人教版高中数学必修二课件：2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

平面内
图形 语言
符号语言
作用
A∈l， B∈l，
且A∈α ， B∈α ⇒
_l_⊂_α__
①判断直 线是否在 平面内; ②用直线 检验平面
公 理
文字语言
过不在一 公 条直线上 理 的三点， 2 有且只有
一个平面
图形语言 符号语言
A，B，C三 点不共线 ⇒有且只 有一个平 面α ，使 得_A_∈__α__，_ _B_∈__α__，__ _C_∈__α__
【证明】因为EF∥DB，所以确定平面BEFD，
EF平面BEFD
PEF

⇒P∈平面BEFD.
同理，Q∈平面BEFD，
所以P，H，Q∈平面BEFD.连接AC，A1C1， 因为A1C1∥AC，所以A1C1与AC确定平面A1ACC1， 因为P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，所以P，H，Q∈平面 A1ACC1. 根据公理3，P，H，Q三点一定在平面BEFD与平面 A1ACC1的交线上，故P，H，Q三点共线.
2.用符号表示下列语句，并画出图形. (1)点A在平面α 内且在平面β 外. (2)直线a经过平面α 内一点A，α 外一点B. (3)直线a在平面α 内，也在平面β 内.
【解析】(1)A∈α，A∉β.如图①所示. (2)A∈a，B∈a，A∈α，B∉α.如图②所示. (3)α∩β=a.如图③所示.
3
点共面.
【解题指南】连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并 延长交DC的延长线于点M，在平面PCD内，连接GF并延 长交DC的延长线于点M1，证明点M与点M1重合，进而可 得结论.
【证明】连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长 交DC的延长线于点M，则有CM=CD. 在平面PCD内，连接GF并延长交DC的延长线于点M1. 取GD的中点N，连接CN.
两平面交线的画法 由公理3，两平面若有公共点，则必有一条经过该点 的交线.由平面几何知识知，两点确定一条直线，因 此作平面的交线的突破口就是寻找两个平面的公共点， 而这个公共点常由两条相交直线所得到，于是这个点 一般是几条直线的公共点.
【跟踪训练】求证:两两相交且不共点的四条直线共 面.
【证明】已知:a，b，c，d是两两相交且不共点的四 条直线.求证:a，b，c，d共面. 证明:(1)无三线共点的情况，如图①. 设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P， a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.
【方法总结】三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔 细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置 关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注 意实线和虚线的区别. (3)转化时要注意符号的使用，“∈”或“∉”反映的 是点与线，点与面的关系，而“⊂”或“⊄”反映的是 直线与平面的关系.
作用
①确定一个 平面; ②判断两个 平面重合; ③证明点、 线共面
公 理
文字语言
如果两个不 重合的平面 公 有一个公共 理 点，那么它 3 们有且只有 一条过该点 的公共直线
图形 语言
符号语言
作用
P∈α ，
且P∈β ⇒ _α__∩__β__=_l，_ _且__P_∈__l
①判断两平 面相交; ②证明点共 线; ③证明线共 点
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
主题1 点、线、面及位置关系的表示 1.生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、 海平面都给我们以平面的形象，请问:生活中的平面有 大小之分吗？ 几何中的“平面”呢？如何表示平面？
提示:生活中的平面有大小之分.而几何中的“平面” 是从生活中的物体抽象出来的，是平的，无限延展的， 且无大小之分;平面可用α ，β ，γ 等表示，也可用 表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点 的字母表示.
类型三 点共线、线共点问题
【典例3】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点， 对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证:P，H，Q三点共 线.
【解题指南】由于两点确定一直线，所以即证点在线 上，而证明点在线上的方法是证点是两平面的公共点， 直线是这两个平面的交线.
【补偿训练】 1.不共面的四点可以确定__________个平面. 【解析】任何三点都可以确定一个平面，从而可以确 定4个平面. 答案:4
2.(2018·马鞍山高二检测)两两相交的三条直线可确定 __________个平面.
【解析】当三条直线交于一点时，可以确定1个或3个 平面;当三条直线两两相交，有三个交点时，可确定1 个平面.综上两两相交的三条直线可确定1个或3个平 面. 答案:1或3
4.点、直线、平面位置关系的符号表示 一般用集合符号“∈”“∩”“⊂”等描述点、直线、 平面之间的位置关系.若A是点，l，m是直线，α ，β 是平面，则有:
图形语言
文字语言 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α 内 点A在平面α 外 直线l在平面α 内 直线l在平面α 外
符号语言 _A_∈__l _A_∉_l
【跟踪训练】 1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系.
