江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学第一学期期中考试(解析版附后)
江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试卷(含答案)
扬州市2017~2018学年度第一学期期末调研测试试题高一数学2018.01（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．设集合，则▲．2．▲ ．3．设幂函数的图象过点，则= ▲ ．4．函数的奇偶性为▲ 函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5．已知扇形的面积为4cm，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为▲ cm．6．= ▲．7．已知单位向量，的夹角为60°，则▲．8．已知，则▲.9．如图,在中，若则=___▲____．10．不等式的解集是▲ ．11．已知的面积为16，，则的取值范围是▲ ．12．已知函数与的零点完全相同，则=▲ .13．设函数是定义域为的奇函数．若，且在上的最小值为，则的值为▲．14．设为实数，函数若在上不是单调函数，则实数的取值范围为▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数的定义域为A，集合，非空集合，全集为实数集R．（1）求集合和;（2）若A∪C=A，求实数取值的集合．16．（本小题满分14分）已知向量(1)若，求证：;(2)若向量共线，求.17.（本小题满分15分）函数（其中,），若函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点，⑴求的解析式；⑵求的单调增区间；⑶求在的值域．18.（本小题满分15分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）.(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？19．（本小题满分16分）已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为10. 设．⑴求函数的解析式；⑵若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；⑶是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数.(1)求不等式的解集;(2)函数若存在使得成立,求实数的取值范围;(3)若函数讨论函数的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).扬州市2017~2018学年度第一学期期末调研测试试题高一数学参考答案一、填空题：1.2．3．2 4.偶 5. 10 6. 7．8．9．10．11．12．13.214.二、解答题：15．解：（1）∵函数的定义域为A，2分又由得 4分6分 8分（2） 10分则即 12分又要使集合为非空集合，则必须即所以实数m的取值集合为 14分（答案不写集合扣1分）16．解：（1）当时，4分又7分（2）因为向量共线，即10分当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：又14分另解：由得所以14分17．解：⑴由题可知：，┄┄┄┄2分；函数的图象过点，，，，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分⑵令()的单调增区间为()；┄┄┄┄┄┄10分⑶的值域为. ┄┄┄┄15分18．解：（1）当时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元所以总收益（万元）┄┄┄┄┄4分答:总收益为88万元.┄┄┄┄┄5分（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元依题意得，解得当时，<┄┄┄┄┄8分当时，┄┄┄┄10分令，则所以当，即万元时，的最大值为因为故的最大值为（万元）┄┄┄┄14分答:当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元…………………15分19.解：（1）∵为上的偶函数，，，关于恒成立，…………………2分，在区间上的最大值为10，当时，解得：，………………………4分………………………5分（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，上式可化为在上恒成立，………………………7分令，∵，∴，则在上恒成立，又∵当时，，∴，即所求实数的取值范围为…10分（3）方程，即，可化为：，令，则，…………………12分若关于的方程有四个不相等的实数根，则关于的方程必须有两个不相等的实数根和，并且，记，则，……………………………………………15分解得：，所以，存在实数使得关于的方程有四个不相等的实数根，取值范围为……………16分20. .解：（1），定义域为,函数是奇函数.……2分又在时是减函数,(也可用定义法证明)……3分故不等式等价于即,又……5分故不等式的解集为.(2) 由题意知: 时,值域有交集.时, 是减函数……6分当时,时单调递减,……8分当时,时单调递增,显然不符合综上:的取值范围为……10分(3)由，得，令则作出图像由图可知，①当时，由得出，当时, ,对应有3个零点；当时, ,对应有1个零点；②当时，只有一个，对应有1个零点；③当时，只有一个，对应只有一个零点；④当时，，此时，，由得在时，，三个分别对应一个零点，共3个，在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个.综上所述，当或或时，函数只有1个零点；12分当或时，函数有3个零点；………14分当时，函数有5个零点.……………16分(每种情形各2分)。
【数学】江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期12月阶段测试数学试题+答案
江苏省扬州中学2017-2018学年度第一学期阶段性测试高一数学2017.12 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．） 1．若{}224,x x x ∈++，则x = ．2．计算：2331log 98-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．3．sin1320︒的值为 ． 4．若一个幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为 ． 5．方程lg 2x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 6．函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 ．7．函数()2log 23a y x =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点的坐标为 ． 8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．9．已知点P 在直线AB 上，且4AB AP =uu u r uu u r ，设AP PB λ=uu u r uu r，则实数λ= ．10．设函数()sin 0y x ωω=>在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为 ．11．若关于x 的方程21220xx a +-+=在[]0,1内有解，则实数a 的取值范围是 ．12．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2AE DB ⋅=-uu u r uu u r ，则AE BE ⋅=uu u r uur．13．已知函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值为32，则实数a = ． 14．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1528y f x f x =+--有 个零点．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．设全集U R =，集合{}121x A x -=≥，{}2450B x x x =--<. （1）求A B I ，()()U U C A C B U ；（2）设集合{}121C x m x m =+<<-，若B C C =I ，求实数m 的取值范围.16．设()2,1OA =-uu r ，()3,0OB =uu u r ，(),3OC m =uu u r.（1）当8m =时，将OC uuu r 用OA uu r 和OB uu u r表示；（2）若A B C 、、三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 17． 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(),a b 上恰有10个零点，求b a -得最大值.18． 某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元.（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价位102元？（2）当一次订购量为x 个，每件商品的实际批发价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （3）根据市场调查发现，经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润.19． 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增，且()20f -=. （1）若()12sin 21f f x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，求x 的取值范围；（2）若()5cos 216g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a R ∈.是否存在实数a ，使得()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立？若存在，求a 的范围；若不存在，说明理由.20． 已知函数()()()log 101a f x x a =+<<，()()2log 33a g x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()()g x f x >； （2）若函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫> ⎪⎝⎭上的值域为()()log 3,log 3a a t n t m ++⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值范围； （3）设函数()()()f xg x F x a -=，求满足()F x Z ∈的x 的集合.高一数学参考答案及评分标准一、填空题1．1 2．6 3．2-4．()2f x x -= 5．1 6．3,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．()3,3 8．6 9．13，15- 10．(]0,2 11．[]0,1 12． 3 13．18 14． 4 二、解答题15．解：（1）∵{}1A x x =≥，{}15B x x =-<<∴{}15A B x x =≤<I ，()(){}15U U C A C B x x x =<≥或U （2）当C =∅时，211m m -<+ 即2m <当C B ⊆时，12111215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解之得33m <≤综上所述：m 的取值范围是(],3-∞.16．