5.二阶非线性中立型差分方程的始终正解-73.
差分方程方法
第四章差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列x n，把数列中的前n 1项x i i 0,1,2, n 关联起来所得到的方程。
4．1 常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程般形式为常系数线性齐次差分方程的一x n a1x n 1a2 x n 2a k x n k 0 (4.1)其中k 为差分方程的阶数，a i i 1,2, ,k为差分方程的系数，且a k 0 k n 。
对应的代数方程k k 1k2k a1k 1a2k 2a k0(4.2 )称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1.特征根为单根设差分方程（ 4.1）有k 个单特征根1, 2, 3, , k ，则差分方程（ 4.1 ）的通解为x n c1 1 c2 2c k k n，其中c1,c2,,c k 为任意常数，且当给定初始条件x i i0i 1,2, ,k （4.3）时，可以唯一确定一个特解。
2.特征根为重根设差分方程（4.1 ）有|个相异的特征根1, 2, 3, , I 1 l k重数分别为lm1,m2 , ,m l且m i k 则差分方程（4.1 ）的通解为i1k ,则差分方程的通解为为已知函数。
m i X ni 1 n C 1i n11m 2i 1 nQi n 2i 1mli5n同样的，由给定的初始条件3.特征根为复根4.3 ）可以唯一确定一个特解。
西南交大数值分析非线性方程组的五种解法
西南交⼤数值分析⾮线性⽅程组的五种解法⽬录摘要 (2)1 绪论 (3)2 五种解法 (3)2.1 ⼆分法 (3)2.1.1 ⼆分法简介 (3)2.1.2⼆分法的MATLAB程序 (3)2.2 不动点迭代法（简单迭代法） (4)2.2.1 不动点迭代法简介 (4)2.2.2 不动点迭代法的MATLAB程序 (5)2.3 ⽜顿法 (5)2.3.1 ⽜顿法简介 (5)2.3.2 ⽜顿法的MATLAB程序 (5)2.4 简易⽜顿法 (6)2.4.1 简易⽜顿法简介 (6)2.4.2 简易⽜顿法的MATLAB程序 (6)2.5 割线法 (6)2.5.1 割线法简介 (6)2.5.2 割线法的MATLAB程序 (7)3 例⼦计算及⽐较分析 (7)4 结论 (11)参考⽂献 (12)摘要本论⽂介绍了⼆分法、不动点迭代法、⽜顿法、简易⽜顿法、割线法五种算法原理，然后进⾏了MATLAB编程，得到能求解⾮线性⽅程的根的程序。
本⽂分别⽤这五种⽅法的MATLAB程序对五个例⼦进⾏了计算，得到各种⽅法所需的迭代次数，迭代精度，迭代时间等，从⽽分析⽐较五种⽅法的优缺点。
关键词：⾮线性⽅程⼆分法简单迭代法⽜顿法简易⽜顿法割线法1 绪论在科学⼯作中经常出现这类问题，即求解⾮线性⽅程或⾮线性⽅程组—求x 使得f(x)=0或求X=(x1,x2,?,x n)T使得F(x)=0。
本论⽂采⽤5种⽅法即⼆分法、不动点迭代法（简单迭代法）、⽜顿法、简易⽜顿法、割线法，通过对原理的理解进⾏了MATLAB 编程，然后对⼏个例⼦进⾏各种解法计算，进⾏⽐较分析，从⽽发现各种算法的优势与不⾜，增加对各种算法的理解。
作者所使⽤的计算机配置如表1-1所⽰。
表1-1 计算平台简介2 五种解法2.1 ⼆分法2.1.1 ⼆分法简介若f是区间[a,b]的连续函数，且f (a) f (b) < 0，则f在[a,b]内必有⼀个零点。
因为f (a) f (b) < 0，所以函数f在区间[a,b]上改变符号，因此它在这个区间内⾄少存在⼀个零点。
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
:
,
使得 0 < 双 卜 叻 ( M
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, 艺 少乙
.
