2011年历城二中数学试题
2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
2011年考研数学二真题及答案解析
2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。
则DE/AB的值等于（）。
A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。
设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。
由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。
在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。
设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。
在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。
因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。
所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。
2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。
A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。
设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。
整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。
由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。
又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。
当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。
当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。
因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。
山东省济南市历城二中高一下学期6月份月考数学试题
山东省济南市历城二中高一下数学试题一、选择题1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7 B. 15 C. 25 D. 352．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点.若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE 内部的概率等于（ ）A.14 B. 13 C. 12 D. 233．已知角α的终边过点()1,2-，则cos α的值为（ ）A. 5-B. 55- D. 12-4．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[]10,12内的频数为 ( )A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】B 5．下列各式的值为14的是（ ） A. 22cos112π- B. 212sin 75-︒ C.22tan22.51tan 22.5︒-︒D. sin15cos15︒︒ 6．如图是求1x ， 2x ，…， 10x 的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）A. ()*1S S n =+B. 1*n S S x +=C. *S S n =D. *n S S x = 7．设1sin 43πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2θ=（ ） A. 79-B. 19-C. 19D. 798．设函数()()()sin cos (0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 23 D. 3410．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且02πα-<<，则22sin sin2cos 4ααπα+⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 5-B. 10-C. 10-D. 511．若函数()sin cos f x a x b x =-在3x π=处有最小值2-，则常数a 、b 的值是（ ）A. 1a =-，b =1a =，b =a = 1b =-D. a = 1b = 12．已知()sin2sin2n αγβ+=，则()()tan tan αβγαβγ++=-+（ ）A.11n n -+ B. 1n n + C. 1n n - D. 11n n +- 二、填空题13．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象如图所示，则ω=__________.14．在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则a =____；15．求值tan20tan403tan20tan40++= ．16．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>， R ϕ∈），若存在常数T （0T <），满足x R ∀∈有()()f x T Tf x +=，则ω可取到的最小值为__________.三、解答题17．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为1x ， 2x ，……， n x 的平均数）18．已知02πβαπ<<<<，且1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 2αβ+的值.19．设函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>， 02πϕ-<<）的最小正周期为π，且4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求ω和ϕ的值；（2）在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图象（先列表，再描点，最后连线）.20．在ABC 中，内角A ， B ， C 对边的边长分别是a ， b ， c ，已知2c =， 3C π=.（1）若ABC a ， b ；（2）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求ABC 的面积.21．已知ABC 不是三角三角形，内角A ， B ， C 对边的边长分别是a ， b ， c . （1）证明： tan tan tan A B C ++ tan tan tan A B C =；（2tan tan 1tan B C C A +-=， 112sin2sin2sin2A C B+=.求（ⅰ）角B 的大小；（ⅱ） 2A Ccos -的值.（参考公式()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤=-+--⎣⎦； ()()sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=）山东省济南市历城二中高一下数学试题一、选择题1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】B【解析】试题分析：抽样比是，所以样本容量是．