第1章 1.5.1 二项式定理 学业分层测评
二项式定理(测试卷含答案)
学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n ，称为二项式定理 二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )通项 T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0,1，…n ) 二项式定理的特例 (1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n nx n 2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C m n ＝C n－mn；(2)性质：C k n ＋1＝C k －1n ＋C kn ；(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即1122CCn n nn -+=最大；(4)二项式系数之和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ，所用方法是赋值法．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 答案 (1)120 (2)－1解析 (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.∴x 2的系数为C 25＋a C 15，则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，故(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项即为(2x －1x )5的展开式中1x 与x 的系数之和．(2x －1x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k x 5－2k (－1)k ， 令5－2k ＝1，得k ＝2，∴展开式中x 的系数为C 25×25－2×(－1)2＝80， 令5－2k ＝－1，得k ＝3，∴展开式中1x 的系数为C 35×25－3×(－1)3＝－40， ∴(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项为80－40＝40.命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 答案6322解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25， ∴展开式的通项为11k T ＋＝15C k ⎝⎛⎭⎫x2＋1x 15k －(2)1k (k 1＝0,1,2，…，5)． 当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 15k －的展开式的通项公式为21k T '＋＝215C k k -⎝⎛⎭⎫x 2125k k －－⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝215C k k -⎝⎛⎭⎫12125k k －－·1252k k x －－(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝1. ∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝6322.方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5 ＝132x 5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．解 方法一 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 方法二 (x 2＋3x －4)4＝[(x －1)(x ＋4)]4＝(x －1)4·(x ＋4)4＝(C 04x 4－C 14x 3＋C 24x 2－C 34x ＋C 44)(C 04x 4＋C 14x 3·4＋C 24x 2·42＋C 34x ·43＋C 44·44)，所以展开式中含x 的项的系数是－C 3444＋C 3443＝－768.命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案 A解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N *)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________. 答案 1解析 ∵512 015＋a ＝(52－1)2 015＋a ＝C 02 015522 015－C 12 015522 014＋C 22 015522 013－…＋C 2 0142 015521－1＋a ，能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3 432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k 12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1， 解得9.4≤k ≤10.4.∵0≤k ≤n ，k ∈N *，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝(12)12·C 1012·410·x 10＝16 896x 10. 反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x . 解 依题意得2n －22n －1＝－112，整理得(2n －16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C 48(2x )4(x lg x )4＝1 120，化简得x 4(1＋lg x )＝1，所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0， 故所求x 的值为1或110.1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第(k ＋1)项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.2.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－1)k x 6－2k.令6－2k ＝0解得k ＝3.故展开式中的常数项为－C 36＝－20.3．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8 答案 C解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n－1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 4．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552kx -(－1)k a k ·2kx -＝(－1)k a k C k 552k x-，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.5．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案 128解析 由已知条件可得a 5＝C 38·(－m )3＝－56m 3＝56，∴m ＝－1， 则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(1＋1)8＋(－1＋1)82＝128.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．课时作业一、选择题1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63 D ．31 答案 B解析 由已知条件得(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6.C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝32. 2．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6的展开式中不含x 3项的系数之和为( ) A ．20 B ．24 C ．30 D ．36 答案 A解析 由二项式的展开式的通项公式 T k ＋1＝C k 6·(－1)k x 12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，故展开式中x3项的系数为C36·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20.3．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为()A．