同方专转本高等数学
江苏省专转本《高等数学》考试大纲
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载江苏省专转本《高等数学》考试大纲地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容江苏省专转本《高等数学》考试大纲一、答题方式答题方式为闭卷，笔试二、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题、填空题、解答题、证明题、综合题三、考试大纲（一）函数、极限、连续与间断考试内容函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
专转本高数知识点整理
专转本高数知识点整理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。
如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。
- 函数的两要素：定义域和对应法则。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
3. 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
二、极限。
1. 极限的定义。
- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。
- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。
专升本大学数学知识点归纳
专升本大学数学知识点归纳专升本大学数学是一门综合性较强的课程，它涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。
以下是对专升本大学数学知识点的一个基本归纳：高等数学部分：1. 函数、极限与连续性：理解函数的概念，掌握极限的运算法则，学习函数的连续性条件。
2. 导数与微分：学习导数的定义、几何意义以及求导的基本方法，掌握高阶导数的计算。
3. 微分中值定理及其应用：包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
4. 不定积分与定积分：掌握不定积分的求解方法，如换元积分法和分部积分法；理解定积分的概念和性质，学习定积分的计算方法。
5. 多元函数微分学：学习偏导数、全微分以及多元函数的极值问题。
6. 无穷级数：包括数项级数的收敛性判断，幂级数的展开，以及函数的泰勒级数展开。
线性代数部分：1. 矩阵理论：矩阵的运算、矩阵的秩、特征值和特征向量。
2. 线性空间与线性变换：理解线性空间的概念，学习线性变换的性质。
3. 线性方程组：掌握高斯消元法、克拉默法则等解线性方程组的方法。
4. 向量空间与基变换：学习向量空间的基和维数，理解基变换的概念。
概率论与数理统计部分：1. 随机事件与概率：理解随机事件的概念，掌握概率的计算方法。
2. 随机变量及其分布：包括离散型随机变量和连续型随机变量，学习它们的概率分布。
3. 多维随机变量：学习联合分布、边缘分布以及条件分布。
4. 大数定律与中心极限定理：理解这两个定理的含义及其在统计学中的应用。
5. 统计量的分布：学习样本均值、样本方差的分布，以及抽样分布定理。
6. 参数估计：包括点估计和区间估计，学习估计量的选取标准。
7. 假设检验：学习假设检验的基本思想和方法，如t检验、卡方检验等。
结束语：专升本大学数学的学习不仅要求学生掌握数学的基本概念和运算方法，更要求能够运用数学工具解决实际问题。
通过对这些知识点的深入学习和理解，学生将能够在更高层次的学术研究或工作中，发挥数学的重要作用。
级数1
- 160 -第六章 级 数本章主要知识点● 级数收敛定义及性质 ● 正项级数敛散判别方法 ● 一般项级数敛散判别方法 ● 幂级数一、级数收敛的定义及性质定义：∑∞=1n na收敛∑=→=⇔nk nn S aS 1（有限）(→n +∞)性质：① 必要条件 0lim =∞→n n a② ∑na 与∑nb收敛，则∑±)(n nb a收敛③ ∑na 收敛，∑nb 发散，∑±)(n nb a 必发散 ④∑n a发散，∑n b发散，∑±)(n nb a不能确定⑤ ∑p n 1＝⎩⎨⎧发散收敛11p p >≤⑥∑n q 收敛，当.1q const =<例6.1．计算11(3)n n n ∞=+∑ 解：111111111()(1),()(3)33333nn n k k S n n n n n n ====-=-→→∞+++∑∑- 161 -111(3)3n n n ∞==+∑ 例6.2．计算nn q∞=∑（.1q const =<）解：111()11n n q S n q q+-=→→∞--所以11n n q q+∞==-∑ 二、正项级数(0)n n a a ≥∑敛散性判别法1. 比值判别法如果∞→n lim 11, 1, 1, n n l a l l a l +<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散比值判别法失效例6.3．∑+∞=1!n nnn 解： 111(1)!lim lim lim()1(1)!1n nn n n n n na n n n e a n n n -++→∞→∞→∞+=⋅==<++ 所以由比值判别法知原级数收敛。