解：（1）当8m =时，()8,3OC =uu u r，设OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则()()()()8,32,13,023,x y x y x =-+=+-∴2383x y x +=⎧⎨-=⎩∴3143x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）∵A B C 、、三点能构成三角形∴,AB AC uu u r uuu r不共线又()1,1AB =uu u r ，()2,4AC m =-uu u r∴()14120m ⨯-⨯-≠，∴6m ≠. 17．解：（1）2A =，243124T πππω=-=，2ω= 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-+≤≤+ 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 注：区间端点可开可闭，都不扣分. （3）()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或()34x k k Z ππ=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -最大值为217533T ππ+=. 18．解：（1）设一次订购量为()100n n N +∈， 则批发价为1200.04n -，令1200.04102n -=， ∴1201020.04n -=，∴450n =，所以当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价为102元.（2）由题意知()()1200100,1200.0410*******,x x N f x x x x N⎧≤≤∈⎪=⎨--<≤∈⎪⎩（3）当经销商一次批发个零件x 时，该批发公司可获得利润为y ，根据题意知：()()400100400.0410*******xx f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨--⋅<≤⎡⎤⎪⎣⎦⎩ 设()140f x x =，在100x =时，取得最大值为4000；设()220.0444f x x x =-+=()220.045500.04550x --+⨯，所以当500x =时，()2f x 取最大值.答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润. 19．解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴()()220f f -==∵偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增 ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减 ∴12sin 21x >+∴12sin 21x >+或12sin 21x <-+ ∴31sin 2,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，又[]sin 21,1x ∈-，∴1sin 21,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭故x 的取值范围为73311,,124412k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，()k Z ∈（2）由题意知，当22t -<<时，()0f t > 又()sin 213g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,343x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 要使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立，则()22g x -<<恒成立 ①当0a >时，则()11g x a ≤≤-+12a -+<，01a <<②当0a =时，()1g x =显然成立 ③当0a <时，则()11a g x -+≤≤12a -+>-，∴30a -<<综上所述，使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立时，a的范围为31a -<<.20．解：（1）原不等式等价于20331x x x <-+<+，解得22x <故解集为(22.（2）∵23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在32x >上是单调递增的，又01a <<，（或设1232x x >>，则120x x ->，123x x +>， ∴()()2211223333x x x x -+--+=()()121230x x x x -+->⎡⎤⎣⎦ ∴()()2211223333x x x x -+>-+，∵01a <<，∴()()221122log 33log 33a a x x x x -+<-+）所以函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫>⎪⎝⎭上为减函数，因此 ()()()2log 33log 3a a g m m m t m =-+=+，()()()2log 33log 3a a g n n n t n =-+=+.即2333m m t m -+=+，2333n n t n -+=+,32m n ⎛⎫<<⎪⎝⎭. 所以m n 、是方程2333x x t x -+=+，3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭的两个相异的解. 设()263h x x x t =-+-，则()36430393630242332t h t ⎧⎪∆=-->⎪⎪⎛⎫=-⨯+->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩所以1564t -<<-为所求. （3）()()()()()()2log 1log 332133a a x x x f x g x x F x a ax x +--+-+===-+，()1x >-∵()71551x x ++-≥+，当且仅当1x =时等号成立，（可用对勾函数单调性说明，不证不扣分）∴()211733151x x x x x ⎛+=∈ -+⎝⎦++-+，∵5343<<，∴()F x 有可能取得整数有且只有1,2,3， 当21133x x x +=-+时，解得2x =，2x =当21233x x x +=-+时，解得5,12x x ==； 当21333x x x +=-+时，解得2x =，43x =.故集合451,2,,,2232M ⎧=-⎨⎩.。
江苏省扬州中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题
江苏省扬州中学2018——2019学年度第一学期期中考试高 一 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = ( )A ．{}12，B ．{}02，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．函数f (x )=x +5的值域为 （ ） A ．(5, +∞) B．(-∞,5] C．[5, +∞) D．R3．函数y =12log (2-1)x 的定义域为 （ ）A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（21，1] D ．（－∞，1）4．下列每组函数是同一函数的是 （ ） A ．f (x )=x -1, g (x )=(x -1)2B ．f (x )=|x -3|, g (x )=(x -3)2C ．f (x )=x 2-4x -2, g (x )=x +2 D ．f (x )=(x -1)(x -3) , g (x )=x -1 ·x -35．已知函数2=log (3)-y ax 在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A . )1,0(B . (1,3)C . )3,1()1,0(⋃D . (0,3)6．函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为 ( )7．设函数()200，，x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1，+∞C ．()10-，D ．()0-∞，8．若a >b >0，0<c <1，则 （ ）A ．log c a < log c bB ．c a >c bC ．a c <a bD ．log a c < log b c 9．幂函数f (x )=(m 2-m -1)xm ²+2m -3在(0,+∞)上为增函数，则m 的取值是 （ ）A ．m =2或m =-1B ．m =-1C ．m =2D ．-3≤m ≤110．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (10)（ ）A . -10B . 2C . 0D . 1011．已知函数()0=ln 0，，x e x f x x x ⎧≤⎨>⎩，g (x )=f (x )+x +a ．若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A . [–1，0）B . [0，+∞）C . [–1，+∞）D . [1，+∞）12．若函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f 的值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．若函数f (x )=m +mx，f (1)=2，则f (2)=__________．14．设25a b m ==，且112a b+=，则m = ． 15．已知：函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．16．已知函数g (x )=log 2x ,x ∈(0,2) ，若关于x 的方程|g (x )|2+m |g (x )|+2m +3=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是__________________．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合{}2280A x x x =+-≤，133xB x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，（1）求A B ；（2）求B A C R )(18．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数． （3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）19．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． （1）求a,b 的值；（2）求f (log 2x )的最小值及相应x 的值．20．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，a ≠1)．（1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性并给予证明； （3）求使f (x )>0的x 的取值范围．21．对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若存在R x x ∈21,且21x x <，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=211)(1x x B x x A a x f （其中A ，B 为常数），则称)0()(2≠++=a c bx ax x f 为“可分解函数”。