210 B．120 C．80 D．60答案 B解析在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3的项为C46x4C342·y3＝120x4y3.故含x4y3项的系数为120.4．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n 的值为()A．0 B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案 C解析∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.5．9192被100除所得的余数为()A．1 B．81 C．－81 D．992答案 B解析利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．方法一(100－9)92＝C09210092－C19210091×9＋C29210090×92－…－C9192100×991＋C9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．由992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9092102－C919210＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81.方法二(90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9092902＋C919290＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于()A．5 B．6 C．7 D．8答案 B解析∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，.∴a＝C m2m.同理，b＝C m＋12m＋1∵13a＝7b，∴13·C m2m＝7·C m＋1，2m＋1∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6.7．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 易知T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k ， 令k ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.二、填空题8．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 1解析 (a －x )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k a 5－k C k 5x k，令k ＝2，得a 2＝a 3C 25＝80， 知a ＝2，令二项展开式的x ＝1，得 15＝1＝a 0＋a 1＋…＋a 5.9．在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________． 答案 70解析 由题意知，2n －1＝128，解得n ＝8. 展开式共n ＋1＝8＋1＝9项． 得中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 10．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 答案 1.34解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 答案 －2解析 在(1－2x )7的二项展开式中，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1＝－2.12．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27， 令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 14＝27－1. (2)由(1)得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27，① 令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝67，②由①－②得：2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝27－672.13．若等差数列{a n }的首项为a 1＝C 11－2m5m－A 2m －211－3m (m ∈N *)，公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2k 展开式中的常数项，其中k 为7777－15除以19的余数，求通项公式a n .解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5m ≥11－2m ，11－3m ≥2m －2，解得117≤m ≤135，∵m ∈N *，∴m ＝2，∴a 1＝C 710－A 25＝100，又7777－15＝(1＋19×4)77－15＝C 077＋C 177(19×4)＋…＋C 7777(19×4)77－15＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]－19＋5，∴7777－15除以19的余数为5，即k ＝5. 又T k ′＋1＝C k ′5⎝⎛⎭⎫52x 5－k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2k ′ ＝C k ′5⎝⎛⎭⎫525－2k ′5153k x '-(－1)k ′，令5k ′－15＝0可解得k ′＝3， ∴d ＝C 35⎝⎛⎭⎫525－6(－1)3＝－4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝104－4n . 四、探究与拓展14．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m ＝________. 答案 －3或1解析 在(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9中， 令x ＝－2，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9， 即[(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝m 9， 令x ＝0，可得(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)∵(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，∴[(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)][(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝39， ∴(2＋m )9m 9＝(2m ＋m 2)9＝39， 可得2m ＋m 2＝3，解得m ＝1或－3.15．已知f (x )＝(1＋x )m ，g (x )＝(1＋5x )n (m ，n ∈N *)． (1)若m ＝4，n ＝5时，求f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项；(2)若h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，那么当m ，n 为何值时，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值？(3)若(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项．解 (1)当m ＝4，n ＝5时，f (x )＝(1＋x )4＝C 04x 0＋C 14x 1＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4， g (x )＝(1＋5x )5＝C 05(5x )0＋C 15(5x )1＋…＋C 55(5x )5，则f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为(C 24·50C 05＋C 14·5C 15＋C 04·52C 25)x 2，即f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为356x 2.