例6.4．124nn n∞=+∑ 解：11124111lim lim lim 12422n n n n n n n a n n a n n ++→∞→∞→∞+++=⋅=⋅=<+ 收敛例6.5．判别级数()21222133535721n n -+++++⋅⋅⋅- 的敛散性- 162 -解：112357 (21)lim lim 0357...(21)2n n n n n na n a n +-→∞→∞⋅⋅=⋅=⋅⋅+－，收敛 2. 比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。
高等数学统招专升本教材
高等数学统招专升本教材高等数学是一门涉及广泛的学科，它在统招专升本教材中占有重要的地位。
本文将以高等数学统招专升本教材为题，介绍该教材的内容和特点。
第一章微分学微分学是高等数学中的基础概念之一。
它主要研究函数的导数和微分。
在微分学中，我们可以学习到函数的极限、连续性、导数以及相关的求导法则。
通过学习微分学，我们可以更好地理解函数的变化规律，从而解决实际问题。
第二章积分学积分学是高等数学的另一个重要分支。
它与微分学密切相关，两者共同构成了微积分学。
在积分学中，我们学习到了不定积分和定积分，以及它们的性质和运算法则。
通过积分学的学习，我们可以求解曲线下的面积、计算弧长等问题。
第三章无穷级数无穷级数是高等数学中的一种重要数列形式。
它是由无穷多个数相加或相乘而成的数列。
无穷级数的研究对象包括收敛级数和发散级数等。
通过学习无穷级数，我们可以了解数列的极限行为，进一步理解数学中的无穷概念。
第四章偏导数与多元函数偏导数与多元函数是高等数学中的另一个重要内容。
它们主要研究多元函数的导数、偏导数及其应用。
通过学习偏导数与多元函数，我们可以更好地理解函数在多维空间中的变化规律，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
第五章空间解析几何空间解析几何是高等数学中的一门几何学科。
它主要研究空间中的几何关系和几何图形的性质。
在空间解析几何中，我们学习到了点、直线、平面在三维空间中的表示方式和相互关系。
通过学习空间解析几何，我们可以更好地理解几何问题，提高几何分析和问题求解的能力。
第六章高等代数高等代数是高等数学中的重要内容之一。
它主要研究向量、矩阵和线性方程组等代数结构和代数运算。
在高等代数中，我们学习到了向量的运算法则、矩阵的性质以及线性方程组的解法等。
通过学习高等代数，我们可以更好地理解线性代数的基本概念，为计算机科学、物理学等学科打下坚实的数学基础。
综上所述，高等数学统招专升本教材涵盖了微分学、积分学、无穷级数、偏导数与多元函数、空间解析几何以及高等代数等重要内容。
江苏省“专转本”《高等数学》试卷分类解析不定积分.
同方专转本高等数学核心教程第三章不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例历年考试真题1.（2001）不定积分=（ D ）A.B. +CC. arcsinxD. arcsinx+C解析: 利用不定积分的定义.2001）计算⎰e2x2. （1+exdx。
解: ⎰e2xe2x+ex-exx1+exdx=⎰1+exdx=e-ln(1+ex)+C3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a≠0,1，则下列命题正确的是（A. ⎰f'(ax)dx=1af(ax)+C B. ⎰f'(ax)dx=f(ax)+CC. (⎰f'(ax)dx)'=af(ax)D. ⎰f'(ax)dx=f(x)+C解析: 由⎰f'(x)dx=f(x)+C⎰f'(ax)dx=1a⎰f'(ax)dax=1af(ax)+C4. （2002）求积分2解: 14arcsin2x2+C5. （2003）若F'(x)=f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ C ） - 78 - A ）第三章不定积分A.C. ⎰F(x)dx=f(x)+c B. ⎰⎰dF(x)dx=f(x)dx dx⎰dF(x)dx=f(x) f(x)dx=F(x)+c D. dx⎰解析: 不定积分的定义 6. （2003）xlnxdxx2x2x2=lnx-⎰dlnx 解: 设u=lnx,dv=xdx,则⎰xlnxdx=⎰lnxd222x21=lnx-⎰xdx22 11=x2(lnx-)+C227. （2004）求不定积分3=1arcsin4x+C 4解析: 31dx=⎰arcsin3xdarcsinx=arcsin4x+C 4ex8. （2004）设f(x)的一个原函数为，计算⎰xf'(2x)dx xexex(x-1)ex解: 因为f(x)的一个原函数为，所以f(x)=()'=， xx2x1111⎰xf'(2x)dx=⎰xf'(2x)d(2x)=⎰xdf(2x)=xf(2x)-⎰f(2x)dx 222211x(2x-1)e2xx-12x-+C=e+C ＝xf(2x)-⎰f(2x)d(2x)=248x28x4x9. （2005）若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=( D )A. F(sinx)+CB. -F(sinx)+CC. F(cosx)+CD. -F(cosx)+C解析: ⎰sinxf(cosx)dx=-⎰f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C⎰310. （2005）计算tanxsecxdx2 解：原式＝tanxtanxsecxdx=⎰⎰(secx-1)d- 79 - 22secx=⎰secxdsecx-secx同方专转本高等数学核心教程=secx-secx+C11.