新编高中数学人教A版必修一 学业分层测评(一) 含答案

新编人教版精品教学资料

学业分层测评(一) 集合的含义

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列对象能构成集合的是()

①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2015年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤

C．③④⑤D．②③④

【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．

【答案】 D

2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.

【答案】 D

3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a∉N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.

其中正确命题的个数是()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

【解析】因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小

值是0，而不是2，所以③错．

【答案】 A

4．下列正确的命题的个数有( )

①1∈N ；②2∈N *；③12∈Q ；④2＋2∉R ；⑤42∉Z .

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确；∵2不是正整数，∴2∉N *，故②不正确；

∵12是有理数，∴12∈Q ，故③正确；∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴42∈Z ，故⑤不正确．

【答案】 B

5．给出下列说法，其中正确的个数为( )

(1)由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，12

这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素；

(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【解析】 (1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集

合中的任意两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－12与12相同，故这些数组成的集合只有3个元素．

(2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．

(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．

【答案】 B

二、填空题

6．由m －1,3m ，m 2－1组成的三元素集合中含有－1，则m 的值是________. 【导学号：97030003】

【解析】 当m ＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元

素，不合题意；当m ＝－13时，三个数分别为－43，－1，－89，符合题意，即m 只

能取－13.

【答案】 －13

7．设集合A 是由1，k 2为元素组成的集合，则实数k 的取值范围是________．

【解析】 ∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的性质可知k 2≠1，解得k ≠±1.

【答案】 k ≠±1

8．由实数t ，|t |，t 2，－t ，t 3所构成的集合M 中最多含有________个元素．

【解析】 由于|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素． 当t ＝－2时，t ，－t ，t 2，t 3互不相同，此时集合M 中元素最多，为4个．

【答案】 4

三、解答题

9．设非空数集A 满足以下条件：若a ∈A ，则

11－a

∈A ，且1∉A . (1)若2∈A ，你还能求出A 中哪些元素？

(2)“3∈A ”和“4∈A ”能否同时成立？

【解】 (1)若2∈A ，则1

1－2＝－1∈A ，于是11－(－1)＝12∈A ，而11－12＝2. 所以集合A 中还有－1，12这两个元素．

(2)若“3∈A ”和“4∈A ”能同时成立，则1

1－a ＝3且1

1－a ＝4，由1

1－a ＝3解得

a ＝23，由11－a

＝4解得a ＝34，矛盾，所以“3∈A ”和“4∈A ”不能同时成立． 10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 【导学号：97030004】

【解】 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；

当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；

当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

[能力提升]

1．集合A 含有两个元素a －3和2a －1，则实数a 的取值范围是________．

【解析】 由集合中元素的互异性，可得a －3≠2a －1，所以a ≠－2.即实数a 的取值范围为a ≠－2.

【答案】 a ≠－2

2．设P 、Q 是两个数集，P 中含有0,2两个元素，Q 中含有1,2两个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是________．

【解析】 由于a ∈P ，a ＝0或2，b ∈Q ，b ＝1或2，因此a ＋b 的值为1,2,3,4，共4个．

【答案】 4

3．集合A 中的元素y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为________．

【解析】 依题意A ＝{y ∈N |y ＝－x 2＋1}＝{y ∈N |y ≤1}＝{0,1}．

又t ∈A ，∴t ＝0或1.

【答案】 0或1

4．若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断32－9是否是集合A 中的元素．