高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
工程硕士(GCT)数学-98_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-98(总分100, 做题时间90分钟)一、单项选择1.函数的最大值是．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B当且仅当，即x=±2时等号成立．所以对一切非零的最小值为8，f(x)最大值为．综上，f(x)在(-∞,+∞)上的最大值为．故选B．2.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是。
•**=0•**+b=0•**=b**+b2=0SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 先看必要性，若f(x)是奇函数，则对于x∈R，都有f(-x)=-f(x)即-x|-x+a|+b= -x|x+a|-b，则a=b=0故a2+b2=0，反之，若a2+b2=0，则a=b=0所以f(x)=x|x|，则f(-x)=-x|-x|=-f(x)因此f(x)为奇函数。
故正确答案为D。
3.则n的最小值为。
•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析]故n的最小值为7，故正确答案为A。
4.一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为．•**:2•**:24•**:2**:4SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 圆柱的体积为：π×42×8，圆锥的体积为：，则圆锥和圆柱的体积比为。
故选B。
5.已知f(x)对一切x满足，如f'(x0)=0(x≠0)，则( )．• A. f(x0)是f(x)的极小值• B. f(x0)是f(x)是极大值• C. (x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点• D. f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] f'(x0)=0，x=x为驻点，对当x0＜0时，f"(x)>0；x＞0，f"(x)＞0．故f(x)为f(x)的极小值，故选(A)．6.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D7.在Rt△ABC中，∠C为直角，则cosB= ．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D∠C为直角且，则∠A=45°，从而∠B=45°，有选(D)．8.在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则等于。
中南大学高等工程数学试题及参考答案.docx
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
高等工程数学考试部分答案1
工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。
解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。
解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题081数值分析部分
数值分析（计算方法）部分一． （8分）求一个次数不高于3的多项式)(x f ，使它满足：,3)1(,4)0(==f f0)1(,8)2(/==f f ，并求差商]3,1,1,3[--f 的值。
解：先用f(0)=4,f(1)=3,f(2)=8求N 2(x) 商差表：0 413-12 8 5 3∴ N 2(x)=4+(-1)(x-0)+3(x-0)(x-1)=4-4x+3x 2∵ f(x)次数≤3∴ 可设f(x)= N 2(x)+k(x-0)(x-1)(x-2)（k 为待定常数）f(x)=4-4x+3x 2+k(x 3-3x 2+2x) ∴ f ’(x)=6x-4+k(3x 2-6x+2)f ’(1)=6-4+k(3-6+2)=2-k=0 ∴ k=2∴ f(x)= 4-4x+3x 2+2(x 3-3x 2+2x)=2x 3-3x 2+4∴ (3)f ()23!f[3,1,1,3]23!3!ξ⨯--===二．（10分）用迭代法求解方程：02010223=-++x x x 的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到510-的近似根）。
解：设f(x)=x 3+2x 2+10x-20∵ f ’(x)=3x 2+4x+10=2x 2+(x+2)2+6>0 (x (,)∀∈-∞+∞)∴ f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 ∴ 方程最多有一个实根∵ f(1)=-7<0，f(2)=16>0∴ 方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(1,2) 选用Neuton 迭代法32k k k k k 1k k 2k k k f (x )x 2x 10x 20x x x f '(x )3x 4x 10+++-=-=-++ (k=0,1,2,……) 它在单根x *附近至少平方收敛计算，选取x 0=1.5x 1=1.373626，x 2=1.368815，x 3=1.368808 ∵ |x 3-x 2|=0.000007<10-5∴ 1.36881为精确到10-5的近似根1．用列主元素法解方程组： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13814142210321321x x x 2．写出用Seidel Gauss-迭代法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13741133403312321x x x 的迭代格式，并讨论其收敛性。
高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
