对2000年上海数学高考第21题的商榷
2000年高考数学第19_20题分析
2000年高考数学第(19),(20)题分析晨 旭中图分类号:O12-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)05-0001-02收稿日期:2000-11-10 一道理想的高考数学试题应该具备三个特点:形式简洁,内涵隽永,难度适中.前两个特点讲的是美学标准,反映数学科学的特征.第三个特点讲的是实用标准,是高考选拔功能的要求.下面围绕这三个特点浅析2000年数学高考试卷中一道有关函数的大题.为讨论方便,引述原题如下:设函数f (x )=x 2+1-ax ,其中a >0.(Ⅰ)解不等式f (x )≤1;(Ⅱ)求a 的取值范围,使函数在区间[0,+∞)上是单调函数.先谈试题形式.这道题给人的第一感觉是“清爽”:函数形式自然简明,文字叙述一目了然.这就是美感.在纯粹数学领域,美学标准是衡量优劣的一个重要标准.中学数学虽然离现代数学的前沿还很远,但数学教育还是应该以潜移默化的方式培养学生对美的感受能力,高考数学命题应该考虑到这一点.在上述这道题的最初形式中,函数f (x )=e2x+e x-ae x ,并且不出现限制条件a >0.显然,e x 的引入带有浓重的人为痕迹,它完全可以用一个新的变元替代,而少了条件a >0则导致要分别讨论a >0与a <0两种对称的情形,使解答有重复之嫌.两相比较,高下立判.再谈试题内涵,试题内涵包括试题内容和解答.内涵隽永要求解答过程充分反映数学思维的特征,最后结果有耐人寻味之处.数学推理主要依靠逻辑思维,但几何直观也是非常重要的,它常常有助于找到问题的关键所在,从而使推理过程变得容易.上述这道题的第一问是常规的,主要考察对不等式作等价变形的能力.但是,第一问并非游离于第二问之外.实际上,它为第二问的完全解答暗暗做了铺垫.为解答第二问,自然的想法是从单调性的定义出发.因此,计算f (x )在两个不同点的函数值之差几乎是逻辑的必然.稍稍再往前一步即可知道,当a≥1时,f (x )在[0,+∞)上是单调函数.至于0<a <1的情形,在动手演算之前,应停下来做一些思考.边解答、边思考实际上是分析、解决数学问题的特征之一.面对一个数学问题,我们应该常常回头看看,问自己对它已经知道了什么.从逻辑上说,已经知道的结果总是关于所研究的问题的知识,常常包含解决问题的线索.就前述试题而言,认真检视第一问的解答过程可以发现,当0<a <1时,在区间[0,+∞)上存在两点x 1=0,x 2=2a1-a 2满足f (x 1)=f (x 2)=1,这说明函数f (x )在区间[0,+∞)上不是单调函数.当然,发现这两个特殊点需要有一定的数学头脑.前面说过,几何直观在数学思考中是非常重要的.在解答上述这道题时,如未从考虑函数y =x 2+1与函数y =ax +1的图象入手,那么推理过程将是顺理成章的.实际上,y =x 2+1的图象是双曲线的一支,y =ax +1是斜率为a 的一条直线,过双曲线的顶点(0,1).直线y =x 是双曲线y =x 2+1的渐近线,在第一象限内它们上面具有相同横坐标的点之间的距离随横坐标的增大越来越接近于0.由此不难推断,当a ≥1时,在第一象限内,直线y =ax +1与双曲线y =x 2+1上具有相同横坐标的点之间的距离随横坐标的增大而增大.这说明,当a ≥1时,ax +1-x 2+1在[0,+∞)上是单调递增函数.另一方面,如果0<a <1,由于y =ax +1与y =x 2+1在第一象限内有两个交点,可以推断ax +1-x 2+1不是单调函数.虽然上述分析推理不能当作严格的数学证明.但是有了这些源于几何直观的推断,试题第二问的严格解答已是水到渠成之事了.这道试题的第二问的结果是有耐人寻味之处的.事实上,它表明a =1是使得函数f (x )在区间[0,+∞)上是单调函数的最小a 值.这颇有一些高12001年第5期 数学通讯等数学中的“ε-δ”语言的韵味:任给1>δ>0,都存在a=1-δ使得y=ax+1-x2+1在区间[0,+∞)内不单调.这一丝韵味和前一段指出的鲜明的几何意义可以说是这一道题的两个亮点.最后谈试题难度.应该说,完整解答这一道试题的第二问是有一定困难的.但前面的分析已经表明,它的解答过程完全遵循正常数学思维规律.从这个意义上说,它的解答是自然的,而对于具有良好数学素养的人而言,“自然”几乎就是“容易”的同义词.因此,优秀的学生是完全能够给出第二问的完整解答的.另一方面,常规性的第一问大大降低了试题的入口,这使得一般的学生也不会觉得无从下手,从而降低了试题的整体难度,所以,这一道题绝不属偏题、怪题之列.3+2理科第(20)题是一道数列题,以考查等比数列的基本概念为主,从数列之间的关系入手,进行正反两方面的讨论.解题要求能够熟练地进行恒等式变形,应用平均值不等式,考查内容属于基本知识和基本技能,但有一定的深度、灵活性和思维层次.一般情形,如果c n=a n+b n,a n=a1p n-1,b n=b1q n-1,p≠q,{a n},{b n}是等比数列,则{c n+1-pc n},{c n+1-qc n}都是等比数列,这一结果的验证非常简单,而(Ⅰ)把两个数列换成了具体的数列,变换了提问的角度.c n=2n+3n,要求求出常数p,使{c n+1-pc n}是等比数列.解决这一问题,归结为解方程,或者如标准答案所述,利用等比数列的性质:任何一项是其前后两相邻项的等比中项,问题归结为求解关于p的一元二次方程.或者设{c n+1-pc n}的公比为q,利用等比数列定义,建立p和q的联立方程,然后求解.两种做法得到同样的结果.也可以从特殊项入手,令第二项平方等于第一、三两项的乘积,解出p,这样做,方程中不含参数n,计算简单,但求得的结果须代入一般项验证.(Ⅱ)的证明有两点关键,其一是:要证明一个数列不是等比数列,只须举出一个反例,也就是只须找出该数列的相邻三项,使中间一项不是前后两相邻项的等比中项即可.这是在否定证明中普遍采用的方法,简单、基本,但很重要.其二是:上述的不等证明最终归结为当p≠q时,2pq≠p2+q2,用到平均值不等式.著名而且应用广泛的斐波那契数列也是两个等比数列之和,两公比之和等于1,之积等于-1.两公比分别是5+12和1-52.与几何中的“黄金分割”有本质上的联系.这些内容经常成为数学课外活动的素材.本题虽然是有关两个等比数列之和的问题,但主要考查定义和基本性质,体现了公平原则.广东卷(19)题也是一道以等比数列作为考查对象的题目,与理科的数列题比较,更容易入手.(Ⅰ)是简单的,只须把题设条件代入,立即可求得首项a1=1,公比q=2.因此(Ⅰ)的得分率会比较高. (Ⅱ)有一定难度,但入手点多,解法灵活.要求考生熟练掌握等比数列和等比数列前n项和的概念,并能够灵活运用.(Ⅱ)的解法1,直接把T n变形为2T n-T n错项相加,借助{a n}和等比数列前n项和的公式求得T n的通项公式,构思比较巧,只要想清楚了,演算过程中注意观察,得到结果并不难,标准答案中的解法2,从{T n}相邻两项的差入手,立即发现这个差恰是数列{a n}的前n项和S n,即T n= T n-1+S n,由此可得T n=S1+S2+…+S n(从T n =na1+…+a n出发,也可得到这一结论),接下来,对每一k利用求和公式S k=a1(1-q k)1-q=1-2k1-2= 2k-1.再次利用求和公式,可得结果.此外,还可以从另一角度考虑,b n=c n+d n,{c n}是公比为q的等比数列,{d n}是等差数列,则{b n-qb n-1}是等差数列.