【考点】分层抽样2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点.若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE 内部的概率等于（ ）A.14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】C【解析】设矩形长为a,宽为b,则点取自△ABE 内部的概率P=ABEABCDSS 矩形=12ab ab =12.故选C. 3．已知角α的终边过点()1,2-，则cos α的值为（ ）A.D. 12-【答案】A【解析】因为角α的终边上有一点P (-1，2)，所以OP ==，由三角比的定义，可知，cos α==． 本题选择A 选项.点睛：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．4．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[]10,12内的频数为 ( )A. 18B. 36C. 54D. 72 【答案】B【解析】试题分析：每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选A.【考点】频率分布直方图 5．下列各式的值为14的是（ ） A. 22cos112π- B. 212sin 75-︒ C.22tan22.51tan 22.5︒-︒D. sin15cos15︒︒【答案】D【解析】A ,原式= cos6π=B ,原式=tan (22.5°×2)=tan 45°=1，不符合；C ,原式=cos 150°=−cos 30°=D ,原式=12sin 30°=111224⨯=，符合。
山东省济南市历城二中2011届高一上学期期中考试(数学)
山东省济南市历城二中2011届高一上学期期中考试数学 2008.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各项中，不能组成集合的是A.所有三角形B.数学必修一中的所有习题C. 所有有理数D. 数学必修一中的所有难题2. 已知集合2{|,}A y y x x R ==-∈,1{|()}5x B x y ==,则A B 等于 （ ）A ．1(0,)2B. (,0]-∞C. (0,)+∞D.∅3.当[1,5]x ∈时，函数2()34f x x x c =-+ 的值域是（ ）A.2[(),(5)]3f f B.[(0),(5)]f fC.[(1),(5)]f fD.[(5),(1)]f f 4.已知二次函数的图像经过点(1,0),(0,2),(2,3)-，则其解析式为（ ）A. 234y x x =+-B. 213222y x x =-- C. 213222y x x =+- D. 213222y x x =-+-5.函数b ax ++=2x y 有两个零点－1，3，则b a ,分别为（ ）A.2, 3B.-2,3C.2,-3D.-2,-36. 函数n2-110.5y =的定义域是（ ）A. RB.(0,)∞+C.)0,(-∞D.[1,∞+] 7. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为（ ）A.95元B.100元C.105元D.110元8.函数2(0)y ax bx c a =++<，的最大值大于零，则24b ac -是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数9. .把根式 ）A ．32()x - B ．32()x -- C ．32x D ． 32x -10.若10x -<<，则下列不等式中成立的是 ( )A ．220.2x x x -<<B ．20.22x x x -<<C ．220.2x x x -<<D ．0.222x x x -<<11.定义函数()(0)()(0)f x x y f x x >⎧=⎨--<⎩，且函数在区间[7,3]-上是增函数，最大值为-5，那么函数在区间[3,7]上A ．为增函数，且最大值为5B ．为减函数，且最大值为5C ．为增函数，且最小值为5D ．为减函数，且最小值为512.已知函数()()y f x x R =∈是单调递减的奇函数，则不等式2()()0f x f x +>的解集是A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ． (0,1)D ．(1,0)-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13.若{}20,1,x x -是一个数集，则实数x 的取值范围是 ; 14. 已知函数1(2)x f -的定义域是[0,1],则函数()2x y f -=的定义域是 .15.函数)(x f 在R 上为偶函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .16.函数|1|(3)y x x =--的单调增区间是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（12分）已知全集{}{}{}21,2,23,|2|,2,0U U a a A a C A =+-=-=，求a 的值.18、（12分）证明：3()3()f x x x x R =--∈是减函数.19（12分） 设()442xx f x =+，若01a <<，试求：（1）()()1f a f a +-的值；（2）12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．20． （12分）如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x =，并写出它的定义域.21. （12分）集合21,A A 满足12A A A = ，则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当21A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合{},,A a b c =的不同分拆种数为多少？22. （14分）设函数()f x 对任意.x y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，()0f x <，(1)2f =-． （1）求证：()f x 是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.评分标准及参考答案:一、选择题1—6 DBCCDC 7—12AABCCD二、填空题13. |,x x R x ⎧⎪∈≠⎨⎪⎪⎩⎭14. []1,0-15. ()1f x 16. (,1],[2,)-∞+∞三、解答题 17解由0U ∈得2230a a +-= 4分 由1A ∈得21a -= 8分解223021a a a ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩得1a = 12分所以12()()0f x f x -> 10分 即12()()f x f x > 11分 故函数3()3()f x x x x R =--∈是减函数. 12分19、解（1）()442x x f x =+∴()()114444444144242424242424aaaa a a a a a aaf a f a --+-=+=+=++++++⋅+ 42421422442a a a aa +=+==+++ 6分 （2）123100011000100110011001100110011001f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦299950050150015001001100110011001f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦12分 20. 解：2AB x =, CD=x π,于是AD=221x x π--， 2分因此，2y x = 22l x x π--+22xπ，即y =-lx x ++224π. 8分由20202x l x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩，得0<x <,2lπ+ 函数的定义域为（0，2lπ+）. 12分21. 解当1A ＝φ时，2A =A,此时只有1种分拆； 2分当1A 为单元素集时，2A =1A C A 或A ，此时1A 有三种情况，故拆法为6种；5分 当1A 为双元素集时，如1A ={b a ,}，B=}{c 、},{c a 、},{c b 、},,{c b a ，此时1A 有三种情况，故拆法为12种； 8分 当1A 为A 时，2A 可取A 的任何子集，此时2A 有8种情况，故拆法为8种；11分 总之，共27种拆法。