工程硕士(GCT)数学-4_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-4(总分100, 做题时间90分钟)单项选择题1.设，则下列结论中错误的是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 当a≤0时，不存在B (B) 当0＜a≤1时，f(x)在x=0处连续但不可导C (C) 当1＜a＜2时，f(x)在x=0处可导但导函数不连续D (D) 当a=2时，f(x)在，x=0处导函数连续该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] a≤0时，不存在，(A)正确；0＜a≤1时，=不存在，故f(x)在x=0处连续但不可导，B正确；1＜a＜2时，．不存在，故f(x)在x=0处可导但导函数不连续，(C)正确；a=2时，f'(0)=不存在，(D)错误，选(D)．2.一辆汽车从甲地出发匀速行驶，本可准时到达乙地，但在距乙地180km处，意外受阻30分钟，因此需每小时增加5km的时速，才能在原定时间到达乙地，则提速后汽车的速度是每小时( )km．SSS_SINGLE_SELA (A) 40B (B) 45C (C) 50D (D) 52该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 设汽车原速度为v，则，解得v=40或v=-45(舍去)，故提速后为v=45，选(B)．3.如图63所示，两个等腰直角三角形叠放在一起，AF长3，AC长12，DE长8，重叠部分(阴影部分)五边形AGHID的面积是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 26B (B) 27C (C) 26.5D (D) 以上均不正确该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] AC=12，所以S△ABC=72；AF=3，DE=DF=8，AD=5，即CD=7，所以；AB=12，AG=3，BG=9，故，从而阴影部分面积是S△ABC -S△BGH=S△CDI=，选(D)．4.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 一条直线B (B) 两条直线C (C) 圆D (D) 椭圆该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] |z-i|=|3+4i||z-i|=5，表示圆心在(0，1)，半径为5的圆，选(C)．5.已知A为n阶方阵，E为n阶单位阵，且(A-E)2=3(A+E)2，给出4个结论(1) A+E可逆；(2) A+2E可逆；(3) A+3E可逆；(4) A+4E可逆，以上结论中正确的有( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 1个B (B) 2个C (C) 3个D (D) 4个该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] (A-E)2=3(A+E)22A2+8A+E=0，有(A+E)(2A+6E)=5E，故A+E可逆；(A+2E)(2A+4E)=7E，故A+2E可逆；(A+3E)(2A+2E)=5E，故A+3E可逆；2A(A+4E)=-E，故A+4E可逆，选(D)．6.已知点A的坐标为(-1，1)，直线z的方程为3x+y=0，那么直线l关于点A的对称直线l'的方程为( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 4x-y+6=0B (B) 4x+y+6=0C (C) x+3y+4=0D (D) 3x+y+4=0该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 显然两直线平行，在l上取点(0，0)，A的对称点是(-2，2)，故直线方程为y-2=-3(x+2)，即3x+y+4=0，选(D)．7.装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共270件，分别用甲，乙，丙库存件数的装配若干机器，那么原来存有甲种部件( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 80B (B) 90C (C) 100D (D) 110该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 设甲、乙、丙存件数分别为x，y，z，则，解得选(C)．8.设，则( )．SSS_SINGLE_SELA (A) A～BB (B) B～CC (C) A～CD (D) 以上均不正确该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 对于矩阵B，当特征值为1时对应的线性无关的特征向量只有(1，0，0)T，故不可对角化，同理矩阵C可对角化，从而A～C，选(C)．9.等差数列{an )中，a5＜0，a6＞0，且a6＞|a5|，Sn是前n项之和，则( )．SSS_SINGLE_SELA(A) S1，S2，S3均小于0，而S4，S5……均大于0B(B) S1，S2……，S5均小于0，而S6，S7……，均大于0C(C) S1，S2……，S9均小于0，而S10，S11均大于0D(D) S1，S2……，S10均小于0，而S11，S12……均大于0该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] ，选(C)．10.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1与F2．设∠F1MF2=120°，则该双曲线的离心率为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 设双曲线方程为，则取M的坐标为(0，b)，而F1的坐标为(c，0)，又∠OMF2=60°，即，所以，选(B)．11.平面中的4个点P1，P2，P3，P4在某个球面上，P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] P1，P2，P3，P4构成一正方形，且该正方形所在圆面的半径为，设球半径为r，则，即，所以球体积为，选(B)．12.直线ax+b+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 锐角三角形B (B) 直角三角形C (C) 钝角三角形D (D) 等边三角形该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 根据直线与圆相切，有，所以a2+b2=c2，选(B)．13.A，B为n阶矩阵，k为自然数，如AB=BA，则称A和B可交换，下面命题错误的是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 若A，B都为对称阵，则A，B可交换B(B) 若A，B可交换，则AB k与BA k可交换C (C) 若A-B与A+B可交换，则A与B可交换D (D) 若A，B互为逆矩阵，则A与B可交换该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] (AB)T=B T A T=BA，选(A)．14.若AB-A-B=E，，则|B|=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 6B (B) 9C (C) -9D (D) 18该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] AB-A-B=E(A-E)B=A+E，由A-E可逆，从而|B|=|(A-E)-1(A+E)|=9，选(B)．15.曲线与直线x=-2，x=2及x轴所围成的平面图形的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] 如图69所示，由于在(-2，2)内是奇函数，所以=，选(A)．16.