反之也对,即若{b n-qb n-1}是等差数列,则{b n}是一个等差数列与一个等比数列的和.应用到本题: T n=n+2T n-1,因此T n+n+2=2[T n-1+(n-1)+2],很快可得结果.总之,本题的设计既达到了考查基本知识、基本技能、基本方法的目的,又有相当的灵活性,难度适当,有区分度.3+2文科第(18)题,新课程文科第(19)题考查等差数列及等差数列前n项和的概念和公式,难度略低于广东卷的数列题.解法不复杂,利用已知条件(S7=7,S15=75)建立方程组,可以算出数列{a n}的首项a1=-2,公差d=1,稍难的是要得到最终结果,必须推出{S nn}是等差数列.实际上,对于任意公差为d的等差数列{a n},若S n是{a n}的前n项和,则{S nn}是等差数列,其首项为a1,公差为d2.有了这一结论,由于前面已经求得a1和d,再次利用等差数列求和公式,可以求得结果.综观三道数列题,共同特点是注重考查与数列有关的基本知识、基本技能和基本方法.门坎不高,容易入手,题目难度都比较适当,都有一定的思维层次.考虑到文科与理科,全国卷与广东卷(文理合卷)考生情况的不同,题目难度、考查角度和考查深度又略有区别.2数学通讯 2001年第5期。
(详细解析)2000年高考数学试卷(全国旧课程)理科
2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ，映射 f : A B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是A ．2B ． 3 C． 4 D． 5【答案】 C【解析】 2n n 20 ，解得 n 4 ．2．在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是3A ． 2 3 B． 2 3i C． 3 3i D． 3 3i【答案】 B【解析】所求复数为(3 3i )[cos( ) i sin()] (3 3i)( 13 i )2 3i ．3 3 2 23．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2, 3, 6 ，这个长方体对角线的长是A ． 2 3B． 3 2 C． 6 D． 6【答案】 D【解析】设长、宽和高分别为a,b, c ，则 ab 2, bc 3, ac 6 ，∴ abc6 ，∴ a 2, b 1, c 3 ，∴对角线长l 2 1 3 6 ．12000 年高考数学试题（全国旧课程）理科4．已知sin sin ，那么下列命题成立的是A ．若, 是第一象限角，则cos cosB ．若, 是第二象限角，则tan tanC．若, 是第三象限角，则cos cosD ．若, 是第四象限角，则tan tan【答案】D【解析】用特殊值法：取60 , 30 ，A 不正确；取120 , 150 ， B 不正确；取210 ,240 ， C 不正确； D 正确．5．函数 y x cos x 的部分图像是【答案】 D【解析】函数y x cos x 是奇函数， A 、 C 错误；且当x (0, ) 时， y 0 ．26．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元 B ．900~1200 元C．1200~1500 元D． 1500~280 0 元【答案】 C【解析】当月工资为1300 元时，所得税为25 元； 1500 元时，所得税为25 20 45元，所以选 C．22000 年高考数学试题（全国旧课程）理科7．若 a b 1 ， Plg a lg b,Q 1 lg a lg b ,R lg a b，则2 2A ． R P QB ． P Q RC ． Q P RD ． P R Q【答案】 B【解析】 方法一 ：1lg a lg b 1(2 lg a lg b)lg a lg b ； lg a b lg ab22 21lg a lg b ，所以 B 正确． 2方法二 ：特殊值法：取 a100, b 10 ，即可得答案．8．以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， 1 为半径的圆的方程是 A ．2cosB ．2sin44C ．2cos1D ．2sin1【答案】 C【解析】设圆上任意一点M ( , ) ，直径为 2，则 2cos(1) ，即2cos1 ．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是1 2 1 4 1 2 1 4A ．B ． 4C ．D ．2 2【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高 h 2 r ， S 全 2 r 2 (2 r )21 2 ． S 侧 (2 r )2210．过原点的直线与圆x 2y 24x 3 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ． y 3xB ．y 3x C ． y 3 x D ． y3 x3 3 【答案】C【解析】圆的标准方程为( x 2) 2 y 21，设直线的方程为 kx y 0 ，由题设条件可得2k，解得k 3 ，由于切点在第三象限，所以 k3y313 ，所求切线x ．1 k23 332000 年高考数学试题（全国旧课程）理科11 y ax (a 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段 PF与FQ的．过抛物线 2长分别是 p, q ，则11 等于p qA ． 2 a1C． 4a4 B．D．2a a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y 轴，即将y1 1代入抛物线方程得x ，4a 2a∴ 1 1 4a ．p q【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图， OA 是圆锥底面中心 A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为1 1A ． arccos 32B． arccos 2C． arccos 1D． arccos 12 4 2【答案】 D【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为 h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过 A 向轴作垂线 AC ，垂足为 C ，OA r cos , CA OA cos r cos2，∴ V11( r cos2 ) 2 h ，原3圆锥的体积为V 1 r 2h 2V12r2h cos4，解得cos 4 2 ，∴arccos41．3 3 2第II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛． 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】 25242000 年高考数学试题（全国旧课程）理科【解析】不同的出场安排共有 A 33 A 72252 ．14．椭圆 x 2 y 2F 1PF 2 为钝角时，点 P 横9 1的焦点为 F 1, F 2 ，点 P 为其上的动点，当4 坐标的取值范围是 ． 