2019-2020学年湖北省孝感市重点高中联考协作体高二下学期联考数学试题(解析版)

绝密★启用前2019-2020学年湖北省孝感市重点高中联考协作体（安陆一中、大悟一中、孝昌一中、应城一中、汉川一中）高二下学期联考数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B =I （ ）A ．{}11x x -<< B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤< D ．{}21x x x ≤->-或答案：A进行交集、补集的运算即可． 解：∁U B ＝{x |﹣2＜x ＜1}；∴A ∩（∁U B ）＝{x |﹣1＜x ＜1}． 故选：A ． 点评：考查描述法的定义，以及交集、补集的运算． 2．在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C解：试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.【考点】1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3．已知命题p ：“0a ∀>，都有1a e ≥成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1a e ≥成立 C ．0a ∃>，有1a e ≥成立D ．0a ∃>，有1a e <成立答案：D 解：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，1a e ≥的否定为1a e <．命题p ⌝为0a ∃>，有1a e <成立 4．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．答案：A利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 解：由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 点评：本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．5．已知函数()22cos 23463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的图像关于直线4x π=对称C ．()f x 的值域为 []1,3-D ．()f x 的图像关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称答案：D化简f （x ）＝1+2cos4x 后，根据函数的性质可得． 解：f （x ）＝1+cos （4x π3+）3（4x π3+）＝1+2sin （4x ππ36++）＝1+2cos4x ，f （x ）为偶函数，A 正确； 4x k π,=得k πx 4=,当k=1时，B 正确； 因为2cos4x []()22f x ∈-∴，，的值域为 []1,3-，C 正确； 故D 错误． 故选D ． 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题6．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,L ，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．2048答案：A利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 解：解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选A ． 点评：本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（ ） ①若,,m ααβ⊥⊥则m ∥β； ②若,m αα⊥∥β，n β⊂，则m n ⊥； ③若,,m n m αβ⊂⊂∥n ，则α∥β； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真假. 详解：对于①中，若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，所以不正确； 对于②中，若,//m βαα⊥，则m β⊥，又由n β⊂，所以m n ⊥是正确； 对于③中，若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ或α与β相交，所以不正确； 对于④中，若,n n αβ⊥⊥，则//αβ，又由m β⊥，所以m α⊥是正确的， 综上正确命题的个数为2个，故选B.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理及几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．8．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF u u u r=（ ）A ．1588AB AC +u u ur u u u rB ．5188AB AC -u u ur u u u rC ．1588AB AC -u u ur u u u rD ．5188AB AC +u u ur u u u r答案：D利用中线所在向量结合向量加减法，不难把AF u u u r转化为AB AC u u u r u u u r 和，得解．解：解：∵()12AF AB AE =+u u u r u u u r u u u r111222AB AD =+⨯u u ur u u u r ()111242AB AB AC u u ur u u u r u u u r =+⨯+ 5188AB AC =+u u ur u u u r ， 故选D ． 点评：本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题. 9．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切正整数n ，都有1n n S nT n =+，则56a b 等于（ ） A ．34B ．56C ．910D ．1011答案：A令2,(1),0n n S kn T kn n k ==+≠，再由554a S S =-，665b T T =-，即可得出56a b 的值. 解：由等差数列的求和公式得211(1)222-⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭n n n d d S na d n a n ，即满足2n S an bn =+型21(1)n n S n n T n n n ==++ 则可令2,(1),0n n S kn T kn n k ==+≠55425169a S S k k k =-=-=，665423012b T T k k k =-=-=5693124a kb k ∴== 故选：A本题主要考查了两个等差数列前n 项和之比的问题，属于中档题.10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A ．1.24 B ．1.25C ．1.26D ．1.27答案：C根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 解：根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C. 点评：本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.11．已知离心率为1e 的椭圆1C ：2222111x y a b +=（110>>a b ）和离心率为2e 的双曲线2C ：2222221x y a b -=（20a >，20b >）有公共的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，且1260F PF ∠=︒，则2212e e +的最小值为（ ）A．2B．12C．22+ D．32+根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理得出2221234a a c +=，最后由离心率公式以及基本不等式求解即可. 解：由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴为12a ，双曲线的实轴为22aP 在双曲线的右支上，且在椭圆上则由椭圆的定义知1212+=PF PF a 由双曲线的定义知1222-=PF PF a112212,PF a a PF a a ∴=+=-1260F PF ︒∠=Q由余弦定理可得()()()()222121212124a a a a a a a a c ++--+-=整理得2221234a a c +=22222222121212222212123344a a a a c c e e a a a a +++=+=+222122123121114422a a a a =+⋅+⋅+=+=… 当且仅当222122123a a a a =时等号成立故选：C 点评：本题主要考查了椭圆和双曲线的基本性质，涉及了基本不等式，余弦定理的应用，属于中档题.12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)af a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞答案：B先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.