2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B=．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是．3．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）函数y=的定义域是．5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为．6．（5分）若实数x，y满足，则z=4x﹣y的最大值为．7．（5分）若一个扇形的圆心角为π，面积为π，则此扇形的半径为．8．（5分）若sinα=，且α∈（0，），则tan2α的值是．9．（5分）已知函数f（x）是R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x，则f（2017）=．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点D，E分别在边BC和AC上，且=，=，则•=．11．（5分）若函数f（x）=|3x﹣1|+ax+2（x∈R）有最小值，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知A（﹣1，4），B（2，1），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为．13．（5分）已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f（x）=log的图象上，且满足=，其中M（3，﹣1），N（，﹣2），则四边形MNPQ的面积为．14．（5分）若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）记函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣x+1，x∈R的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围．16．（14分）已知向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）若∥，且x∈[0，π]，求x的值；（2）记函数f（x）=•，将函数f（x）图象上的所有点向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的值域．17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，△ABC的外接圆为⊙M．（1）求⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．18．（16分）如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只大小、无人机大小忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：百米），求此时甲、乙两船的距离．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．（1）给定椭圆的离心率为．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求；（2）若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=﹣3x平行，求实数a的值；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x），q（x）=x3﹣mx+e（其中e为自然对数底数，m为参数）．记函数h（x）=，试确定函数h （x）的零点个数．2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B={2，3，4} ．【解答】解：集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．3．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=．【解答】解：z==，则|z|=．故答案为：．4．（5分）函数y=的定义域是[0，+∞）．【解答】解：函数y=的定义域满足不等式3x﹣1≥0，解出即可得到：x≥0，故答案为：[0，+∞）5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，渐近线方程为y=±x，双曲线的虚轴长为2，则2b=2，即b=1，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，解可得a=2，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．6．（5分）若实数x，y满足，则z=4x﹣y的最大值为13．【解答】解：实数x，y满足，表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，﹣1），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：13．故答案为：13．7．（5分）若一个扇形的圆心角为π，面积为π，则此扇形的半径为2．【解答】解：∵扇形的圆心角为π，面积为π，∴π=r2×π，解得：r=2．故答案为：2．8．（5分）若sinα=，且α∈（0，），则tan2α的值是．【解答】解：sinα=，且α∈（0，），则cosα==，tanα==，即有tan2α===．故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）是R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x，则f（2017）=2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，∴f（2017）=f（1）=f（﹣1），由当x∈[﹣2，0）时，f（x）=（）x，∴f（﹣1）=2，故f（2017）=2，故答案为：2．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点D，E分别在边BC和AC上，且=，=，则•=﹣．【解答】解：==（）=+，==﹣+，∴•=（+）•（﹣+）=﹣+﹣．又=9，=4，=3×2×cos60°=3，∴•=﹣3+﹣=﹣．故答案为：﹣．11．（5分）若函数f（x）=|3x﹣1|+ax+2（x∈R）有最小值，则实数a的取值范围是[﹣3，3] ．【解答】解：f（x）=|3x﹣1|+ax+2=，函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣3，3]．故答案为：[﹣3，3]．12．（5分）已知A（﹣1，4），B（2，1），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为{﹣1，3} ．【解答】解：设P（x，y），则PA2=（x+1）2+（y﹣4）2=x2+y2+2x﹣8y+17，PB2=（x﹣2）2+（y﹣1）2=x2+y2﹣4x﹣2y+5，∵PA2+2PB2=24，∴x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．∴P点轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．∵圆C上存在唯一的点P符合题意，∴两圆相切，∴|a﹣1|=2，解得a=﹣1或a=3．故答案为：{﹣1，3}．13．（5分）已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f（x）=log的图象上，且满足=，其中M（3，﹣1），N（，﹣2），则四边形MNPQ的面积为．【解答】解：∵M（3，﹣1），N（，﹣2）都在函数f（x）=log的图象上，∴，解得a=1，b=﹣1，∴f（x）=log=log 2=log2（1﹣），∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵f（﹣x）=log2=log2=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，∵=，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴原点O为平行四边形MNPQ的对角线交点．∵=（3，﹣1），=（，﹣2），∴cos＜＞==，∴S=sin＜＞=×=．△OMN∴四边形MNPQ的面积为4S=．△OMN故答案为：．14．（5分）若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为﹣14﹣30．【解答】解：由xy+2z=1，可得xy=1﹣2z．∴10=x2+y2+z2≥2xy+z2=z2﹣4z+2，化为：z2﹣4z﹣8≤0，解得2﹣2≤z≤2+2．∴xyz=z（1﹣2z）=﹣2z2+z=﹣2（z﹣）2+，其对称轴为z=，故当z=2+2时，有最小值，最小值为（2+2）（﹣4﹣3）=﹣14﹣30故答案为：﹣14﹣30．三、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）记函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣x+1，x∈R的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为集合A，由﹣x2+2x+3≥0得：﹣1≤x≤3，即A={x|﹣1≤x≤3}；又函数g（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+（x∈R）的值域为集合B，则B={x|x≥}．所以A∩B={x|≤x≤3}；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，即∀x∈（0，+∞），x2﹣x+1≥kx恒成立，等价于k≤x+﹣1（x＞0）恒成立，因为当x＞0时，x+﹣1≥2﹣1=1（当且仅当x=，即x=1时取“=“），所以实数k的取值范围为：k≤1．16．（14分）已知向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）若∥，且x∈[0，π]，求x的值；（2）记函数f（x）=•，将函数f（x）图象上的所有点向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）∵∥，∴﹣cosx=sinx，即tanx=，∵x∈[0，π]，∴x=（2）由函数f（x）=•，即f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x），将f（x）图象上的所有点向左平移个单位，可得y=2sin（x）=﹣2cosx．∴函数g（x）=﹣2cosx，∵x∈[0，π]时，∴﹣1≤cosx≤1，故函数g（x）的值域为[﹣2，2]．17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，△ABC的外接圆为⊙M．