【答案】 ( 3 , 3)5 5【解析】 方法一 ：（向量法） 设 P( x, y) ，由题设 PF 1 PF 2 0 ，即( x c,y) ( x c,y) 0，x 2 2 y 2 0 ，又由 x 2 y 2 1得y2 4x 2 ，代入 x 2 c 2 y 2 0 并化简得 c 94 4 95x 2 c 24 1 ，解得 3 x3 ．9 5 5方法二 ：（圆锥曲线性质）设P( x, y) ，∵ a 3,b 2 ，∴ c 5 ，又 PF 13 5x ，3 PF 2 35x ，当22F 1F 2 23x 33 F 1PF 2 为钝角时， PF 1PF 2 ，解得 5 ．515．设 a n 是首项为 1的正项数列，且 (n 1)a 2 na 2 a a 0(n 1,2,3,...) ，则它 n 1 n n1 n 的通项公式是 a n ．【答案】 1n【解析】条件化为 (a n1 a n )[( n 1)a n 1 na n ] 0 ，∵ a n 0 ∴ ( n 1)a n 1 na n0 ，即 an1 n ，累成得 a n 1 ．a n n 1 n16．如图， E, F 分别为正方体的面ADD1A1、面 BCC1 B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都．52000 年高考数学试题（全国旧课程）理科填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）已知函数y 1 cos2 x 3 sin xcos x 1, x R ．2 2（ I）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ II ）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分 12 分．（Ⅰ） y 1 cos2 x 3 sin x cosx 11 (2cos 2x1) 1 3 (2sin x cos x) 12 2 4 4 41 cos2x3 sin 2 x 5 1 (cos2x sin sin 2xcos ) 54 4 4 2 6 6 41 sin(2x) 5 ．—— 6 分2 6 4y 取得最大值必须且只需2x6 2 2k , k Z ，即 x k , k Z ．6所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为x|x k , k Z—— 8分6（Ⅱ）将函数y sin x 依次进行如下变换：（ i）把函数y sin x 的图像向左平移，得到函数y sin( x ) 的图像；6 6（ ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到函数2 y sin(2x ) 的图像；662000 年高考数学试题（全国旧课程）理科（ iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 1 倍（横纵坐标不变），得到函数1 sin(2 x 2y) 的图像；2 65 个单位长度，得到函数1 sin(2 x 5（ iv ）把得到的图像向上平移)的图像；4 2 6 4综上得到函数y 1 cos2 x 3 sin x cos x 1 的图像．—— 12 分2 218．（本小题满分 12分）如图，已知平行六面体1 11的底面 ABCD 是菱形，且 1 ABCD A1BC D C CBC1CD BCD 60 ．（I）证明： C1C BD ；（II ）假定CD 2,CC13，记面 C1BD为，面 CBD 2为，求二面角BD 的平面角的余弦值；（Ⅲ）当CD的值为多少时，能使AC1平面 C1BD ？请给出证明．CC1【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12 分．（Ⅰ）证明：连结 AC1 1 , AC ， AC 和 BD 交于 O ，连结 C1O ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC BD ,BD CD ．又∵BCC1DCC1, C1C C1C ，∴C1BCC1DC ，∴ C1 B C1D ，∵DO OB ，∴C1O BD ，—— 2 分但 AC BD, AC C1O O ，∴ BD 平面 AC1，又 CC1平面 AC1，∴CC1BD ．—— 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC BD ,C1O BD ，72000 年高考数学试题（全国旧课程）理科∴C1OC 是二面角BD的平面角．在C1 BC 中， BC 2, C1C 3 ,BCC160 ，( 3)2 3213∴ C1B222 2 2 cos 60 ．—— 6 分2 24∵OCB30 ，∴OB 1 BC1．2∴ C1O 2C1B2OB213 19 ，34 4∴ C1O，即 C1O C1C ．2作 O1H3 OC ，垂足为 H ．∴点 H 是 OC 的中点，且OH ，2所以 cos C1OC OH 3．—— 8分C1O 3（Ⅲ）当CD 1时，能使AC1平面C1BDCC1证明一：∵CD1，∴BC CDC1C，CC1又BCD C1CBC1CD ，由此可推得BD C1 B C1D ．∴三棱锥C C1BD 是正三棱锥．—— 10分设AC1与 C1O 相交于G ．∵AC11// AC ，且 AC11 :OC2:1 ，∴ C1G :GO 2:1 ．又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线，∴点 G 是正三角形 C1BD 的中心，∴CG 平面 C1BD ．即 AC1平面 C1BD ．—— 12 分证明二：由（Ⅰ）知，BD 平面 AC1，∵ AC 平面 AC ，∴ BD AC ．—— 10 分1 1 1当CD 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC182000 年高考数学试题（全国旧课程）理科同 BD AC 1 的证法可得BC 1AC 1 ，又 BC 1 B AC C 1BDBD ，∴ 平面 ．—— 12 分1 19．（本小题满分12 分）设函数 f xx 2 1 ax ，其中 a 0 ．（I ）解不等式 fx 1；（II ）求 a 的取值范围，使函数 f x 在区间 [0, ) 上是单调函数．【解】 本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识， 分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分 12分．（Ⅰ）不等式f x 1 即 x 2 1 1 ax ，由此得 1 1 ax ，即 ax 0 ，其中常数a 0 ．x 2 1 (1 ax) 2 , x 0,所以，原不等式等价于即 —— 3 分 (a 2 1)x 2ax 0. 0.所以，当 0 a 1时，所给不等式的解集为 | x 2a ；x 0 1 a 2当 a 1 时，所给不等式的解集为x|x 0 ． —— 6 分 （Ⅱ）在区间 [ 0,) 上任取 x , x ，使得 x x ． 1 2 1 2f ( x 1 ) f (x 2 ) x 12 1 x 22 1 a(x 1 x 2 ) x 12 x 12 x 22 a( x 1 x 2 ) 1 x 22 1 (x x )( x 1 x 2 a) ．—— 8分1 2 x 12 1 x 22 1（ⅰ）当 a 1 时，∵x 1 x 21，∴x 1 x 2a 0 ，x 12 1x 22 1x 12 1x 22 1又 x 1 x 2 ，∴ f(x 1)f (x 2 ) 0 ，即 f( x 1 )f (x 2 ) ．