【解析】图①的位置关系有:A∈a，A∈α ，A∉β ， B∈a，B∉α ，B∈β ，a∩α =A，a∩β =B，α ∩β =l 等. 图②的位置关系有:P∈a，P∈b，P∈l，a⊂α， b⊂β，a∩b=P，α∩β=l，a∩l=P，b∩l=P等.
2.下列叙述中错误的是 ( ) A.若P∈α ∩β =l，则P∈l B.三点A，B，C确定一个平面 C.若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面 D.若A∈l，B∈l且A∈α ，B∈α ，则l⊂α
【解析】选B.根据公理3，若P∈α ∩β =l则P∈l，A正 确;当A，B，C三点共线时不能确定一个平面，B错误; 根据推论2，若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一 个平面，C正确;根据公理1，若A∈l，B∈l且A∈α ， B∈α ，则l⊂α ，D正确.
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一 个_平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成_4_5_°__，且横边长等 于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮 挡住，为了增强立体感， 被遮挡部分用_虚__线__画出来.
3.平面的表示方法 (1)用_希__腊__字__母__表示，如平面α ，平面β ，平面γ . (2)用表示平面的平行四边形的_四__个__顶__点__的大写字母 表示，如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个_顶__点__表 示，如平面AC，平面BD.
【补偿训练】将下列符号语言转换为图形语言. (1)a⊂α ，b∩α =A，A∉a. (2)α ∩β =c，a⊂α ，b⊂β ，a∥c，b∩c=P.
【解析】(1) (2)
类型二 点、线共面问题
【典例2】(2018·合肥高一检测)如图，已知在四棱 锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的 中点，点G在PD上，且PG= 1 PD.证明:点A，E，F，G四
_A_∈__α__ _A_∉_α__
_l_⊂_α__ _l⊄_α__
图形语言
文字语言 直线l,m相交于点A
直线l与平面α 相交于点A
符号语言
l_∩__m_=_A_
_l∩__α__=_A_
平面α ,β 相交于直线l _α__∩__β__=_l
【对点训练】
1.若a⊂α ，b⊂α ，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，
类型一 三种语言的转化 【典例1】(1)下列叙述正确的是 ( ) A.若P∈α ，Q∈α ，则PQ∈α B.若P∈α ，Q∈β ，则α ∩β =PQ C.若AB⊂α ，C∈AB，D∈AB，则CD∈α D.若AB⊂α ，AB⊂β ，则A∈α ∩β 且B∈α ∩β
(2)如果点A在直线l上，而直线l又在平面α 内，那么
主题2 平面的性质 1.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边 缘上的其余点和桌面有何关系？ 提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上.
2.两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示:不一定，当三点在同一条直线上时，不能判断 两个平面重合;当三点不在同一条直线上时，根据不 共线的三点确定一个平面，两平面重合.
可以记作 ( )
A.A⊂l，l⊂α
B.A⊂l，l∈α
C.A∈l，l∈α D.A∈l，l⊂α
【解题指南】(1)根据点、线、面位置关系的符号表 示判断. (2)根据点与直线，直线与平面的符号表示判断.
【解析】(1)选D.点在直线或平面上，记作A∈l， A∈α ，直线在平面内记作AB⊂α 或l⊂α ，故A错，C错， B中α 与β 重合时不成立，D正确. (2)选D.点A在直线l上记作A∈l，l在平面α内，记作 l⊂α.
2.公理2的三个推论 (1)一条直线和此直线外的_一__点__可以确定一个平面; (2)两条_相__交__直线确定一个平面; (3)两条平行直线可以确定一个平面.
【对点训练】 1.下列图形不一定是平面图形的是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.圆 D.梯形 【解析】选B.三角形，圆，梯形一定是平面图形，但 是四边形可以是空间四边形.
2.如图所示，直线a与直线b相交于点A，用符号表示 能否记为a∩b={A}？
提示:一般不记作a∩b={A}，而记作a∩b=A，这里的A 既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合.
结论: 1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念. (2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物体中抽象 出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平 面的局部形象.
因为a∩d=M，所以a，d可确定一个平面α. 因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α，即 b⊂α. 同理c⊂设b， c，d三线相交于点K，与a分别交于G， F，E且K∉a，因为K∉a，K和a确定一个 平面，设为β.因为G∈a，a⊂β，所以G∈β.所以 GK⊂β，即b⊂β.同理c⊂β，d⊂β.所以a，b，c，d 共面. 由(1)，(2)知a，b，c，d共面.