从 (1 ) 有 (8)
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口( ) f 〔 (
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t
一
,
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t> t
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从 夕( t ) 的 定 义 知 今(约必 有 界
夕` l i m 即( t
一 今。 , 心
从 而 容 易导 出
,
( )<
t
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t> t
,
及
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,
p”的
,
Q(t ) 为 常数 及 f ( 幻
。 ,
=
劣
的 意 义 下 该 条件 也 是 必 要 的
。 ,
。
我 们 也 给 出 了 方程
(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
"
于 方程
中立型偏差分方程的正解
中图分类 号 ： ７ ０１ ５ 文献标识 码 ： Ａ
随着 科 学 技术 的不 断 发 展 ， 人们 需 要 处 理 越 来 越 多 的 多 变量 系统 及 多 维 信 号 ． 多维 数 如 学 滤 波 器 ， 变量 网络 实 现 ， 多 多维 数 学 图像 综 合 处 理 ， 图像 的复 原 等诸 多 学 科 领 域 都 涉 及 到 大量 的泛 函偏 差分 方 程 的模 型 ． 因此 对偏 差分 方 程定 性 理论 的研究 具有 理 论 意义 和重 要 的应
一
，
，
） ｚ 一 ＋ 一 —ｑ ， 一 ，ｚ 一 ＝０ Ｈ ，
ｍ ， ＝０ １ ２ … ， 中 Ｔ（ １ Ａ ） ｚ ） １ ，， ， 其 △ ， ２ （ ＝ｚ ＋ ， ＋ｚ ， １ ，｛ ｝ ．十 一ｚ ， ｃ 为双指标 实数 序列 ，
｛ ｝ ｛ ｝ Ｐ ，ｑ 为双指 标非 负实数 序列 ， 得 了方程存 在最终 正解 的充分 条件 ． 获
维普资讯
第 ０３卷 ３月 １ ２３ ０ ７年 第 期
自然科学 版 ） ｅ Ｊ ｕｎｌ ｆ ｎ ｉｎＵｎｖｒｉ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒａ ｏ ｂａ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ 延边大 学学报 （ ｔ Ｙａ
Ｖ １３ ． ０．３Ｎｏ １
（ ， ） ” Ｐ， 一∞ ｉ Ｊ ：（ ＂
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用价值 ． 最近对于偏差分方程 丁（ ， ２（ ）＋ △ｌＡ ）． Ｔ ｇ
．
一 ＝ ０ 其 中 丁（ ， ２（ｇ 一 ， △１△ ）． Ｔ ）＝
Ｔ ＋１． ＋ ｇ
二阶常系数差分方程的解
二阶常系数差分方程的解二阶常系数差分方程是一种常见的数学模型，用于描述离散时间的动态系统。
它的解决方案可以帮助我们了解系统的行为和特性。
在本文中，我们将探讨二阶常系数差分方程的解，并通过一个具体的例子来说明其应用。
让我们来了解一下什么是二阶常系数差分方程。
二阶常系数差分方程是指形如y(n+2) + ay(n+1) + by(n) = 0的方程，其中a和b为常数。
这个方程表示了当前时刻的值与前两个时刻的值之间的关系。
通过求解差分方程，我们可以得到关于系统的一些重要信息，比如稳定性、振荡频率等。
接下来，我们来看一个具体的例子来说明二阶常系数差分方程的解法。
假设我们有一个简单的二阶差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0，其中初始条件为y(0) = 1和y(1) = -1。
我们可以使用递推的方法来求解这个方程。
我们将初始条件代入方程中，得到y(2) + 3y(1) + 2y(0) = 0，即y(2) + 3(-1) + 2(1) = 0，解得y(2) = 1。