解：令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>， 又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a e f a e f a g a g a +++≥++≥+，因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 点评：本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．答案：2-发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 解： 因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 点评：本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.14．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++L ，则6a =______. 答案：224-由题意可知6a 为()()7112x x +-展开式中6x 的系数，结合二项式定理求解即可. 解：由题意可知6a 为()()7112x x +-展开式中6x 的系数7(12)x -的通项为177(2)(2)rr r r r T C x C x +=-=- 6655677(2)(2)448672224a C C =-+-=-=-故答案为：224- 点评：本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.15．已知圆的方程为22(2)(3)16x y -+-=，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为__________. 答案：811根据题意可知，过(3,5)的最长弦为直径，最短弦为过(3,5)且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 解：解：由圆的方程为22(2)(3)16x y -+-=，得最长的弦为圆的直径等于248⨯=，圆心(2,3)与点(3,5)的距离22(32)(53)5d =-+-=， 根据勾股定理得最短的弦长为2165211BD =-=， 四边形ABCD 的面积11||||821181122S AC BD ==⨯⨯=g ． 故答案为：811．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用和圆的弦长，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是关键，考查数形结合的解题思想方法. 16．下列四个命题：①函数()cos sin f x x x =的最大值为1；②已知集合{}2230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为3； ③若ABC V 为锐角三角形，则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,+?内单调递增”的充分必要条件.其中正确的命题是______.（填序号） 答案：②③④由二倍角公式结合正弦函数的性质判断①；由集合的知识判断②；由锐角三角形的定义以及正弦函数的单调性，结合诱导公式判断③；由二次函数的图象和性质，集合充分必要条件的定义判断④. 解：由1()cos sin sin 22f x x x x ==，得()f x 的最大值为12，故①错误；{}{}22300,1A x N x x =∈+-≤=，则集合A 的真子集为{}{}0,1,∅，共有三个，故②正确；ABC QV 为锐角三角形，2A B π∴+>，则2A B π>-sin y x =Q 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ 同理可证，sin cos ,sin cos B C C A >>sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，故③正确；当0a ≤时，函数()f x 在区间()0,+?的解析式为()22f x xax x ax =-=-，由对称轴02ax =„可知，函数()2f x x ax =-在区间()0,+?内单调递增若函数()2f x x ax =-在区间()0,+?内单调递增，结合二次函数的对称轴，可知02a„，则0a ≤ 即“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,+?内单调递增”的充分必要条件.故④正确； 故答案为：②③④ 点评：本题主要考查了判断命题的真假，涉及了三角函数性质的应用，判断充分必要条件等知识，属于中档题.三、解答题17．数列{}n a 满足11a =，()112n n n a a a +=+（*n N ∈）． （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若122311633n n a a a a a a ++++>L ，求正整数n 的最小值． 答案：（1）详见解析（2）17n =(1)由题意整理所给的递推关系式，利用后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列；(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后裂项求和可得12231n n a a a a a a ++++L 的值，最后求解关于n 的不等式即可确定正整数n 的最小值．解：（1）由已知可得：112n n n n a a a a ++-=，故：1112n na a +=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 首项111a =，公差2d =.（2）由（1）可得111(1)21n n d n a a =+-=-， ∴121n a n =-， ∵11111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴122311111111213352121n n a a a a a a n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭L L 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， ∴162133n n >+， 解得16n >，∴17n =，即正整数n 的最小值为17. 点评：本题主要考查等差数列的证明，等差数列的通项公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 答案：(1) 3B π=;(2). (1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域. 解：(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<， 故33ABC S <<V . 故ABC S V 的取值范围是33(,) 点评：这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC V 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.19．随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世——蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示.（1）由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y 与年龄x 成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y 与年龄x 的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；（2）该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；（3）已知该网店中年龄段在18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.参考答案：1221ni ii ni i x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑$，a y bx =-$$.答案：（1）0.023 1.0y x =-+；（2）1080人；（3）514. （1）根据公式计算出0.023b≈-$，$ 1.0a ≈后可得0.023 1.0y x =-+； （2）将20x =代入0.023 1.0y x =-+得0.54y =，进而可得20000.541080⨯=； （3）根据分层抽样可知随机抽取8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，再根据古典概型的概率公式计算可得结果. 解：（1）由题意，223140313x ++==，0.50.30.0822375y ++==，所以222222220.5310.3400.08331 3.78750.023223140331162b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯-==≈-++-⨯$， $22 3.7831 1.075162a=+⨯≈，所求线性回归方程为0.023 1.0y x =-+. （2）由（1）知，该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为0.02320 1.00.54-⨯+=，而20000.541080⨯=，所以估计该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为1080人.