（1）求⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）令y=﹣x2+x+4=0，解得x=﹣2，或x=8，即A（﹣2，0），B（8，0），令x=0，则y=4，即C（0，4）设△ABC的外接圆⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得：故⊙M的方程为（x﹣3）2+y2=25（2）直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，则圆心（3，0）到直线l的距离d==∵直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为﹣1，或经过原点；当直线l斜率为﹣1时，设直线的方程为：x+y+M=0，由d==，解得：M=﹣3+，或M=﹣3﹣，当直线l经过原点时，设直线的方程为：Ax+y=0，由d==，解得：A=±，故直线l的方程为：x+y﹣3+=0，或x+y﹣3﹣=0，或x+2y=0，或x﹣2y=0．18．（16分）如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只大小、无人机大小忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：百米），求此时甲、乙两船的距离．【解答】解：（1）在△BPC中，由正弦定理得=BC，在△PAB中，由正弦定理得==2AB，又∠PBC+∠PBA=180°，∴sin∠PBC=sin∠PBA，∴=．（2）∵==，∴2sin（60°﹣C）=5sinC，即cosC﹣sinC=5sinC，又sin2C+cos2C=1，0＜C＜60°，∴sinC=，∴BC==10，AB=BC=2，∴甲、乙两船的距离为2百米．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．（1）给定椭圆的离心率为．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求；（2）若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：（1）①由题意可得，解得a=，b=1，∴椭圆方程为+y2=1．②F（c，0），A（0，﹣b），∴直线AB的方程为y=﹣b，∵e==，∴b=c，a=b，∴即直线AB方程为y=x﹣b，联立方程组，消元得x2﹣2bx=0，∴x=0或x=2b，∴B点横坐标为2b，∴==1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：x=my+c，由，得（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．，x1+x2=my1+c+my2+c=要使△ABP的重心是坐标原点O，则有∴P（x0，y0）在b2x2+a2y2=a2b2上，得=a2b2，⇒b4m4+（2b2a2﹣4c2b2）m2+a4﹣4a2c2=0，⇒（b2m2+a2）（b2m2+a2﹣4c2）=0，∵⇒b2m2+a2＞0，∴椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，则方程b2m2+a2﹣4c2=0必成立．∴a2﹣4c2≤0，⇒⇒e=，椭圆离心率e的取值范围为[，1）．20．（16分）已知函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=﹣3x平行，求实数a的值；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x），q（x）=x3﹣mx+e（其中e为自然对数底数，m为参数）．记函数h（x）=，试确定函数h （x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）的导数为f′（x）=2+﹣a（2x+1），可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为3﹣3a，由切线与直线y=﹣3x平行，可得3﹣3a=﹣3，解得a=2；（2）存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，即为a≤的最大值，令m（x）=，（x＞0），m′（x）=，由1﹣x﹣lnx=0，即x+lnx=1，由于x+lnx﹣1的导数为1+＞0，即x+ln﹣1在x＞0递增，且x=1时，x+lnx﹣1=0，则x=1为m（x）的极值点，当x＞1时，m（x）递减，当0＜x＜1时，m（x）递增，则x=1时，m（x）取得极大值，且为最大值1，则a≤1；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x）=1﹣lnx，q（x）=x3﹣mx+e，则当1﹣lnx≥x3﹣mx+e，h（x）=1﹣lnx；当1﹣lnx＜x3﹣mx+e，h（x）=x3﹣mx+e．①当x∈（0，e）时，p（x）＞0，依题意，h（x）≥p（x）＞0，h（x）无零点；②当x=e时，p（e）=0，q（e）=e3﹣me+e，若q（e）=e3﹣me+e≤0，即m≥e2+1，则e是h（x）的一个零点；若q（e）=e3﹣me+e＞0，即m＜e2+1，则e不是h（x）的零点；③当x∈（e，+∞）时，p（x）＜0，所以此时只需考虑函数q（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为q'（x）=3x2﹣m＞3e2﹣m，所以当m≤3e2时，q'（x）＞0，q（x）在（e，+∞）上单调递增．又q（e）=e3﹣me+e，所以（i）当m≤e2+1时，q（e）≥0，q（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）3e2≥m＞e2+1时，q（e）＜0，又q（2e）=8e3﹣2me+e≥6e3﹣e＞0，所以此时q（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；当m＞3e2时，令q'（x）=0，得x=±．由q'（x）＜0，得e＜x＜；由q'（x）＞0，得x＞．所以q（x）在（e，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．因为q（e）=e3﹣me+e＜e3﹣3e3+e＜0，q（m）=m3﹣m2+e＞m2﹣m2+e=e＞0，所以此时q（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，m＜e2+1时，h（x）没有零点；m=e2+1时，h（x）有一个零点；m＞e2+1时，h（x）有两个零点．。
江苏省扬州中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(含答案)
江苏省扬州中学2018——2019学年度第一学期期中考试高一数学（试题满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =( )A ．{}12，B ．{}02，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．函数f (x )=x +5的值域为（）A ．(5, +∞)B ．(-∞,5]C ．[5, +∞)D ．R3．函数y =12log (2-1)x 的定义域为（）A ．（21，+∞） B ．［1，+∞)C ．（21，1] D ．（－∞，1）4．下列每组函数是同一函数的是（）A ．f (x )=x -1, g (x )=(x -1)2B ．f (x )=|x -3|, g (x )=(x -3)2C ．f (x )=x 2-4x -2, g (x )=x +2 D ．f (x )=(x -1)(x -3) , g (x )=x -1 ·x -35．已知函数2=log (3)-y ax 在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）A . )1,0(B .(1,3)C . )3,1()1,0(⋃D . (0,3)6．函数xx xx ee e e y ---+=的图象大致为( )7．设函数()200，，x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()1，+∞C ．()10-，D ．()0-∞，8．若a >b >0，0<c <1，则（）A ．log c a <log c bB ．c a >c bC ．a c <a bD ．log a c <log b c9．幂函数f (x )=(m 2-m -1)x m ²+2m -3在(0,+∞)上为增函数，则m 的取值是（）A ．m =2或m =-1B ．m =-1C ．m =2D ．-3≤m ≤110．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (10)（）A . -10B . 2C . 0D . 1011．已知函数()0=ln 0，，x e x f x x x ⎧≤⎨>⎩，g (x )=f (x )+x +a ．若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是（）A . [–1，0）B . [0，+∞）C . [–1，+∞）D . [1，+∞）12．若函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f 的值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．若函数f (x )=m +mx ，f (1)=2，则f (2)=__________．14．设25a b m ==，且112a b+=，则m =． 15．已知：函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．16．已知函数g (x )=log 2x ,x ∈(0,2)，若关于x 的方程|g (x )|2+m |g (x )|+2m +3=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是__________________．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合{}2280A x x x =+-≤，133xB x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭， （1）求AB ；（2）求B A C R )(18．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数． （3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）19．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． （1）求a,b 的值；（2）求f (log 2x )的最小值及相应x 的值．20．已知f (x )＝log a1＋x1－x(a >0，a ≠1)． （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性并给予证明； （3）求使f (x )>0的x 的取值范围．21．对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若存在R x x ∈21,且21x x <，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=211)(1x x B x x A a x f （其中A ，B 为常数），则称)0()(2≠++=a c bx ax x f 为“可分解函数”。
