带最大值项的二阶非线性差分方程的振动性定理
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二阶非线性差分方程的振动性与渐近性质
（ ） ： ｒ ） 尺＋＝（ ， ； ａ ｒ Ｎ（ｔ 一 ０ ０ ∞） （ ） ： 一 尺连 续 ， ｂｇ尺 严格 上 升 ，ｇｇ ｕ ＝ｓｎ ，（ ） ｓｎ （ ） ｇ ｕ ｇ Ｒ ＝Ｒ；
＝ ＋ 一 ． 文 总假 设 。 本
（） Ｎ（ｔ） 一 尺关 于 连 续且 单 调 不 减 ， ≠Ｏ时 ， ・ ｒ ｕ ＞０ ｒ Ｎ（ｔ） ｃ厂： ｒ Ｘ尺 。 ｕ ｕ ｔ ） ， ∈ ， ｔ ｒ ． 。 方程 （） １的非 平凡 解 是 指 这样 一 个 实 序列 ｛ ｝它满 足 （ ） 任 给 ｍ∈ Ｎ（ｔ）有 ｓｐ １ ｌ ． 假定 ： １且 ｒ ， ｕ ＞０ 总 。
ｃ ｎ ｃｎｉｏ ａｅａ ｏｇ ｅ ｆ ｑａ ｏ １ ｌ ｈｉ ｏｃｌ ｌａ ｓ ｅ ． ｉ ｔ ｏｄｔｍ Ｉ ｌ ｉ ｎ０ Ｅ ｕｔ ｎ（）Ｍｉ ｓｉａｏ ｌ ｅ ｉ ｓ ｖ ｉ ｃ ｓ ｌｔｔａ ｗ １
１ ｗ ｒｓＮ ｎ ｎａ ｉｅｅｃ ｑ ａｏ ；ｓｉ ｔ ｎａｄｎｎｓｉ ｆｎ ａｙ ｔｉ ｐｏｅｔ 的 ｏｄ ： ｏｌ ｅｒ ｆ ｒｎｅｅｕｔｎ ｏｃｌ ｏ ｎ ｏｏｅｌ ｏ ；ｓ ｏｃ ｒｐｒ ｉ ｄ ｉ ｌｉ ａ ｌｉ ａｍｐ ｔ ｙ
。
） ＋ ，， ） ０ ） ｌ ＝
１
－ｎ
的渐 质与振动 近性 性质． 给出了当 ： － ÷） ∞时 ∑ ： １ ＝ 上述方 ｇ （ 程存在非 振动解的充要条件， 时 同
还 给 出 了该方 程振 动 的充要 条 件 ． 关键 词 ： 非线性 差 分 方程 ； 动和 非振 动 ； 近性 质 振 渐
大
学
学
报（ 理学版 ）
第 ３ ７卷
关 于 方 程
△（， ｒ ） 凡， ） ＋ ＝０ （） ２
的振动性与渐近性质 ， ｒ ｄｗｃ 和 Ｐｅｄ 给出了（ ） ｒ＝１ｆ 凡 ｕ ＝蹦 ｕ 时存在 Ａ Ｄｏ ｏｉ ｚ ｚ ｏｎａ ２ 当 ＾ ，（ ， ） ） 型非振动解的充 要条件 ； ｅＨ ｏｅ 和 Ｐ ｔａＰｔ ａＳ ａｄ 都研究 了（ ） …Ｈ ， ｏｋｒ ｕ ｌ，ａ ｌ ｚ ｎａ ｕ ｕ，ｍ ２ 及其 特殊情形解 的振动性与渐近性质 ， 给出 了一 些 好 的结 果 ． 圳 但对 于 方程 （） 目前 还 没 有这 方 面 的结 果 ． ［ ２ １， 本文 主要 目的是研究方程 （） 的振动性与渐近性质 ． １解 首先证明 了方程 （ ） １在一 定条件 下非振动解 的渐
＝ ＋ 一 ． 文 总假 设 。 本
（） Ｎ（ｔ） 一 尺关 于 连 续且 单 调 不 减 ， ≠Ｏ时 ， ・ ｒ ｕ ＞０ ｒ Ｎ（ｔ） ｃ厂： ｒ Ｘ尺 。 ｕ ｕ ｔ ） ， ∈ ， ｔ ｒ ． 。 方程 （） １的非 平凡 解 是 指 这样 一 个 实 序列 ｛ ｝它满 足 （ ） 任 给 ｍ∈ Ｎ（ｔ）有 ｓｐ １ ｌ ． 假定 ： １且 ｒ ， ｕ ＞０ 总 。