（3）依题意，随机抽取8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，所以抽取的两人年龄都在18到26岁的概率为25281052814C C ==. 点评：本题考查了求线性回归方程，考查了利用回归方程估计总体，考查了分层抽样，考查了古典概型，属于中档题.20．如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值．答案：（1）见解析；（2）6解：试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC ⊥平面ABC ，可知PC DE ⊥，再分析已知由2DC DE CE ===得CD DE ⊥，这样与DE 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于2ACB π∠=，PC ⊥平面ABC ，因此,,CA CB CP 两两垂直，可以他们为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD 和平面CPD 的法向量12,n n u r u u r ，向量12,n n u r u u r的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论．试题解析：（1）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ＡＢＣ，故PC ⊥DE由CE ＝２，CD=DE ∆ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD ⊥DE 由PC I CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD（2）解：由（１）知，∆CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝4,π，如（１９）图，过点Ｄ作DF 垂直CE 于Ｆ，易知DF ＝FC ＝EF ＝１，又已知EB ＝１，故FB ＝２． 由∠ACB ＝2,π得DF //AC ，23DF FB AC BC ==，故AC ＝32DF ＝32． 以Ｃ为坐标原点，分别以,CA CB CP u u u r u u u r u u u r，　的方程为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（32,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），(1,1,0),ED =-u u u r(1,1,3)(,1,0)DP DA u u u r u u u r １，２=--=-设平面PAD 的法向量111,,)n x y z r １＝（， 由0n DP ⋅=u u u r r １，0n DA ⋅=u u ur r １，得11111130{(2,1,10+)12x y z n x y u r故可取--==-=. 由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n u u r 可取为ED u u u r,即2(1,1,0)n =-u u r . 从而法向量1n u r ，2n u u r 的夹角的余弦值为1212123,||||n n cos n n n n u r u u ru r u u r u u r u u r ⋅〈〉=⋅，故所求二面角A-PD-C 3【考点】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率6e ，坐标原点O 到直线:2l y bx =+2．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知定点()1,0E-，若直线()20y kx k =+≠与椭圆C 相交于不同的两点()11,A x y 、()22,B x y ，且0EA EB ⋅=u u u v u u u v，求k 的值．答案：（1）2213x y +=；（2）76. （1）利用原点到直线l 2求出b 的值，再结合离心率的值求出a 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）将直线2y kx =+的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合0EA EB ⋅=u u u r u u u r，可求出实数k 的值. 解：（1）坐标原点O 到直线:2l y bx =+=1b ∴=，椭圆C的离心率为e ====a =因此，椭圆C 的标准方程为2213x y +=；（2）联立直线AB 与椭圆C 的方程22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 并整理得()22311290k x kx +++=，236360k ∆=->，解得1k >或1k <-.由韦达定理得1221231k x x k +=-+，122931x x k =+. ()()11111,1,2EA x y x kx =+=++u u u r ，同理()221,2EB x kx =++u u u r，()()()()()()()21212121211221215EA EB x x kx kx k x x k x x ∴⋅=+++++=+++++u u u r u u u r()()229112215031k k k k +-+=+=+，整理得760k -=，解得76k =，满足>0∆. 因此，实数k 的值为76. 点评：本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求参数值，考查运算求解能力，属于中等题.22．已知函数()(),0xa e f x a R a x⋅=∈≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）y e =.（2）0a >时，()f x 的单调增区间为()1+∞，；单调减区间为()0，-∞和()01，； 0a <时，()f x 的单调增区间为()0，-∞和()01，；单调减区间为()1+∞，. （3）1a e≥. （1）求出函数()f x 的导函数()f x '，代入1a =，求得(1)f '，再求(1)f ，利用直线方程的点斜式求解即可.（2）求出()f x '，通过讨论a 的取值，分别求出()0f x '>，()0f x '<所对应的区间即为函数的单调区间.（3）当()0,x ∈+∞时()1f x ≥恒成立等价于x xa e≥在()0,x ∈+∞恒成立，令()x xg x e=，由导数求出函数()g x 的最大值，即可求得a 的取值范围. 解：（1）()(),0x a e f x a R a x ⋅=∈≠，得22(1)()=(0)x x x ax e ae ae x f x x x x ⋅--=≠'. 当=1a 时，2(1)()=x e x f x x '-，12(11)(1)==01e f -'∴，即函数()f x 在1x =处的切线斜率为0.又()1f e =,故曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程为y e =.(2)()()() ,,00,xa e f x x x ⋅=∈-∞⋃+∞.22(1)()=x x x ax e ae ae x f x x x⋅--=', ①若0a >，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得1x <，又()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()f x 在()1+∞，上单调递增，在()0，-∞和()01，上单调递减.②若0a <，由()0f x '>得1x <；由()0f x '<得1x >，又()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()f x 在()0，-∞和()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减. 综上所述，0a >时，()f x 的单调增区间为()1+∞，；单调减区间为()0，-∞和()01，.0a <时，()f x 的单调增区间为()0，-∞和()01，；单调减区间为()1+∞，. （3）()0,x ∈+∞时，()1xae f x x=≥恒成立,即x x a e ≥在()0,x ∈+∞恒成立.令()xx g x e =，则1()x xg x e -'=.则01x <<时，()0g x '>；1x >，()0g x '<.()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1+¥，上单调递增，则max 1()(1)g x g e==. 1a e∴≥. 点评：本题考查函数与导数综合运用.（1）利用导数研究曲线上一点处的切线方程；考查了导数的几何意义的应用.（2）利用导函数研究函数的单调性：()0f x '>，则函数单调递增；()0f x '<，则函数单调递减.（3）通过参变分离构造函数，利用导数处理恒成立中求参数问题，其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题，是此问解题的关键步骤.。