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．2．（5分）过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程．3．（5分）以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为．4．（5分）空间两点P（2，﹣2，0）和Q（4，0，1）之间的距离为．5．（5分）直线2x+y+1=0不通过第象限．6．（5分）若直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，则m=．7．（5分）过点A（0，3）做圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的切线，则切线长为．8．（5分）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，高为8，则它的体积为．9．（5分）已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE 位置关系是．10．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线y=x+1平行，则直线l的方程为．11．（5分）如果用半径为R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是．12．（5分）已知直线y=与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，则弦长AB=．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a与l2：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l1与l2：（1）平行？（2）重合？（3）垂直？16．（14分）已知三条直线l1：x﹣2y=0，l2：y+1=0，l3：2x+y﹣1=0两两相交，（1）画出图形，并求出它们交点的坐标；（2）求过这三个交点的圆的方程．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．18．（15分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC的中点，AF⊥BC，AS=AB．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）平面SAB⊥平面SBC．19．（16分）已知圆O的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线L的方程；（2）直线L过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2，求直线L 的方程．20．（16分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．2．（5分）过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程x=2．【分析】根据与x轴垂直的直线方程斜率不存在，写出直线方程即可．【解答】解：过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程斜率不存在，直线方程是x=2．故答案为：x=2．【点评】本题考查了斜率不存在时的直线方程应用问题，是基础题．3．（5分）以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【分析】因为要求的圆的圆心知道，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵P（1，1）为圆心，且经过原点，∴半径r=，∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题．4．（5分）空间两点P（2，﹣2，0）和Q（4，0，1）之间的距离为3．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点的距离即可．【解答】解：空间两点P（2，﹣2，0），Q（4，0，1）间的距离为：|PQ|==3，故答案为：3．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．5．（5分）直线2x+y+1=0不通过第一象限．【分析】由已知中的直线方程求出直线与坐标轴的交点，进而可得答案．【解答】解：当x=0时，y=﹣1，当y=0时，x=﹣，故直线2x+y+1=0过第二、三，四象限，即直线2x+y+1=0不通过第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查的知识点是直线的一般方程，难度不大，属于基础题．6．（5分）若直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，则m=7或﹣13．【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，求得m的值．【解答】解：直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，故有=，求得m=7，或m=﹣13，故答案为：7或﹣13．【点评】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题．7．（5分）过点A（0，3）做圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的切线，则切线长为4．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心和半径，画出图形，根据切线的性质得到直角△ACM，利用勾股定理求出切线|AM|的长．【解答】解：如图所示，圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4，∴圆心C的坐标为（2，﹣1），半径为r=2；又|CA|==2，∴切线长为|CM|===4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了两点间的距离公式，切线性质以及勾股定理应用问题．8．（5分）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，高为8，则它的体积为32．【分析】求出S ABCD=2×=12，代入体积公式V=得出体积．【解答】解：∵正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，∴S ABCD=2×=12，正四棱锥PABCD的体积为V==．故答案为：32．【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．9．（5分）已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE 位置关系是BD1∥平面ACE．【分析】连接AC，BD，交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BD1，由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面ACE．【解答】解：连接AC，BD，交点为F，连接EF∵在△BDD1中，E，F为DD1，BD的中点故EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE，故答案为：BD1∥平面ACE【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理是解答的关键．10．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线y=x+1平行，则直线l的方程为x﹣y+3=0．【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再由所求直线与直线y=x+1平行求得斜率，代入直线方程斜截式得答案．【解答】解：由圆x2+（y﹣3）2=4，得圆心坐标为（0，3），又直线l与直线y=x+1平行，则直线l的斜率为1，则所求直线方程为y=x+3，即x﹣y+3=0．故答案为：x﹣y+3=0．【点评】本题考查由圆的标准方程求圆心坐标，考查直线方程的求法，是基础题．11．（5分）如果用半径为R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是3．【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．【解答】解：半径为R=2的半圆弧长为2π，圆锥的底面圆的周长为2π，圆锥的底面半径为：所以圆锥的高：=3故答案为：3．【点评】本题考查圆锥以及侧面展开图的知识，考查计算能力，是基础题．12．（5分）已知直线y=与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，则弦长AB=．【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得|AB|的值．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=1，∴圆心坐标为（2，0），半径为，1，∴圆心到直线l：y=x的距离为d==，故弦长|AB|=2=故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是④．（写出所有正确命题的序号）【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解本题关键是有较好的空间想像能力，对空间中点线面的位置关系可以准确判断，再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a与l2：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l1与l2：（1）平行？（2）重合？（3）垂直？【分析】由（a+3）（a+5）﹣8=a2+8a+7=0得：a=﹣1，或a=﹣7，（1）当a=﹣7时，两直线平行．（2）当a=﹣1时，两直线重合；（3）当由2（a+3）+4（a+5）=0得：a=﹣，此时两条直线垂直；【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a，直线l2：2x+（a+5）y=8，由（a+3）（a+5）﹣8=a2+8a+7=0得：a=﹣1，或a=﹣7，（1）当a=﹣7时，直线l1：﹣4x+4y=26，直线l2：2x﹣2y=8，两直线平行；（2）当a=﹣1时，直线l1：﹣2x+4y=8，直线l2：2x﹣4y=8，两直线重合；（2）由2（a+3）+4（a+5）=0得：a=﹣此时两条直线垂直．【点评】此题为中档题，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，难度中档．16．（14分）已知三条直线l1：x﹣2y=0，l2：y+1=0，l3：2x+y﹣1=0两两相交，（1）画出图形，并求出它们交点的坐标；（2）求过这三个交点的圆的方程．【分析】（1）先根据题意画出三条直线，再求出交点的坐标；（2）判断由三个交点构成的三角形的形状为直角三角形，求出圆心坐标和半径，即可求出圆的标准方程．【解答】解：（1）如图：通过计算斜率可得L1⊥L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆，解方程组，得，∴点A的坐标为（﹣2，﹣1），解方程组，得．∴点B的坐标为（1，﹣1），解方程组，得．∴点C的坐标为（1，﹣1）；（2）线段AB的中点坐标是（﹣，﹣1），又|AB|=，∴圆的方程是（x+）2+（y+1）2=．【点评】本题考查了直线方程及画法，求直线交点的方法，求圆的标准方程的方法，准确的判断三角形的形状是解决本题的关键，是中档题．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直，属于中档题．18．（15分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC的中点，AF⊥BC，AS=AB．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）平面SAB⊥平面SBC．【分析】（1）推导出EF∥AB，GF∥AC，由此能证明平面EFG∥平面ABC．（2）推导出AF⊥BC，AF⊥SB，从而AF⊥平面SBC，由此能证明平面SAB⊥平面SBC．