c b >>，故选D.2．已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭αA ．17 B ．7 C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】4cos ,(,0)5a απ=-∈-∴(,)2παπ∈--33sin ,tan 54αα∴=-=则tan 1tan 41tan πααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭31143714-==-+ 故选：C ． 3．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ） A．-B． C．D【答案】A 【解析】由题11sin 3sin 22a a a a -=-+桫，则tan 2α=- 故tan2α=22tan =1tan aa--故选：A ．4．函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为（ ） A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：D ．5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足，2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是（ ）A ．2b a =B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =【答案】B 【解析】 依题意得()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-,2sin sin 12cos cos C A C A=-,()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B.6．若2sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．19B ．19-C ．59D ．59-【答案】B 【解析】因为241212sin 124499cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2))si c 2n 2cos(os 2(4ππααα-==+-+，所以1sin 29α=-，故选B.7．cos()2πθ+=cos2θ的值为（ ） A ．18 B ．716C ．18±D ．1316【答案】A 【解析】因为cos 24πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin θ=21cos 212sin 8θθ=-=. 故选A .8．已知2cos sin αα=，则cos2=α（ ）A ．12B ．32- C ．12D 2【答案】D 【解析】解：由2cos sin αα==21sin a -，可得1sin 2a =，由cos2=α212sin a -，可得cos2=α2122-⨯=⎝⎭，故选D. 9．若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】 因为4tan 3α=， 所以22242sin cos 2tan 243cos 2sin 22162sin cos 1tan 2519παααααααα⎛⎫+=-=-=-=-⨯=- ⎪++⎝⎭+， 故选：A ．10．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________. 【答案】23【解析】 由题意可得：212cos 1cos cos sin 6232333παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即：212cos 1623πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. 11．已知tan 2α=，则3cos 2sin cos 22ππααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【答案】1- 【解析】因为2222223cos sin cos sin cos 2sin()cos()22sin cos sin cos ππααααααααααα-++-=-++，所以2222223cos sin sin cos 1tan tan cos 2sin()cos()122sin cos 1tan ππαααααααααααα----++-===-++，应填答案1-。
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课时作业(二十二)第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.[2019·石嘴山三中月考]若sin α=13,则cos 2α=()A.89B.79C.-79D.-892.计算:4cos 15°cos 75°-sin 15°sin 75°=()A.0B.12C.34D.323.[2018·马鞍山联考]已知tan(π2-θ)=4cos(2π-θ),|θ|<π2,则tan 2θ= ()A.-√158B.√158C.-√157D.√1574.若两个声波随时间t的变化规律分别为y1=3√2sin(100πt),y2=3sin(100πθ-π4),则这两个声波合成后(即y=y1+y2)的声波的振幅为()A.6√2B.3+3√2C.3√2D.3√55.[2018·江苏清江中学月考]函数y=(sin x+cos x)2的最小正周期是.能力提升6.已知函数f(x)=cos2x+2sin x cos x-sin2x,若f(θ2)=34,则sin 2α=()A.-14B.732C.-716D.787.若sin(π6-θ)=13,则cos(2π3+2θ)=()A.79B.-79C.√73D.-√738.√6sin70°+3√2cos250°= ( )A .4B .-4C .-4√6D .4√69.[2018·三明一中月考] 若cos α=17,cos(α+β)=-1114,α∈(0,π2),α+β∈(π2,π),则β为( )A .-π3B .π6C .π3 D .-π610.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点(1,2),则tan 2θ= .11.[2018·太原三模] 在△ABC 中,若4cos 2θ2-cos 2(B+C )=72,则A= .12.(10分)[2018·浙江教育联盟模拟] 如图K22-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ,B 两点,x 轴的正半轴与单位圆交于点M ,已知S △OAM =√55,点B 的纵坐标是√210. (1)求cos(α-β)的值; (2)求2α-β的值.图K22-113.(12分)[2018·宜宾模拟] 已知函数f (x )=cos x-π3-sin (π2-θ).(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若α∈(0,π2),且f (θ+π6)=35,求f (2α)的值.14.(13分)已知函数f (x )=2sin (θ+π6)-2cos x. (1)求函数y=f (θ+π3)的单调递增区间; (2)当x ∈[0,π2]时,求函数y=f (θ+π3)-f x-π3的取值范围.难点突破15.(5分)[2018·南昌模拟] 在如图K22-2所示的直角坐标系中,角α0<α<π2,角β-π2<β<0均以Ox 为始边,终边分别交单位圆于A ,B 两点,若B 点的纵坐标为-513,且满足S △AOB =√34,则sin θ2√3cos θ2-sin θ2+12的值为 ( )图K22-2A .