2011考研数学二真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则()(A)1,4k c ==．(B)1,4k c ==-．(C)3,4k c ==．(D)3,4k c ==-．(2)已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332limx x f x f x x →-=()(A)()20f '-．(B)()0f '-．(C)()0f '．(D)0．(3)函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为()(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(4)微分方程2(0)xx y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为()(A)()xx a ee λλ-+．(B)()xx ax ee λλ-+．(C)()xx x aebe λλ-+．(D)2()xx x aebe λλ-+．(5)设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)(0)0,(0)0.f g ''''<>(B)(0)0,(0)0.f g ''''<<(C)(0)0,(0)0.f g ''''>>(D)(0)0,(0)0.f g ''''><(6)设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是()(A)I J K <<．(B)I K J <<．(C)J I K <<．(D)K J I <<．(7)设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =()(A)12PP ．(B)112P P -．(C)21P P ．(D)121P P -．(8)设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为()(A)13,αα．(B)12,αα．(C)123,,ααα．(D)234,,ααα．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)1012lim()2x x x →+= ．(10)微分方程'cos xy y e x -+=满足条件(0)0y =的解为 ．(11)曲线0tan (04xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = ．(12)设函数,0,()0,0,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩则()xf x dx +∞-∞=⎰ ．(13)设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ ．(14)二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)已知函数20ln(1)()xat dt F x x+=⎰，设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求a 的取值范围．(16)(本题满分11分)设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点．(17)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(18)(本题满分10分)x设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若,d dydx dxα=求()y x 的表达式．(19)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+成立．(II)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛．(20)(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成的．(I)求容器的容积；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m ，重力加速度为2/gm s ，水的密度为3310/kg m )．图１(21)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰．(22)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I)求a 的值；(II)将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(23)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)【答案】(C)．【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limk x x x x x xcx →--=()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--=()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cxcx --→→-==304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C)．(2)【答案】(B)．【解析】()()2332limx x f x f x x →-()()()()22330220limx x f x x f f x f x →--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B)．(3)【答案】(C)．【解析】()ln 1ln 2ln 3f x x x x =-+-+-111'()123f x x x x =++---231211(1)(2)(3)x x x x x -+=---令'()0f x =，得1,2633x ±=，故()f x 有两个不同的驻点．(4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r λ-=，解得特征根12r r λλ==-,．所以非齐次方程2xy y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅,非齐次方程2xy y eλλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅，故由微分方程解的结构可知非齐次方程2xx y y ee λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)【答案】(A)．【解析】由题意有()()zf xg y x ∂'=∂，()()z f x g y y∂'=∂所以，()0,0(0)(0)0zf g x ∂'==∂，()0,0(0)(0)0z f g y ∂'==∂，即()0,0点是可能的极值点．