高中数学人教b版选修1-2 模块综合测试2 含解析
人教B版高中数学选修(1-2)-1.2例题解析：认识线性回归方程与回归分析
例题解析：认识线性回归方程与回归分析一、线性回归方程设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫做回归直线．例1.假设关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料：若由资料知y 对x 呈线性相关关系，试求： （1）线性回归方程y a bx =+；（2）估计使用年限10年时，维修费用是多少？分析：因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题． 解：（1）制表于是有21.239054b ==-⨯，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=．∴线性回归方程为 1.230.08y x =+；（2）当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元），即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．评注：已知y 对x 呈线性相关关系，无须进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验． 二、回归分析通过对有关数据的分析，作出散点图，并利用散点图直观地认识两个变量的相关关系，也可以用相关系数r 来确定两个变量的线性相关关系．例2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：（1）y 与x 是否具有线性相关关系？（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．分析：先求出r 的值，r 的值越接近于1，表明两个变量的线性相关关系越强．解：（1）列出下表，并用科学计算器进行计算．1010i ix y x yr -=∑0.9998=≈。
∵0.99980.632>，∴y 与x 具有线性相关关系； （2）设所求的回归直线方程为y a bx =+，。
数学人教B版选修1-2 模块综合试卷(2)
模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确考点 三段论 题点 三段论的结论 答案 C解析 因为f(x)＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A.2B.11C.3D. 6 考点 复数的模的定义及应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题意得2－ia ＋i＝ti(t ≠0)，∴2－i ＝－t ＋tai ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z|＝3，故选C.3．已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑10i ＝1x i ＝17，则∑10i ＝1y i 的值等于( ) A ．3B ．4C ．0.4D ．40 考点 回归直线方程 题点 求回归直线方程 答案 B解析 依题意x ＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过样本点的中心(x ，y )，所以y ＝－3＋2x ＝－3＋2×1.7＝0.4，所以∑10i ＝1y i ＝0.4×10＝4. 4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 考点 程序框图题点 循环结构的程序框图 答案 B解析 程序运行如下： 开始a ＝4，b ＝6，n ＝0，s ＝0.第1次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1； 第2次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2； 第3次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3； 第4次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4. 此时，满足条件s>16，退出循环，输出n ＝4，故选B.5．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如表所示：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( ) A ．67B ．68C ．68.3D ．71考点 回归直线方程 题点 样本点的中心的性质 答案 B解析 设表中模糊看不清的数据为m.因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本点的中心(x ，y )在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y ＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.6．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A.n (n －1)2 B.n (n ＋1)2C.(n －1)(n ＋1)2D.n (n ＋2)2考点 归纳推理题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ，∴总个数为n (n ＋1)2.7．设i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则lg(a ＋b)的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D.12考点 复数的乘除法运算法则题点 复数乘除法的综合应用 答案 C解析 ∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b)＝lg1＝0.8．我们知道：在平面内，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( ) A ．3 B ．5 C.5217D ．3 5考点 类比推理题点 类比推理的方法、形成和结论 答案 B解析 类比点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2，可知在空间中，点P(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D|A 2＋B 2＋C 2，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5.故选B.9．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( ) A ．1B ．2C ．－1D ．0 考点 复数的几何意义 题点 复数与向量的对应关系 答案 A解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)， OB →＝(1，－1)， 由OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.10．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R)，若z 1·z 2∈R ，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 复数的乘除法运算法则 题点 复数的乘除法运算法则 答案 D解析 依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.11．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ^＝0.6x ＋1.2，若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( ) A ．66% B ．67% C ．79%D ．84%考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 答案 D解析 ∵y 与x 具有线性相关关系，满足回归直线方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.12．若函数f(x)＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3考点 题点答案 A解析 f ′(x)＝x 2－(2＋b)x ＋2b ＝(x －b)(x －2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b<1，则由f ′(x)>0，得x<b 或x>2，由f ′(x)<0，得b<x<2，∴函数f(x)的极小值为f(2)＝2b －43.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知a ∈R ，若1＋ai2－i 为实数，则a ＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 －12解析 1＋ai 2－i ＝(1＋ai )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2ai －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i ， ∵1＋ai 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12. 14．已知f(x)＝x 1＋x ，x ≥0，若f 1(x)＝f(x)，f n ＋1(x)＝f(f n (x))，n ∈N ＋，则f 2017(x)的表达式为________．