-513 B .1213C .-1213 D .51316.(5分)[2019·深圳六校联考] 已知A 是函数f (x )=sin (2018θ+π6)+cos (2018θ-π3)的最大值,若存在实数x 1,x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则A ·|x 1-x 2|的最小值为 ( ) A .π2018 B .π1009 C .2π1009D .π4036课时作业(二十二)1.B [解析] cos 2α=1-2sin 2α=1-29=79,故选B .2.C [解析] 4cos 15°cos 75°-sin 15°sin 75°=3cos 15°cos 75°+cos 15°cos 75°-sin 15°sin 75°=3cos 15°cos 75°+cos 90°=3cos 15°cos 75°=3cos 15°sin 15°=32sin 30°=34,故选C .3.D [解析] ∵tan (π2-θ)=4cos(2π-θ),∴cos θsin θ=4cos θ,又|θ|<π2,故sin θ=14,且0<θ<π2,∴cos θ=√154,∴tan θ=√15,从而tan 2θ=2tan θ1-tan 2θ=√151-(√15)2=√157.故选D .4.D [解析] 因为y 1=3√2sin(100πt ),y 2=3sin (100πθ-π4),所以y=y 1+y 2=3√2sin(100πt )+3sin (100πθ-π4)=9√22sin(100πt )-3√22cos(100πt )=3√5sin(100πt-θ),其中sin θ=√1010,cos θ=3√1010,则合成后的声波的振幅为3√5.5.π [解析] ∵函数y=(sin x+cos x )2=1+sin 2x ,∴函数的最小正周期为2π2=π.6.C [解析] 因为f (x )=cos 2x+2sin x cos x-sin 2x=cos 2x+sin 2x ,所以f (θ2)=cos α+sinα=34,平方得1+sin 2α=916,所以sin 2α=-716.故选C .7.B [解析] ∵sin (π6-θ)=cos [π2-(π6-θ)]=cos (θ+π3)=13,∴cos (2π3+2θ)=2cos 2(θ+π3)-1=2×19-1=-79.故选B . 8.C [解析] 原式=√6sin70°-3√2cos70°=√6cos70°-3√2sin70°sin70°cos70°=2√6(12cos70°-√32sin70°)12sin140°=2√6cos(70°+60°)12sin40°=2√6cos130°12sin40°=-2√6sin40°12sin40°=-4√6.9.C [解析] ∵cos α=17,α∈(0,π2),∴sin α=4√37.∵cos(α+β)=-1114,α+β∈(π2,π),∴sin(α+β)=5√314,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-1114×17+5√314×4√37=12.又∵α∈(0,π2),α+β∈(π2,π),∴β=π3. 10.-43 [解析] 由题意得tan θ=2,所以tan 2θ=2tan θ1-tan 2θ=2×21-22=-43.11.π3[解析] ∵A+B+C=π,即B+C=π-A ,∴4cos 2θ2-cos 2(B+C )=2(1+cos A )-cos 2A=-2cos 2A+2cos A+3=72, ∴2cos 2A-2cos A+12=0,∴cos A=12,又0<A<π,∴A=π3.12.解:(1)由题意知OA=OM=1,∵S △OAM =12·OA ·OM ·sin α=√55,且α为锐角,∴sin α=2√55,cos α=√55.∵点B 的纵坐标是√210,且β为钝角, ∴sin β=√210,cos β=-7√210,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=√55×(-7√210)+2√55×√210=-√1010.(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2×(√55)2-1=-35,sin 2α=2sin α·cos α=2×2√55×√55=45,∴2α∈(π2,π),又∵β∈(π2,π),∴2α-β∈(-π2,π2).∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=45×(-7√210)-(-35)×√210=-√22, ∴2α-β=-π4.13.解:(1)由题知,f (x )=12cos x+√32sin x-cos x=√32sin x-12cos x=sin (θ-π6),∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )=sin (θ-π6),∴f (θ+π6)=sin (θ+π6-π6)=sin α=35,∵α∈(0,π2),∴cos α=√1-sin 2√1-(35)2=45, ∴sin 2α=2sin αcos α=2×35×45=2425,cos 2α=2cos 2α-1=2×(45)2-1=725, ∴f (2α)=sin (2θ-π6)=√32sin 2α-12cos 2α=√32×2425-12×725=24√3-750.14.解:(1)f (x )=2sin (θ+π6)-2cos x=√3sin x+cos x-2cos x=2sin (θ-π6), 所以f (θ+π3)=2sin (θ+π6).令2k π-π2≤x+π6≤2k π+π2,k ∈Z,解得2k π-2π3≤x ≤2k π+π3,k ∈Z,所以函数y=f (θ+π3)的单调递增区间为2k π-2π3,2k π+π3,k ∈Z .(2)由(1)知f (θ-π3)=2sin (θ-π3-π6)=2sin (θ-π2)=-2cos x ,所以y=f (θ+π3)-f (θ-π3)=2sin (θ+π6)+2cos x=√3sin x+cos x+2cos x=2√3sin (θ+π3). 因为x ∈[0,π2],所以x+π3∈[π3,5π6],所以sin (θ+π3)∈[12,1],所以函数y=f (θ+π3)-f (θ-π3)的取值范围是[√3,2√3]. 15.B [解析] 由题知∠xOA=α,∠xOB=-β,sin β=-513.因为S △AOB =12·OA ·OB ·sin ∠AOB=√34,所以sin ∠AOB=√32,又sin β=-513,所以∠AOB=π3,即α-β=π3,即α=π3+β,则sin θ2(√3cosθ2-sin θ2)+12=√3sin θ2cos θ2-sin 2θ2+12=√32sin α-12(1-cosα)+12=√32sin α+12cos α=sin (θ+π6)=sinπ3+β+π6=sin (π2+θ)=cos β=√1-sin 2θ=1213.故选B .16.B [解析] ∵f (x )=sin (2018θ+π6)+cos (2018θ-π3)=√32sin 2018x+12cos 2018x+12cos 2018x+√32sin 2018x=√3sin 2018x+cos 2018x=2sin (2018θ+π6),∴A=f (x )max =2,f (x )的最小正周期T=2π2018=π1009.又∵存在实数x 1,x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,∴f (x 2)=f (x )max =2,f (x 1)=f (x )min =-2, ∴A ·|x 1-x 2|的最小值为A×12T=π1009,故选B .。