上海高一下期末数学复习全总结-学生版
上海高一下数学知识点总结
上海高一下数学知识点总结在上海高一下学期的数学学习中，我们接触到了许多重要的知识点。
本文将对这些知识点进行总结和归纳，帮助同学们回顾学习内容，巩固数学知识。
一、函数与二次函数1. 函数的概念与性质：函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念，函数的分类与性质。
2. 一次函数与二次函数：一次函数的图像与性质，一次函数与二次函数的区别与联系。
3. 二次函数的图像与性质：顶点、轴、对称性等重要性质，二次函数的几何意义和实际应用。
二、立体几何1. 球面与球体：球的性质和参数、球面上的点、切线、相交关系等。
2. 圆锥与圆台：圆锥与圆台的性质、参数、体积和表面积计算公式。
3. 圆柱与圆筒：圆柱与圆筒的性质、参数、体积和表面积计算公式。
三、三角函数1. 三角比的定义与性质：正弦、余弦和正切等三角比的定义、性质和计算方法。
2. 三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、周期性、对称性等。
3. 三角函数的扩展应用：解三角方程、求角度、三角函数在几何和物理问题中的应用。
四、导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、导数与函数图像的关系、导数的四则运算等。
2. 常见函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等函数的导数计算方法。
3. 微分的概念与应用：微分的定义、微分近似计算与应用、微分中值定理等。
五、概率与统计1. 概率的基本概念：样本空间、随机事件、概率的定义和性质等。
2. 条件概率与独立性：条件概率的计算、乘法公式、独立事件与互斥事件。
3. 统计与统计图表：数据收集和整理、频数分布表与统计图表、均值、中位数、众数等统计指标。
六、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与运算：矩阵的基本概念、矩阵的加减法和数乘、矩阵乘法等运算规则。
2. 逆矩阵与方阵的性质：逆矩阵的定义和求解方法、方阵的性质与判定标准。
3. 行列式与线性方程组：行列式的定义、性质和计算方法，线性方程组的解法与应用。
以上是上海高一下学期数学的主要知识点总结。
上海数学高一下知识点总结
上海数学高一下知识点总结在高一下学期的数学学习中，我们学习了许多重要的知识点，包括代数、函数、几何等方面的内容。
下面，我将对这些知识点进行总结。
一、代数1. 数列与数列的通项公式：数列是由一列有规律的数按一定顺序排列而形成的集合。
我们学习了等差数列和等比数列，掌握了它们的通项公式，能够快速求解数列中的任意项。
2. 因式分解与最大公因数：因式分解是将一个多项式拆分为乘积形式的过程。
我们学会了利用因式分解来求解方程，简化计算。
同时，还学习了最大公因数的概念与求解方法。
3. 一次函数与二次函数：一次函数是指函数的最高次幂为一次的函数，二次函数是指函数的最高次幂为二次的函数。
我们研究了它们的图像特征、性质以及应用问题。
二、函数1. 函数与方程：函数是自变量与因变量之间的对应关系。
我们学会了如何判定一个关系是否为函数，并学习了函数的表示方法。
同时，还学习了解析几何中的一些基本图形与函数的关系。
2. 指数函数与对数函数：指数函数和对数函数是函数中的重要概念。
我们学习了指数函数的性质、图像以及求解相关问题的方法，同时也掌握了对数函数的定义、性质与运算。
三、几何1. 三角比的概念与性质：我们学习了正弦、余弦、正切等三角函数的定义与性质，掌握了它们在直角三角形中的应用。
同时，还学会了通过角的计算求解相关角度的方法。
2. 平面向量与平面向量的运算：我们了解了平面向量的定义和表示方法，并学习了平面向量的运算规则，包括加法、数量乘法等。
3. 三角形的面积与周长：我们学习了不同类型三角形的面积计算方法，以及周长的计算。
同时，还学会了利用三角形的面积和周长求解相关问题。
四、概率与统计1. 事件与概率：我们学习了事件的概念及其相关术语，掌握了概率的定义方法。
同时，还学习了概率的加法定理和乘法定理，用于求解复杂事件的概率。
2. 随机变量与概率分布：我们了解了随机变量的概念，学习了离散型随机变量和连续型随机变量的定义与性质。
同时，还学会了概率分布的计算方法。
上海高一数学知识点归纳总结
上海高一数学知识点归纳总结高中数学作为一门重要的学科，对于学生的学习和未来的科学研究发展起着重要作用。
上海高一数学知识点涵盖了各个领域，知识点繁杂而复杂。
为了帮助同学们更好地学习和记忆数学知识，下面将对上海高一数学知识点进行归纳总结。
1. 函数与方程（1）函数的概念和性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。
（2）函数的图像与性质：平移、伸缩、翻折等。
（3）二次函数与一元二次方程：顶点坐标、判别式、解的个数与情况。
（4）指数与对数：指数函数、对数函数的性质与运算。
2. 三角函数（1）三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
（2）三角函数的图像与变换：幅值、周期、相位差等。
（3）三角函数的基本关系式：同角三角函数的互化等。
（4）三角函数的运算法则与解题方法。
3. 数列与数学归纳法（1）数列的定义与性质：通项公式、等差数列、等比数列等。
（2）数列的运算与应用：前n项和、通项公式的推导与应用。
（3）数学归纳法的原理与证明：基本思想、应用技巧与演算过程。
4. 解析几何（1）直线与圆的方程：一般式、截距式、点斜式等。
（2）二次曲线：抛物线、椭圆、双曲线的基本概念和性质。
（3）几何向量的概念和运算：数量积、向量积的定义与运算。
（4）空间几何：点、直线、平面的位置关系与方程。
5. 概率与统计（1）基本概念：样本空间、随机事件、频率、概率等。
（2）概率计算：基本概率公式、条件概率、乘法定理等。
