第二章 随机变量及其分布

连续型 r.v.的分布函数 的分布函数
是连续型r.v.， ～ 若 X 是连续型 ， X～ f (x) , 则 F(x) = P(X ≤x) =
∫
x
−∞
f (t)dt
即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分. 定积分 由上式可得， 的连续点， 由上式可得，在 f (x)的连续点， 的连续点
dF(x) = f (x) dx
第三节 连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 连续型随机变量 所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 一个区间 对这种类型的随机变量 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 象离散型随机变量那样 值概率的方式, 去给出其概率分布, 值概率的方式 去给出其概率分布 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 通过给出所谓“概率密度函数”的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法. 的描述方法
（II) 二项分布 每次试验成功的概率都是p 这样的 次 每次试验成功的概率都是p，这样的n次 独立重复试验称作n重贝努里试验， 独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝 努里试验或贝努里概型. 努里试验或贝努里概型. 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示n重贝努里试验中事件 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件 如地震、火山爆发、 稀有事件. 件称作稀有事件 如地震、火山爆发、特大 洪水、 洪水、意外事故等等
由泊松定理， 重贝努里试验中 重贝努里试验中稀有事件 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布. 出现的次数近似地服从泊松分布
f (x)
o
x
要注意的是， 在某点处a 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 在某点处 的高度，并不反映X取值的概率 但是， 取值的概率. 的高度，并不反映 取值的概率 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 个高度越大， 取 附近的值的概率就越 也可以说， 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度. 映了概率集中在该点附近的程度
x→ −∞
lim F(x) = 0 ,
x→ −∞
limF(x) = 1 .
x→ ∞
F ) 记lim F(x)为 (−∞
即
F 记limF(x)为 (∞)
x→ ∞
F(−∞ = 0 ) ,
F(∞ =1 ) .
离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X 设离散型随机变量X的分布律为 k=1,2,…, pk:= P{X=xk} , k=1,2, , X的分布函数
若不计高阶无穷小， 若不计高阶无穷小，有：
P{x < X ≤ x + ∆x}= f (x)∆x
它表示随机变量 X 取值于 (x, x + ∆x] 的 概率近似等于 f (x)∆x. 在连续型r.v理论中所起的作用与 f (x)∆x 在连续型 理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 P(X = xk ) = pk 在离散型 理论中所起的 作用相类似. 作用相类似
二、随机变量的分布函数
设X(ω)是一个随机变量. X(ω 是一个随机变量. P{X≤x},称函数 F(x):= P{X≤x},-∞<x<∞ 为随机变量X的分布函数. 为随机变量X的分布函数.
定义
分布函数的性质
（1）∀a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) 总有F(a)≤F(b)(单调非减性 F(x)是一个右连续的函数 （2）F(x)是一个右连续的函数 总有0≤F(x)≤1(有界性), 0≤F(x)≤1(有界性),且 （3） ∀x∈R1 ,总有0≤F(x)≤1(有界性),且
定义1 定义 ： 设 xk(k=1,2, …)是离散型随 是离散型随 机变量X所取的一切可能值 所取的一切可能值， 机变量 所取的一切可能值，称 为离散型随机变量X的概率分布或分布 为离散型随机变量 的概率分布或分布 有的书上也称概率函数. 律，有的书上也称概率函数 满足： 其中 p (k=1,2, …) 满足： k , k=1,2, … （1） p ≥ 0 ） k
第二章 随机变量
应用数理学院
第一节 随机变量
一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数 在实际问题中， 量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 量来表示，由此就产生了随机变量的概念
1、有些试验结果本身与数值有关（本身 、有些试验结果本身与数值有关（ 就是一个数） 就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从郑州下火车的人数； 每天从郑州下火车的人数； 昆虫的产卵数； 昆虫的产卵数；
P X=k)= p (1− p) , k = 0,1 ⋯ n ( C , ,
k n k
n−k
服从参数为n和 的二项分布 的二项分布， 称r.v.X服从参数为 和p的二项分布，记作 r.v. 服从参数为 X~B(n,p)
注: 贝努里概型对试验结果没有等可能 的要求，但有下述要求： 的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； ）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果 或 A， ）每次试验只考虑两个互逆结果A或 P 且P(A)=p ， (A) =1− p； （3）各次试验相互独立. ）各次试验相互独立. 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 二项分布描述的是 重贝努里试验中出现 成功”次数X的概率分布 的概率分布. “成功”次数 的概率分布
三、常见的连续型随机变量
正态分布、均匀分布、指数分布 正态分布、均匀分布、
（I）正态分布 ）
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 广泛的一种连续型分布 德莫佛（ Moivre)最早 德莫佛（De Moivre)最早 发现了二项分布的一个近似公 这一公式被认为是正态分 式，这一公式被认为是正态分 布的首次露面. 布的首次露面 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广， (Gauss)加以推广 高斯(Gauss)加以推广，所以通 常称为高斯分布. 常称为高斯分布.