所以，当 a1 时，函数 f x 在区间 [ 0, ) 上是单调递减函数． —— 10分92000 年高考数学试题（全国旧课程）理科（ ii ）当 0 a 1 时，在区间[0, ) 上存在两点 x 1 0, x 2 2a ，满足 f (x 1 ) 1， 1 a 2f ( x 2 ) 1 ，即 f( x 1 ) f ( x 2 ) ，所以函数 f x 在区间[ 0,) 上不是单调函数．综上，当且仅当 a 1 时，函数 fx 在区间 [0, ) 上是单调函数． —— 12分20．（本小题满分 12 分）（ I ）已知数列 c n ，其中 c n 2n 3n，且数列 cn 1 pc n 为等比数列，求常数 p ；（ II ）设 a n , b n 是公比不相等的两个等比数列， c n a n b n ，证明数列 c n 不是等 比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12 分．（Ⅰ）因为cn 1 pc n 是等比数列，故有 (c n 1pc n )2(c n 2 pc n 1 )(c n pc n 1) ， 将c n 2n 3n 代入上式，得[2 n 1 3n 1 p(2n 3n )]2[2n 2 3n 2 p(2n 13n 1)][(2 n 3n p(2 n 13n 1 )] ，—— 3 分即[(2 p)2 n (3 p)3n ]2 [(2 p)2n 1 (3 p)3n 1 ] [(2 p)2n 1 (3 p)3n 1] ，整理得 1 (2 p)(3 p) 2n 3n 0 ，6解得 p2 或 p3 ．—— 6 分（Ⅱ）设 a n, b n 的公比分别为 p, q, p q ， c n a n b n ． 为证 c 不是等比数列，只需证 c 2c c ． n 2 1 3 事实上，c 22 (a 1 p b 1q)2 a 12 p 2 b 12q 2 2a 1b 1 pq ，c 1 c 3 ( a 1 b 1 )(a 1p 2 b 1q 2 ) a 12 p 2 b 12q 2 a 1b 1( p 2 q 2 ) ．由于 p q, p 2 q 2 2 pq ，又 a 1 ,b 1 不为零，因此c22c1c3，故c n不是等比数列．—— 12 分102000 年高考数学试题（全国旧课程）理科21．（本小题满分 12 分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市 场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P f (t ) ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q g(t) ；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题， 考查运用所学知 识解决实际问题的能力，满分 12 分． （Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为，t 200,f (t ) 300 t 0—— 2分2t 300,200 t 300;由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t ) 1 (t 150)2 100,0 t 300 ．—— 4分200 （Ⅱ）设 t 时刻的纯收益为 h(t) ，则由题意得 h(t ) f (t) g(t )1 2 1 175 ， t 200t 2 t 0即 h(t ) 200 2—— 6分1 2 7 1025 ，t 300t 2t200200 2 当 0 t 200 时，配方整理得h(t) 1(t 50)2 100 ，200112000 年高考数学试题（全国旧课程）理科所以，当 t 50 时， h(t ) 取得区间 [0,200] 上的最大值 100；当 200 t 300 时，配方整理得 h(t )1 (t 350) 2100 200所以，当 t 300 时， h(t) 取得区间 [200,300] 上的最大值87.5 ．—— 10分综上，由 100 87.5可知， h(t) 在区间 [0,300] 上可以取得最大值 100，此时 t 50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大．—— 12 分22．（本小题满分 14 分）如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ，双曲线 过 C, D , E 三点，且以 A, B 为焦点．当 23 时，求双曲线离心率 e34的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性 质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14 分．如图，以 AB 的垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐 标系 xOy ，则 CD y 轴．因为双曲线经过点 C , D ，且以 A, B 为焦点，由双曲线的对称性知 C , D 关于 y 轴对称．—— 2 分依题意，记 A( c 1 c,0), C ( , h), E( x 0 , y 0 ) ，其中 c AB 为双曲线的半焦距， h 是梯 2 2形的高．由定比分点坐标公式得cc( 2)ch2x 02( , y 0 ．11) 1 设双曲线的方程为x 2 y 2c ．a2 b 21，则离心率 ea由点 C , E 在双曲线上，将点c代入双曲线方程得C , E 的坐标和 ea122000 年高考数学试题（全国旧课程）理科e2h 21，①4 b2e2 2 2 2 h21．②—— 7分4 1 1 b 2由①式得h 2e2 1 ，③b 2 4将③式代入②式，整理得e 24 1 2 ，44故3．—— 10分1e2 2由题设2 3 得，2 1 323 ．3 4 3 e2 4 解得7 e 10 ．所以双曲线的离心率的取值范围为[ 7,10] ．—— 14分13。
2000年全国高考文科数学试题及其剖析
(C)若 α、β 是第三象限角，则 cosα>cosβ (D)若 α、β 是第四象限角，则 tgα>tgβ
(5)函数 y=－xcosx 的部分图像是
(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分 不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sin cos 1 sin sin
2
cos sin 1 sin sin
1
(A)
32
注意事项：
1
(B)
2
第 II 卷（非选择题 90 分）
1．第 II 卷共 7 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线
上.
(13)乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第
全月应纳税所得额
不超过 500 元的部分
超过 500 元至 2000 元的部分
超过 2000 元至 5000 元的部分
…
某人一月份应交纳此项税款 26．78 元，则他的当月工资、薪金所得介于