考点 合情推理的应用 题点 合情推理在函数中的应用 答案 f 2017(x)＝x1＋2017x解析 f 1(x)＝x 1＋x ，f 2(x)＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x，f 3(x)＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x ，…，归纳可得f 2017(x)＝x1＋2017x.15．古希腊的数学家研究过各种多边形数，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N(n,3)＝12n 2＋12n四边形数 N(n,4)＝n 2五边形数 N(n,5)＝32n 2－12n六边形数 N(n,6)＝2n 2－n……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________． 考点 归纳推理题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 2490解析 原已知式子可化为N(n,3)＝12n 2＋12n＝3－22n 2＋4－32n ； N(n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ；N(n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ；N(n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n.故N(n ，k)＝k －22n 2＋4－k2n ，N(20,15)＝15－22×202＋4－152×20＝2490.16．对于定义在实数集R 上的函数f(x)，如果存在实数x 0，使f(x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是________． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 假设函数f(x)存在好点，即x 2＋2ax ＋1＝x ， ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，∴Δ＝(2a －1)2－4≥0， 解得a ≤－12或a ≥32.∴f(x)不存在好点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时： (1)z 为实数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限． 考点 题点解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3(m ＝－2舍去)． 故当m ＝3时，z 是实数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，得⎩⎨⎧m ＜－1－15或m ＞－1＋15，－5＜m ＜3，m ＜－2或m ＞3.解得－5＜m ＜－1－15.故当－5＜m ＜－1－15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能都大于14.考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>143，①又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14.同理0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．19．(12分)要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：表中x 是学生入学成绩，y 是高一年级期末考试数学成绩． (1)画出散点图； (2)求回归直线方程；(3)若某学生的入学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩． 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．(2)列表如下：可求得x ＝110×(63＋67＋…＋76)＝70，y ＝110×(65＋78＋…＋75)＝76， ∑t ＝110x 2i＝51474，∑i ＝110x i y i ＝55094.∴b ^＝55094－10×70×7651474－10×702≈0.76556. a ^≈76－0.76556×70≈22.41，故所求的回归直线方程为y ^＝22.41＋0.76556x.(3)若学生入学成绩为80分，代入上面回归直线方程y ^＝22.41＋0.76556x ，可求得y ^≈84(分)． 故该同学高一期末数学成绩预测为84分．20．(12分)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？ 考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用解 (1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E ，由已知得P(E)＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14， 发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)χ2＝100×(20×10－30×40)250×50×40×60＝503≈16.667>6.635. 所以至少有99%的把握认为疫苗有效．21．(12分)设函数f(x)＝1x＋2lnx. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f(x)≤ax ，求a 的取值范围．考点题点解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x －1x 2， 所以当0<x<12时，f ′(x)<0，当x>12时，f ′(x)>0， 故函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f(x)≤ax ⇔a ≥2lnx x ＋1x 2， 令h(x)＝2lnx x ＋1x 2(x ≥1)， 则h ′(x)＝2－2lnx x 2－2x 3＝2(x －xlnx －1)x 3， 令m(x)＝x －xlnx －1(x ≥1)，则m ′(x)＝－lnx ，当x ≥1时，m ′(x)≤0，所以m(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以m(x)≤m(1)＝0，因此h ′(x)≤0，于是h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以当x ＝1时，h(x)有最大值h(1)＝1，故a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题证明 (1)由已知可得，当n ∈N ＋时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， 两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3， 即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2， 公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1. (2)由(1)知a n ＝13n －1， 故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2>0，所以T n <16.。
2019人教版高中数学选修1-2学案模块综合评价(二)含解析
模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：（1＋i）3（1－i）2等于()A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i解析：（1＋i）3（1－i）2＝（1＋i）2（1＋i）（1－i）2＝－1－i.答案：D2．如图所示的框图是结构图的是()A.P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒QB.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件C.D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书解析：选项C为组织结构图，其余为流程图．答案：C3．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C ．推理形式D ．没有出错答案：A4．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解析：对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．答案：A5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：易知等式的左边是两项和，其中一项为序号n ，另一项为序号n －1的9倍，等式右边是10n －9.猜想第n 个等式应为9(n －1)＋n ＝10n －9. 答案：B6．已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：因为（1－i ）2z＝1＋i ，所以z ＝（1－i ）21＋i ＝（1－i ）2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋i 2－2i ）（1－i ）1－i 2＝－2i （1－i ）2＝－1－i.