概率密度函数的性质
1o 2o
∫
∞
f (x) ≥ 0
−∞
f (x)dx =1
f (x)
这两条性质是判定一个 是否为某r.vX的 函数 f(x)是否为某 是否为某 的 概率密度函数的充要条件. 概率密度函数的充要条件
面积为1 面积为
o
x
对 f(x)的进一步理解 的进一步理解 的连续点， 若x是 f(x)的连续点，则： x+∆x 是 的连续点 f (t)dt P(x < X ≤ x + ∆x) ∫x = lim lim 0 ∆x→ ∆x→ 0 ∆x ∆x =f(x) 这一点的值， 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 的密度 X落在区间 (x, x + ∆x] x 落在区间 上的概率与区间长度 ∆ 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， 之比的极限 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度 相当于线密度. 相当于线密度
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布
P X=xk )=pk, k =1 2,⋯ ( , k=1,2,… …
1 （2）∑pk= ）
k
(
二、常见的离散型随机变量的概率分布 (I) 两点分布 来源 设E是一个只有两种可能结果的 随机试验, Ω={ω 表示其样本空间. 随机试验,用Ω={ω1, ω2}表示其样本空间. P({ω P({ω })=1P({ω1})=p , P({ω2})=1-p X(ω)= 1, 变量
连续型随机变量
这两种类型的随机变量因为都是随机变 自然有很多相同或相似之处； 量，自然有很多相同或相似之处；但因其取 值方式不同，又有其各自的特点. 值方式不同，又有其各自的特点 学习时请注意它们各自的特点和描述方法. 学习时请注意它们各自的特点和描述方法
第二节 离散型随机变量
(III) 泊松分布
泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为 设随机变量 所有可能取的值为0 , 1 , 所有可能取的值为 2 , … , 且概率分布为： 且概率分布为：
p(k;λ) = P X = k}=e : {
−λ
λ
k
k!
, k=0,12,⋯ , , ⋯
>0 是常数,则称 其中 λ 是常数 则称 X 服从参数为 的 λ 泊松分布,记作 记作X~P(λ ). 泊松分布 记作
是一个离散型随机变量， 设X是一个离散型随机变量，它可能取 是一个离散型随机变量 的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ，我们不仅需 要知道随机变量X的取值 的取值， 要知道随机变量 的取值，而且还应知道 X取每个值的概率 取每个值的概率. 取每个值的概率
一、离散型随机变量概率分布的定义
∴ (x) = ∑ {X = xk } = ∑p F P k
xk ≤x xk ≤x
{ F(x) = P X ≤ x = P ∪ X = xk } { } x ≤x k
分布函数F(x)是一个右连续的函数, 分布函数F(x)是一个右连续的函数,在 F(x)是一个右连续的函数 (k=1,2…) },如下 x=xk(k=1,2 )处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下 2.2.1)所示 图(图2.2.1)所示
德莫佛
(1) 正态分布的定义 若r.v. X 的概率密度为
( x−µ)2 − 2σ2
1 f (x) = e , −∞< x < ∞ σ 2π 都是常数， 任意， 其中 µ 和 σ 都是常数，µ 任意，σ>0， ， 则称X服从参数为 的正态分布. 则称 服从参数为 µ和 σ的正态分布
一、连续型r.v.及其概率密度函数的定义 连续型 及其概率密度函数的定义 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数 如果存在非负可积函数 f(x) , x∈(−∞+∞) ,使得对任意 a≤ b , 有 , 使得对任意