（2006）已知A.2e-2x133⎰f(x)dx=e2x+C，则⎰f'(-x)dx=（ C ）. 11+CB.e-2x+CC. -2e-2x+CD. -e-2x+C 22解析: 由题意f(x)=2e2x,∴f'(x)=4e2x,f'(-x)=4e-2x所以⎰f'(-x)dx=⎰4e-2x-2xdx=⎰-2e-2xd(-2x)=-2e+C12.（2006）计算⎰dx x解：原式＝32(1+lnx)=(1+lnx)2+C 313. (2007) 设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则⎰f'(2x)dx=（ A ）1cos4x+C 2C. 2cos4x+CD. sin4x+C A. cos4x+C B.解析: f(x)=2cos2x,所以f'(x)=4sin2x,⎰f'(2x)dx=⎰4sin4xdx=⎰sin4xd(4x)=cos4x+C2-x14. (2007)求不定积分xedx．⎰2-x2-x 解：xedx=-xd(e) ⎰⎰2-x-x2-x-x =-xe+2xedx=-xe-2xd(e) ⎰⎰2-x-x-x =-xe-2xe+2edx ⎰=-xe单元练习题3 2-x-2xe-x-2e-x+C1．dcos2x=- 80 - ⎰第三章不定积分2．已知f(cosx)=sin2x，则⎰f(x-1)dx=。
专转本高数考试内容
专转本高数考试内容
专转本高数考试内容通常涵盖以下几个方面：
1. 函数与极限：包括函数的定义、性质、极限的定义、极限的运算法则等。
2. 导数与微分：包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导等。
3. 积分与定积分：包括不定积分的定义、基本积分法、换元积分法、分部积分法、定积分的定义、定积分的计算等。
4. 微分方程：包括常微分方程、一阶微分方程、二阶线性微分方程等。
5. 级数与数项级数：包括级数的概念、收敛性、级数的收敛判别法、常见级数的性质等。
6. 一元函数的连续性与可导性：包括一元函数的连续性、一元函数可导的条件、连续函数与可导函数的关系等。
7. 向量代数与空间解析几何：包括向量的基本性质、向量的运算、平面与空间中的直线与平面的方程、点及直线的位置关系等。
这些内容是专转本高数考试的主要内容，但具体考试内容可能会因学校和教师的不同而有所差异，建议以实际考试内容为准。
同方专转本高等数学
江苏2001年“专转本”统一考试《高等数学》试卷及答案一、选择题1． 下列极限正确的是 （ C ）A ．e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→11lim 0； B ．e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim；Ｃ．11sinlim =∞→xx x ； Ｄ．11sinlim=→xx x ．２．不定积分=-⎰dx x211 （ D ）Ａ．211x-； Ｂ．C x+-211； Ｃ．x arcsin ； Ｄ．C x +arcsin３．若)()(x f x f -=，且在),0(+∞内：0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内必有：（Ｂ） Ａ．0)(<'x f ，0)(<''x f ； Ｂ．0)(<'x f ，0)(>''x f ； Ｃ．0)(>'x f ，0)(<''x f ； Ｄ．0)(>'x f ，0)(>''x f ． 4．定积分=-⎰201dx x （ D ）Ａ．0； Ｂ．2； Ｃ．1-； Ｄ．1． 5．方程x y x 422=+在空间直角坐标系下表示：（ Ａ ） Ａ．圆柱面； B ．点； C ．圆； D ．旋转抛物面．二、 填空题6．设参数方程为⎩⎨⎧+==22tt y te x t ；则==0t dx dy2 ．7．微分方程0136=+'-''y y y 的通解为：)2sin 2cos (213x C x C e y x+=其中21,C C 是任意常数．8．交换积分次序后=⎰⎰202),(xxdy y x f dx ⎰⎰⎰⎰+422222),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy ．9．函数yx z =的全微分dy x x dx yxdy yz dx xz dz yy ⋅⋅+=∂∂+∂∂=-ln 1．10．设(x f 为连续函数，则[]564)()(223⎰-=+-+dx x x x f x f原式=[]⎰-+-+223)()(dx x x f x f ⎰-=224dx x ⎰-=224dx x 564． （其中()()x f x f -+是偶函数）三、计算题11．已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏2001年“专转本”统一考试《高等数学》试卷及答案一、选择题1． 下列极限正确的是 （ C ）A ．e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→11lim 0； B ．e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim；Ｃ．11sinlim =∞→xx x ； Ｄ．11sinlim=→xx x ．２．