【解答】证明：（1）∵在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC 的中点，∵EF∥AB，GF∥AC，∵EF∩EG=E，AB∩AC=A，EF、EG⊂平面EFG，AB、AC⊂平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵AF⊥BC，AS=AB，F是SB中点，∴AF⊥SB，∵BC∩SB=B，∴AF⊥平面SBC，∵AF⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SBC．【点评】本题考查面面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．（16分）已知圆O的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线L的方程；（2）直线L过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2，求直线L 的方程．【分析】（1）由题意可知，直线斜率存在，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直线方程可求；（2）当直线L垂直x轴时，直线方程为x=1，求出A，B的坐标，得|AB|=，满足题意；当直线L的斜率存在时，设L的方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0．利用垂径定理列式求得k，则直线方程可求．【解答】解（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x﹣1），则由=2，得k1=0，k2=﹣，从而所求的切线方程为y=2和4x+3y﹣10=0；（2）当直线L垂直x轴时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4，解得A（1，），B（1，﹣），|AB|=，满足题意；当直线L的斜率存在时，设L的方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0．设圆心到此直线的距离为d，则，解得d=1．从而1=，解得k=．此时直线方程为3x﹣4y+5=0，综上，所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．20．（16分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．【分析】本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（1）要求过点M 的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+a2=4∴a=±当a=时，点M为（1，），k OM=，此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）即：x+y﹣4=0当a=﹣时，点M为（1，﹣），k OM=﹣，此时切线方程为：y+=（x﹣1）即：x﹣y﹣4=0∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）当AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），直线BD的方程为y﹣=（x﹣1），由弦长公式l=2可得：AC=2BD=2∵AC2+BD2=4（+）=20∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40故AC+BD≤2即AC+BD的最大值为2【点评】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．。
江苏省扬州中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题
江苏省扬州中学——学年度第一学期期中考试高 一 数 学（试题满分：分 考试时间：分钟）一、选择题：本大题共小题，每小题分，计分．每小题所给的.四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。
．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I ( ) ．{}12，．{}02，．{}0．{}21012--，，，， ．函数()的值域为 （ ） ．(, ∞) ．(∞] ．[, ∞) ．．函数12log (2-1)x 的定义域为 （ ）．（21，∞） ．［，∞) ．（21，] ．（－∞，）．下列每组函数是同一函数的是 （ ） ．(), ()() ．(), () ．(), () ．(), ()·．已知函数2=log (3)-y ax 在]1,0[上是的减函数，则的取值范围是（ ）. )1,0(. (1,3). )3,1()1,0(⋃. (0,3)．函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为 ( )．设函数()200，，x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()12f x f x +<的的取值范围是（ ）．(]1-∞-， ．()1，+∞ ．()10-， ．()0-∞，．若>>，<<，则 （ ）．< ．> ．< ．< ．幂函数()()²在(∞)上为增函数，则的取值是 （ ）．或 ． ． ．≤≤．已知()是定义域为的奇函数，满足()()．若()，则()()()…()（ ）. . . .．已知函数()0=ln 0，，x e x f x x x ⎧≤⎨>⎩，()()．若()存在个零点，则的取值范围是（ ）. [–，） . [，∞） . [–，∞） . [，∞）．若函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f 的值是( ) ．4 ． ． ．二、填空题：本大题共小题，每小题分，计分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．．若函数()，()，则()． ．设25a b m ==，且112a b+=，则m = ． ．已知：函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为．．已知函数()∈() ，若关于的方程()()有三个不同的实数解，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共小题，计分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ．已知集合{}2280A x x x =+-≤，133xB x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，（）求A B I ； （）求B A C R Y )(．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数． （3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）．若()＝－＋，且()＝，()＝(>且≠)． （）求的值；（）求()的最小值及相应的值．．已知()＝(>，≠)． （）求()的定义域；（）判断()的奇偶性并给予证明； （）求使()>的的取值范围．．对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若存在R x x ∈21,且21x x <，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=211)(1x x B x x A a x f （其中，为常数），则称)0()(2≠++=a c bx ax x f 为“可分解函数”。
数学---江苏省扬州市第一中学2017届高三上学期期中考试(解析版)
江苏省扬州市第一中学2017届高三上学期期中考试（试卷满分150分 考试时间120分钟）考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.（文）已知全集U R =，集合{}(1)(4)0A x x x =--≤，则集合A 的补集U C A = .（理）计算：=+++∞→712)6(lim32n n n n _. 2. （文）指数方程462160x x -⨯-=的解是 .（理）设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = . 3. （文）已知无穷等比数列{}n a 的首项118a =，公比12q =-，则无穷等比数列{}n a 各项的 和是 .（理）若原点(0,0)和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是 ． 4．函数[]cos20y x x =∈π，，的递增区间为 . 5．算法流程图如图所示，则输出的k 值是 .6. 抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是 ．7. （文）设函数()23f x x =-，则不等式()5f x <的解集为 .（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 .8.关于θ 的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为()M x ，则()M x 的解析式 为 .9．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若3,2==b a ，则该几何体的体积等于 ．（理）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为，侧面积为2，则它的体积为 .10. （文）圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于A (0, -4)、B (0, -2) 两点，则圆C 的 方程为 .（理）已知双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为 .11.已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=，AB AO = ，则CA CB ⋅=.12. （文）若不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .43y kx =+k侧视图正视图俯视图（理）若以过(0,0)点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220y x x +-=的参数方程为 .13. （文）掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)(i 为虚数单位)为实数的概率为 .（理）已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .14. 设关于x 的实系数不等式2(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，则2a b = . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．（文）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（ ）A. 1B. 4C. 6D. 12 （理）下列不等式一定成立的是 （ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 16. （文） 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积2221()4S b c a =+-，∠A 的弧度数为（ ） A. 3π B. 6π C. 2π D. 4π（理）在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A ．