（3）离散型随机变量与分布：二项分布、泊松分布的概念与应用。
（4）统计分析与抽样调查：样本容量、均值、方差等的计算与分析。
6. 推理与证明（1）集合与命题：集合的关系与运算、基本逻辑联结词的概念。
（2）命题的真值表与推理：命题的真假判断、命题的合取与析取等。
（3）条件语句与等价命题：充分条件、必要条件、等价命题的推理与证明。
（4）数学归纳法的证明：应用于数列、不等式等问题。
上述只是上海高一数学知识点的一个概述，具体的内容有赖于同学们自己的学习和老师的讲解。
上海高一数学知识点总结
上海高一数学知识点总结数学作为一门基础学科，在高中阶段起到了非常重要的作用。
对于上海高一学生而言，数学课程更是占据了重要的位置。
因此，在刚开始高一的阶段，对于数学知识点的总结是非常必要的。
本文将对上海高一数学课程中的重要知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和理解数学知识。
一、函数与方程在高一的数学课程中，函数与方程是最为基础和重要的内容。
其中，一元一次方程的解法是初中阶段学习的内容，高一阶段会进一步学习一元二次方程及其图像、一次函数与二次函数的图像等内容。
同时，还需要熟练掌握函数与方程之间的转化关系，例如将函数转化为方程、将方程转化为函数。
二、数列与数列的运算数列是数学中的一个重要概念，具有很强的实际意义。
在高一阶段，需要学习数列的概念、性质以及数列的通项的求法。
同时，还需要掌握数列的运算，如常数数列的运算、等差数列的运算、等比数列的运算等。
数列的运算是数学中的基础操作，掌握之后能够更好地理解和解决与数列相关的问题。
三、平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高一数学中的一大难点，也是进阶内容。
在学习平面向量时，需要掌握向量的概念、向量运算、向量的模、向量夹角等内容。
同时，还需要了解线段的中点、线段的倾斜角、平面上直线的方程等解析几何的基础知识。
这些知识点需要学生具备较强的几何思维和计算能力。
四、概率与统计概率与统计作为数学中的实用内容，也是高中数学的一部分。
在学习概率与统计时，需要了解事件和概率的关系、概率计算、频率与概率的区别等内容。
同时，还需要掌握统计调查的基本方法、频数分布表的制作以及数据的分析与解读等技巧。
概率与统计是实际生活中常见的数学应用，对于提高数学素养和解决问题具有重要意义。
五、三角函数与三角恒等式三角函数与三角恒等式是高中数学课程的难点和重点之一。
在学习三角函数时，需要掌握弧度制、三角函数的基本概念、三角函数的性质以及三角函数图像的变换等。
同时，还需要熟练掌握三角函数的运算、三角方程的解法以及三角恒等式的证明与应用等内容。
沪教版高一数学下知识点
沪教版高一数学下知识点高一数学下学期的内容非常丰富多样，我们将会学习到许多有趣又实用的数学知识点。
本文将为大家梳理并介绍一些重要的知识点，希望能够帮助大家更好地掌握数学这一学科。
1. 数列与数列的运算数列是数学中非常重要的概念，我们要学会如何表示、求和和递推等。
在数列的运算中，我们需要掌握加、减、乘和除的运算技巧，并学会如何通过数列来解决实际问题。
2. 不等式与不等式的求解不等式是比较两个数大小关系的表示方式，我们需要学会如何求解不等式，包括一元一次不等式、一元二次不等式以及含有绝对值的不等式等。
此外，还要学会如何利用不等式解决实际问题。
3. 三角函数三角函数是数学中非常重要的概念，我们需要学会如何计算正弦、余弦和正切等三角函数的值，以及如何利用它们解决实际问题。
4. 平面向量平面向量是可以同时表示大小和方向的量，我们需要学会如何表示平面向量，并掌握平面向量的加减法、数量积和向量的投影等运算。
5. 圆与圆的位置关系圆是几何中重要的图形，我们需要学会如何描述和绘制圆，并学会求解圆与圆之间的位置关系，如相交、相切和内切等。
6. 三角形的性质与判定三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一，我们要学会三角形的性质和判定方法，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形以及相似三角形等。
7. 概率与统计概率与统计是实际生活中经常会用到的数学知识，我们需要学会如何计算概率、掌握统计的基本方法和概念，并学会分析和解释统计数据。
8. 导数与函数的应用导数是微积分中非常重要的概念，我们需要学会如何求导数、理解导数的几何意义，并学会利用导数解决实际问题，如函数的最值、曲线的切线和变率等。
以上仅是高一数学下学期的一部分知识点，希望大家能够认真学习并灵活运用这些知识，为将来的学习打下坚实的基础。
数学是一门需要不断实践和思考的学科，相信通过我们的努力，一定能够取得优异的成绩。
让我们一起加油吧！。
沪教版高一数学知识点归纳总结
沪教版高一数学知识点归纳总结高一是学生们进入高中阶段的开始，也是学习数学的关键时期之一。
在这一阶段，学生们需要打好数学基础，掌握数学的基本概念和方法。
下面将对沪教版高一数学的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地学习和理解数学。
一、二次函数与一次函数1. 二次函数的概念及基本性质：- 定义：形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数称为二次函数，其中a、b、c 为常数，a称为二次项系数。
- 平移变换：二次函数可以通过平移变换的方式进行图像的平移、翻转和压缩。
- 对称轴与顶点：二次函数的对称轴与顶点可以通过二次函数的常用形式y=a(x-h)²+k来确定，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 一次函数的概念及基本性质：- 定义：形如y=kx+b的函数称为一次函数，其中k、b为常数，k称为斜率，b称为截距。
- 斜率与图像特性：一次函数的斜率决定了图像的倾斜程度，斜率大于0表示图像向上倾斜，斜率小于0表示图像向下倾斜。