接下来，我们可以使用递推关系y(n+2) = -3y(n+1) - 2y(n)来求解其他时刻的值。
我们先计算y(3)：y(3) = -3y(2) - 2y(1) = -3(1) - 2(-1) = -1。
然后继续计算y(4)：y(4) = -3y(3) - 2y(2) = -3(-1) - 2(1) = 1。
依此类推，我们可以得到y(5) = -1，y(6) = 1，以及后续时刻的值。
通过上述计算，我们可以得到二阶常系数差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0的解为y(n) = {1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, ...}。
这个解表示了在给定的初始条件下，系统的值随着时间的推移呈周期性的振荡。
除了递推法，我们还可以使用特征方程法来求解二阶常系数差分方程。
通过将差分方程转化为特征方程，我们可以得到方程的根，从而得到方程的解。
带非线性边界条件的二阶差分方程正解的全局结构
带非线性边界条件的二阶差分方程正解的全局结构苏艳【摘要】By using bifurcation theory,the author investigated the global structure of positive solutions for the following second-order nonlinear discrete boundary value problem{-Δ[p (k - 1)Δu(k - 1)]+q(k)u(k)=λa (k)f(u(k)), k ∈ [1,N]Z , g 1 (λ,u(0),Δu(0))=0, g 2 (λ,u(N + 1),Δu(N ))=0 , and obtained the optimal sufficient conditions for the existence of the positive solution of the problem. whereλ>0 is parameter,[1,N ]Z = {1,2,…N },p :[0,N + 1 ]Z → ℝ+ ,q ,a :[1,N ]Z → ℝ+ and a(k)>0,∀k ∈[1,N ]Z ,g 1 ∈C (ℝ+ ×ℝ+ × ℝ+ ,ℝ+ ),g 2 ∈C (ℝ+ × ℝ+ × (- ∞,0 ],ℝ+ ), f ∈C(ℝ+ ,ℝ+ ).%用分歧理论考察二阶离散边值问题{-Δ[p (k -1)Δu(k -1)]+q(k)u(k)=λa (k)f (u(k)), k∈[1,N ]Z , g 1(λ,u(0),Δu(0))=0, g 2(λ,u(N +1),Δu(N ))=0正解的全局结构,得到了该问题正解存在的最优充分条件。
其中：λ>0是参数；[1,N ]Z ={1,2,…,N }；p ：[0,N +1]Z →ℝ+,q ,a ：[1,N ]Z →ℝ+且对∀k ∈[1,N ]Z ,a (k )>0；g1∈C(ℝ+×ℝ+×ℝ+,ℝ+)；g 2∈C(ℝ+×ℝ+×(-∞,0],ℝ+)；f ∈C(ℝ+,ℝ+)。
二阶非线性积-微分方程边值问题正解的存在性与多解性
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｛ ｏ一 （ 一“０一“（ 一０ “ ） １ ） １ （ ） （ ）
来描 述 ， 文献 ［ — ２ ． 见 １ ］ 若 一一 ， Ｇ（ ，）为线性 二 阶边值 问题 设 ｔｓ
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２１ ０ １年 ９月
二 阶非 线 性 积 一 分 方 程 微
边 值 问题 正 解 的存 在性 与多 解性
钱 媛 媛 ， 永 祥 李
（ 北 师 范 大学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， 肃 兰州 ７ ０ ７ ） 西 甘 ３０ ０
摘
要 ： 非线性 二阶积一 分方程 边值 问题 正 解 的存在 性 进行 了研 究 ， 用锥压 缩 与锥 拉 伸 不动 点定 对 微 利
引理 １ Ｑ（ Ｐ， Ｑ ： Ｐ） 且 Ｐ— Ｐ为 全连 续映 射．