=0(R)cos =2∈θρρθ和B ．=(R)cos =22∈θρρθπ和 C ．=(R)cos =12∈θρρθπ和 D ．=0(R)cos =1∈θρρθ和 17. 若函数为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（ ）x()()2F x f x x =+A ．－1B ．1C ．－2D ．218. （文）已知实数满足则的最大值为（ ）A. 17B. 15C. 9D. 5（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则E ξ等于（ ） A ． 4B ．4.5C ． 4.75D ． 5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（文）（本题满分12分）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF （底面正六边形ABCDEF 的中心为球心）.求：正六棱锥P —ABCDEF 的体积和侧面积．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．,x y 20,0,3,x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩|4|z x y =+（文19题）已知分别是椭圆2222:1x y C a b+=（其中0a b >>）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，求线段的长度．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （文）题同理科第19题（理） 设点分别是棱长为2的正方体的棱的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量1D E 与1C F的数量积；（2）若点分别是线段与线段上的点，问是否存在直线，MN ⊥平面？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、12,F FC (28y x =-C C l AB ,E F 1111ABCD A B C D -1,AB AA ,M N 1DE 1CF MN ABCD ,M N E FB 1A 1C 1D 1BC DAON 的距离分别为2km ．测得tan 3MON ∠=-，6km OA =．以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以/小时的 平均速度在水上旅游线AB 航行（将航线AB 看作直线，码头Q 在第一象限，航线AB 经过Q ）． （1）问游轮自码头A 沿AB方向开往码头B 共需多少分钟？（2）海中有一处景点P （设点P 在xoy 平面内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.(1) (文)判断函数()2log f x x =在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；（理）判断函数()221,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量1()22m = ，(sin 2,cos2)n x x = ，(0,)x ∈π，证明()1f x m n =⋅+ 在区间(0,)π内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.23．(文) （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.N n *∈，有n n b a b a b a +++ 2211=22)1(1+⋅-+n n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1+k a 之间插入k 个k k b )1(-（N k *∈）后，得到一个 新的数列{}n c . 求数列{}n c 的前2016项之和.（理）（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足n n n a a 331+=-（2,N n n *≥∈），首项31=a ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）数列{}n b 满足n a b nn 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意N n *∈恒成立，求角A 的取值范围．参考答案1．文：(,1)(4,)-∞+∞ ；理：121； 2．文：3x =；理：34i 55+ 3．文：12；理：()0,2 4．,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦5．56．点的横坐标为．7．文：{}14x x -<<；理：1112； 8．20()20x x M x x x ≥⎧=⎨-<⎩9．文：133π；理：4 10．文：5)3()2(22=++-y x ；理：(2,4) 11．1212．文：；理：2cos ,R cos sin x y ⎧=θθ∈⎨=θ⋅θ⎩ 13．文：16；理：12714．9 15．文理：C 16．文D 理B 17．A 18．文理B 19．文：73设底面中心为O ，AF 中点为M ，连结PO 、OM 、PM 、AO ，则PO ⊥OM ， …………2分OM ⊥AF ，PM ⊥AF ，∵OA ＝OP ＝2，∴OM ＝3，∴S 底＝6×12×2×3＝6 3. ∴V ＝13×63×2＝43. …………6分 PM ＝4＋3＝7. …………8分∴S 侧＝6×12×2×7＝67. …………12分 理：（1）抛物线的焦点为(2,0)- ………1分 所以椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点为(2,0)-，2c = ，224b a =-………2分 又22311a b+=，得428120a a -+=，解得26a =（22a =舍去）………4分 故椭圆的方程为22162x y +=………6分 （2）直线的方程为． …………………7分联立方程组 消去并整理得． …………………9分（文10分） 设，．故，． …………………10分（文11分） 则…………12分（文14分）20．文题同理19，评分标准见上理：（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为 11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =-- …………2分28y x =-C l 2y x =-222162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22630x x -+=11(,)A x y 22(,)B x y 123x x +=1232x x =]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+==11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =- …………4分所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-= …………6分（2）存在唯一直线，MN ⊥平面 …………8分若MN ⊥平面，则MN 与平面的法向量(0,0,1)平行，所以，可设(,,),(,,),(0,0,),M a a m N a a n MN n m n m =-≠ …………10分又因为点分别是线段与线段上的点，所以1111//,//D M D E C N C F ，即1111,D M D E C N tC Fλ== ， …………12分 (2,,2)(,2,2)a a m λλλ--=--，(,,2)(2,2,)a a n t t t -=-，所以2,2,22a a m λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩且2,2a t n t =⎧⎨-=-⎩解得4,32,343a m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以点的坐标分别是442(,,)333M ，444(,,)333N …………14分21．解：（1）由已知得： (6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-， ………1分 设00(,2)(0)Q x x >=及图00x >得04x =，(4,2)Q ∴ ………3分 ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=， ………5分由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即(3,9)B -， ………6分AB ∴AB的长为．游轮在水上旅游线自码头A 沿AB 方向开往码头B 共航行30分钟时间． ………8分（2）解法1：点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ………10分 由（1）知直线AB 的方程为60x y +-=，(4,8)P ，则直线PC 的方程为40x y -+=， ………12分所以解直线AB 和直线PC 的方程组，得点C 的坐标为（1，5）． ……14分 解法2：设游轮在线段AB 上的点C 处，MN ABCD ABCD ABCD ,M N 1D E 1C F ,M N则AC =，102t ≤≤， ………10分 (618,18)C t t ∴-，(4,8)P ，则222(218)(188)PC t t ∴=-+-218(3620)68t t =-+，102t ≤≤， ………12分 102t ∴≤≤时， 当51182t ∴=<时，离景点P 最近，代入(618,18)C t t -得离景点P 最近的点的坐标 为（1，5）． ………14分22．文：（1）函数()2log f x x =在定义域内不具有唯一零点, ………2分因为当1x =±时,都有()10f ±=； ………4分理：（1）函数()221,01log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分 理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时,()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分(2)因为112cos 21sin(2)126m n x x x ⋅+=++=++ π,所以 ()sin(2)16f x x =++π, …………7分 ()0f x =的解集为,3A x x k k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭ππ；因为23A I ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ π,所以在区间 (0,)π内有且只有一个实数23π,使得2()03f =π成立,因此()1f x m n =⋅+ 在开区间 (0,)π内具有唯一零点； …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴 为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．1) 当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得2m >； …………12分2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点， 220m m -<，所以0m <。
