2016-2017学年北京市东直门中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版

北京市东直门中学2016-2017学年度第一学期期中考试高二数学2016．11．8一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点(3,4,5)P ，在yOz 平面上的射影P '的坐标是（ ）．A ．(0,4,5)B ．(3,0,5)C ．(3,4,0)D ．(3,0,0) 【答案】A【解析】点P 在yOz 平面上的射影P '和点P 的y 坐标相同，z 坐标相同，x 坐标为O ， ∴P '坐标为(0,4,5)，故选A ．2．已知全集{},,,U a b c d =，集合{},A a b =，{},B b c =，则()U A B ð等于（ ）．A ．{}bB ．{}dC ．{},,a c dD ．{},,a b c 【答案】B【解析】∵{,}A a b =，{,}B b c =，∴{,,}A B a b c = ，∴(){}U A B d = ð．故选B ．3．πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）． A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 【答案】D 【解析】ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选D ．4．已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是（ ）．A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．b ∥平面αD ．b 与平面α相交，或b ∥平面α 【答案】D【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的可得：b 与平面α相交或b ∥平面α．故选D ．5．已知命题21:p x x ∀>，2122x x >，则p ⌝是（ ）．A ．21x x ∀>，2122x x <B ．21x x ∃>，2122x x ≤C ．21x x ∀≤，2122x x ≤D ．21x x ∃≤，2122x x < 【答案】B【解析】命题p 是全称命题，其否定为特称命题，所以:p ⌝“21x x ∃>，2122x x ≤”．故选B ．6．“tan 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若“角α是第一象限角”，则“tan 0α>”，“若tan 0α>”，则“角α是第一象限角或第三象限角”，所以“tan 0α>”是“角α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B ． 7．已知向量(2,3,1)a = ，(1,2,0)b = ，则||a b + 等于（ ）．A ．3B ．3C ．35D ．9 【答案】C 【解析】∵(2,3,1)a = ，(1,2,0)b = ，(3,5,1)a b += ， ∴||925135a b +=++= ．故选C ．8．命题p ：x ∀∈R ，220x ax a ++≥；命题q ：向量(2,3,0)e = ，(0,0,0)f = 不平行，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】∵p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∨是真命题．故选B ．9．已知向量(0,1,1)a =- ，(1,0,2)b = ，若向量ka b + 与向量a b - 互相垂直，则实数k 的值是（ ）． A ．32B ．2C ．54D ．74 【答案】D 【解析】∵(0,1,1)a =- ，(1,0,2)b = ，∴(1,,2)ka b k k +=-+ ，(1,1,3)a b -=-- ，∵ka b + 与a b - 互相垂直，∴13(2)0k k -+--+=， 解得：74k =． 故选D ．10．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = 那么向量AP 用基底{},,a b c 可表示为（ ）． AB COPA ．111222a b c -++B ．111222a b c ++ C ．12a b c ++ D ．1122a b c -++ 【答案】D 【解析】111111()()222222AP AB AC OB OA OC OA OA OB OC =+=-+-=-++ ∴1122AP a b c =-++ ．故选D ．11．已知3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）． A ．2425- B ．2425 C ．725- D ．725【答案】A 【解析】∵3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ∴4sin 5α=-， ∴24sin 22sin cos 25ααα==-． 故选A ．12．已知(2,5,1)A -，(2,2,4)B -，(1,4,1)C -，则向量AB 与AC 的夹角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】C【解析】∵(2,5,1)A -，(2,2,4)B -，(1,4,1)C -，∴(0,3,3)AB = ，(1,1,0)AC =- ， ∴31cos ,2||||322AB AC AB AC AB AC ⋅<>===⋅ ， ∴AB 与AC 的夹角为60︒，故选C ．13．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①a αββγγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥ 其中为真命题的是（ ）．A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④ 【答案】B【解析】①利用平面与平面平行的性质定理可知：αβ∥，a γ∥，则βγ∥，故①正确； ②αβ⊥，m α∥，则m 与β可能平行，也可能相交，故②错误；③m n ββ⇒∃⊂∥，且m n ∥，因为m α⊥，所以n α⊥，所以αβ⊥，故③正确； ④m n ∥，n m αα⊂⇒∥或m α⊂，故④错误．综上所述，真命题是：①③．故选B ．14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．1112正视图侧视图俯视图A ．13B ．12C ．1D ．32【答案】A 【解析】三棱锥如图所示，1CD =，2BC =，CD BC ⊥，且1A BCD h -=， ∴底面积11212BCD S =⨯⨯=， ∴11111333A BCD BCD V S h -=⋅⋅=⨯⨯=．故选A ． D ABC h15．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E ，F ，G 分别是线段1B B ，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与1D F ，CE 与1D G ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F CE ⊥；②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1CE D F ⊥；③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G CE ⊥；④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得1CE D G ⊥．其中正确结论的个数是（ ）． A 1B 1C 1D 1F E C BA G DA ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】①只有1D F ⊥平面11BCC B ，即1D F ⊥平面11ADD A 时，才能满足对于任意，给定的点E ，存在点F ，使得1D F CE ⊥，∵过1D 点与平面11ADD A 垂直的直线只有一条11D C ，而11D C AB ∥，故①错误．②当点E 与1B 重合时，CE AB ⊥且1CE AD ⊥，∴CE ⊥平面1ABD ，∵对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1CE D F ⊥，故②正确．③只有CE 垂直于1D G 在平面1BCC B 中的射影时，1D G CE ⊥，故③正确．④只有CE ⊥平面11A CD 时，④才正确，因为过C 点的平面11A CD 的垂线与1BB 无交点，故④错误．综上，正确的结论是②③，故选C ．每二部分（非选择题）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 16．已知向量(3,5,1)a = ，(2,2,3)b = ，(4,1,3)c =-- ，则向量234a b c -+ 的坐标为___________．【答案】(16,0,19)- 【解析】∵(3,5,1)a = ，(2,2,3)b = ，(4,1,3)c =-- ，∴2342(3,5,1)3(2,2,3)4(4,1,3)(16,0,19)a b c -+=-+--=- ．17．已知向量(2,1,3)a =- ，(4,,)b x y =- ，若a b ∥则实数x y +=___________．【答案】4- 【解析】∵(2,1,3)a =- ，(4,,)b x y =- ，a b ∥，∴2x =，6y =-，4x y +=-．18．