武汉大学2001-2014高数B2试题编选

∫
AB
∩
− ydx + xdy = ∫ f 2 (θ )dθ
α
β
九、 （7 分）求幂级数
n2 n x 的收敛区间及和函数。 ∑ n =1 n!
∞
2002～2003 学年第二学期 《高等数学》 期末考试试题 A 卷 （180 学时） 专业班级
一、填空题（每小题 4 分） 1、 u = ln( x + 数为
( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)
，
其在点 (0, 0) 处是否连续？是否偏导
∫
L
− y 2 dx + x 2 dy ，其中 L 是曲线 y = x(1 − x) 上从点 (0, 0) 到点 (1, 0) 的
∫∫
0
2
1
−1
y − x 2 dxdy 。
5 ． 设 Ω = {( x, y, z ) : 0 ≤ x + y ≤ 1,
一、 填空题（每小题 4 分） 1． 函数 f ( x, y ) = e cos y 在点 P0 (0, 0) 沿方向 S0 = ( ,
x
学号_______________ 姓名
G
1 3 ) 的方向导数为 2 2
。
2 ．
设 L 是 以 O (0, 0), A(1, 0), B (0,1) 为 顶 点 的 三 角 形 的 边 界 , 则
2 2
七、 （10 分）计算
∩
∫∫ z
Σ
2
ds ，其中 Σ 是柱面 x 2 + y 2 = 4 介于 0≤z≤6 的部分。
八、 （12 分）设 AB 在极坐标系下的方程为 r = f (θ ) ，其中 f (θ ) 是[0，2 π ]上具有连续导 数的正值函数，且 θ = α 对应点 A， θ =
β 对应点 B（ 0 < α < β < 2π ) 。试证明：
x
学号_______________ 姓名
y 2 + z 2 ) 在点 A（1，0，1）处沿点 A 指向 B（3，-2，2）方向的方向导
。 。
2、方程 y ′′ − y = e 的特解形式 3、设 D = ( x, y ) | x + y ≤
2 2
{
ρ 2 }， f 为为连续函数，则
。
lim
ρ →0
3 3
s
3
dxdy ，其中 S 是空间立体
Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 Rz , x 2 + y 2 ≤ 3z 2 的整个表面外侧。
六、 （12 分） 试确定可微函数 ϕ ( x) （已知 ϕ (1) =0） ， 使曲线积分 I = [ x − ϕ ( x)]
L
∫
y dx + ϕ ( x)dy x
∫e
L
x+ y
( ydx + xdy ) =
∑n
n=2 ∞
∞
2
1 的和等于 −1
n
。
5、若
∑a
n =1
收敛， S n = a1 + a 2 + " + a n ，则 lim( S n +1 + S n −1 − 2 S n ) =
n→∞
。
二、试解下列各题（每小题 5 分） 1、设 a = i + j , b = −2 j + k ，求以向量 a ， b 为边的平行四边形的对角线的长度。 2、设 u = sec(2 y − xyz ) ，求 u x ， u y ， u z 。 三、 （10 分）计算
G
G
G
G
G
G
G
G
∫∫ x( y − z )dydz + ( x − y)dxdy ，其中 Σ 是曲线 z = y
Σ
2
(0 ≤ z ≤ 3)
绕 Z 轴旋转一周而成，且从 Z 轴正向看的下侧。
⎧ x = e u +v ⎪ ∂2z u −v 四、 （10 分）设函数 z ( x, y ) 由方程组 ⎨ y = e ， （u,v 为参数）所确定，求 2 ∂x ⎪ z = uv ⎩
s
2
+ y 2 )ds 。
三、 （10 分）设 z = f (e sin y, y ) ， f 有二阶连续偏导数，求
x
∂2z ∂2z ， 。 ∂x 2 ∂x∂y
四、 （8 分）求曲面 xy − z + 1 = 0 上离原点最近的点。
2
五、 （10 分）计算
∫∫ x dydz + y dxdz + z
2 2
x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1} ， 计 算 三 重 积 分
∫∫∫ x dxF ( x +
∂z ∂z z z , y + ) = 0 确定了隐函数 z = z ( x, y ) ，求 x + y 。 （9 分） ∂x ∂y y x
四、在曲面 a x + b y + c z = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) 上做切平面，使得切平面与三坐 标平面所围成的体积最大，求切点的坐标。 （9 分）
