高等数学(7)多元函数微分学 - 简明版

盾 。记
| a b | r, r .
2
由于重极限存在并且 lim f ( x, y) a，，存在 ， ( x , y )( x0 , y0 )
当 | x x0 | | y y0 | 时，| f ( x, y) a | 。记
由于
lim
y y0
f
( x,
2
。由（1）式，可取

2>0,
|
y
y0
| 2
|
f
( x%, y) ( x%, y0 ) |

2
再取 y% 成立：
U
o
(
y0
,
min{，
2
2
}
)
，于是有下面关系式
| a b || a f ( x%, y%) | | f ( x%, y%) b |






数
V xyz
【例6-3】求函数 u ln[( x 1)( y 2)] e x 的定义域.
（2）多元初等函数。 （3）多元函数的图-曲面与超曲面概念
（参见书中图6-2），二元（连续）函数的图像。 4.多元函数的极限（本章的难点大多在这一节）
注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限 是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多 区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是 性质和形式，差异都很小。所以这里以二元函数为 主介绍相关内容。
【例6-9】求
(
x,
lim
y )(2,1)
ln( x2 x2

e y
y 2
)
.
注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。
复习题6-1（1）讨论
x2 sin ky
x2 y4
在 (x, y) (0,0) 时是否存在极限？若存在，其极限

x2 y2 y)2
x2 y2
;该极限是否存在，
若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？
3.讨论 lim xy sin 1
的情况。
( x, y )(0,0)
x2 y2
附录-一点补充：关于累次极限和重极限的关系。
前面仅仅讨论了二元函数的累次极限与重极限之间的 部分关系，并没有全面展开。但不妨碍自己探讨。
比一元函数极限的情况复杂。
【例6-5】设
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
讨论当(x,y)
→(0,0)时，
f (x,y)的极限是否存在？ 注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？
仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向 趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值 的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量 只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。
（1）多元函数连续的定义（ 语言定义-定义6-6） 设 u f ( x1, x2 ,，xn )是定义在 D Rn 上的n
元函数，（注：在二维空间情况下记为z f ( x, y) ）
p0是D的聚点，并且属于 D ，如果
0 0 ( p U ( p0, ) D f ( p) U ( f ( p0 ), ))
lim f ( x, y) ； lim lim f ( x, y) ；lim lim f ( x, y)
x x0 y y0
x x0 y y0
y y0 x x0
讨论一下，它们所表达的是什么意思？有区别吗？
定义（6-5）-累次极限概念（从二次推广到n次）。
从几何直观考虑累次极限与重极限的区别。
下面是可以按常规算法求极限的几道例题。
【例6-6】求 lim
xy .
( x, y)(0,0) 1 xy 1
【例6-7】求 lim sin( xy) .
x ( x, y )(0,2)
【例6-8】求
(
x
,
lim
y )(0
,0)
sin( x x2
2 y) y2
.
（3）累次极限概念。
问题：请考察下面三个符号，
即 a, 0, 0, p D,
(0 p p0 | f ( p) a | )
则称常数a是函数 f ( p) 在 p p0 时的极限。记为
注：经常记
lim f ( p) a
p p0 n
p p0 ( xi ai )2 , i 1
|
f(

x%, y%) r

(
x%, y0
)
|

|

(
x%, y0
)

b
|
22
这与 | a b | r 2 矛盾。
注：以上，其实也证明了累次极限都存在，则这些 极限都相等。
但是，一个累次极限与重极限存在（则相等），并 不能推出另一个累次极限存在。可自行举例。
5.多元函数的连续性
3.多元函数
（1）多元函数的定义-本质上就是n维空间某个子集 到实数集的映射。
符号与概念:自变量、因变量、定义域、值域（这个 集合的表示）；自然定义域约定。
【例6-1】一定量的理想气体的压强p，体积V和绝对温 度T之间具有关系 p RT , 其中R为常数.
V
【例6-2】长方体体积V是它的长x，宽y，高z的三元函
（ii）欧式空间一个子集的内点、外点、边界点和 边界；集合的聚点。
（iii）开集、闭集、（弧或道路）连通集；（开） 区域（连通开集）、闭区域（开区域加上边界）。
（iv）有界集、无界集。
2. n维欧式空间中点列的收敛（n维空间中的极限）
（1）n维欧式空间中点列收敛的定义（ N 语言） （2）n维空间点列收敛的坐标刻画（定理6-1）.
第六章 多元函数微分学及其应用
假设已经搞懂了一元函数的微 分（包括极限、连续和导数概念） 理论，那么这一章的主要任务就 是弄清多元函数微分与一元函数 微分的联系与区别。
其中，从直线到平面的推广或 拓展，是最值得注意的。特别是 与极限概念相关的部分。
6.1多元函数的基本概念
1. N维空间中的点集 2. N维空间中点列的收敛 3. 多元函数的定义 4. 多元函数的极限 5. 多元函数的连续性
比如说，下面用函数增量的形式表述多元（这里以
二元函数为例）函数的连续性，就会产生一些新的概 念。记
x x x0 ； y y y0 ；
z f ( x, y) f ( x0 , y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 。 则二元函数z f ( x, y) 在点 p0 ( x0, y0 )处连续就是
x x0 y y0
f ( x, y) a (( x, y) ( x0, y0 ))
注意：上述极限-称为重极限-的刻画，也可以利用空 间的矩形邻域，用各个坐标之间的距离描述。
（2）例与反例
【例6-4】用定义证明
x2 y2
lim
( x, y)(0,0)
x2

y2
0.
从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远
（1）多元函数极限的定义（ 语言定义-定义6-4 ）
设
u f ( x1, x2 ,，xn )
（注：在二维空间情况下记为 z f ( x, y) ）
是定义在D Rn 上的n元函数，p0 是 D的聚点 。如果
a 0 0 ( p U o( p0, ) D f ( p)U(a, ))
考察函数
f
( x,
y)

x

y x2 x y

y2
（自变量趋近于0）.
（iii）一个累次极限存在，另一个也可能不存在。 例：考察函数 f ( x, y) x sin 1 ,(当( x, y) (0,0)).
y
（iv）累次极限存在且相等，重极限也可能不存在。
例：当 (x, y) (0,0) 时，观察函数 f ( x, 其累次极限均为0，但重极限不存在。
（4）累次极限与重极限之间的某些关系
（i）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：
f
( x,
y)


x
2

sin
1 y

y2
sin
1 x
( xy 0)
0
( xy 0)
当自变量趋近于0时，其累次极限都不存在，但是重 极限为0.
注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。
（ii）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。
即
0, 0, p D,
( p p0 | f ( p) f ( p0 ) | )
也就是
lim
p p0
f ( p)
f ( lim p p0
p)
f ( p0 )
则称函数在 p0 点处是连续的。
对照一元函数函数连续的定义，可以看出，这里的 多元函数连续定义，并没有本质区别。所不同的是， 这里的点不是一个数，而是一个“多维点”，它是 由n个数描述的。因此在具体分析多元函数连续性的 时候，所要分析的情形也可能复杂一些。
第六章第一节作业题
1（2,4）；2；3（2,4,5,6）；4； 5（3）；8.
1 .n维欧氏空间点集（点集拓扑的基本概念） (1) n元有序数组所组成的集合（n维空间与n维点）. (2) Rn中两点间的距离（欧式距离或度量）定义； 欧氏（向量）空间，向量的模。
(3) 欧氏空间中的某些基本拓扑概念： （i） -邻域；去心 邻域； 一般的邻域概念。
lim z 0
(x,y )(0,0)
这里的 z f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )