对福建高考数学解析几何试题的评析与思考

对福建高考数学解析几何试题的评析与思考邹黎华（福州十一中，福建福州350001）摘要：在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习，都成为专家、教师探讨的重点、热点，也是高考命题改革的一块试验田．本文通过对2009年到2012年的福建省高考数学理科解析几何试题的评析，考点统计，揭示这些试题是如何贯彻课程标准，反应考试说明的意图，进而反思教师在解析几何的教学与高三复习，反思高考这一专题的命题．关键词：课程标准；数学高考；解析几何；评析与反思前言福建省从2006年开始实施高中新课程，从2009年开始在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科的新课程卷也呈现其崭新的一面．其中解析几何与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，出现了不少的精彩试题．不论在试题评价、试题研究还是高考复习，解析几何成为专家、教师探讨的重点、热点，解析几何试题成为高考命题改革的一块试验田．本文通过对2009年到2012年的福建省高考数学理科解析几何试题的评析，希望能够为一线教师的教学、高考复习和命题专家提供有益的思考．1.解析几何考查综述1.1《考试说明》对解析几何考点的解读1.1.1解析几何的考点与要求（A：了解；B：理解；C：掌握）1.1.2考点解读解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．解析几何用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想．利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，运用代数的方法研究曲线的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题．用代数方法研究几何图形是解析几何的核心．在解题的过程中计算占了很大的比重，对运算求解能力有较高的要求．因此，首先应强调确定几何图形的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画几何图形，推导出几何图形的方程．其次，强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算，不要把解析几何变成纯粹的形式推导．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行（共线）、垂直关系及成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何试题适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．1.2 2009——2012福建省高考数学（理科）解析几何试题考点分布统计新课程背景下的解析几何的考查，最核心的思想是注重考查学生在数形结合思想基础上的图形探究能力，强化自主探究，淡化数值推理运算．形式上按照新课标的要求，对圆锥曲线部分突出了定义和图形、几何性质的研究，强调多曲线的综合，显化了直线和圆的位置关系． 1.3考点分析 ①试题结构平稳，题量均匀．每份试卷基本上是1道小题（2010年2道）1道大题，平均分值19分，理 科考查权重181212%250+=，应考分值18分，实际情况与理论权重基本吻合； ②涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面 较大；③涉及曲线类型较全．每份试卷至少涉及三种以上的曲线，2011年涉及到四种曲线；④注重与其他内容的交汇：四份试卷解析几何试题中，有三份试题与向量的内容交汇，有一份试题内容与 导数交汇．2. 2009——2012福建省高考数学（理科）解析几何试题评析 2.1客观题评析例1：（2009年）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________．【试题评析】要求抛物线标准方程中的一个参数p 的值，只要构造一个与p 有关的方程即可．根据已知条件，可根据弦长8AB =列出方程．具体操作时，可根据弦长公式列方程，亦可根据抛物线的定义列方程，但计算量是有差别的．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 例2：（2010年）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) .A.22x +y +2x=0B. 22x +y +x=0C. 22x +y -x=0D. 22x +y -2x=0【试题评析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D ．本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法．例3：（2010年）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( ) ．A．)+∞ B．[3)++∞ C ． 7[-,)4+∞ D ． 7[,)4+∞ 【试题评析】OP FP ⋅ 中涉及三个点，其中,O F 是定点，P 是双曲线右支上的动点，所以，可以考虑建立OP FP ⋅与P 点坐标之间的函数关系．