武大《高等数学》期末考试试题
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2000~2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题(180学时) 专业班级 学号_______________ 姓名
一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ,试写出此微分方程及通解。
(8分)
二、 设幂级数∑∞=−0
)1(n n n x a
在x =3处发散,在x =1处收敛,试求出此幂级数的收敛半径。(8分) 三、 求曲面323
=+xz y x 在点(1,1,1)处的切平面方程和法线方程 。(10分)
四、 设)(,0x f x >为连续可微函数,且2)1(=f ,对0>x 的任一闭曲线L,有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ,求)(x f 。
(10分) 五、 设曲线L (起点为A ,终点为B )在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤=
r ,其中θ=6π
对应起点A ,3
π
θ=对应终点B ,试计算∫+−L xdy ydx 。(10分) 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z −−=与平面0=z 围成,其中0>a ,Σ为Ω的
表面外侧,且假定Ω的体积V 已知,计算:
∫∫Σ=+−.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。(10分)
七、 函数),(y x z z =由0),(=z y
y x F 所确定,F 具有连续的一阶偏导数,求dz 。
(12分) 八、 计算∫∫∫Ω
+,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。(12分)
九、 已知级数
∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =,试写出该级数,并求其和,且判断级数∑∞=1n n tgU
的敛散性。(12分)
十、 设)(x f 连续,证明∫∫∫−−=−A
A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(,其中A 为正常数。D :2||,2||A y A x ≤≤
。(8分)