- 解直线方程：通过一次函数的斜率和截距，可以确定直线的方程，从而求解方程。
二、三角函数1. 基本概念：- 弧度与角度的转化：弧度制与角度制是两种衡量角度大小的方式，可以通过特定的换算公式进行转化。
- 正弦、余弦、正切等概念：对于一个给定的角度，正弦、余弦、正切等三角函数可以通过三角比的方式进行计算。
2. 基本性质：- 周期性质：三角函数具有周期性的特点，周期为2π或π，根据角度大小可以进行相应的变化。
- 函数图像：通过绘制三角函数的函数图像，可以更直观地了解三角函数的变化规律。
3. 弧长和面积计算：- 弧长的计算公式：通过角度和半径的关系，可以计算出圆的弧长。
- 扇形面积和扇形弧长：通过给定的角度、半径，可以计算出扇形的面积和弧长。
三、平面向量1. 基本概念：- 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并可以表示为有序数组。
- 向量的加减法：向量的加法和减法可以通过分别对应位置的坐标进行运算得到。
上海市高中数学知识点总结
上海市高中数学知识点总结一、集合与函数概念1. 集合的含义、表示方法以及集合与集合之间的关系；2. 集合的运算，包括交集、并集、补集；3. 函数的概念、函数的性质、函数的运算；4. 函数的图像、函数的变换、反函数的概念；5. 常见函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念、数列的通项公式；2. 等差数列与等比数列的性质、求和公式；3. 数列的极限概念及其计算；4. 数学归纳法的原理与应用。
三、排列组合与概率1. 排列组合的基本概念、公式及计算方法；2. 二项式定理及其应用；3. 事件的概率、条件概率、独立事件的概率；4. 随机事件的概率计算、期望值与方差。
四、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数的定义、性质和图像；2. 三角函数的基本关系式、三角函数的和差公式；3. 三角函数的倍角公式、半角公式；4. 三角函数的积化和差公式、和差化积公式。
五、平面向量与解析几何1. 向量的基本概念、线性运算、数量积；2. 向量的几何意义、向量的坐标表示；3. 直线的方程、圆的方程；4. 圆锥曲线的方程及其性质。
六、立体几何1. 空间几何体的基本概念、性质；2. 空间直线与平面的位置关系；3. 立体图形的表面积与体积计算；4. 空间向量及其在立体几何中的应用。
七、微积分1. 导数的定义、性质、运算法则；2. 函数的极值与最值问题、导数的应用；3. 不定积分的概念、积分法则；4. 定积分的概念、性质、计算方法；5. 微积分在实际问题中的应用。
八、概率论与数理统计1. 随机变量的概念、分布律、期望与方差；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 多维随机变量及其分布；4. 大数定律与中心极限定理；5. 样本及其分布、参数估计、假设检验。
九、数学思维与方法1. 逻辑推理、数学归纳与演绎；2. 数学建模与问题解决策略；3. 创新思维在数学学习中的应用；4. 数学思想方法的历史发展与现代教育意义。
上海高一数学重点知识归纳
上海高一数学重点知识归纳一、函数与方程高一数学的重点之一是函数与方程，这是理解数学的基础。
函数的概念很重要，它描述了输入和输出之间的关系。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
我们需要掌握它们的图像特征、性质和应用。
方程是数学中常见的表示关系的工具。
我们需要熟悉一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元二次方程的求解方法。
对于复杂的方程，我们可以运用因式分解、配方法、二次根式和判别式来求解。
二、函数的图像与性质通过绘制函数的图像，我们可以了解它的特征和性质。
在学习函数图像时，我们需要重点掌握平移、伸缩和翻转等变换的规律。
同时，函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等概念也是关键。
三、初等函数的应用初等函数是高一数学中的重点内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
我们需要了解指数函数和对数函数在增长与衰减、复利计算和指数法则等方面的应用。
三角函数则在几何、物理和工程等领域有重要作用。
四、平面向量平面向量是高中数学的核心内容之一。
我们需要了解向量的定义、运算法则以及向量的数量积和向量积的性质。
平面向量在几何中的平移、旋转和镜像等变换中经常使用。
五、数列与数和数列是高一数学的基础内容，它在代数和应用问题中都发挥着重要作用。
我们需要熟练掌握各种数列的定义、通项公式以及数列的求和公式。
通过数列求和，我们可以解决很多实际问题，如等差数列的应用于算术平均数、等比数列的应用于计算复利等。
六、三角函数三角函数是高中数学的重点之一。
我们需要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的图像和性质。
同时，我们还需要了解三角恒等式，如和差化积、倍角公式和半角公式等。
三角函数在几何中的应用广泛，如解三角形、测量不可测角等。
七、立体几何立体几何是高一数学的一项重要内容。
我们需要掌握各种几何体的性质、特征和计算方法。
在立体几何中，我们需要了解平行投影的概念以及重心、中心和面积体积的计算公式。
八、概率与统计概率与统计是高一数学的必修内容之一。
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高一下期末复习资料板块一 指对幂函数【知识要求】（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。
