2018年高考数学二轮复习每日一题第六周规范练文

每日一题 规范练(第六周)[题目1] (本小题满分12分)在△ABC 中，2b －ca＝cos Ccos A. (1)求∠A 的大小；(2)若a ＝10，b ＝82，求△ABC 的面积S . 解：(1)因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，由题意，可得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A.所以2sin B cos A ＝cos C sin A ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 所以cos A ＝22. 因为A ∈(0，π)，所以∠A ＝π4.(2)因为a ＝10，b ＝82， 所以102＝(82)2＋c 2－2×82×22c ， 解之得c ＝14或c ＝2，所以S ＝12bc sin A ＝56或S ＝12bc sin A ＝8.[题目2] (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)，所以a 1＝S 1＝4＋2p ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n. 由于{a n }是等比数列，所以a 1＝4＋2p ＝2，则p ＝－1，因此a n ＝2n (n ∈N *)． (2)由a n ＋12＝(3＋p )a n b n ＝2a n b n ，得2n＝22nb n ，所以b n ＝n2n .T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n .①12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －n2n ，因此T n ＝2－12n －1－n2n .[题目3] (本小题满分12分)为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”的号召，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，将木兰溪流经市区河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如下表：为优良的概率；(2)根据表中数据完成下面茎叶图；(3)分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？解：(1)从10段中任取一段的基本事件为(77，72)，(92，87)，(84，78)，(86，83)，(74，83)，(76，85)，(81，75)，(71，89)，(85，90)，(87，95)共10个，这些基本事件是等可能的．用A 表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A 包含的基本事件为：(92，87)，(86，83)，(85，90)，(87，95)共4个，所以P (A )＝410＝25.(2)根据表中数据完成下面茎叶图(2)南岸10段的分值数据的中位数z 1＝81＋842＝82.5，南岸10段分值数据的平均数：x 1＝（70×4＋1＋4＋6＋7）＋（80×5＋1＋4＋5＋6＋7）＋9210＝81.3.北岸10段分值数据的中位数z 2＝83＋852＝84，北岸10段分值数据的平均数：x 2＝（70×3＋2＋5＋8）＋（80×5＋3＋3＋5＋7＋9）＋（90×2＋0＋5）10＝83.7.由z 1＜z 2，x 1＜x 2，可看出北岸保护更好．[题目4] (本小题满分12分)如图，五面体ABCDE ，四边形ABDE 是矩形，△ABC 是正三角形，AB ＝1，AE ＝2，F 是线段BC 上一点，直线BC 与平面ABD 所成角为30°，CE ∥平面ADF .(1)试确定F 的位置； (2)求三棱锥A ­CDF 的体积．解：(1)连接BE 交AD 于点O ，连接OF ，因为CE ∥平面ADF ，CE ⊂平面BEC ，平面ADF ∩平面BEC ＝OF ， 所以CE ∥OF .因为O 是BE 的中点，所以F 是BC 的中点．(2)因为BC 与平面ABD 所成角为30°，BC ＝AB ＝1， 所以C 到平面ABD 的距离为h ＝BC ·sin 30°＝12.因为AE ＝2，所以V A ­CDF ＝V F ­ACD ＝12V B ­ACD ＝12V C ­ABD ＝12×13×12×1×2×12＝112.[题目5] (本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，过点A 2作直线l 与x 轴垂直，点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点)，连接PA 1交直线l 于点B ，点Q 为线段A 2B 的中点，求证：直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．(1)解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33，1a 2＋43b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠0且x 0≠±3)， 则直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，令x ＝3，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23y 0x 0＋3，则线段A 2B 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0＋3，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－3y 0x 0＋3x 0－3＝x 0y 0x 20－3.① 因为P 是椭圆E 上的点，所以x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 202，代入①式，得k PQ ＝－2x 03y 0， 所以直线PQ 的方程为y －y 0＝－2x 03y 0(x －x 0)，联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝－2x 03y 0（x －x 0），x 23＋y22＝1，整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，因为Δ＝0，所以直线PQ 与椭圆E 相切， 故直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ＞0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x －a x＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x ＞0)．所以，当0＜x ＜a2时，f ′(x )＜0；当x ＞a2时，f ′(x )＞0， 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a2ln a2， 由题意，可得a 2－a2ln a2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0， 记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a ＞0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根；由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0，且0＜a ＜2时，g ′(a )＞0；a ＞2时，g ′(a )＜0. 所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点， 所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0，所以a ＝2. (2)由条件可得f 2(x )e 2x－6mf (x )e x＋9m ＝0， 令h (x )＝f (x )e x＝(x 2－2ln x ) e x， 则h ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x－2ln x e x，令r (x )＝x 2＋2x －2x－2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x ＞2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解， 当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件． 当Δ＞0时可得m ＜0或m ＞1，所以e 2－6m e ＋9m ≤0，解之得m ≥e 26e －9，综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9. [题目7] 请考生在1、2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 1．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)对于曲线C ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x .对于l ：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，消去t 可得y ＝13(x －5)，化为一般式可得x －3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2，0)，半径为2， 所以弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，所以弦长|PQ |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7，所以以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.2．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|ax －2|. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )＞x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )＜1m有实数解，求m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|＞x ＋1， 当x ≥1时，不等式化为2x －2＞x ＋1，解得x ＞3. 当x ＜1时，不等式化为2－2x ＞x ＋1，解得x ＜13.综上所述，解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)． (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2|≥|ax －2－ax －2|＝4， 所以f (x )＋f (－x )的最小值为4， 因为f (x )＋f (－x )＜1m有实数解，所以4＜1m ，则0＜m ＜14.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。