（A）800～900 元 （B）900～1200 元 （C）1200～1500 元 (D)1500～2800 元
(C)(
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷上海卷理
2000年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
（1）已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。
（2）函数，x x y --=312log 2的定义域为 。
（3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是 。
（4）计算：nn n )2(lim += 。
（5）已知b x f x+=2)(的反函数为)(),(11x fy x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 。
（6）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300）（7）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥， 命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥 （8）设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。
（9）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）（10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。
（11）在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。
(12)在等差数列{}n a 中，若=n a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若1=b ，则有等式 成立。
2000年上海高考试卷(文)
2000年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。
2．函数x x y --=312log 2的定义域为 。
3．圆锥曲线1916)1(22=--y x 的焦点坐标是 。
4．计算：=+∞→nn n n )2(lim 。
5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x f y -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。
6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f = 。
9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数是小的项的系数为 。
（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 。
11．图中阴影部分的点满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，在这些点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是 。
2000年高考数学第21_22题分析
2000年高考数学第(21),(22)题分析晨 旭中图分类号:O12-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)07-0001-02收稿日期:2000-09-20 中学数学强调基本的数学思想、数学方法,另一方面强调数学学科较强的工具性作用、显示其较强的应用背景也是非常必要的.编拟应用题具有这方面的积极意义,起一种导向性作用,可以结合日常生活实际,提炼出其中的数学模型,通过合适的数学思想和方法解决相应的数学问题,从而达到解决实际问题的目的.基于此目的,第(21)题选择一个考生并不陌生的背景材料,即蔬菜种植与上市的市场销售价格这一简单模型,背景鲜明,浅显易懂,并且所考查的数学方面的本质是从函数图象到函数关系式,其中涉及到的函数为分段线性函数和一元二次函数,这是中学数学中较为基本的函数,属于掌握的范围.同时该应用题要考查的是求分段函数的最值问题,这是实际背景的需要,因而有其实际意义.当然另一方面必然考查了考生对基本的求最值问题的方法和思想的掌握程度.该应用题的难度控制适当,这主要是背景材料易于被考生接受,文字叙述精炼明确,考查中提出的问题与实际问题相融,背景意义鲜明.从中学数学的基本思想、基本方法要求上来说,该题的数学构架突出了对函数关系式与函数图象等重点要求内容的考查,只要考生思路明晰,计算量控制在较小程度.同时从函数图象到函数关系式以及分段求最值等问题的具体处理方法上有新颖性.考生必须仔细分析,才能做出正确解答.在具体编拟该应用题时,首先注意到考生对背景材料的可接受性,因而选择了西红柿上市销售价格随着季节变化这一模型,考查的问题实际意义清楚,所以用简短的文字即可表述清楚要考查的目标.另一方面,中学教材对两个变量之间关系进行刻划的函数仅限于一元一次函数和一元二次函数,这样对我们选择贴近实际描述西红柿市场价格与时间关系的数学构架有一定的限制,尽管如此,我们通过用分段函数更贴切地反映价格与时间的变化关系.而且还丰富了数学知识和数学思想(求最值问题)的考查.因为同一区间上的一元一次函数减去一个一元二次函数仍是一个一元二次函数,而求一个区间上二次函数的最值,对考生是极为常规的.但这里的分段函数导致两个时间区间上的一元二次函数,求它们分区间的最值,然后综合得到整个时间区间的最值,这样考查的思维上了一个层次,真正考查了对函数“最值”的理解.在数量的选配上,符合实际,同时考虑到作出图象的方便,兼顾在计算求解时,计算量减小到最小程度,所以选择了市场售价和种植成本的单位用元/102kg ,即元每百千克,这样市场售价与时间的关系图象就可用较为简单的两个线段表示出来,其斜率分别为-1和2,另外西红柿的种植成本与上市时间的关系的图象是一个抛物线段,顶点为(150,100),对称轴为t =150,其中的数据整齐,这样运算量较小.整体看来,该应用题的可读性强,学生易理解其背景及题目考查要求,绝大多数考生均能做出适当的解答,发挥自己的水平,真正检测到了考生对相应数学知识掌握的程度和运用所学知识解决实际问题的能力. 在高考中,加强和突出能力考查已成共识,编制第22题时,充分注意了这一要求,该题以几何问题12001年第7期 数学通讯的形式出现,但有较强的综合性,一定的新颖性,置于全卷的最后.基于这些考虑,在取材与试题题型设计方面,做了以下一些处理.首先,在几何图形的选用上,采用了梯形与双曲线的复合图形,并涉及有向线段的定比分点问题.利用双曲线与等腰梯形的对称性,设计成双曲线经过梯形上底边的两个端点C 和D ,且双曲线的两个焦点是梯形下底边的两个端点A 和B ,使图形的复合自然、简洁(如图).图1第22题图其次,为了使试题的设问深入浅出,具有较强的综合性,启动了对角线A C 与双曲线的交点E ,把注意力集中到点E 分有向线段A C 的定比λ与双曲线的离心率e 之间的关系上.它们的关系是一种函数关系,没有现成的公式可以套用.为了得到λ与e 的关系式,必须应用定比分点坐标公式,以及双曲线的有关性质列出方程组,并进行求解.