高中数学人教a版高二选修2-3_第一章_计数原理_1.2-1.2.2-第1课时学业分层测评_word版有答案
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学人教A版高二选修2-3教学案：1.2.2_第一课时_组合与组合数公式_Word版含解析
1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：m C m n＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n 进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________．解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0．解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！．即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。
人教版A版高中数学选修2-3课后习题解答
第一章 计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习（P6） 1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6. 2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异， 所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12） 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）. 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）. 3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）. 对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）. 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A 中选横坐标，有6个选择；第二步，从A 中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）. （2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）.习题1.1 B 组（P13） 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）. 2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合 练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=； （2）777!5040A ==； （3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25） 1、（1）甲、乙， 甲、丙， 甲、丁， 乙、丙， 乙、丁， 丙、丁；（2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯； （2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯；（3）3276351520C C -=-=； （4）328532356210148C C -=⨯-⨯=. 6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m m n n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27） 1、（1）325454560412348A A +=⨯+⨯=； （2）12344444412242464A A A A +++=+++=.2、（1）315455C =； （2）19732002001313400C C ==； （3）346827C C ÷=； （4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n n n A A n A A nA n A +-+--=+-==；（2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）. 8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n . 9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）.10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3) 2n n nC n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便.11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234 444415C C C C+++=（种）.12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C=；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C=.13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C=. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A=；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A中取，有m种取法；第二步，从集合B中取，有n种取法. 所以共有取法mn 种.说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C⋅⋅=.15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C⋅=；（2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C=（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C-=；如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C++=；（4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C--=.也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231 545454120C C C C C C++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =； （2）142198124234110C C ⋅=； （3）51982410141734C =； （4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词.习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<， 用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）. 4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=.5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法； 解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理 练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=.3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nn C ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111*********C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122kn n nn n n n C C C C C ++++++=， 0213n n n n C C C C ++=++∴012knn n n n nC C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n nnnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn n n n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nnn n n n C C C C ++++. 2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++2369a b （）27311357752222222172135701682241281283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x +=++； （2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+.4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -； （2）91482099520T a b =-； （3）7924T =；（4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-； （2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n r n nT C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!nn nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ，由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除； （2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯ 1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章 复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法. （2）3276525C C ⋅=；（3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=；说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置.（4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答.（6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=.（7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=；说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =.说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求. 3、（1）3856C =； （2）1234555530C C C C +++=.4、468898C C +=. 说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=； 说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同.6、（1）59764446024C =； （2）23397442320C C ⋅=； （3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=.7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=.说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列.8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--.（2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和. 444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =-- 3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=.9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章 复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =； （2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=；说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B可以相同，所以是“有重复排列”问题.（4）2426106500000A ⨯=； （5）481258C -=； 说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中， 排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -=（6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=.解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=.3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--； （2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8m n l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法. 根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）.5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=， 上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n C C +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数. 解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C C C C +++++++=-= 第二章 随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值.2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量.练习（P49）1说明：这是一个两点分布的例子，投中看作试验成功，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便. 2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正 1(2)({})0.25P X P ====正正 因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为 5448552()i i C C P X i C -==，i =0，1，2，3，4. 因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A 组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X ，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X ＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X ＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X ＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X ＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X ＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X ＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义 12345X ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X 是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X ＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X ＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X ＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X ＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X ＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km 所用时间X 不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4minY >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间 它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}.4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即 （1）0i p ≥，1,2,,i n =； （2）11ni i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率.6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为 2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯. 说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型.习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的 篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列为即（2112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为 7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000.2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义. 练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯= （2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为 ()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯= （3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，利用概率的性质得到()()()P A P AB P AB =+所以()()()P AB P A P AB =-.又因为事件A 与B 相互独立.故 ()()()()()(1())()()P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=..类似可证明A 与B ，A 与B .。
高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第一课时 Word版含解析
1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修23
第1课时 组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一 组合的定义思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理 一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 知识点二 组合数与组合数公式 组合数及组合数公式 组合数定义及表示从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示.组合数公式乘积形式 C mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！阶乘形式 C mn ＝n ！m ！(n －m )！性质 C mn ＝C n －mnC m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 备注 规定C 0n ＝11．从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C 23.( × ) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( √ ) 3．C 35＝5×4×3＝60.( × ) 4．C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( √ )类型一组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C 410－C 37·A 33； 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ， 左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质： 性质1：C mn ＝C n －mn ； 性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．11．不等式C 2n －n <5的解集为________． 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 {2,3,4} 解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0， 解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4， 故原不等式的解集为{2,3,4}． 三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14， 要求C 12n 的值，故n ≥12， 所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高三数学a版教材教材分析课件人教版选修2-3
四、对教学的几个建议
1．准确把握教学要求 • 与“大纲”比较，“课标”不要求掌握
“组合数的两个性质”(组合数恒等式题用 二项式证)。 • “课标”对本章内容的定位是:用计数原理、 排列与组合概念解决“简单的实际问题”。 所以，教学中一定要把握好这种定位，避免 在技巧和难度上做文章(排列组合的求值化 简证明题难度要控制,要重点做应用题)。
(如第10页.教材更实际实用了贴近高考要求) 5.组合数性质要求有变化 . 6.文科不学本章内容.