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江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学第一学期期中考试（解析版附后） 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，全集{0,1,2,3,4,5}U =,则()U C A B ⋂=_______． 2．函数()f x =的定义域是. 3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点2)，则(2)f =． 4.已知 3.5 2.5 3.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列． 5. 已知(1)x f x e -=，则(1)f -=． 6. 已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于cm .7.函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且的图像恒过定点A ，则A 的坐标为_____．8．已知函数22,2()21,2x ax x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，若((1))0f f >，则实数a 的取值范围是.9．设函数()24x f x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k =.10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时，()2x f x x =+，则当0x <时，()f x =.11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2(1),f a f a f -≤则实数a 的取值范围是.12．设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．13.已知函数2()|4||2|,[3,3]f x x a x x =-+-∈-，若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是.14．已知m R ∈,函数2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是.二、解答题：(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本小题14分）求值：（Ⅰ）()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．（本小题14分）设集合{}221|24,|230(0)32x A x B x x mx m m -⎧⎫=≤≤=+-≤>⎨⎬⎩⎭（1）若2m =，求A B ;(2)若A B ⊇,求实数m 的取值范围。
17.（本小题14分）某厂生产某种产品的月固定成本为10(万元)，每生产x 件，需另投入成本为()C x （万元）．当月产量不足30件时，21()6C x x x =+（万元）；当月产量不低于30件时，800()55020C x x x =+--（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完． （1）写出月利润L （万元）关于月产量x （件）的函数解析式； （2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？18.（本小题16分）已知函数()ln 1a xf x x-=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并给出证明．19．（本小题16分）已知函数()2|1|f x x =-，2()242g x x ax a =-+-，函数(){}min (),()F x f x g x =，其中{},min ,,p p qp q q p q ≤⎧=⎨>⎩.（1）若函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知3a ≥，①求()F x 的最小值()m a ;②求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．20．（本小题16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24()f x ax x a a R =+-∈,试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由;（2）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5,A B ==全集{}0,1,2,3,4,5,U =则()U C A B ⋂=__________．【答案】{}4,5【解析】由题意可得： {}4,5U C A =， 则： (){}4,5U C A B ⋂=.2．函数()f x =的定义域是__________． 【答案】{|10}.x x x ≤≠且【解析】函数有意义，则： 10{ 0x x -≥≠，求解关于实数x 的不等式组可得函数的定义域为{|10}.x x x ≤≠且点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点)，则()2f =_________．【答案】4【解析】幂函数()f x x α=的图像经过点)，2α∴=，解得2α=则()2224f ==4．已知 3.5 2.5 3.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________． 【答案】b a c <<【解析】由指数函数2x y =知， 2.5 3.5< 所以 2.5 3.522<，即b a <又 3.5 3.53?2c a =>= 故b a c <<5．已知()1,x f x e -=则()1f -=__________． 【答案】1【解析】整理函数的解析式： ()()111x f x e -+-=， 则： ()1x f x e +=，故： ()11011f e e -+-===. 6．已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于__________ cm .【答案】103π 【解析】扇形圆心角的度数16036036π=︒=⨯︒ 则弧长为圆周的11063π= 故扇形的弧长等于103cm π 7．函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且恒过定点A ，则A 的坐标为_____． 【答案】(0，2)【解析】log 1002a x y =∴==时 ,即A 的坐标为(0，2)8．已知函数()22,2{ 21,2x ax x f x x x +≥=+<，若()()10f f >，则实数a 的取值范围是______. 【答案】【解析】()()()13960f f f a ==+>解得32a >-故实数a 的取值范围是32a >-9．设函数()24x f x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k = ___________. 【答案】1【解析】()240x f x x =+-=24x x =-+当0x =时， 0214=< 当1x =时， 122143=<-+= 当2x =时， 224242=>-+= 则()012x ∈， 故1k =10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()2,x f x x =+则当()0x f x <=时，__________． 【答案】2x x --【解析】设0x <，则0x ->，据此可得，当0x <时有： ()()2x f x f x x -=-=-.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可求解函数的解析式．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21,f a f a f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭则实数a 的取值范围是____________.【答案】【解析】()122f log a f log a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f log a f log a ∴-=-则()()()()()2122222?21f log a f log a f log a f log a f log a f ⎛⎫-=+=≤ ⎪⎝⎭即()()21f log a f ≤在区间[)0,+∞上单调递增21log a ∴≤， 02a ∴<≤ 故实数a 的取值范围是](02 ，点睛：本题考查了函数性质的综合运用，抽象函数的奇偶性、单调性及不等式，运用奇函数性质进行化简，并判断其在定义域内的单调性，解答不等式问题 12．设函数，若f （x ）的值域为R ，是实数的取值范围是 ． 【答案】【解析】试题分析：当时，的范围是；当时，的范围是，因为f （x ）的值域为R ，即，解得实数的取值范围是．【考点】1．分段函数的值域；13．已知函数，若的最大值是，则实数的取值范围是___________. 【答案】【解析】试题分析：因为的最大值是，所以，因此当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；综上实数的取值范围是【考点】二次函数最值 14．已知m R ∈,函数()()221,1{log 1,1x x f x x x +<=->， ()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m ⎡⎤=-⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是__________.【答案】305m <<【解析】函数()()2211{11x x f x log x x +<=->，，， ()2221g x x x m =-+-∴当()()21221g x x m =-+-<时，即()2132x m -<-时，则()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦ 当()()21221g x x m =-+->时，即()2132x m ->-时，则()()22 log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦当320m -≤即32m ≥时，y m =只与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去；当32m <时， y m =与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点需要直线y m =只与()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦的图象有四个交点时才满足题意，034m m ∴<<-又32m <，解得305m <<故实数m 的取值范围是305m <<点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，结合复合函数后难度较大，要先求出复合函数的解析式，然后根据交点个数情况进行分类讨论，理清函数图象的交点问题是本题的关键二、解答题15．求值：（Ⅰ） ()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）1lg25lg22+-【答案】（Ⅰ）118；（Ⅱ） 32．【解析】试题分析： ()1利用指数幂的运算性质即可得出；()2利用对数的运算性质即可得出。