1.1对数恒等式：01log =a1log =a ab a b a =log1.2对数公式：MN N M a a a log log log =+ NMN M a a a a log log log log =-b n b a n a log log =b mnb a n a m log log =abb c c a log log log =ab b a log 1log =1log log log =a c b c b a（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。
（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。
【经典例题】【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数()⎩⎨⎧≤>=0,20,log 3x x x x f x，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f。
A ．4B ．41C ．4-D ．41- （2）【2010湖北文05】函数()34log 15.0-=x y 的定义域为。
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,43B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C ．()+∞,1D ．()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,11,43（3）【2010重庆文04】函数x y 416-=的值域是。
A ．[)+∞,0B ．[]4,0C ．[)4,0D ．()4,0【例2】【2010北京文06】给定函数①21x y =，②()1log 21+=x y ，③1-=x y ，④12+=x y ，其中在区间()1,0上单调递减的函数的序号是。
A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则 。
A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<板块二 三角比【知识要求】（1）角的定义与表示1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。
（动态的定义）1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。
1.3表示：与角α终边一致的角：{}Z k k ∈+⋅=,360|0αββ 1.4弧度制把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做rad 1。
圆心角r l =α；扇形面积22121r lr S α==。
'00185730.571=≈rad ；rad 01745.010≈。
（2）三角比的定义2.1三角比的定义①用直角三角形边之比定义锐角．．三角比； c a =αsin ，c b =αcos ，b a =αtan ，ab=αcot ， 正割：b c =αsec ，余割：a c=αcsc②用终边上点的坐标定义任意角．．．的三角比； 在任意角θ的终边上任取一点P 。
设P 点的坐标为()y x ,，则22y x r OP +==。
22sin y x y ry +==α，22cos y x x rx+==α，xy=αtan 。
由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负： 一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。
③用单位圆上的有向线段定义任意角．．．的三角比。
MP MP ==αsin ，OM OM ==αcos ，AT AT ==αtan2.2特殊角的三角比 α0（00）6π（030） 4π（045） 3π（060） 2π（090）（3）同角三角恒等式1cos sin 22=+θθθθθcos sin tan =⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠Z k k ,2ππθθθθsin cos cot =()Z k k ∈≠,πθ 1cot tan =θθ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈≠Z k k ,2πθ 1csc sin =θθ()Z k k ∈≠,πθ1sec cos =θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠Z k k ,2ππθθθ22sec tan 1=+⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠Z k k ,2ππθθθ22csc cot 1=+()Z k k ∈≠,πθ（4）诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。
将所需化简的角化成απ±⋅k 2的形式，然后用口诀。
（5）两角和差展开公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-（6）二倍角公式αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=半角公式2cos 12sin 2αα-=2cos 12cos 2αα+=αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=()Z k k ∈≠,πα （7）辅助角公式（提携公式）()ϕθθθ++=+sin cos sin 22b a b a22sin b a b +=ϕ，22cos b a a +=ϕ，ab=ϕtan 【经典例题】【例4】（1）若ϕ是第二象限角，那么2ϕ和ϕπ-2都不是 。
A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角α的终边过点()030sin 6,8--m P ，且54cos -=α，则m 的值为。