计数原理的课程设置意图
必修3概率 计数原理 选修2-3概率
1.必修3强调概率思想，避免复杂的组合计 算干扰学生对概率思想的领悟
2.本章为进一步研究概率做准备 3.本章学习,提供思想和工具
计数问题是数学中的重要研究对象之一， 计数原理为解决很多实际问题提供思想和 工具(分类分步思想不仅仅是解计数问题)
本章内容涉及分类、化归、从特殊到 一般、多元联系表示等众多数学思想方 法。 3．强调对基本概念的本质的理解。
4．加强用两个计数原理解决问题的基本 思想方法
案例1：二项式定理的 猜想与证明 过程
（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出 n =2，3，4的展开式的问题；
（2）详细写出用多项式乘法法则得到n=2展开式的 过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行 分析，概括出项数以及项的形式；
二、课时安排及说明
1．本章有三节内容，共14课时
具体分配如下（供参考）：
1．1 两个计数原理
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学业分层测评
（建议用时：45分钟）
［学业达标］
一、选择题
1 •以下四个命题，属于组合问题的是（）
A •从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B •老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C .在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D .从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
【答案】 C
2. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直 线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为
（ ）
A . 4
B . 8
C . 28
D . 64 【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题.故共需要建 C 8 = 28条公路.
【答案】 C
3.
组合数 c n （n>r > 1，n , r € N ）恒等于（ ）
【答案】 D
4 .满足方程Cx 2 —X 16= C 6—
5的x 值为（） C . 1,3,5 D . 3,5
【解析】
依题意，有 x — x = 5x — 5 或 x 2 — x + 5x — 5= 16，解得 x = 1 或 x = 5; x = — 7 或
A . 1,3,5，— 7
B . 1,3 A. r + 1 r — 1 B . (n + 1)(r + 1)c n —
C . n rC n —11 n r —1
D F —1
【解析】 ?C n —1
n (n — 1)! r 'r —
1 ! n — r ! n !
x= 3，经检验知，只有x= 1或x= 3符合题意.
【答案】B
5 •异面直线a , b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（
） A . 20
B . 9
C . C 3
D . c 4c !+ c 5c ：
【解析】 分两类：第1类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 1 个平面；第2类, 在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 5个平面.故可确定c 4 + C 5= 9个不同的平面.
【答案】 B
二、 填空题
6. ___________________________________ c 0+ c ：+ c i +…+ c 28的值等于 .
【解析】 原式=c 4+ c ：+c 5 + …+ c 21= c 5+ c f + …+ c 18= c ]1+c 18= c 〔8=c ii =7 315.
【答案】 7 315
7. 设集合A = {a i ，a i ，a 3, a 4, a s }，则集合A 中含有3个元素的子集共有 ____________ .
【解析】 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 3二10个子 集.
【答案】 10
8. 10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为 __________ .（用数 字作答）
【解析】 从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有 c 1o = 210种分法.
【答案】 210
三、 解答题
9. 从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以 得到多少个不同的这样的最小三位数？
【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个 元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有 C 3二今二20个.
3 X 2 X 1
1
1 7 10. （1）求式子CI -&二荷中的X ； ⑵解不等式C 旷1>3C m .
23x + 42_ 0，
••• x _21（舍去）或x _2,即x _2为原方程的解. ［解］ （1）原式可化为: x ! (5 — x ! x ! (6 — x)! _ 7 x! (7 — x)! 5! — 6! _ 10 7! 2 ，■/ 0<x <5，二 x
又二 0< m — 1 <8,且 O w m <8, m € N ,
即 7< m <8,二 m = 7 或 8.
［能力提升］
1 •已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内 的交点有（ ）
A . 36 个
B . 72个
C . 63 个
D . 126个 【解析】 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数 即为所求，所以交点为C 9= 126个.
【答案】 D
2. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各 1 台, 则不同的取法共有（ ）【导学号：97270017】
A . 140 种
B . 84种
C . 70 种
D . 35 种
【解析】 可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 2C L 4X 10= 40（种）取法，第 二类，甲型2台、乙型1台，有C 2 3 C s = 6X 5= 30（种）取法，共有70种不同的取法.
【答案】 C
3. 对所有满足1 < m<n W 5的自然数m , n ,方程x 2 + C j y 2= 1所表示的不同椭圆的个数为
4.证明：C m =n —m cm -1.
_n m n n —1 ! n — m n —
1 n — mm ! n — 1 — m ! n !
【解析】 T 1 w m<n < 5,所以 可以是 c ], C 3, c i , c 4, c 4, c 4, C 5, C 5, C 5, C 4, 其中 C 3 = C 3 , C 4= C 4 , C 5= C 5, C 5 = C 5, •方程x 2 + c m y 2= 1能表示的不同椭圆有6个.
【答案】 6 1 3 > 9- m m' 27
~4
【证明】
m ! n — m !
c m 8
! 3X 8!
⑵由 ••• m>27 — 3m ,。