这么一来,便要求考生应具备较为扎实的平面解析几何和代数的基础知识,较强的逻辑推理能力和运算能力.不仅要较为熟练地运用有关性质和公式,如:定比分点坐标公式,双曲线的标准方程,双曲线的离心率的计算公式等.在解方程的过程中,主要是字符运算,还要熟练运用换元法.再次,为了提高试题的综合性,围绕λ与e 的函数关系,可以设计一系列的问题,例如,讨论λ的取值范围,视e 为λ的函数,求定义域.如果这样设问,则要求较高,必须着重于几何背景的分析和讨论,因此,没有从这个方向展开,试题在设问时,直接给出了λ的一个取值区间[23,34],要求考生求函数e (λ)的值域,即e 的取值范围,这种设问涉及到了不等式的应用,加强了综合性,作为理科试题较为合适. 考虑到文、理科考生的差异,对文科卷,则降低一个层次,设计时只给出λ=811,要求考生算出e 值即可.此外,在上述框架下,如何给出梯形的已知条件,对试题难易度的调控影响很大.关于梯形AB CD 的设定有两类方案:其一,给出一个完全确定的梯形,即每个几何量都唯一确定;其二,给出梯形族,只要保证族中的梯形使得λ与e 的函数关系不变即可.若采用前一类方案,考生对试题的审读与理解较为简单.不符合本题置于全卷之末尾,应有较大难度的要求,因此,采取了后一类方案.开始时,设定底角为60°,并给出上底长与腰长的比值,由此引起的后续计算难度太大.几经改动,最后决定取|AB |=2|CD |为已知条件,把梯形的二腰相等的性质隐藏于双曲线的对称性中,以隐蔽条件的形式出现,从而,增加了对考生综合能力的考查要求,同时减少了繁琐、困难的计算,控制了运算量.在题设中,是否给出图形?是否画出坐标系?也经过反复的讨论,从突出能力考查,控制难度,提高区分度的要求出发,采用了给几何图形,不给坐标系的做法.最后形成了如下的理科卷的(22)题:如图(见前),已知梯形AB CD 中,|AB |=2|CD |,点E 分有向线段A C 的比为λ,双曲线过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点.当23≤λ≤34时,求双曲线离心率e 的取值范围.对于采用新教材的两省一市的试卷,由于教材中已学习了平面向量的内容,所以试题的陈述作了一些变动,把“点E 分有向线段AB 的比为λ”的说法改为向量式“A E =λEC ”.至于文科卷,为降低难度,则把求e 的取值范围改为求确定值,即提出的问题改为:设λ=811,求e 的值.作为该题的解答,考生必须完成下列几个主要步骤:第一,洞察题中的几何图形,分析出梯形AB CD 为等腰梯形,找到双曲线的实半轴长a ,虚半轴长b 与等腰梯形AB CD 的几何量之间的等量关系.第二,建立含有λ与e 的方程式(组).可用坐标法,也可用解斜三角形的方法.前者要建立适当的坐标系,后者要选择适当的三角形.第三,解方程(组)求出λ与e 的函数关系.第四,由λ的取值范围导出e 的取值范围.若视e 为λ的函数,即由定义域求值域,若视λ为e 的函数,即由值域求定义域.前者需用不等式的性质进行推理,后者可用解不等式组的方法求得.在每个步骤中,都有各自的难点或容易失误的地方,不同层次的考生会在不同的地方落马,这便保证了试题有较好的区分度.可见,该题有较强的综合性和灵活性.它主要考查了坐标系、线段的定比分点和双曲线等基础知识,以及函数的思想,方程与不等式等方法的正确灵活运用,同时,突出考查了逻辑思维能力、运算能力和分析解决问题的能力.2数学通讯 2001年第7期。
(详细解析)2000年上海高考数学(理)
(详细解析)2000年上海高考数学(理)2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知向量(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r，若OA AB⊥u u u r u u u r ，则m =．【答案】4 【解析】(4,2)AB m =-u u u r，42(2)0OA AB OA AB m ⊥⇒⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴4m =．2．函数221log3x y x-=-的定义域为 ．【答案】)3,21( 【解析】2110(21)(3)0(21)(3)0332x x x x x x x ->⇒-->⇒--<⇒<<-．3．圆锥曲线4sec 13tan x y θθ=+⎧⎨=⎩的焦点坐标是 ． 【答案】(4,0),(6,0)-【解析】参数方程化为普通方程22(1)1169x y --=，∴焦点为(15,0),(15,0)-+，即(4,0),(6,0)-．4．计算：lim()2nx nn →∞=+ ． 【答案】2-e【解析】2222212lim()lim()lim[(1)]221n nn x x x n e n n n⨯--→∞→∞→∞==+=++．5．已知bx f x+=2)(的反函数为1()fx -，若1()y fx -=的图象经过点)2,5(Q ，则 b =．【答案】1 【解析】若1()y f x -=的图象经过点)2,5(Q ，则bx f x+=2)(过点(2,5)P ，将点P 的坐标代入得252b=+，∴1b =．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年．（按：1999年本市常住人口总数约1300万） 【答案】9【解析】由题设条件可得4035(19)403521300(10.08)1300n n +≥⨯+%%，解得lg 28.9lg1.081n ≥≈，∴9n ≥．【编者注】上海考生可以使用计算器．7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．【答案】．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．8．设函数)(x fy=是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1,2]上()f x=．【答案】x【解析】由题设(1,1)B'-关于点B对称，由周期性将B A'向右平移两个单位得BA'，BA'所在的直线过原点，∴在区间[1,2]上()f x x=．9．在二项式11)1(-x的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）【答案】462-【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为511462C-=-．10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ．【答案】141【解析】本小题考查等可能事件的概率．39321114P C ⨯⨯==．11．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B两点，则=AB ．【答案】32【解析】化为普通方程：3x =和22(2)4x y -+=，将3x =代入得3y = ∴23AB =12．在等差数列{}na 中，若10a=，则有等式121219nna a a a a a -+++=+++L L(19,)n n N <∈成立，类比上述性质，相应的：在等此数列{}nb 中，若91b=，则有等式 成立． 