不定积分=-⎰dx x211 （ D ）Ａ．211x-； Ｂ．C x+-211； Ｃ．x arcsin ； Ｄ．C x +arcsin３．若)()(x f x f -=，且在),0(+∞内：0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内必有：（Ｂ） Ａ．0)(<'x f ，0)(<''x f ； Ｂ．0)(<'x f ，0)(>''x f ； Ｃ．0)(>'x f ，0)(<''x f ； Ｄ．0)(>'x f ，0)(>''x f ． 4．定积分=-⎰201dx x （ D ）Ａ．0； Ｂ．2； Ｃ．1-； Ｄ．1． 5．方程x y x 422=+在空间直角坐标系下表示：（ Ａ ） Ａ．圆柱面； B ．点； C ．圆； D ．旋转抛物面．二、 填空题6．设参数方程为⎩⎨⎧+==22tt y te x t ；则==0t dx dy2 ．7．微分方程0136=+'-''y y y 的通解为：)2sin 2cos (213x C x C e y x+=其中21,C C 是任意常数．8．交换积分次序后=⎰⎰202),(xxdy y x f dx ⎰⎰⎰⎰+422222),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy ．9．函数yx z =的全微分dy x x dx yxdy yz dx xz dz yy ⋅⋅+=∂∂+∂∂=-ln 1．10．设(x f 为连续函数，则[]564)()(223⎰-=+-+dx x x x f x f原式=[]⎰-+-+223)()(dx x x f x f ⎰-=224dx x ⎰-=224dx x 564． （其中()()x f x f -+是偶函数）三、计算题11．已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy 。
dx x x dy xx)212ln 22111(++⋅+= 12．计算31sin cos 2cos 2sin 22cos sin 21sin 222222limlimlim-=-++-=+-=-→→→⎰xx x x x x x xexx x x exx dte x xx xx xtx（第一步用等量替换也行，那样更简单些） 13．求函数)1(sin )1()(2--=x x x x x f 的间断点，并指出其类型。
（1-=x 是第二类无穷间断点；0=x 是第一类跳跃间断点；1=x 是第一类可去间断点） 14．已知xy x y ln 2+=，求11==y x dxdy解：两边求导 2ln 12xy x yy y y -'+=' 解得 xy x y y y x y --='2222ln 故11==y x dxdy ＝115．计算dx eexx⎰+12解：=+⎰dx eexx12=+-+⎰dx ee e exxx x12dx ee e exxx x⎰+-+1)(2=⎰-dx e x=+⎰dx eexx1C e e xx ++-)1ln( 16．21102=+⎰∞-dx xk，求常数k解：由212arctan 1002===+∞-∞-⎰πkx k dx xk， 得 π1=k ．17．求微分方程x x y y sec tan =-'，满足初始条件00==x y 的特解解：[]xC x C xdx x xCdx xee Cdx xe e y xxdxx dxx cos ]cos sec [cos 1sec sec cos ln cos ln tantan+=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎰⎰-⋅-⋅--xx y C C yx cos 00cos 0000=⇒=⇒+=⇒==18．计算二重积分dxdy y D⎰⎰2sin ，其中D 是由直线2,3,1===y x x ，及1-=x y 所围成的区域解：原式=⎰⎰⎰-==+221120224cos 1sin sin dy y y dx dy y y19．已知曲线)(x f y =经过原点，并且在原点的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +='23)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定b a ,的值，并求出函数)(x f y =的表达式。
解：1）“过原点的切线平行于032=-+y x ”， ⇒2,2)3()(02-=⇒-=+='==b b axx f x x .2）“)(x f 在1=x 处取得极值”（连续、可导），0)3()(121=+='⇒==x x b axx f ，3/2=⇒a22)(2-='∴x x f ，x x y Cx x dx x x f y y 232232)22()(3)0(32-=+-=-==⇒⇒⎰=．20．设),(2yx x f z =，其中，f 具有二阶连续偏导数，求yx z xz ∂∂∂∂∂2,．解：令yx v x u ==,2，则),(v u f z =yv u f x v u f xz v u 1),(2),(⋅'+⋅'=∂∂()()()()()()[]．v u f y v u f x v u f y xyy v u f y y x v u f v u f v u f y x v u f x yv u f x v u f yx z v vv uvv vv vu uu uv yv y u ,,,211,1,0,0),())(,(2]1),([]2),([232222'+''+''-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅'+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅''+⋅''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅''+-''⋅='⋅'+'⋅'=∂∂∂21．过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由抛物线、切线，以及x 轴所围平面图形的面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