(2)因为h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，则C 1m ＋5C 1n ＝24，即m ＝24－5n (其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又h (x )的展开式中含x 2的项的系数为 C 2m ＋52C 2n＝m (m －1)2＋25n (n －1)2 ＝(24－5n )(23－5n )2＋25n (n －1)2＝25n 2－130n ＋276＝25⎝⎛⎭⎫n －1352＋107(其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又因为⎪⎪⎪⎪2－135>⎪⎪⎪⎪3－135， 所以当n ＝3时(此时m ＝9)，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值111.(3)在(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为C n －1n ·5n －1，C n －2n ·5n －2，C n －3n ·5n －3， 又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以2C n －2n ·5n －2＝C n －1n ·5n －1＋C n －3n ·5n －3， 整理得n 2－33n ＋182＝0， 解得n ＝7或n ＝26，又因为n ≤10，n ∈N *，所以n ＝7，n ＝26(舍去)．.；. 设二项式(1＋5x )7的展开式中系数最大的项为第k ＋1项(即T k ＋1＝C k 7(5x )k )，则⎩⎪⎨⎪⎧C k －17·5k －1≤C k 7·5k ，C k ＋17·5k ＋1≤C k 7·5k ， 整理并解得173≤k ≤203， 又因为n ≤10，n ∈N *，所以k ＝6，即(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项为T 7＝C 67(5x )6＝109 375x 6.。
(完整版)二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
苏教版数学选修2-3：第1章 1.5.2 二项式系数的性质及应用 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(a －b )7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的所有二项式的各项系数和是________．【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－23．(2015·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝ C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r . 令6－2r ＝2得r ＝2，∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【导学号：29440030】【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010，∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8.【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1 第1行1 1 第2行 12 1第3行1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1。
高中数学1.3.1二项式定理课时分层作业含解析人教A版选修2_3.doc
课时分层作业(七) 二项式定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5D [原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A ．17 B ．－17C ．7D ．－7B [T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17.]3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28C [T k ＋1＝C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝(－1)k ·C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k·x 8－43k ，当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38C [T k ＋1＝C k6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－1)k 22k －6·C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，则k ＝1，所以x 2的系数为(－1)1×2－4×C 16＝－38，故选C.]5．(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24A [展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.]二、填空题6．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第7项为________． －210 [由通项公式得T 7＝C 610·(－i)6＝－C 610＝－210.]7．(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )10展开式中x 3的系数为________． 330 [x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 310＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310＝C 411＝330.]8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________.8 [T k ＋1＝C k n (3x 2)n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C kn x2n －5k3，由题意知k ＝2时，2n －5k3＝2，所以n ＝8.]三、解答题9．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解] 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)rx－r3＝C rn (－3)rxn －2r3.(1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2. 即405x 2，－61 236,295 245x －2.10．记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n的展开式中第m 项的系数为b m . (1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m，所以b m ＝2n ＋1－m·C m －1n .(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝26－k ·C k 6·x 6－2k.依题意，6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.1．(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0D ．3A [∵(1－x )4(1－x )3＝(1－4x ＋6x 2－4x 3＋x 4)(1－3x 12＋3x －x 32)， ∴x 2的系数是－12＋6＝－6.] 2．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12D [512 018＋a ＝(13×4－1)2 018＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 018＋a 能被13整除．]3．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.－2 [T k ＋1＝C k 5·(ax 2)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C k 5·a 5－kx 10－52k .令10－52k ＝5，解得k ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]4．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n(n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．(填序号)①④ [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]5．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解] 由题设知m ＋n ＝19，又m ，n ∈N *， 所以1≤m ≤18.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.所以当m ＝9或10时，x 2的系数的最小值为81， 此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.。