又因为22()()zf xg y x ∂''=∂，2()()z f x g y x y ∂''=∂∂，22()()z g y f x y∂''=∂，所以，2(0,0)2|(0)(0)zA f g x ∂''==⋅∂，2(0,0)|(0)(0)0zB f g x yα''==⋅=∂∂，2(0,0)2|(0)(0)zC f g y∂''==⋅∂，根据题意由()0,0为极小值点，可得20,AC B A C -=⋅>且(0)(0)0A f g ''=⋅>，所以有(0)(0)0.C f g ''=⋅>由题意(0)0,(0)0f g ><，所以(0)0,(0)0f g ''''<>，故选(A)．(6)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时，0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<．故正确答案为(B)．(7)【答案】(D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP -=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(8)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)【答案】．【解析】原式=0121lim(1)2x x x e →+-00212ln 21limlimln 2222x x x x x eee→→-⋅====．(10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )x e x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy ex -=．(11)【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰．(12)【答案】1λ．【解析】原式0x xx e dx xde λλλ+∞+∞--==-⎰⎰1lim0x x xx x x xee dx ee λλλλλ+∞-+∞--+∞→+∞=-+=-+-⎰01111limlim x x x x e e e λλλλλ→+∞→+∞⎛⎫=---= ⎪⎝⎭．(13)【答案】712．【解析】原式2sin 2sin 322044cos sin cos sin d r r rdr d r drππθθππθθθθθθ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰4241sin cos 16sin 4d ππθθθθ=⋅⋅⋅⎰5522444cos sin 4sin sin d d ππππθθθθθ=⋅=⎰⎰66447sin 612ππθ==．(14)【答案】2．【解析】方法1：f 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型f 对应矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．111000131131132111111112E A λλλλλλλλλλλ-----=---=---=------------()()321412λλλλλλ--==----，故1230,1,4λλλ===．因此f 的正惯性指数为2．方法2：f 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．()222123123121323,,3222f x x x x x x x x x x x x =+++++()2222212322332323232x x x x x x x x x x x =++---+++()2212322x x x x =+++，令11232233,,,y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩则22122f y y =+，故f 的正惯性指数为2．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)【解析】如果0a ≤时，220(1)limlim ln(1)xxa ax x ln t dt x t dt x -→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰，显然与已知矛盾，故0a >．当0a >时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlim lim lim 0xaaa a x x x x t dt x x x x ax ax a++++---→→→→++===⋅=⎰．所以30a ->即3a <．又因为223201222ln(1)ln(1)210lim lim lim lim (1)(1)1xa a a a x x x x xt dt x x x x ax a a x a a x ---→+∞→+∞→+∞→+∞+++====--+⎰所以32a -<，即1a >，综合得13a <<．(16)(本题满分11分)【解析】因为221()1dyt dt y x dx t dt -'==+，2222222231(12(1)(1)2141(),(1)1(1)t d t t t t t t y x dx dt t t t dt-+--⋅+''=⋅=⋅=+++令()0y x '=得1t =±，当1t =时，53x =，13y =-，此时0y ''>，所以13y =-为极小值．当1t =-时，1x =-，1y =，此时0y ''<，所以1y =为极大值．令()0y x ''=得0t =，13x y ==．当0t <时，13x <，此时0y ''<；当0t >时，13x >，此时0y ''>．所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，拐点为11(,)33．(17)(本题满分9分)【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂[][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂[]{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++．(18)(本题满分10分)【解析】由题意可知当0x =时，0y =，'(0)1y =，由导数的几何意义得tan y α'=,即arctan y α'=，由题意()arctan d dyy dx dx '=，即21y y y '''='+．令y p '=，y p '''=，则21p p p '=+，3dpdx p p =+⎰⎰，即21dp p dp dx p p -=+⎰⎰⎰，211ln ||ln(1)2p p x c -+=+，即2211x p ce -=-．当0x =，1p =，代入得2c =，所以'y =则0()(0)t xxy x y -==⎰⎰004t t xxx d π===⎰．又因为(0)0y =，所以()arcsin 24x y x e π=-．(19)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n n ξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++，亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．结论得证．（II）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++-=-∑ ．