根据已知双曲线的焦点坐标可以求出待定系数a ，再由P 是双曲线右支上的动点可以用P 的横坐标x来表示P 的纵坐标y ，从而建立OP FP ⋅与P 点横坐标x 之间的函数关系，通过求函数的值域求出取值范围．本题主要考查运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．例4：（2011年）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF FF PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）.A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 【试题评析】要求圆锥曲线的离心率，可以转化为求圆锥曲线中,a c 之间的关系，由于题干中没有指出具体是何种圆锥曲线，故要分类讨论，在不同曲线背景下，根据已知1122::4:3:2PF F F PF =即可得到,a c 之间的关系，从而求出离心率．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.例5：（2012年）双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）．A ．5B ．24C ．3D ．5【试题评析】根据抛物线的标准方程即可求出其焦点坐标，亦为双曲线的焦点，从而求出其标准方程中的待定系数b 的值，进而求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出答案．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想．从以上试题的分析可以看出：我省解析几何的客观题重点考查直线方程、圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质，计算量不大，但突出对解析几何本质的理解，强调运算求解能力与推理论证能力，重视函数与方程思想、数形结合思想的应用，题目难度不大，属于基础题或中档题． 2.2主观题评析例1（2009年）已知,A B 分别为曲线222:1(0,0)x C y y a a+=≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B ,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T ．(Ⅰ)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的 坐标；（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【试题评析】第一问只要抓住Rt ABS ∆，利用已知条件，即可求解．要注意的是对T 点的位置分两种情况 讨论．第二问是一个开放性的问题，判断参数a 的存在性．这类问题的逻辑思路是假设a 存在，根据满足 的条件,,O M S 三点共线建立与a 有关的方程，由方程解的存在情况确定a 的存在与值．本题考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化的思想以及分类与整合的思想．本题的亮点 是根据,,O M S 三点共线的不同处理方式，可以有建立方程不同的方法，就有了不同的解法，此法在具体解题中，要利用直线与曲线的位置关系求出相关点的坐标，这与学生平时习惯用韦达定理，“设而不求” 的训练不同，规避了解题模式，突出对解析几何基本方法的考查． 例2（2010年）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【试题评析】第一问可以有两种方法：一是用待定系数法，根据已知两个条件，列出两个方程，从而求解； 二是利用椭圆的定义和已知条件求出2a ，再由已知c 的值求出b ，从而求得椭圆方程；第二问是开放性问 题，判断满足题设的直线是否存在．从逻辑思维的角度考虑，假设直线l 存在，则l 应满足三个条件①//l OA （可求k ）；②l 与椭圆有公共点（可建立k 与b 的不等关系）；③l 与OA 的距离等于4（可建立k 与b 的 相等关系），而确定一条直线只需两个条件即可．因此，可利用l 满足其中两个条件求出，再检验是否满足 第三个条件，从而得出l 是否存在．这样，本题有多种不同的解法．本题主要考查运算求解能力、推理论 证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．本题的亮点是，背景学生熟悉，试题入 口宽，可以用不同的想法和解法解决，使不同思维方式的学生都能做题，提供给学生充分展示自己的平台． 例3（2011年）已知直线:,l y x m x R =+∈．（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【试题评析】第一问可以有两种解法：一是利用l 与圆相切于y 轴上一点，求出切点，进而求出圆的半径，从而确定出圆的方程；二是利用待定系数法，由已知条件列出两个方程，从而确定出圆的方程．第二问是一个开放性问题，判断直线'l 与已知抛物线是否相切．在研究直线与抛物线的位置关系时，通过联立方程，根据m 取不同的值情况判断判别式的符号，从而确定直线'l 是否与已知抛物线相切．