设Sn =1-2+3-4…+(-1)n-1n，b=1，2，3…，则S17+S33+S50=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 1B (B) 0C (C) 6D (D) -1该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] S17=1-2+3-…+17=9，同理S33=17，S50=-25，所以S17+S33+S50=1，选(A)．17.关于x的不等式|3-x|+|x-2|＜a的解集为空集，则实数a的取值范围是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) a＞1B (B) a≤1C (C) a＜1D (D) a≥1该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 根据图像|3-x|+|x-2|的最小值为1，则a≤1时不等式无解，选(B)．18.某人忘记三位号码锁(每位均有0～9共10个数码)的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 不知道最后一个号码时，前3次错误，第4次正确，故概率为=，选(D)．19.如图62所示，Rt△ABC中，∠C=90°，半圆的圆心O在AB上，AC和BC分别切半圆于E和F，AC=b，BC=a，则的半径为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 连接OC，有S△ABC =S△OAC+S△OBC，即，选(B)．20.齐次线性方程组若存在3阶非零矩阵B，使得AB=0，则( )．SSS_SINGLE_SELA (A) t=-2，且|B|=0B (B) t=-2，且|B|≠0C (C) t=1，且|B|≠0D (D) t=1，且|B|=0该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] ，显然t=1时，B矩阵只要满足r(B)≤2即可，若t≠1需要B=0，选(D)．21.若曲线y=k-x2与在x＞0的某点处相切，则k=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 1B (B) 2C (C) 3D (D) 4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 先求两直线的切线斜率，分别为-2x和，令，即x=1，y=2，所以，两直线过(1，2)点，从而有k=3，选(C)．22.把四封不同的信投入三个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有( )种投法．SSS_SINGLE_SELA (A) 12B (B) 21C (C) 36D (D) 42该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 有个信箱至少要投两封信，所以答案为，选(C)．23.设，当x→0时，与f(x)等价的无穷小量是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] ，有k=6，，即，选(D)．24.设函数，则=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) -1B (B) 0C (C) 1D (D) 2该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] ，而-1＜x＜1时f(x)为奇函数，故，又，所以，选(C)．25.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 2B (B) 1C (C)D (D)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 假设四个根分别为a，b，c，d．则有，已知四个根为首项为的等差数列，所以末项应为，从而可得中间两项分别为，m，n分别为．从而等差数列为所以|m-n|=．选(C)．1。
最新最全中南大学高等工程数学附答案
生产。工厂规定的经济规模为微型车 1500 辆，中级车 1200 辆，高级车 1000 辆，请建立使
该厂的利润最大的生产计划数学模型。
钢材（吨） 人工（小时） 利润
微型车 1.5 30 2
中级车 2 40 3
高级车 2.5 50 4
资源可用量 6000（吨） 55000（小时）
解：设微型车生产了 x1 辆，中级车生产了 x2 辆，高级车生产了 x3 辆，而钢材、人工均有限 制，所以应满足限制条件：
满足插值条件 S（xi）=yi（i=1，2，…，n）；
5．随机变量 X ~ N(3, 4),(X1, X2,, X10) 为样本， X 是样本均值，则 X ~ N（3，
0.4）；
6．正交表 LN (np mq ) 中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n、m
表示因子水平数，p、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；
（(x) 满足：(x) C1[a,b],且 x [a,b] 有(x)[a,b] , ' (x) L 1 ；）
2. 已知二元非线性函数 f (x) x12 x1x2 x22 2x1 4x2 , X0 (2, 2)T ，该函数从 X0 出发
的最速下降方向为（最速下降方向为： p 4, 2T ）；
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1
考试日期：2010 年 4 月
注：解答全部写在答题纸上
日 时间 110 分钟
一、填空题(本题 24 分，每小题 3 分)
1.若函数(x) C1[a,b],且 x [a,b]有(x) [a,b] 和 '(x) L 1, 则方程
x (x) 在[a, b] 上的解存在唯一，对 任意 x0 a,b为初值由迭代公式 xn1 (xn ) 产生的序列 xn 一定收敛于方程
中南大学高等工程数学试题
中南大学工程硕士“高等工程数学〞考试试卷〔开卷〕考试日期：2021年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L-1ε；2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象〞，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件〔1〕在每一个子区间[]i i x x ,1-〔i=1，2，…，n 〕上是不高于三次的多项式；〔2〕S 〔x 〕，S ’〔x 〕，S ’’〔x 〕在[]b a ,上持续；〔3〕知足插值条件S 〔x i 〕=y i 〔i=1，2，…，n 〕； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，那么~X N 〔3，〕；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进展LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩()1002,1,009.003.01 =+=+n y x y n n n的公式为 。
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
） 。
二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。
矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。
（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。
（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。
（1）设 ,1,2,5)j x j =L （是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下： 123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s tx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,1,2,5j x x x x x j +++=≥=L 4分（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.72600.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.82300.080.050.1f y y y y y y s ty y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+34561112453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次插值多项式P(x)，求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
解：用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为：30.25 1.375()0.5(1)(1)(3)342N x x x x x x x =+---- 3分 于是有30.25 1.375(4)(4)0.54434313422.7518.252177f N ≈=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=+-=2分相应的误差估计式为：3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027R x f x x x x x f -⨯-==---=⨯⨯⨯⨯-≈ 2分四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y 对X 的线性回归方程。
（结果保留小数点后两位。
）293101=∑=i ix,81101=∑=i iy,∑==1012574i i iy x,95771012=∑=i ix,7011012=∑=i iy（2）对回归方程的显著性进行检验。
（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。
解：（１）29.38.1x y ==25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-⋅=-⨯⨯=∑ 22225741029.3992.1xx i L x nx =-=-⨯=∑222701108.144.9YY i L y ny =-=-⨯=∑ 4分200.7ˆ0.20230.20992.1xy xx L b L ==≈≈ ˆˆ8.10.202329.3 2.17a y bx =-≈-⨯≈ 回归函数为 ˆ() 2.170.20x x μ=+ 4分 （２）211ˆˆ()(44.90.2023200.7)0.5428YY xYL bL n σ=-=-⨯=- 222ˆ0.2023200.715.21ˆ0.54xYb L F σ⨯===，或 3.9T == 2分 0.050.01(1,8)(1,8)F F F F >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 或0.050.01(8)(8)T t T t >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。
12分五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 300400..2401.5300,Z x x s tx x x x x x =++≤+≤≥≥解：第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)第五步： 正确写出结果，最优解**(15,10),8500Tx f ==…(2分)六、（本题10分）试确定求积公式⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，使其代数精度尽量高。
解：算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。
假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 解：222161129124()21124ij SST x nx =-=-⨯=∑∑222221234666612911090.5200.5ij SSE x x x x x =----=-=∑∑ 10.5SSA AAT SSE =-=由于0.05(3,20) 3.10F F <=，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F 值给10分，结论正确给2分） 八、（本题16分）设方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783213121x x x x x x x（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量T x )0,0,0()0(=，用该方法求近似解)1(+k x，使3)()1(10-∞+≤-k k x x 。
解：（1）将原方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--8978793121321x x x x x x x ，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛。
5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=+++++98918791979191)1(1)1(3)1(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 5分（2）取T )0()0,0,0(=x ，用上述迭代格式计算得k )(1k x )(2k x )(3k x1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.99998304 0.9999960 0.9999995 0.9999996因(4)(3)30.000148910x x -∞-=<，故取近似解*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T xx ≈=。
6分*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。
6分。