空间不共线的四点，可能确定___________个平面．【答案】1或4【解析】空间四点中，任意三点都不共线时，可确定4个平面，当四点共面时，可确定1个平面，故空间不共线四点，可确定1个或4个平面．19．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为___________． 【答案】3π3【解析】∵底面面积是π，∴底面半径是1，又∵圆锥侧面积为π2πrl =，1r =，∴2l =，且圆锥高3h =， ∴圆锥的体积为：13π3π33V =⨯⨯=．20．下图的正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成45︒角；④DM 与BN 垂直． 其中正确结论的是___________．M NFE C BA D【答案】④【解析】将正方体还原，如图所示：BM ED ⊥，故①错；CN BE ∥，故②错；CN 和BM 所成角为60︒，故③错；DM BN ⊥，故④正确．综上，正确结论是④．M NF EDA B C21．一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是___________．2正(主)视图侧(左)视图俯视图2【答案】6 【解析】三视图对应的几何体如图所示，截面是一个等腰三角形，腰长为25，底为22，所以截面的面积为：22122(25)(2)62⨯⨯-=．22．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________．②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________． 乙甲267总成绩年级名次语文成绩年级名次267丙267267总成绩年级名次数学成绩年级名次 【答案】乙；数学 【解析】①观察散点图可知，甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是乙． ②观察散点图，作出对角线y x =，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙的成绩名次靠前的科目是数学．三、解答题（本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23．（本题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD =︒∠，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ．（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．F EC BAPD【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵E 、F 分别是AP 、AD 的中点，∴EF PD ∥，又EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ．（Ⅱ）连接BD ，∵AB AD =，60BAD =︒∠，∴ABD △是等边三角形，∴BF AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD AD =，BF ⊂平面ABCD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又∵BF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAD ．DPA BCEF24．（本题满分13分） 已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()23sin cos 2sin 3sin 2cos21f x x x x x x =-=+-31π2sin 2cos212sin 21226x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （Ⅱ）∵π04x ≤≤，∴ππ2π2663x +≤≤， ∴1πsin 2126x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤， ∴π02sin 2116x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，即：0()1f x ≤≤．当且仅当0x =时，()f x 取最小值，()min (0)0f x f ==． 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值，max π()16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．25．（本题满分14分）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且22AC BC BD AE ====，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM EM ⊥．（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．MECBA D【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵AC BC =，M 是AB 的中点，∴CM AB ⊥，又EA ⊥平面ABC ，∴CM EA ⊥，∵EA AB A = ，∴CM ⊥平面AEM ，∴CM EM ⊥．（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ，MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -．则：(0,0,0)M ，(0,2,0)C ，(2,0,0)B ，(2,0,2)D ，(2,0,1)E -，(2,0,1)ME =- ，(0,2,0)MC = ，(0,0,2)BD = ，(2,2,0)BC =- ，设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z = ， 则：1112020x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取11x =，10y =，12z =，所以(1,0,2)m =，设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z = ，则：222220,20,x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取11x =，11y =，10z =，所以(1,1,0)n =，16cos 6||||23m n m n m n ⋅<⋅>===⨯．故平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为66．（Ⅲ）在棱DC 上存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒， 设(,,)N x y z 且DN DC λ= ，(01)λ≤≤， ∴(2,,2)(2,2,2)x y z λ--=--， ∴22x λ=-，2y λ=，22z λ=-， ∴(22,2,22)MN λλλ=-- ，若直线MN 与平面EMC 所成的的角为60︒，则：222222(22)3cos ,sin 60232(1)24(1)MN m λλλλλ-+-<>==︒=⋅-++- ， 解得12λ=，所以在棱DC 上存在一点N ，使直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒， 点N 为棱DC 的中点．xyz DA B C EM26．（本题满分10分）已知数列{}1212,,(1,2)n n A a a a a a a n =<<< ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，i j a a ⋅与jiaa 两数至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由． （Ⅱ）求证：11a =． （Ⅲ）求证：1211112nn na a a a a a a ---++=+++ ．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，所以该数集不具有性质P ，由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66，都属于数集{}1,2,3,6，所以该数集具有性质P ．（Ⅱ）因为123{,,}n A a a a a = 具有性质P ，11 所以n n a a 与nnaa 中至少有一个属于A ，由于121n a a a << ≤，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉， 从而1nna A a =∈，所以11a =．（Ⅲ）因为121n a a a =<<< ，所以k n n a a a >，故(2,3)k n a a A k n ∉= ． 由A 具有性质P 可知(1,2,)nka A k n a ∈= ， 又因为121nn n n n n a a a a a a a a -<<< ， 所以1nn a a =，21n n a a a -=， ，12n n a a a -=，1nn a a a =， 从而121n n n n n n a a a aa a a a -++++121n n a a a a -=++++ ， 所以1211112nn na a a a a a a ---+++=++ ．。