答案：D7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A.a ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0， 当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0. 答案：B8．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋ba ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2 解析：A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．D 利用基本不等式，推理正确．答案：D9．下面的等高条形图可以说明的问题是( )A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图知，D 正确． 答案：D10．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾所以a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D11．已知直线l ，m ，平面α，β且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2＋y 2＝1<36，不满足条件；执行循环：n ＝2，x ＝12，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件；执行循环：n ＝3，x ＝32，y ＝6，x 2＋y 2＝94＋36>36，满足条件，结束循环，输出x ＝32，y ＝6，所以满足y ＝4x .答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a的值为________．解析：a －i 2＋i ＝15(a －i)(2－i)＝2a －15－a ＋25i依题意a ＋25＝0，所以a ＝－2.答案：－214．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为______________________________________________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝115．(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； ②该小组人数的最小值为________．解析：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a ，b ，c ，则有2c ＞a ＞b ＞c ，且a ，b ，c ∈Z.①当c ＝4时，b 的最大值为6；②当c ＝3时，a 的值为5，b 的值为4，此时该小组人数的最小值为12.答案：①6 ②1216．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14. 所以回归直线方程是y ^＝x ＋14. 答案：y ^＝x ＋14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S <2a .证明：因为S 2＝2ab ，所以要证S <2a ， 只需证S <S 2b，即b <S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b <a ＋c 成立，所以S <2a 成立． 19．(本小题满分12分)观察以下各等式：tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明．解：表示一般规律的等式是：若A ＋B ＋C ＝π， 则tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 证明：由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )． 而A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C .于是tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(π－C )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .故等式成立．20．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x a ＋bx ＝1，其中a ，b 为实数．(1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值； (2)当a ＞0且b a ＞14时，证明该方程没有实数根．解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，所以⎩⎨⎧1a ＋b4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)证明：原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab . 因为a ＞0，所以b a ≤14，这与题设b a ＞14相矛盾，故原方程无实数根．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，联立得d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，从而(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得 .(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i ＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.2 第2课时
其次章 2.2第2课时一、选择题1．反证法是导学号 96660885 ()A．从结论的反面动身，推出冲突的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法[答案] A[解析]反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出冲突，从而确定结论的真实性．2．(2021～2022学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a＋b＋c>3，则a、b、c中至少有一个大于1”时，“假设”应为导学号 96660886 ()A．假设a、b、c中至少有一个小于1B．假设a、b、c中都小于等于1C．假设a、b、c至少有两个大于1D．假设a、b、c都小于1[答案] B[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故“a、b、c中至少有一个大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.”3．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用导学号 96660887 ()①结论相反推断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③[答案] C[解析]由反证法的定义可知为①②③.4．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号 96660888 ()A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案] D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N 的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.5．用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号 96660889 ()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案] A[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A.6．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是导学号 96660890 ()A．a、b都是5的倍数B．a、b都不是5的倍数C．a不是5的倍数D．a、b中有一个是5的倍数[答案] B[解析]“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“都不是”．二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号 96660891[答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角[解析]“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．导学号 96660892[答案]13[解析]假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于13.”三、解答题9．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．导学号 96660893[解析]假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在直线y＝ax上，所以⎩⎨⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④ 由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2，代入⑤整理得ak ＝3.