【答案】121217(17,)nn b b bb b b n n N -=<∈L L【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理． ∵91b =，根据等边数列的性质和类比有121217(17,)n n b b b b b b n n N -=<∈L L ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．复数3(cos sin )55z i ππ=--（i 是虚数单位）的三角形式是A ．3[cos()sin()]55i ππ-+-B ．3(cos sin )55i ππ+ C ．443(cos sin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55i ππ+【答案】C【解析】443(cos sin )3(cos sin )5555z i i ππππ=-+=+．14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题：①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a 其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A 【解析】略．15．若集合{}{}2|3,,|1,xS y y x R T y y xx R ==∈==-∈，则s T I 是：A ．SB ．TC ．∅D ．有限集 【答案】A【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以s T S =I ．16．下列命题中正确的命题是A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则25sin α=B ．同时满足13sin ,cos 22αα==的角α有且只有一个C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正D ．三角方程tan()33x π+=的解集为{}Z k k x x ∈=,|π 【答案】D【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．正；tan()3tan 33x ππ+==，由周期性知,x k k Z π=∈．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分） 已知椭圆C 的焦点分别为1(22,0)F -和2(22,0)F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB的中点坐标． 【解】设椭圆C的方程为22221x y a b +=， ……………（2分）由题意3,22a c ==，于是1b =， ∴椭圆C的方程为2219x y +=． ……………（4分）由22219y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得21036270xx ++=，因为该二次方程的判别式0∆>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185x x+=-，故线段AB的中点坐标为91(,)55-． ……（12分）18．（本题满分12分）如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体A BCD -的体积．【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-u u u r u u u r，……（6分）设BE u u u r 与ADu u u r 所构成的角为θ，则224cos 2BE AD z θ⋅=⋅+=-u u u r u u u r．且AD与BE所成的角的大小为10arccos，∴2221cos 410z θ==+，得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分） 又16ABCDVAB BC BD =⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积83． ……（12分）解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．DAF∠是异面直线BE 与AD 所成的角，∴10arccos 10DAF ∠=． ……（4分）∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，222AF BE ==．……（6分）又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==． ∴DF DA=． ……（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAFAF AD ，故422=-=AB AD BD ， ……（10分） 又16A BCDVAB BC BD -=⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积是38． ……（12分）19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞．（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】（1）当12a =时，1()22f x x x=++， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分）)(x f Θ地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， ……（6分）（2）解法一：在区间),1(+∞上，22()0x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立， ……（8分）设),1(,22+∞∈++=x a x x y ， 1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，ay +=3min ， ……（12分）于是当且仅当min30ya =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-．……（14分）（2）解法二：()2,[1,)af x x x x=++∈+∞， 当≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分） 当a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a=+， ……（12分）于是当且仅当min()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-．……（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤oo ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ． （1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）． 【解】（1）ο45,24==θr ，得指令为(42,45)o ， ……（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分） 则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22|17|2(4)(04)x x -=-+-， ……（8分）即01611232=+-+x x，得323-=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分）所给的指令为)13.98,5(ο-． ……（14分）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),nnnP a b P a b P a b L L ，对每个自然数n ，点nP 位于函数2000()(010)10xa y a =⋅<<的图象上，且点nP 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以nP 为顶点的等腰三角形．（1）求点nP 的纵坐标nb 的表达式．（2）若对每个自然数n ，以12,,nn n b bb ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围． （3）设12()nn Bb b b n N =∈L ，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}nB 的最大项的项数． 【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21)10(2000+=n n a b ． ……（4分）（2）∵函数2000()(010)10xay a =⋅<<递减，∴对每个自然数n ，有12nn n bb b ++>>，则以21,,++n n nb bb 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n nb b b +++>，即2()()101010a a+->，……（7分） 解得5(15)a <-+或5(51)a >-，∴5(51)10a <<．……（10分）（3）∴51)10a <<，∴1277,2000()10n n a b +==， ……（12分）数列{}nb 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ．于是当1≥nb时，1-≥n nB B，当1nb<时，1nn BB -<，因此，数列{}nB 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b+<．由1272000()110n n b+=≥，得20.8n ≤，20n ∴=．……（16分）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知复数01(0)zmi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z，有0,||2||w z z w z =⋅=．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ． 当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 【解】（1）由题设，02w z z z z z =⋅==，02z ∴=，于是由214m +=，且m >，得3m = ……（3分）因此由iy x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式3,3.x x y x y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（5分）（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足(13)3,31)1,x x y x x ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（7分） 消去x ，得232)32(+-'-='x y ， 故点Q的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分）（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分）解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，∴by x k y x ++=-)3(3，即bx k y k +-=+-)3()13(，当0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在． ……（16分） 当0=b 时，由31)31k k k-+-=，得3232=-+k k ，解得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）解法二：取直线上一点)0,(kb P -，其经变换后的点)3,(kb k b Q --仍在该直线上，∴b kbk k b +-=-)(3，得=b ， ……（14分） 故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上．∴)31(3k k k +=-，……（16分）即3232=-+k k ，得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）。
近两年上海高考数学试卷的分析与思考.doc
近两年上海高考数学试卷的分析与思考文卫星2008年与2(X)9年上海高考数学试卷都注重基础、注重课本，突出能力立意，但命题风格却大不相同。
2008年试卷是基础题“送分到位”，能力题“尾巴翘上天”，所以考生整体成绩较为平均。
2009年试卷(理科)对学生能力要求较高，其方向值得肯定，但有儿道好题“没把好尺寸”，以致考生有点乱方寸，导致了考分高低落差较大。
以下谈谈本人对这两年高考数学试题的分析、思考，以及对今后高三数学教学的建议。
一、试卷情况简析1.源于课本这两年试题虽然没有课本的原题，但是从教材改编的试题每年都有一些。
比如2009年理科第13题，源于高三的“统计案例”•一章，教材分析了在一维条件下，到有限点距离最短的结论，试题在此基础上，利用它的思想方法考查学生在二维条件下的结论是什么。
又比如2009年理科第17和20题，都有教材的影子。
2.注重新增内容2009年是全市第一次统一使用上海二期课改新教材。
有5道客观题涉及新增内容，对新增内容的考查比较全血。
这提醒部分教师在教学中要全血落实教学大纲规定的要求，不能抱有侥幸心理。
3.突出能力立意能力立意不仅体现在解答题中，客观题中也有一定要求，表明对能力的考查已经多元化,不局限在压轴题。
比如，2008年理科第10、11、15题，2009年理科第12、13、14、17、18题，利用客观题“不讲理”(不用讲出理山)的特点，深刻考查考生能力的高低。
以2009年理科第12题为例:已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列{an}满足ane{-JI/2,兀/2},且公差d尹0。
若f(al)+f(a2)+... +f(an)=0,则当k ——时，f(ak)=0o如果学生观察出函数f(x)是奇函数，又是单调函数，由"知立刻得到f(al)=—f(a27)^0,f(a2)=—f(a26)^0,…，f(a!3)=—f(a 15)^0,所以f(al4)=0,即k=14。