证明 对 Ｖ Ｅ Ｐ， Ｑ的定 义 ， Ｖｔ Ｅ ，］ 有 按 对 ∈ ｏ １ ， （ ）ｆ （）＝ ｌＧ（ ，） （ ， （） （ ） ｓ ） ｓ ｔ ｆ ｓ乱 ｓ ， （） ｄ ≤
Ｊ０
称 为 方 程 （ ）的 正 解 是 指 ＵＥ Ｃ Ｅ ，］ 满 足 方 程 （ ） 当 ｔ （ ，）时 “ ￡ ＞ ０ １ 。ｏ １ ， １ 且 Ｏ１ Ｅ （） ．
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近年来 ,关于差分方程的振动性的研究引起了人们的广泛关注 [ 1～8 ] . 文献 [ 6 ～ 8 ] 研究了差分方程 最终正解的存在性和分类 . 本文中 ,笔者利用 Banach 压缩映射原理 ,研究了非线性中立型自共轭差分方 程的始终正解的存在性 . 考虑下列二阶非线性中立型自共轭差分方程 Δ( a ( n )Δ( x ( n ) + p ( n ) x ( n - τ ) ) ) + f ( n , x (σ( n ) ) ) = 0 . ( 1) Δ为前差分Δ x ( n ) = x ( n + 1) - x ( n ) ; a ( n ) , p ( n ) 为非负实序列 , a ( n ) > 0 , lim p ( n ) = p < 其中 :
) , 引理 1 设 x ( n ) 为有界序列 , lim p ( n ) = p , p ≥0 , p ≠1 , 令 z ( n ) = x ( n ) + p ( n ) x ( n - τ
n →∞
lim z ( n ) = l 存在 , 则 lim x ( n ) 亦存在且 lim x ( n ) =
k′ →∞
k′ →∞
显然 M + p m ≤ m + pM , 即 ( 1 - p ) M ≤ ( 1 - p ) m . 因为 1 - p > 0 , 所以 M ≤ m , 故 M = m . 于是
lim x ( n ) 存在且 lim x ( n ) =
n →∞ n →∞
l
1 + p
.
k →∞ k′ →∞
k →∞ k →∞
) = lim inf ( x ( n k′ ) + p ( n k′ ) x ( n k′ - τ ) ) ≤ M + pm , l = lim inf z ( n k′
k′ →∞ k′ →∞
所以 M + p m ≥ m + pM , 即 ( p - 1) m ≥( p - 1) M . 由 p - 1 > 0 , 得 M ≤ m , 故 M = m , 所以 lim x ( n )
s =σ( n ) 0
∏
1 -
Nsk ( s ) .在 a ( s)
σ( n ) n≥ 0
sup
| x ( n) | . 对于任 x 1 , x 2 ∈ Z , 有 G ( n)
由于 0 <
| (τ x 1 ) ( n ) - (τ x 2) ( n) | 1 ) - x2 ( n +τ ) | + ≤ ( ) ( | x1 ( n +τ ) G ( n) G n p n +τ ) G ( n) p ( n + τ
i=s n- 1
1
∞
n ≥ n0 ,
( 7)
(τ x ) ( n ) = (τ x ) ( n 0 ) ,σ( n 0 ) ≤ n < n 0 . M ( p + 1) 由 ( 7) , ( 5) 可得 0 ≤ (τx ) ( n ) ≤ , 所以 τ Z Α Z. 定义序列 G ( n ) = p Z 上定义范数 ‖ ・ ‖, ‖x ‖ =
≤ M ( 1 - p2) ,
n →∞
( 4)
其中 n ≥ n 0 , 则方程 ( 1) 存在 1 个始终正解 x ( n ) , 且 lim x ( n ) = M . 定理 2 设 p > 1 且 p ( n ) ≥ p . 定义集合
收稿日期 :2005 01 13 ; 修回日期 :2005 05 18 基金项目 : 河北省自然科学基金资助项目 (103141) ; 河北师范大学重点科研基金资助项目 (1301808) 作者简介 : 张彩顺 (1972 ) ,男 ,河北省唐山市人 ,河北师范大学讲师 .
1 + < 1 , 所以 τ 是压缩映射 . 由 Banach 压缩映射原理 ,τ 在 Z 上存在不动点 x , 即 p N (τ x ) ( n ) = x ( n ) , 易知它为 ( 1) 的 1 个始终正解 , 由引理 1 知 lim x ( n ) = M .