这与①冲突．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称.一、选择题1．设a 、b ∈(0，＋∞)，则a ＋1b ，b ＋1a 导学号 96660894( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2[答案] D[解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1a <2，则(a ＋1b )＋(b ＋1a )<4①.又a 、b ∈(0，＋∞)，所以a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )≥2＋2＝4，这与①式相冲突，故假设不成立，即a ＋1b ，b ＋1a至少有一个不小于2.2．已知x >0，y >0，x ＋y ≤4，则有导学号 96660895 ( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 [答案] B[解析] 由x >0，y >0，x ＋y ≤4得1x ＋y ≥14，A 错；x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，C 错；xy ≤4，∴1xy ≥14，D 错．3．已知数列{a n }、{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是导学号 96660896 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个[答案] A[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n ，使得a n ＝b n ，但若a >b ，n ∈N *，恒有a ·n >b ·n ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立．∴不存在n ，使得a n ＝b n .故应选A.4．假如两个数之和为正数，则这两个数导学号 96660897 ( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数[答案] C[解析] 假设两个都是负数，其和必为负数． 二、填空题5．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为___________________________．导学号 96660898[答案] ∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP[解析] 反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 6．设a 、b 是两个实数，给出下列条件： 导学号 96660899①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a 、b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．[答案] ③[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出． 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出． 对于③即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1. 反证法：假设a ≤1且b ≤1. 则a ＋b ≤2与a ＋b >2冲突．因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 三、解答题7．已知：非实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不行能成等差数列．导学号 96660900[证明] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列．则2b ＝1a ＋1c.∴2ac ＝bc ＋ab ①又a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ② ∴把②代入①得2ac ＝b (a ＋c )＝b ·2b ∴b 2＝ac .③由②平方4b 2＝(a ＋c )2.把③代入4ac ＝(a ＋c )2，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . 代入②得b ＝a ，∴a ＝b ＝c . ∴公差为0，这与已知冲突． ∴1a ，1b ，1c不行能成等差数列． 8．已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a 、b 、c 、d 都是非负数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc >ac ＋bd . ∴ac ＋bd <1.这与已知ac ＋bd >1冲突， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[证明] 假设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0. 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，这与假设x 0<0相冲突，故方程f (x )＝0没有负数根．。
高中数学选修1-2综合测试题及参考答案
高中数学选修1-2（人教A 版）综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ˆˆˆ 的关系（ ）A.在直线上B.在直线左上方C. 在直线右下方D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32 、i23 、i32 ，则D点对应的复数是（ ）A.i 32B.i 23C.i 32D.i 23 4.在复数集C内分解因式5422 x x 等于（ ）A.)31)(31(i x i xB.)322)(322(i x i xC.)1)(1(2i x i xD.)1)(1(2i x i x5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项6.用数学归纳法证明)5,(22n N n n n成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ）A.假设k n 时命题成立B.假设)(N k k n 时命题成立 C.假设)5( n k n 时命题成立 D.假设)5( n k n 时命题成立 7.2020)1()1(i i 的值为 （ ）A.0B.1024C.1024D.10241 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.29.已知复数z满足||z z ，则z的实部（ ）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
人教版B数学选修1-2：第三章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数1＋2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.32 B.32i C.12 D.12解析：选C.1＋2i 1＋i ＝（1＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i 2＝32＋i 2，所以虚部是12，选C. 2.设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.(a ＋i)2i ＝[(a 2－1)＋2a i]i ＝(a 2－1)i －2a ，因为(a ＋i)2i 是正实数，所以a 2－1＝0且2a ＜0，所以a ＝－1.3.使复数z 为实数的充分而不必要条件是( )A ．z ＝zB ．|z |＝zC ．z 2为实数D ．z ＋z 为实数解析：选B.z ＝z ⇔z ∈R ；|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2；z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i ；对于任何z ，z ＋z 都是实数．4.已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C.m 1＋i ＝m （1－i ）2＝m 2－m 2i ＝1－n i ，可以解得m ＝2，n ＝1.选C. 5.在复平面内，复数1＋i （1－i ）2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝i ＋i 2－2i 2＝－12＋12i ， ∴其对应的点位于第二象限．6.复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆解析：选C.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|.∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0，∴复数z 的对应点的轨迹为圆．7.设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则z 1，z 2的关系是( )A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．无法确定解析：选A.z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i＝i 4＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1.8.