苏教版数学高二作业 第1章 二项式系数的性质及应用 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(a －b )7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的所有二项式的各项系数和是________． 【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 【答案】 2n ＋1－23．(2015·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r＝ C r 6⎝⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r. 令6－2r ＝2得r ＝2， ∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010， ∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8. 【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行1 2 1第3行 1 3 3 1第4行1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-5-7【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 二、解答题9．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．【解】 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100，① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100，② 由①②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1)．10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n 的展开式中的倒数第三项的系数是45. (1)求含x 3的项； (2)求系数最大的项．【解】 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，所以n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(不合题意，舍去)或n ＝10.(1)即求⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210展开式中含x 3的项． 由通项T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x 23)r ＝C r 10x －10－r 4＋2r 3，得－10－r 4＋2r 3＝3，－30＋3r＋8r ＝36,11r ＝66，得r ＝6.故含有x 3的项是第7项T 7＝C 610x 3＝210x 3.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210的展开式共有11项，系数最大项是第6项． ∴T 6＝C 510(x －14)5·(x 23)5＝252x 2512.[能力提升]1．设m 是正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.【解析】 由题意可知13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6. 【答案】 62．(2016·杨州高二检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024，则展开式中x 项的系数为________．【解析】 由4n＝1 024，得n ＝5.∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－3x r＝(－3)r C r5x 5－3r 2，令5－3r2＝1，解得r ＝1，∴T 2＝C 15(－3)1x ＝－15x ，故其系数为－15.【答案】 －153．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________.【解析】 令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.【答案】 －24．(1)求证：5151－1能被7整除； (2)求1.9975精确到0.001的近似值．【解】(1)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950·2＋…＋C5051 49·250＋C5151·251－1，易知除C5151251－1以外其余各项都能被7整除．又因为251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117716＋…＋C16177＋C1717－1＝7(C717716＋C117715＋…＋C1617)显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)1.9975＝(2－0.003)5＝C0525－C15×24×0.003＋C25×23×0.0032－C35×22×0.0033＋C45×21×0.0034－C55×20×0.0035≈32－0.24＋0.000 72≈31.761.。
高中数学北师大版选修2-3学业分层测评 第1章 5.1 二项式定理 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．设＝(－)＋(－)＋(－)＋，则等于( )．(－) ．(－)．．(＋)【解析】＝＝.【答案】．已知的展开式的第项等于，则等于( )．－．．－【解析】＝＝，则＝－.【答案】．若对于任意实数，有＝＋(－)＋(－)＋(－)，则的值为( )．．．．【解析】＝，＝×＝.【答案】．使(∈＋)的展开式中含有常数项的最小的为( )．．．．【解析】＋＝()－＝－，当＋是常数项时，－＝，当＝，＝时成立．【答案】．在)))的展开式中，含项的系数为( )．．．．【解析】因为)))＝)))＝(＋)＋(＋))＋…＋)))，所以项只能在(＋)的展开式中，所以含的项为，系数为＝，故选.【答案】二、填空题．在(＋)的展开式中，的系数为．(用数字作答)【解析】设通项为＋＝－，令＝，则的系数为×＝×＝.【答案】．设二项式(>)的展开式中的系数为，常数项为.若＝，则的值是．【解析】对于＋＝－(－)＝(－)·，＝(－)，＝(－).∵＝，>，∴＝.【答案】．被除所得的余数为. 【导学号：】【解析】法一：＝(－)＝·－··＋··－…＋，展开式中前项均能被整除，只需求最后一项除以的余数．∵＝(－)＝·－·＋…＋·－·＋，前项均能被整除，后两项和为－，因余数为正，可从前面的数中分离出，结果为－＝，故被除可得余数为.法二：＝(＋)＝·＋·＋…＋·＋·＋.前项均能被整除，剩下两项和为×＋＝，显然除以所得余数为.【答案】三、解答题．化简：＝－＋－＋…＋(－)(∈＋)．【解】将的表达式改写为：＝＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝＝(－).∴＝(－)＝(\\(，为偶数时，,－，为奇数时.))．在的展开式中，求：()第项的二项式系数及系数；()含的项．【解】()第项的二项式系数为＝，又＝()＝·，所以第项的系数为＝.()＋＝()－＝(－)－－，令－＝，得＝.所以含的项为第项，且＝－.．若＋＋…＋能被整除，则，的值可能为( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝【解析】＋＋…＋＝(＋)－，分别将选项，，，代入检验知，仅适合．【答案】．已知二项式的展开式中第项为常数项，则＋(－)＋(－)＋…＋(－)中项的系数为( )．－．。
（完整版）二项式定理单元测试题
