2014年郑州市高三第二次质量预测理科数学答案

2014年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、 选择题
BADC CABD BCDA 二、 填空题
13．1;4
14．21; 15．(,);e e 16．1.2-
三、解答题
17．解（Ⅰ）由已知，令p q n == 可得22n n n a a ⋅= ，------2分
因为0n a > ，所以2n n a = ．------5分 （Ⅱ）2n n n b na n ==⋅ ，------6分
1231122232(1)22,n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ① 23412122232(1)22,n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ②
由①-②得：1231122222,n n n S n +-=⋅++++-⋅ ------8分
即：12(12)
2.12
n n n S n +--=
-⋅-------10分 整理可得：1(1)2 2.n n S n +=-⋅+------12分
18． 解（Ⅰ）如图(2):在ABC ∆中,由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF //AB ，
又⊄AB 平面DEF ,⊂EF 平面DEF ， ∴//AB 平面DEF ． ------4分
（Ⅱ）以点D 为坐标原点,以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系．
则
11(0,0,1),(100),(22A B C E F ，，）,
(1,0,1),(AB BC =-=-
11),(22DE DF ==
设BP BC λ=
，则
(1,1)AP AB BP λ=+=--
， –---7分 注意到1
1033
AP DE AP DE BP BC λ⊥⇔⋅=⇔=⇔= ，
∴在线段BC 上存在点P ,使AP ⊥DE ． ------9分
（Ⅲ）平面CDF 的法向量(0,0,1)DA = ，设平面EDF 的法向量为(,,)n x y z =
，
则0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0,0,
x z ⎧=⎪+=
取(3,n =
，----10分
7
21|
|||cos =
⋅>=
⋅<n DA ， 所以二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为
7
21
． ---12分 19．解（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A ,
则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是226
(),n
C P A C = ------3分
由对立事件的概率: ()P A =4
1().5
P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = ------5分
（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1,2,3， -----6分
23261(1).5C P C η===------7分 22112
33332222264641
(2)5
C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=，------9分
3
(3)1(1)(2)
P P P ηηη==-=-==
，则η 的分布列为： ------11分
所以11312
1235555
E η=⨯+⨯+⨯= ．------12分
20．解（Ⅰ）由题知2x ≠±，且12y k x =+，22y k x =-， 则3
224y y x x ⋅=-+-，--------2分
整理得,曲线C 的方程为22
1(0)43
x y y +
=≠．-----------5分 （Ⅱ）设MP 与x 轴交于(,0)D t ，则直线MP 的方程为(0)x my t m =+≠， 记1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知11
22(,),(,)Q x y N x y --，
由223412,
x y x my t
⎧+=⎨=+⎩消x 得：222(34)63120m y mty t +++-=，-----7分
所以2248(34)0m t ∆=+->，且1,22
62(34)
mt y m -=
+， 故1222
1226,34312,34mt y y m t y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
------------9分 由M N S 、、三点共线知MS NS k k =，即
12
1244
y y x x -=--，
所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=,整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，----10分
所以222(312)6(4)
034
m t mt t m ---=+，即24(1)0m t -=，1t =，
所以直线MP 过定点(1,0)D ，同理可得直线NQ 也过定点(1,0)D ，
即四边形MNPQ 两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1,0)．--------12分
21．解（Ⅰ）由题知()(1)()R x f x x e x -'=-∈，当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，1x >，----3分
所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，
其极大值为1
(1)f e
=，无极小值．-----------5分
（Ⅱ）由题知01x <<， 当0k ≤时，因为01k
x x
≤<<，由⑴知函数在(,1)-∞单调递增，
所以()()k
f x f x
>，符合题意；-------7分
当01k <<时，取x k =，可得()(1)f k f >，这与函数在(,1)-∞单调递增不符；9分 当1k ≥时，因为
1
1k x x
≥>，由⑴知函数()f x 在(1,)+∞单调递减， 所以1()()k f f x x ≤，即只需证1()()f x f x
>，即证11x
x xe e x -->，
即1ln ln x x x x ->--
，12ln 0x x x -+>，令1
()2ln (01)h x x x x x
=-+<<， 则22
22
21(1)()0x x x h x x x -+--'=
=-<对01x <<恒成立， 所以()h x 为(0,1)上的减函数，所以()(1)0h x h >=，
所以()()k
f x f x
>，符合题意．-------11分
综上：(,0][1,)k ∈-∞+∞ 为所求．------------12分 22．解（Ⅰ）如图，连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ︒∠= ，
又CD AB ⊥ ，所以90AEF AMB ︒∠=∠=，
因此A E F M 、、、四点共圆． ------4分
（Ⅱ）连结AC ，由A E F M 、、、四点共圆， 所以BF BM BE BA ⋅=⋅ ，------6分 在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅ ，------8分
又由44MF BF ==知1,5BF BM == ，所以25BC = ，BC =．---10分 23．解（Ⅰ）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，
故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，------2分
直线:s i n 42l πρθ⎛⎫-= ⎪
⎝⎭ ，即si n cos 1ρθρθ-=， 则直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=．------4分 （Ⅱ）由⑴知圆O 与直线l 的直角坐标方程，
将两方程联立得220,10
x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得0,
1x y =⎧⎨=⎩，------6分
即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分
将（0,1）转化为极坐标为1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即为所求．------10分
24．解 （Ⅰ）由()51f x x >+化简可得|2|1x a ->，
即21x a ->或21x a -<-，------2分 解得：12a x -<
或1
2
a x +>， 所以，不等式()51f x x >+的解集为11
{|}22
a a x x x -+<>或 ．------4分
（Ⅱ）不等式|2|50x a x -+≤等价于525x x a x ≤-≤-，
即52,25x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩ ，化简得,3
7a x a x ⎧
≤-⎪⎪⎨⎪≤
⎪⎩
．------6分
若0a < ，则原不等式的解集为{|}7a
x x ≤={|1}x x ≤-，此时，7a =- ；-----8分
若0a ≥ ，则原不等式的解集为{|}3
a
x x ≤-={|1}x x ≤-，此时，3a = ．
综上所述，7a =- 或3a = ．------10分。