已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y 的值为( )A ．－4B ．4C ．－1D ．1解析：选A.由(x －1)i －y ＝2＋i ，得x ＝2，y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.9.已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝( )A ．25B ．125C ．10D ．225解析：选B.z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.10.在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D.CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D.11.定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D.由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i －1＋i ＝（4＋2i ）（－1－i ）2＝－1－3i. 12.已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －i ，x ∈R ，1x，x ∉R ，则f [f (2)]在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A.由函数的解析式知：f (2)＝2－i ，f [f (2)]＝f (2－i)＝12－i ＝2＋i 5＝25＋15i ，所以 f [f (2)]在复平面内的对应点位于第一象限．二、填空题(本大题共4小题，把正确答案填在题中横线上)13.计算(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝________． 解析：(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝(2－i)－(2i 2)11＝2－i －i 11＝2－i ＋i ＝2. 答案：214.若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________． 解析：∵(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2015.若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数m 的值是________． 解析：复数z 对应点的坐标为(m －1，m ＋2)，该点在直线2x －y ＝0上，得到m ＝4. 答案：416.给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；③若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)解析：①错误；②若a ＝－1，(a ＋1)i ＝0，错误；③z ＝1ii ，z 3＋1＝－i 3＋1＝i ＋1，正确． 答案：③三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.当m 为何实数时，复数z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i ，(1)当m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)当m ≠1且m ≠2时，z 是虚数．(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）（m －2）≠0，（2m ＋1）（m －2）＝0，即当m ＝－12时，z 是纯虚数． 18.已知z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i. (1)求|z |；(2)z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝6－3i －2i －15＝1－i ， ∴(1)|z |＝|1－i|＝ 2.(2)由z 2＋az ＋b ＝1＋i 得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即a ＋b ＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－2－a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4. 19.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2，6)．20.如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数；(2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．解：(1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ，∴AO →表示的复数－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋（－2）2＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.21.已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 解：(1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－2sin 2θ·i.(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)，由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12. 所以sin 2θ＝14，则sin θ＝±12. 由于θ∈(0，2π)，所以θ＝π6，56π，76，116π. 22.已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值． 解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b .解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。
2012年人教B数学选修1-2：第4章章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用( ) A ．程序框图 B ．工序流程图 C ．知识结构图 D ．组织结构图解析：选B.这是设计生产过程，应为工序流程图．2．(2011年高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13 D ．2解析：选D.由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2.3.如图是一个结构图，在框①中应填入( )A ．空集B ．补集C ．子集D ．全集解析：选B.集合的运算包括交集、并集和补集． 4．有一程序框图如图所示，该框图解决的是( )A．输出不大于990且能被15整除的所有正整数B．输出不大于66且能被15整除的所有正整数C．输出67D．输出能被15整除的大于66的正整数解析：选A.当变量n的值从1递增至66时，输出15×1,15×2，…，15×66，即15,30,45，…，990，而当n＝67时退出循环．5．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图．从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．()A．1B．2C．3D．4解析：选C.该题是一个实际问题，由审查流程图可知有三处判断框，即3处可能不被审查通过，故选C.6．下面框图表示的程序所输出的结果是()A ．11B ．12C ．132D ．1320解析：选D.i ＝12时，S ＝1×12＝12； i ＝11时，S ＝12×11＝132； i ＝10时，S ＝132×10＝1320； i ＝9时，i ＜10，故输出S ＝1320.7．一台没有重量刻度的盘式天平，只有7克和2克的砝码各一个，把140克的糖分成两份，一份90克，一份50克，则至少使用天平称( )A ．3次B ．5次C ．12次D ．37次解析：选A.先将7克与2克的砝码均放在一边，白糖放另一边可称出9克白糖；然后将9克白糖与7克砝码放一边，可在另一边称出16克白糖；最后将9克白糖和16克白糖放一边，可在另一边称出25克白糖，此时将9克，16克，25克白糖合在一起恰好50克，剩下部分则为90克．故至少使用天平称3次．8．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是( )A ．利用公式1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，计算1＋2＋…＋10的值B ．当圆面积已知时，求圆的周长C ．当给定一个数x ，求其绝对值D ．求函数f (x )＝x 2－4x ＋5的函数值解析：选C.求x 的绝对值需要对x 的正、负作出判断，因此需要用到条件结构．9．如图所示是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中空白判断框内填入的条件是( )A ．i ＞10B ．i ≤10C ．i ＞20D ．i ≤20解析：选B.i ＝10时，已经求出12＋14＋16＋…＋120的值，i ＝11时停止循环，故选B.10．