先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--==-+⎪ ⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=->+- ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ ，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nn n k k a n n n n k k ==⎛⎫=->+->+-> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(20)(本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分12V V V =+()()1222211221y y dy y dyππ-=-+-⎰⎰232123y y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭+13213y y π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+-⎪⎝⎭=94π．(II)所做的功为22(2)(1)(2)(2)dw g y y dy g y y y dyπρπρ=--+--12222112(2)(1)(2)(2)w g y y dy g y y y dyπρπρ-=--+--⎰⎰1232322112(22)44)g y y y dy y y y dy πρ-⎛⎫=--+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰111224322312222221111211122242243243yy y yy g y yπρ----⎛⎫⎪=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭3271033758g g ππ⨯==．(21)(本题满分11分)【解析】因为(,1)0f x =，(1,)0f y =，所以(,1)0x f x '=．110(,)xyI xdx yf x y dy ''=⎰⎰11(,)x xdx ydf x y '=⎰⎰()()111000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1100(,1)(,)x x xdx f x f x y dy''=-⎰⎰1100(,)x xdx f x y dy '=-⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =．(22)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭，故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(23)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，T A Q Q =Λ22022012200110220010022⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2202200012200000002210022010022⎛-⎛⎫ - ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．。
2011数二真题及解析
2011数二真题及解析题目一题目描述已知函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，且f(1)=2，f(2)=1，求函数f(f)的解析式。
解析由题目已知，函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，即在该区间上f′(f)<0。
又根据函数的导数的性质，有f′(f)=2f+f。
因此，要使f(f)在区间[1,2]上为减函数，必须满足f′(f)< 0，即2f+f<0。
又知道f(1)=2，即将f=1代入f(f)的解析式，得到1+ f+f=2，即f+f=1。
再将f(2)=1，即将f=2代入f(f)的解析式，得到4+2f+f=1，即2f+f=−3。
将f+f=1和2f+f=−3联立，可以求解得到f=−2和f=3。
因此，函数f(f)的解析式为f(f)=f2−2f+3。
题目二题目描述设随机变量f的概率密度函数为$ f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{0<x<1} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $求常数f的值。
解析根据随机变量的概率密度函数的性质，概率密度函数f(f)需要满足以下两个条件：1.$f(x) \\geq 0$，即在定义区间内，概率密度函数的取值不能为负。
2.$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = 1$，即概率密度函数的积分等于1。
由题目已知条件可知，在定义区间0<f<1内，$f(x)\\geq 0$，因此可以得到$kx^2 \\geq 0$，即$k \\geq 0$。
又根据第二个条件，计算概率密度函数的积分：$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = \\int_{0}^{1} kx^2 dx = \\frac{k}{3}x^3 \\Bigg|_{0}^{1} = \\frac{k}{3}$根据第二个条件可知$\\frac{k}{3}=1$，因此f=3。
2011年历城二中数学试题含答案
2011年历城二中数学试题（A ）一、填空题。
（每小题5分，共40分）1.一个四位数，千位上的数是a ，百位上的数是b ，十位上的数是5，个位上的数是c ，则这个数可以表示为 。
2.如图，共有三角形的个数是 个。
3.某工厂5月份的实际产量比原计划增加20%，则原计划比实 际产量少 。
4.把一个棱长5厘米的大正方体切成棱长1厘米的小正方体，可以切成 个小正方体。
5.下面是2006年6月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系。
想一想：如果像这种形式的五个数的和 105，则中间的那个数是 。
6.如图，在△ABC 中，BC 边上的高是7.某市举行中学生足球比赛，共有16只队伍，如果每只队伍都和其他队比赛一场，则共需要比赛 场。
8.甲、乙、丙、丁四人共同购买一只价值4200元的游艇，甲支付的现金是其余三人所支付现金总数的14 ，乙支付的现金比其他三人所支付的现金总数少50%，丙支付的现金是其他三人所支付的现金总数的13 ，那么丁支付的现金是元。
二、选择题。
（每小题5分，共10分）1.一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的14 ，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目总数的16 ，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有（ ）道。
A ．14 B. 15 C. 16 D. 172.已知一条直线ι和直线外的A 、B 两点，以A 、B 两点和直线上某一点做为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的三角形ABC 。
除以有的三角形ABC 之外，还能画出符合条件的（ ）个等腰三角形。
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4三、计算下面各题，能简算的要简算。
（4分）815 ×[56 ÷（79 －23）] 四、解答题。
（第1小题10分，第2－4小题每小题12分，共46分）1.小刚就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，左图和右图是他通过采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题： ①该班共有多少名学生？②在左图中，将表示“步行”的部分补充完整。
2011年考研数学二真题
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Hale Waihona Puke 明、证明过程或演算步骤.∫ x ln(1+ t2 )dt