n →∞
1
参考文献 :
[1 ] ZHAN G Zhen2guo ,L I Qiao2luan. Oscillation t heorems for second2order advanced functional difference equation [J ] . J Comp Mat h Appl ,1998 ,36 ( 6) :11218. [ 2 ] ZHAN G Zhen2guo ,ZHAN G Cai2shun , YU Yuan2hong. Necessary and sufficient conditions for oscillation of bounded solu2 tions of nonlinear second order difference equations [J ] . J Mat h Res Expo ,2002 ,22 ( 4) :5612566. [ 3 ] ZHOU Yong. Oscillations of higher order linear difference [J ] . J Comp Mat h Appl ,2001 ,42 :3232331. [4 ] L IU Bing , CHEN G Sui2sun. Positive solutions of second order nonlinear difference equations [J ] . J Mat h Anal Appl , 1996 ,204 :4822493. [ 5 ] ZHAN G Zhen2guo ,ZHAN G Jin2lian. Oscillation criteria for second2order advanced difference equations wit h“Summation Small” coefficient [J ] . Comp Mat h Appl ,1999 ,38 :25231. [6 ] B I Ping ,L I Qiao2luan ,ZHAN G Zhen2guo , et al . Classification of nonoscil latory solutions of higher order nonlinear differ2 ence equations [J ] . J Appl Mat h Computer ,2001 ,8 ( 2) :3112324. [7 ] L IU Yu2jun ,L IU Zhao2shuang , ZHAN G Zhen2guo. Classification of nonoscillatory solutions of second order self2adjoint neutral difference equations [J ] . J Appl Mat h Compute ,2004 ,14 :122. [8 ] M IGDA M. Existence of nonoscillatory solutions of some higher order difference equatons [J ] . J Appl Mat h E2notes , 2004 , ( 4) :33239.
n →∞ n →∞ n →∞
l
1 + p
.
证 若 p ∈[ 0 , 1) , 因为 x ( n ) 有界 , 故它的上极限 M 和下极限 m 都存在 , 所以存在{ n k } 和{ n k′ }
) = m , 于是 使得 lim x ( n k ) = M , lim x ( n k′
k →∞ k′ →∞
第2期
张彩顺等 : 二阶非线性中立型差分方程的始终正解
141
Z = { u ( n ) :0 ≤ u ( n ) ≤ 存在整数 N , 使得 和 n ≥ n0 有
1 ∑ ( ) s= n a s 2 定理的证明
∞ ∞
i=s
M ( 1 + p) , 当 n ≥ n 0 时 ; u ( n ) = u ( n 0 ) , 当 σ( n 0 ) ≤ n ≤ n 0 时 } , p
1
( 2) ( 3)
Nsk ( s ) < 1. a ( s) 其中 : a ( s ) = min { a ( i ) } ; s ≥ n . 对于任意 u ∈ X , 有
0 <
∞
n ≤i ≤s
1 ∑ ( ) s= n a s
∞
i=s
f ( i , u (σ( i ) ) ) ∑
1
N
+1
1
p
< 1 . 对于任意 u , v ∈ Z , 有定理 1 中的 ( 2 ) 和 ( 3) 成立 , 对于任意 u ∈ Z
∑
f ( i , u (σ( i ) ) ) ≤
M ( p 21 ) , p
2
( 5)
其中 n ≥ n 0 , 则方程 ( 1) 存在 1 个始终正解 x ( n ) , 且 lim x ( n ) = M . n →∞ 为了证明定理 1 和定理 2 , 先引入引理 1 .
(1. 河北师范大学 教务处 ,河北 石家庄 050016 ; 2. 河北师范大学 数学与信息科学学院 ,河北 石家庄 050016 ; 3. 承德民族师范专科学校 数学系 ,河北 承德 067000)
摘
要 : 研究了二阶非线性中立型差分方程
Δ( a ( n)Δ( x ( n ) + p ( n) x ( n - τ ) ) ) + f ( n , x (σ( n ) ) ) = 0 的非振动性 . 利用 Banach 压缩映射原理 ,得到了这个方程具有某种极限性质的始终正解的存在性定理 . 关键词 : 非线性中立型差分方程 ; 非振动性 ; 始终正解 中图分类号 :O 175. 7 文献标识码 :A 文章编号 :100025854 ( 2006) 0220140203