线性方程组的数值解法实验

线性方程组的数值解法
实验
题目
用Gauss消元法和Seidel迭代法求线性方程组的解。

实验目的
通过本次实验了解Gauss消元法和Seidel迭代法的基本原理，掌握其算法,学会用Matlab编程进行计算，并能用这些方法解决实际问题。

Gauss 顺序消元法的基本原理算法：
（1）输入：,.
A b
（2）对1,2,,1
k n
=⋅⋅⋅-做
1）if0
kk
a=then输出算法失败信息，停机；
2）对1,,
i k n
=+⋅⋅⋅做
1/;
ik ik ik kk
a l a a
←=
2;
i i ik k
b b l b
=-
3对1,,
j k n
=+⋅⋅⋅做;
ij ij ik kj
a a l a
=-
（3）if0
nn
a=then输出算法失败信息，并停机else做
1）/;
n n n nn
b x b a
←=
2）对1,,2,1
i n
=-⋅⋅⋅做
1
()/;
n
i i i ij j ii
j i
b x b a x a
=+
←=-∑
（4）输出方程组的解.X
流程图见附页
Seidel 迭代法的基本原理算法：
（1）输入：,;
A b
（2）输入：初始解向量
;x
（3）对1,2,,
i n
=⋅⋅⋅做
1）
1
()/;
n
i i ij j ii
j
j i
y b a x a
=
≠
=-∑
2）;
i i i
e y x
=-
3）;
i i
x y
=
（4）if
1
{||}
max i
i n
eε
≤≤
<then输出：(1,2,,),
i
x i n
=⋅⋅⋅停机；else返回第（3）步。

Gauss 顺序消元法的实验步骤步骤：
（1）利用Gauss顺序消元法设计主程序:
①根据RB RA
-的值判断方程组是否有解，当RB RA
>时方程组无解，当RB RA n
==时方程组有唯一解，当RB RA n
=<时，方程组有无穷多解；
②根据公式
(1)()()
(1)()()
(,1,,)
(1,,)
k k k
ij ij ik kj
k k k
i i ik k
a a l a i j k n
b b l b i k n
+
+
=-=+⋅⋅⋅
=-=+⋅⋅⋅
将增广矩阵[,]
B A b
=化为上三角形矩阵；
（2）建立.
backsub m文件；
（3）调用.
backsub m文件，在Matlab命令窗口输入,A b矩阵，再输入[,,,](,)
RA RB n X gaus A b
=，进行Matlab实现得出方程的解。

Seidel 迭代法的实验步骤步骤：
（1）利用Seidel迭代法设计主程序:
①确定精确度;ε
②当<
err relerr
εε
<或时,
（ⅰ）若=1,
j则 X(1)=(b(1)-A(1,2:n)*P(2:n))/A(1,1);
（ⅱ）若=,
j n则 X(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*(X(1:n-1))')/A(n,n);
（ⅲ）对于2,3,,1
j n
=⋅⋅⋅-
X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)'-A(j,j+1:n)*P(j+1:n))/A(j,j);
（2）在Matlab命令窗口输入
,,
A b x矩阵，再输入
(,,,0.0005,15)
Seidel A b x，进行Matlab实现得出方程的解，输出X。

Gauss 顺序消元法的Matlab 原代码
Gauss 顺序消元法的实验结果在Matlab命令窗口输入：
A=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2] ;
[1;2;4];
b=-
[,,,](,)
RA RB n X gaus A b
=
A=[1 1 1;1 1 1;1 1 1] ;
[1;1;1];
b=
[,,,](,)
RA RB n X gaus A b
=
结果显示：
在Matlab命令窗口输入：
A=[2 1 1;1 2 1;1 1 2] ;
b=
[1;2;4];
=
[,,,](,)
RA RB n X gaus A b 结果显示：
Gauss 顺序消元法的数据实现求线性方程组
123
123
123
21
22
24
x x x
x x x
x x x
++=
++=
++=
的解.
解：32
21
31
1
1
3
2
1
2
21112111 2111
313313 [|]121200
222222 1124
1374
0003
2223
r r
r r
r r
A b
-
-
-
⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
→→
123
21
x x x
++=
即方程组同解变形为
23
313
222
x x
+=
3
4
3
3
x=
解得：
1
2
3
3
0.75
4
1
0.25
4
9
2.25
4
x
x
x
=-=-
==
==
即
0.75
0.25
2.25
X
-⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
Seidel 迭代法的Matlab 原代码
Seidel 迭代法的实验结果在Matlab命令窗口输入：
A=[2 1 1;1 2 1;1 1 2] ;
[1;2;4];
b=
[0;0;0];
x=
(,,,0.0005,15)
Seidel A b x
结果显示：
Seidel 迭代法的数据实现Seidel迭代法格式为
(1)()()
123
(1)(1)()
213
(1)(1)(1)
312
0.50.50.5
0.50.51
0.50.52
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
+
++
+++
=--+
=--+
=--+
33
0.408648635100.510
err--
=⨯<⨯
故
0.749782071
0.249850504
2.249965784
X
-⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
k
1
x
2
x
3
x 0000
10.512
21-0.5 2.25
30.875
-0.3125 2.28125
40.796875
-0.2578125 2.26953125
50.763671875
-0.247070312 2.258300782
60.752685547
-0.247192382 2.252746583
70.749969482
-0.248611449 2.250679017
80.749645233
-0.249483108 2.250081063
90.749782071
-0.249850504 2.249965784
实验分析Gauss消元法适用于中、小规模的线性方程组，运算量小，效率高，可以求精确解。

Seidel迭代法占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变,Seidel迭代法收敛速度较Jacobi迭代法较快。

但是，Gauss消元法和Seidel迭代法都具有局限性，Gauss消元法对于大型线性方程组很难求解，Seidel
迭代法受收敛性的局限且收敛速度慢。

实验小结
本次实验学习到了Gauss消元法和Seidel迭代法解线性方程组的基本原理，掌握了用Gauss消元法和Seidel迭代法进行Matlab编程。

同时了解到Matlab在处理用Gauss消元法和Seidel 迭代法求方程组解的问题上非常的方便，程序简单，容易掌握；Gauss消元法程序比Seidel迭代法程序较复杂，但Seidel迭代法得到的是近似解，且受收敛性和收敛速度的局限。

流程图：。