（15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x) = 0 x3a
，设
limx→+∞ F (x) = limx→0+ F (x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 limx→+∞ F (x) = 0 ，所以至少 a > 0
由 limx→0+ F (x) = 0 ，
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f (x)g( y) 在点 (0, 0) 处取得极小值的一个充分条件
是（ ）
（A） f ′′(0) < 0, g′′(0) > 0
（B） f ′′(0) < 0, g′′(0) < 0
（C） f ′′(0) > 0, g′′(0) > 0
（D） f ′′(0) > 0, g′′(0) < 0
【详解】
lim
x→0
(1
+2 2
x
)
1 x
= elim
x→0
1 x
ln
(1+
1+ 2 x 2
−1)
1 2x −1
= elimx→0 x 2
=
2
（10）微分方程 y '+ y = e−x cos x 满足条件 y(0) = 0 的解为 y =
【答案】 e−x sin x
∫ 【 详 解 】
y
=
−
e
∫1dx
⎪ ⎪
y′(0) = 1
⎪⎩
令
y′ =
p,则y′′ =
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2011年历城二中数学试题（A ）
一、填空题。
（每小题5分，共40分）
1.一个四位数，千位上的数是a ，百位上的数是b ，十位上的数是5，个位上的数是c ，则
这个数可以表示为 。
2.如图，共有三角形的个数是 个。
3.某工厂5月份的实际产量比原计划增加20%，则原计划比实 际产量少 。
4.把一个棱长5厘米的大正方体切成棱长1厘米的小正方体，可以切成 个小正方体。
5.下面是2006年6月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26
27
28
29
30
想一想：如果像这种形式的五个数的和 105，则中间的那个数是 。
6.如图，在△ABC 中，BC 边上的高是
7.某市举行中学生足球比赛，共有16只队伍，如果每只队伍都和其他队比赛一场，则共需要比赛 场。
8.甲、乙、丙、丁四人共同购买一只价值4200元的游艇，甲支付
的现金是其余三人所支付现金总数的1
4 ，乙支付的现金比其他三人所支付的现金总数
少50%，丙支付的现金是其他三人所支付的现金总数的1
3 ，那么丁支付的现金是
元。
二、选择题。
（每小题5分，共10分）
1.一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的1
4 ，小亮答错5道题，两人都答
错的题目占题目总数的1
6
，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则
他们都答对的题有（）道。
A．14 B. 15 C. 16 D. 17
2.已知一条直线ι和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点做为三角形的三
个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的三角形ABC。
除以有的三角形ABC之外，还能画出符合条件的（）个等腰三角形。
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
三、计算下面各题，能简算的要简算。
（4分）
8 15×[
5
6
÷（
7
9
－
2
3
）]
四、解答题。
（第1小题10分，第2－4小题每小题12分，共46分）
1.小刚就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，左图和右图是他通过采集数据后，
绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
①该班共有多少名学生？
②在左图中，将表示“步行”的部分补充完整。
③如果全年级共500名同学，请你估算全年级步行上学的学生人数。
2.一个圆柱形的容器内装有水若干，圆柱的底面半径为20厘米，高为50厘米（不考虑容
器的厚度），现在往水面上放一块圆柱形状的冰，冰融化后容器内的水正好满了（冰在放置和融化过程中没有水溢出）。
已知圆柱形冰的底面半径是10厘米，高为30厘米，冰融化后体积减少10%，问容器内原来的水面有多高？
3.小明和小颖从甲、乙两地以不变的速度同时相向而行40分钟后，两人相距6千米，1小时后两人还是相距6千米，1小时30分钟时小明到达乙地，这时小颖距甲地多少千米？
4.一件工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。
如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时，……两人如此交替工作，那么完成任务时共用了多少小时？
2011年历城二中数学试题（B）
一、填空题。
（每小题5分，共40分）
1.山东省面积15万3千零80平方千米，改写成用“亿平方米”做单位的数是亿
平方米。
2.一间教室长12米，宽9米，画在比例尺是1：300的
平面图上，长应该画厘米。
3.一辆汽车车牌在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的
牌照号码应为。
4.如果规定“+”号代表减法，“－”号代表乘法，“×”号代表除法，“÷”号代表加
法，▲代表2，●代表3，◐代表4，▴代表5，◎代表6，计算下面的式子：
●÷（◎+▲）×◐－▴＝
5.学校举行两次数学竞赛，第一次竞赛及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次
及格人数比第一次多5人，刚好是不及格人数的6倍，则共有人参加数学竞赛。
6.如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于度。
7.钟表的时针与分针在9：40时夹角是度。
8.某同学生日聚会共有15人参加（包含过生日的同学），若
每两个同学之间握手一次，不重复握手，本次聚会同学们之
间共握手次。
二、选择题。
（每小题5分，共10分）
1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上面的小直角三
角形，将留下的纸片展开，得到的图形是（）
2.请同学们伸出左手，如图所示从这只手大拇指开始的那样数数
字1，2，3……，那么数字2011落在哪个手指上？（ ） A ．大拇指 B. 食指 C.中指 D.无名指 E.小指 三、计算下面各题，能简算的要简算。
（4分）
20÷ [63×（57 －59 ）×2
5 ]
四、解答题。
（第1小题10分，第2－4小题每小题12分，共46分）
1.某商人以每件120元的价格卖出了两件衣服，发现一件赔了20%，一件赚了20%，这个商人赔了还是赚了？若赔了，赔了多少钱？若赚了，赚了多少钱？
2.将一个长方形的长减少3厘米，宽增加2厘米，就得到一个与原来的这个长方形面积相等的正方形，原来长方形的面积是多少平方厘米？
3.有甲乙两个木匠师傅，甲师傅一天能做3张桌子或9把椅子，乙师傅每天能做2张桌子
或7把椅子，甲乙两人合作，20天做了桌子和椅子共134张，问：做了几张桌子，几把椅子？
4.在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从A站向B站行驶。
甲车每小时行30千米，乙车
每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从A站向B站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车。
列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟。
当列车完全超过乙车时，列车离开A站多远？。