(2010年高考浙江卷)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内为( ) A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6? D ．k ＞7?解析：选A.当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4； 当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3， S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4， S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5， S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k ＞4？”．11．(2010年高考辽宁卷)如果执行如图所示的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．120解析：选B.由框图可知：当n ＝6，m ＝4时，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3， k ＝2.第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3.第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4.第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360, 此时k＝m，终止循环，输出p＝360，故选B.12．如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过几道工序()A．6B．5C．4D．3解析：选 C.从工序流程图中，即使是不合格产品也要经过①粗加工，②检验，③返修加工，④返修检验，共4道工序．二、填空题(本大题共4小题．请把正确答案填在题中横线上)13．(2011年高考山东卷)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．解析：当输入l＝2，m＝3，n＝5时，不满足l2＋m2＋n2＝0，因此执行：y＝70l＋21m ＋15n＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y＝y－105，执行后y＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.答案：6814．(2010年高考北京卷)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x ＜2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析：框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x ＜2，②就是函数的另一段表达式y ＝log 2x .答案：x ＜2 y ＝log 2x15．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝10，则输出y 的值为________．解析：当x ＝10时，y ＝4，不满足|y －x |＜1，因此由x ＝y 知x ＝4.当x ＝4时，y ＝1，不满足|y －x |＜1，因此由x ＝y 知x ＝1.当x ＝1时，y ＝－12，不满足|y －x |＜1，因此由x ＝y 知x＝－12.当x ＝－12时，y ＝－54，此时，⎪⎪⎪⎪－54＋12＜1成立，跳出循环，输出y ＝－54.答案：－5416．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：则在①中应填入________，在②中应填入________．解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形． 答案：菱形 直角梯形三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．写出“数列”一章的结构图．解：数列知识结构图如下：18．汽车保养流程是：顶起车辆、润滑部件、调换轮胎、更换机油、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示：19．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；(2)用户登录；(3)名片管理：能够对名片进行添加、删除、修改、查询；(4)出错信息处理．根据这些要求，试画出该系统的结构图．解：设计的结构图如图：20．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ＜0)，2(x ＝0)，2＋x (x ＞0)，设计一个输入x 值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示．21．分别标有1、2、3、4、5、6六个号码的小球，有一个最重，写出挑出此重球的算法，并画出程序框图．解：本题题意为用一架无砝码的天平挑出最重的球．设六个小球的重量分别为w1，w2，…，w6.算法：(1)将1号球放在天平左边，2号球放在天平右边．(2)比较两球重量后，淘汰较轻的球，将较重的球放在天平左边．(3)将下一号球放在天平右边比较重量，重复执行(2)．(4)最后留在天平左边的球是最重的球．框图如图所示：22．据有关人士预测，我国将逐步进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民的消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品以及服务消费和文化消费，农村居民的消费热点主要是住房和家电．试画出消费的结构图．解：结构图如图所示．。
人教版高中数学选修1-2 练习：模块综合测试2
选修1-2模块综合测试（二）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2013·江西高考]已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A. －2iB. 2iC. －4iD. 4i解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以z i＝4，z＝－4i，选C.答案：C2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“自然数”概念不一样D. 两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.答案：A3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A. b与r的符号相同B. a与r的符号相同C. b与r的符号相反D. a与r的符号相反解析：正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0，选A.答案：A4．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有()A. p＋q＋r＝dB. p2＋q2＋r2＝d2C. p3＋q3＋r3＝d3D. p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d2解析：类比即可．答案：B5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A. f(x)B. －f(x)C. g(x)D. －g(x)解析：由题知偶函数的导数为奇函数，选D.答案：D6．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B.15C．－15D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，m＝15.答案：B7．[2014·贵州六校联考]如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，得x1＝6，x2＝9，p＝9.5时，x3等于()A. 10B. 9C. 8D. 7解析：x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3，|x3－6|<|x3－9|不成立，取x1＝x3⇒x3＋9＝9.5×2⇒x3＝10.答案：A8．[2013·安徽高考]设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z＝()A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z i ＋2＝(a ＋b i)·(a －b i)·i ＋2＝2＋(a 2＋b 2)i ，故2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1.即z ＝1＋i.答案：A9．[2014·昆明调研]执行如图的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A. 109B. 169C. 95D. 2011解析：在程序执行过程中p ，S ，k 的值依次为p ＝0，S ＝0，k ＝1；p ＝1，S ＝1，k ＝2；p ＝3，S ＝43，k ＝3；p ＝6，S ＝32，k ＝4；p ＝10，S ＝85，k ＝5；…；p ＝36，S ＝169，k ＝9；p＝45，S ＝95，k ＝10.又N ＝10，k ＝N ，故程序结束，输出的S ＝95.