学号_______________ 姓名
⎧x 2 − y 2 + z 2 = 0 ⎩x = 2
。
在点（2，3， 5 ）处的切线与 Z 轴正向所成的倾角
2、设 f ( x, y ) 是连续函数，改变
∫
0
−1
dx ∫
1− x 2
x +1
f ( x, y )dy 的积分次序
。
3、L 是从 A（1，6）沿 xy =6 至点 B（3，2）的曲线段，则 。 4、
⎧ x2 − y2 ⎪ xy 七、设函数 f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩
( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)
证明： f xy (0, 0) ≠ f yx (0, 0) 。 （7 分）
2003～2004 学年第二学期 《高等数学》 期末考试试题 A 卷 （180 学时） 专业班级
∫∫ f ( x − y)dxdy = ∫
D
A
−A
f (t )( A− | t |)dt ，其中 A 为正常数。D：
| x |≤
A A , | y |≤ 。 （8 分） 2 2
2001～2002 学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180 学时） 专业班级
一、填空题（每小题 4 分） 1、曲线 ⎨ 为
五、 （10 分）计算
。
x =1 y =1
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 2 dxdy ，其中区域 D 为 x 2 + y 2 ≤ 3 。
六、 （11 分）有一母线平行于 Z 轴的三棱柱，它的底是 xoy 面上以 A(1,0),B(1,0),C(-1,0) 为顶点的三角形， 试求此三棱柱介于平面 z=0 与旋转面 z = x + y 之间的那部分体积。
二、计算下列各题（每小题 7 分） １、 求微分方程 ( 2 x − xy )dx + (3 y − x y )dy = 0 满足 y ( 2) = 1 的特解函数。
2 2
⎧ sin 2( x + y ) ⎪ ２、 讨论函数 f ( x, y ) = ⎨ x+ y ⎪ 2 ⎩
３、 ４、 ５、 交换
x+ y ≠0 x+ y =0
1
πρ 2
∫∫ f ( x, y)dxdy =
D
4、设周期为 2 的函数 f ( x) 在[-1，1]上的表达式为 f ( x) =| x |，它的傅里叶级数的和函 数为 s ( x) ，则 s (−5) =
2 2
。
2
5、曲面 F ( x, y, z ) = 4 x + 4 z − 17 y + 2 y − 1 = 0 ，在点 M（2，1，0）处的切平面方 程为 。
∫ ( x + y)ds =
L
。
3． 二重极限
x2 + y2 = ( x , y )→( ∞ ,∞ ) x 4 + y 4 lim
2 2 3
。
4 ． 曲面 F ( x, y, z ) = x + xy + y + z + 1 = 0 ，在点 M (2, − 3, 4) 处的切平面方程 为 。
5． 设周期为 6 的函数 f ( x) 在 [−3,3] 上的表达式为 f ( x) = ⎨ 的傅里叶级数的和函数为 S ( x) ，则 S (−7) = 。
五、计算
∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy, Σ : x
Σ
2
（10 分） + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0 的上侧。
六、设 f ( x) 为二阶可导函数，且 f ( x ) = sin x +
∫
x
0
( x − t ) f (t )dt ，试求 f ( x) 。 （10 分）
2000～2001 学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180 学时） 专业班级
（8 分） 二、 设幂级数 （8 分） 三、 求曲面 x y + xz = 3 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。 （10 分）
3 2
学号_______________ 姓名
一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根 a，试写出此微分方程及通解。
⎧x +1 ⎩ 0
−3≤ x < 0 , 它 0≤ x<3