本题主要考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．本题的亮点是用方程的工具研究直线与圆锥曲线的位置关系，体现了“以数释形”的“解析”思想.本题不论是题设背景，还是问题设置都是学生所熟悉的，解题的运算量适中，但却能体现解析几何的本质思想和方法．例4（2012年）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ．过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ．试探究： 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【试题评析】第一问由已知条件，根据椭圆的定义和离心率的定义即可求解．第二问难度较大，是一个探 究性的开放试题，判断是否存在满足题设的定点．解决此题要突破两个关键：一是由图形的几何特征，判断出若定点存在，则必在x 轴上，二是，题设要求“以PQ 为直径的圆恒过点M ”应转化为“0MP MQ ⋅=对满足一定关系的,m k 恒成立”，这里一定关系是指l 与椭圆相切22(430)k m -+=．从逻辑的角度想，有两种做法：一是根据“0MP MQ ⋅= 对满足一定关系（即22430k m -+=）的,m k 恒成立”，得出一个关于x 的方程对于满足22430k m -+=的,m k 的恒成立．从而求出定点坐标；二是先通过两组,m k 具体值，得到两个圆方程，求出它们与x 轴的交点，从而找到定点(1,0)M ，再证明点M 满足0MP MQ ⋅=．本题主要考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般的思想．本 题的亮点是体现代数方法对解决几何问题的作用，同时体现图形的几何性质对代数运算的方向和运算量的减小的作用，在推理论证上，体现不同思维方式引发不同的解题方法，对区分不同数学思维层次的学生有很好的作用．从以上试题的分析可以看出：福建省高考数学理科解析几何的解答题的考查无论从知识点、能力点、还是数学方法、数学思想都符合福建省高考数学考试说明对解析几何的要求，以学生熟悉的曲线类型为背景，以直线与圆锥曲线的位置关系为重点，以开放式的设问方式为主要形式，在解析几何与向量、函数、不等式等知识点的交汇处设计试题，以能力立意为主，着重考查学生对解析几何基础知识、核心思想和数学通法的掌握，试题有较好的区分度，对中学解析几何的教学有很好的导向作用．3.思考3.1从教学的角度思考：通过对四年解析几何的试题分析，进一步坚定在教学中要扎扎实实地讲好直线、圆、圆锥曲线及其几何性质等基础知识．教学中要学生先通过画图，直观地理解要解决的几何问题的几何意义，再转化为代数问题求解，通过这个过程学生很容易体会数形结合的思想，体会解析几何的方法；在研究圆锥曲线时，弄清楚曲线方程和参变量的几何意义是第一位的，在此基础上，运用代数方程的方法解决几何问题，在解决几何问题之后，要回到几何意义的理解上．几何是解决问题的出发点也是问题解决之后的落脚点，要避免让学生陷入代数的恒等变形而不理解其几何含义．在分析问题、解决问题中要突出几何要素，注重几何要素的代数化，要在几何要素的引导下进行代数的恒等变形，要让几何图形帮助我们思考问题、确定恒等变形的方向、简化计算，体会几何直观给我们带来的好处．3.2从高三复习备考的角度思考：①认真研读《考试大纲》、《考试说明》明确高考对解析几何基础知识、基本技能、基本思想、基本方法的要求，使复习工作有的放矢；②重视解决解析几何问题通法的训练．从试题分析中可以看出，直线方程、圆的方程，圆锥曲线的方程和基本性质（基本量）是重点考查的知识点，一定要熟悉基本方法，而直线与圆锥曲线的位置关系及其引发的各类问题是主观题的考查热点，要通过典型例题的操作、讲解，帮助学生总结解题思路，思考策略和通行通法，此外，要注意解析几何与其他数学内容的交汇，加强知识整体性的认知，锻炼学生在对参数的运算处理和面对繁杂的数学式子变形时应有的沉着心理和坚强毅力；3.3从高考试题命制的角度思考：通过分析发现一些商榷的问题，例如四年解析几何的主观题的第二问都是采用开放式的设问方式，探究存在性的问题，显得“稳定有余”，“变化不足”；考查的切入点可以再丰富一些，比如解析几何中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展；试题将用代数方法研究几何问题这一解析几何的本质方法通过新定义的方式得到了精彩演绎．这些命题的思路都值得我们借鉴．总的说四年解析几何的试题命制是成功的．很好的贯彻了“关注交汇，注重探究，规避模式，强调应用，体现理念”的高考命题指导思想和“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想．命题立足学科知识本质，降低试题整体难度，注重考查基础知识、基本技能和基本思想的掌握程度，努力体现对知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观等目标的要求，以发挥试题对推进普通高中实施素质教育的积极导向作用．参考文献：[1]中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社2003[2福建省教育考试院编．2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明[M]．福建：福建教育出版社2012[3]王尚志．数学教学研究与案例[M]．北京：高等教育出版社2006。