答案：C10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A.92B.322 C.32D.94 解析：z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝a ＋b2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案：B11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析：后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 答案：B12．对于定义在数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，则x 0叫函数f (x )的一个不动点．已知f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A. (－12，32)B. (－32，－12)C. (12，32) D. (－32，12)解析：因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，所以f (x )＝x 无实根．由x 2＋2ax ＋1＝x 得x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a －1)2－4<0，解得－12<a <32.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为________．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3b ^ ＋a ^＝17，8b ^ ＋a ^ ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^ ＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.答案：y ^＝x ＋1414．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．解析：观察图1～5得：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，由规律可得a n ＋1＝2a n＋1(n ≥2)．答案：a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)15．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．解析：①A ＝－5<0，②A ＝－5＋2＝－3<0，③A ＝－3＋2＝－1<0，④A ＝－1＋2＝1>0，⑤A ＝2×1＝2.答案：216．若Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是__________．解析：在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案：M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)满足z ＋5z 是实数且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0) z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y 2)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 18．(12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 证法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0. ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾； ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．19．(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}， A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离． 所以|z 1－z 2|>32， 即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞.20．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2 x ＝，2＋x x ，设计一个输入x 值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示．21．(12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：生活规律有关系？解：根据公式得K 2的观测值 k ＝－280×460×220×320≈9.638>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．22．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y＝b ^x .)解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝0.7.∴a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．。
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选修1－2 模块综合测试(二)
(时间120分钟满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－9 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.
答案：B
2．[2013·广东高考]若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
解析：由已知条件得z＝2＋4i
i
＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，
故选C.
答案：C
3．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47 B．65
C．63 D．128
解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
答案：B
4．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( ) A．②①③B．③①②
C．①②③D．②③①
解析：根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提是③，结论是①.
答案：D
5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．
试求第n个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2D．(n＋1)2
解析：观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
答案：C
6. 函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )
A．f(cosα)>f(sinβ) B．f(sinα)>f(sinβ)
C．f(cosα)<f(cosβ) D．f(sinα)<f(sinβ)
解析：α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．
所以0<α<π
2，0<β<
π
2
，
π
2
<α＋β<π.
所以π
2
>β>
π
2
－α>0.
所以0<cosβ<cos(π
2
－α)＝sinα<1，
1>sinβ>sin(π
2
－α)＝cosα>0.
又因为f(x)在[－1,1]上为减函数，
所以f(sinβ)<f(cosα)．故选A.
答案：A
7. 在两个基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试成绩见下表．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，试分析实验效果与教学措施是否有关
( )
A.有关 C ．不一定
D ．以上都不正确
解析：χ2
＝100×(48×12－38×2)2
50×50×86×14
≈8.306>6.635.
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为实验效果与教学措施有关． 答案：A
8．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1
x 的值( )
A ．都小于2
B ．至少有一个不大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
解析：假设这三个数都小于2， 即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1
x <2，
则(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1
x
)<6，
又由基本不等式x>0，y>0，z>0时，(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1
x )≥2
x ·1x
＋2
y ·1
y ＋2 z ·1
z
＝6，与假设矛盾．故选C. 答案：C
9．如果在一次试验中，测得(x ，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )
A ．y ^＝x ＋1.9
B ．y ^＝1.04x ＋1.9
C ．y ^＝1.9x ＋1.04
D ．y ^＝1.05x －0.9。