（完整版）二项式定理单元测试题二项式定理单元测试题（人教B 选修2-3）一、选择题1．设二项式?33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2.?x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：∵T r ＋1＝C n r (x 2)n －r －1x r ＝(－1)r C n r x 2n －3r ，又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C n r ＝15，∴n ＝6.故选D. 答案： D3．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4 解析： (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 的系数是－10＋12＝2.答案： C4．在?x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.38解析：该二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r x 26－r ·－2x r＝(－1)r C 6r ·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1. ∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7 B ．0 C ．－1D ．－2解析：原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)．答案： A6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 00410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式T r＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·x r2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析： T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a )r x －2r ＝C 6r (－a )r x 6－3r ，∴令r ＝2得x －a x 26的常数项为C 62a ，∴令C 62a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知?x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2C n 1·12＝1＋C n 2·122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·? ??－124x r ＝－12r ·C 8rx 8－r 2·x r 4＝(－1)r C 8r 2r ·x 16－3r 4(0≤r ≤8，r ∈Z )(1)若T r ＋1是常数项，则16－3r 4＝0，即16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项； (2)若T r ＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C m 1·2x ＋C n 1·4x ＝(2C m 1＋4C n 1)x ，∴2C m 1＋4C n 1＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为 t ＝C m 222＋C n 242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 ＝16?n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272，此时n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C 11r x 11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 115x 6y 5， T 7＝C 116x 5y 6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： T 6＝－C 115x 6y 5，T 7＝C 116x 5y 6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 116x 5y 6； (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 115x 6y 5；(6)二项式系数的和为C 110＋C 111＋C 112＋…＋C 1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.。
数学高一-(试题1)1.5二项式定理水平测试
1.5二项式定理水平测试一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知n 为等差数列－4，－2,0，…中的第8项，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x n 展开式中常数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项2．若(x ＋1x)n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．1203．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项5．若C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝56．若(1－2x)2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( ) A ．2 B ．0C ．－1D ．－2二、填空题(每小题6分，共18分)7． (x y －y x)4的展开式中x 3y 3的系数为________． 8．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．9.已知(xcos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，则cos θ＝______________.三、解答题(共46分)10．(15分)已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．11．(15分)已知⎝⎛⎭⎪⎫441x ＋3x 2n 展开式中的倒数第三项的二项式系数为45. (1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．12．(16分)已知f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋2x)n(m ，n∈N ＋)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数的最小值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x 的奇次幂项的系数之和．参考答案：1、【解析】 由前几项可得通项为a m ＝2m －6，a 8＝2×8－6＝10，T r ＋1＝C 10r x 20－2r ·2r x －r 2＝2r C 10r x20－52r ， 令20－52r ＝0，得r ＝8. 故为8＋1＝9项，故选C.【答案】 C2、【解析】 ∵2n ＝64，∴n＝6，∴T k ＋1＝C 6k x 6－k (1x)k ＝C 6k x 6－2k ， ∴当k ＝3时，T 4为常数项，∴T 4＝C 63＝20.【答案】 B3、【解析】 方法一：(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的一次项为： C 60·C 42(x)2＋C 62(－x)2·C 40＋C 61(－x )·C 41(x)＝6x ＋15x －24x ＝－3x ，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是－3.方法二：由于(1－x)6(1＋x)4＝(1－x)4(1－x)2的展开式中x 的一次项为： C 41(－x)·C 20＋C 40·C 22(－x)2＝－4x ＋x ＝－3x ，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是－3.【答案】 B 4、【解析】 T r ＋1＝C 24r (x)r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 24－r ＝C 24r ·x r 2·x－24－r 3＝C 24r ·x r 2－24－r 3 ＝C 24r ·x 5r －486， ∴r＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，故选C.【答案】 C5、【解析】 由C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x)n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．【答案】 C6、【解析】 (1－2x)2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122009＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1. 