解：1）由已知条件，可设切线方程为，)1(-=x k y2）将切线方程与抛物线方程联立，消y ，得：0)21()12(222=+++-kx kx3）由于切点是唯一的交点，上述关于x 的方程，必须有重根，即：21,0)21(4)12(222±=⇒=+⋅-+k kk（舍去负号）得切线方程为：)1(21-=x y4）解出切点坐标：（3，1），沿y 轴积分，则所求面积A 为： []⎰+-+=102)12()2(dy y yA =31或⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32212)1(21)1(21dx x x dx x A =315) 该平面图形分别绕x 轴旋转一周的体积为： []62)1(21313222πππ⎰⎰=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=dx x dx x V x6）该平面图形分别绕y 轴旋转一周的体积为：[]56)12()2(10222ππ⎰=+-+=dy y yV y（本题一开始不设斜率，设切点坐标也可以）22．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)()(x ax xx f x g ，)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f ，（1） 求a ，使)(x g 在0=x 处连续；（2）求)0(g '．解：1)由)(x g 在0=x 处连续a x g x =→)(lim 0，)(x f 具有二阶连续导数及0)0(=f 得=→xx f x )(lim=--→00)(limx x f x ()a f x f x f x ='=--→)0(00)(lim即 ()0f a '=2）由)(x f 具有二阶连续导数，0)0(=f及=→xx f x )(lim()a f x f x f x ='=--→)0(00)(lim可导出()()()()()()()()()())0(212lim2limlim 1lim/)(lim)0()0(lim)0(022f xxx f xx f x f x x f x x f x x f x x f x x f xax x f xg x g g x x x x x x ''=∆∆∆''=∆∆'-∆'+∆∆''=∆∆-∆∆'=∆∆-∆∆'=∆-∆∆=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆→∆→∆23．设函数)(x f 在),0(c 上具有严格单调递减的导数)(x f '，)(x f 在0=x 处右连续且0)0(=f ，试证，对于满足不等式c b a b a <+<<<0的b a ,，恒有下式成立：)()()(b a f b f a f +>+证：1）“)(x f '是),0(c 上严格单调递减的导数，)(x f 在0=x 处右连续” )(x f y =⇒在),0[c 上是凸的。
于是，当)1,0(∈p 时，),0[,21c x x ∈∀满足：])1([)()1()(2121x p px f x f p x pf -+<-+ （*）2）取ba a p +=，b a x x +==21;0，满足（*），代入得： (**))()()](0[)()0(b f b a f ba bb a ba b b a a f b a f ba b f b a a <++⇒+++⋅+<++++3）类似地，取ba b p +=，b a x x +==21;0，得：*)*(*)()()](0[)()0(a f b a f ba ab a ba a ba b f b a f ba af b a b <++⇒+++⋅+<++++4）综合（**）（***）得：)()()(b a f b f a f +>+关于本题的另两种证明：其一证明：设)()()(x f x a f x F -+=，则)(x F 在闭区间],0[b 上连续，在开区间),0(b 内可导． 由)(x f '在),0(c 上严格单调递减，得0)()()(<'-+'='x f x a f x F )0(b x <<于是)(x F 在],0[b 上单调递减，知)0()(F b F <即)0()()()(f a f b f b a f -<-+ 而0)0(=f ，故)()()(b a f b f a f +>+ 其二证明：由拉格朗日定理知：)(11)()()(b a b f ab f b a f +<<'=-+ξξ，)0(22)()0()(a f af a f <<'=-ξξ由)(x f '在),0(c 上严格单调递减，知)()(21ξξf f '<' 而0)0(=f ，故)()()(b a f b f a f +>+24．一租赁公司有40套设备要出租。