A ．21-B ．23-C ．21D ．23（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。
A ．000168sin 10cos 11sin <<B ．00010cos 11sin 168sin <<C ．00010cos 168sin 11sin <<D ．00011sin 10cos 168sin <<【例6】（1）【2009山东临沂】已知51cos sin -=+αα，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππα，则αtan 的值是。
（2）【2009安徽合肥】已知x x cos 2sin =，则=+1sin 2x。
A ．56B ．59C ．34D ．35【例7】（1）【2010全国Ⅰ02】记()k =-080cos ，那么=0100tan 。
A ．kk 21-B ．kk 21--C ．21kk -D ．21kk --（2）【2009安徽皖北】若536sin =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ3cos 。
A ．53-B ．53C ．54D ．54-【例8】（1）已知4πβα=+，则()()=++βαtan 1tan 1。
（2）已知α为锐角，且1356cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，则=αcos 。
【例9】（1）已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则=x 2sin 。
（2）已知414cos 43sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x ，则=x 4cos 。
【例10】（1）【2008四川非延考理05】若πα20≤≤，ααcos 3sin >，则α的取值范围是。
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,3C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛23,3ππ （2）若3212cos 12sin 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+ππx x ，且02<<-x π，则=-x x cos sin。
板块三 三角函数【知识要求】（1）定义：一般地，形如x y sin =，x y cos =，x y tan =的函数称为三角函数。
（2）图像①由单位圆上的有向线段平移所得②五点法（3）图像变换①同名函数之间进行变换； ②所有变换必须针对x 或y ； ③左加右减，“上正下负”。
（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称 【经典例题】【例11】（1）作出函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2πx y 的图像。
（2）【2010江苏10】定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP与x y sin =的图像交于点2P ，则线段21P P 的长为。
【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数()()R x x A y ∈+=ϕωsin 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将()R x x y ∈=sin 的图像上所有的点。
(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（2）【2005天津理08】要得到2y x 的图像，只需将函数224y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有的点的。
A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则。
A ．1=ω 6πϕ= B ．1=ω 6πϕ-= C ．2=ω 6πϕ=D ．2=ω 6πϕ-=（2）【2009浙江理08】已知a 是实数，则函数()ax a x f sin 1+=的图像不可能．．．是。
【例14】（1）【2010浙江理11】函数2()sin(2)224f x x x π=--的最小正周期是______。
（2）【2010北京理15改编】函数()x f 22cos 2sin 4cos x x x =+-的最大值为______，最小值为______。
（3）【自编】函数x x x x y cos sin cos sin +-=，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈65,12ππx 的值域为______。
【例15】（1）【自编】已知函数()x x x f 2sin 22sin -=，R x ∈ （ⅰ）求函数的值域；（ⅱ）求函数的最小正周期； （ⅲ）求函数的单调性；（ⅳ）求函数的对称轴和对称中心；（2）【自编】下列命题 ①函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 2πx x f 的最小正周期是2π； ②函数()x x x f cos sin 2=在（4π，2π）上是递增的； ③函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62tan πx y 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π中心对称； ④函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 4sin 22ππx x y 是奇函数。