【答案】 C7、【解析】 (x y －y x)4的展开式的通项为C 4r x 4－r y2－r 2·(－1)r y r x r 2＝(－1)r C 4r x4－r 2y2＋r 2. 令⎩⎪⎨⎪⎧4－r 2＝3，2＋r 2＝3，得r ＝2. 故展开式中x 3y 3的系数为C 42＝6. 【答案】 6 8、【解析】 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5， 则T r ＋1＝C 5r ·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3r ＝C 5r ·x 10－5r ， 令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项T 3＝10.【答案】 5 109、【解析】 (xcos θ＋1)5＝(1＋xcos θ)5，展开式中x 2的系数为C 52cos 2θ. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋x 4，展开式中x 3的系数为54C 43. 由题意可知C 52cos 2θ＝54C 43，∴cos 2θ＝12，∴cos θ＝±22. 【答案】 ±2210、【解析】 由(165x 2＋1x)5得， T r ＋1＝C 5r (165x 2)5－r (1x)r ＝(165)5－r ·C 5r ·x 20－5r 2. 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，∴r＝4，∴常数项T 5＝C 54×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3， ∴C 42a 4＝54，∴a＝± 3.11、【解析】 (1)由已知得C nn －2＝45，即C n 2＝45， ∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10，由通项公式得T r ＋1＝C 10r ⎝⎛⎭⎪⎫4·x－1410－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23r . ＝C 10r ·410－r ·x－10－r 4＋23r. 令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6， ∴含有x 3的项是T 7＝C 106·44·x 3＝53 760x 3.(2)∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 105⎝⎛⎭⎪⎫4x －145⎝ ⎛⎭⎪⎫x 235＝258 048x 2512. 12、【解析】 (1)由已知C m 1＋2C n 1＝11，∴m＋2n ＝11，x 2的系数为C m 2＋22C n 2＝m(m －1)2＋2n(n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m)⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. ∵m∈N ＋，∴m＝5时，x 2的系数取最小值22， 此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.。
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2015·广东高考)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．
【解析】 T r＋1＝C·()4－r·(－1)r.
令r＝2，则C(－1)2＝6.
【答案】 6
2.16的二项展开式中第4项是________．
【解析】 展开式的通项公式为T r＋1＝C·x16－r·r＝(－1)r·C·x16－2r.
所以第4项为T4＝(－1)3C·x10＝－C x10.
【答案】 －C x10
3．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)
【导学号：29440025】【解析】 展开式中x7的系数为C a3＝15，即a3＝，解得a＝.
【答案】
4．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，含有x项的系数为________．
【解析】 C＋C＋C＝3＋3＋1＝7.
【答案】 7
5．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
【解析】 T r＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－r x n－r，当T r＋1是常数项时，n－r＝0，当r
＝2，n＝5时成立．
【答案】 5
6．在(1＋x)6·(1－x)4的展开式中，x3的系数是________．
【解析】 (1＋x)6·(1－x)4＝(1＋x)2·(1＋x)4·(1－x)4＝(1＋2x＋x2)(1－x2)4.
∴x3的系数为2·C·(－1)＝－8.
【答案】 －8
7．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为T r＋1＝C x8－rr＝C x8－2r，令8－2r＝－2，解得r＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.
【答案】 56
8．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
【解析】 对于T r＋1＝C x6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
【答案】 2
二、解答题
9．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
【解】 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·C x，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)T k＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－k C x3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．
【解】 (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18，
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为
t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.
∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
＝16n2－148n＋612
＝16，
∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*，
∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.
[能力提升]
1．8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
【解析】 8的通项T r＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)r C x16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.
【答案】 －56
2.3展开式中的常数项是________．
【解析】 3＝，
在(1－|x|)6中，|x|3的系数A＝C(－1)3＝－20.
即所求展开式中常数项是－20.
【答案】 －20
3．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.
【导学号：29440026】
【解析】 T r＋1＝C(ax2)6－r·r＝C a6－r·b r x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所
以C a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.
【答案】 2
4．已知n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．
【解】 ∵T r＋1＝C·x·2r·x－＝C·2r·x，
据题意，C＋C·2＋C·22＝129，解得n＝8，
∴T r＋1＝C·2r·x，且0≤r≤8.
由于＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．
又＝4－，∴当r＝0或r＝6时，∈Z，
即展开式中存在有理项，它们是：
T1＝x4，T7＝26·C·x－1＝.。