ｃ ｎ ｃｎｉｏ ａｅａ ｏｇ ｅ ｆ ｑａ ｏ １ ｌ ｈｉ ｏｃｌ ｌａ ｓ ｅ ． ｉ ｔ ｏｄｔｍ Ｉ ｌ ｉ ｎ０ Ｅ ｕｔ ｎ（）Ｍｉ ｓｉａｏ ｌ ｅ ｉ ｓ ｖ ｉ ｃ ｓ ｌｔｔａ ｗ １
１ ｗ ｒｓＮ ｎ ｎａ ｉｅｅｃ ｑ ａｏ ；ｓｉ ｔ ｎａｄｎｎｓｉ ｆｎ ａｙ ｔｉ ｐｏｅｔ 的 ｏｄ ： ｏｌ ｅｒ ｆ ｒｎｅｅｕｔｎ ｏｃｌ ｏ ｎ ｏｏｅｌ ｏ ；ｓ ｏｃ ｒｐｒ ｉ ｄ ｉ ｌｉ ａ ｌｉ ａｍｐ ｔ ｙ
。
） ＋ ，， ） ０ ） ｌ ＝
１
－ｎ
的渐 质与振动 近性 性质． 给出了当 ： － ÷） ∞时 ∑ ： １ ＝ 上述方 ｇ （ 程存在非 振动解的充要条件， 时 同
还 给 出 了该方 程振 动 的充要 条 件 ． 关键 词 ： 非线性 差 分 方程 ； 动和 非振 动 ； 近性 质 振 渐
大
学
学
报（ 理学版 ）
第 ３ ７卷
关 于 方 程
△（， ｒ ） 凡， ） ＋ ＝０ （） ２
的振动性与渐近性质 ， ｒ ｄｗｃ 和 Ｐｅｄ 给出了（ ） ｒ＝１ｆ 凡 ｕ ＝蹦 ｕ 时存在 Ａ Ｄｏ ｏｉ ｚ ｚ ｏｎａ ２ 当 ＾ ，（ ， ） ） 型非振动解的充 要条件 ； ｅＨ ｏｅ 和 Ｐ ｔａＰｔ ａＳ ａｄ 都研究 了（ ） …Ｈ ， ｏｋｒ ｕ ｌ，ａ ｌ ｚ ｎａ ｕ ｕ，ｍ ２ 及其 特殊情形解 的振动性与渐近性质 ， 给出 了一 些 好 的结 果 ． 圳 但对 于 方程 （） 目前 还 没 有这 方 面 的结 果 ． ［ ２ １， 本文 主要 目的是研究方程 （） 的振动性与渐近性质 ． １解 首先证明 了方程 （ ） １在一 定条件 下非振动解 的渐
二阶非线性微分方程的Sturm比较定理与振动性
这 里 ， ， ， ， ｈ ＥＣ［ ×Ｒ ］ ｒ＇＾ ×Ｒ ， ， Ｊ ， ， ｈ ， Ｒ ’＿ｒＥｃ Ｒ ］ 吼ＥＣ Ｒ ； Ｐ ， 对 各变 量分别 Ｅ ］ Ｐ ， ２ｒ， 有 一 阶连 续 偏导 数 ； 。 ０ Ｐ ＞ ０ 其 中 Ｒ Ｐ ＞ ， ， ＝（ ， 。 ． 外 ， 中 涉 及方 程 的解 都 可 以延 拓 到 Ｒ ０ 十。 ） 此 文
＾）ｕ］ ｒ“‘ ２ｙ 。～ １ ｚ． ｄ
ｒ。 “ ，一
… ＋＇ （ —ｚ ｔ ｒ ２＇ ｒ ｚ Ｐ） ｙ ｕ ｚ 卜—－ ｕ ｈ 。 ～一 ２ 卜］２ ｔ ｄａ 一 ｒ 只 一ｚ “ ｒ㈠ 一 ｔ 助 番一ｄ ” ２ Ｊ １
其次证 明（ ） 闭区 间 ，］ ３在 卢 上成 立 ．设 ｓ 一～—ｕ２ 定义 函数 Ｆ（） （） ｒ ，∈（ ， ） （） Ｐ ｙ￣ ｚ ｆ 一ｓ ｆ 一ｉ ｎ 卢 ； ２ ２
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第 ５卷第 ２期
２０ ０ ２年 ５月
扬 州 大学 学报 （ １ 科学版） ９然
Ｊ Ｕ ＲＮ Ａ Ｉ Ｆ Ｙ Ａ ＮＧ ＺＨＯ Ｕ Ｎ Ｉ ＇ Ｏ Ｏ Ｕ ＶＥＲ Ｓ Ｔ Ｙ （ ＡＴ Ｕ Ｒ Ａ ｌ Ｓ Ｉ ＣＥ ＥＤＩ Ｉ Ｉ Ｎ Ｃ ＥＮ Ｔ ＯＮ ）
Ｖ０１ ｏ ２ ５ Ｎ ．
Ｍ ａｙ ２０ ０２
二阶非线性微分方程 的 Ｓｕｍ ｔｒ
比较定 理 与 振动 性
程 崇 高 周 正 新
（．黄 冈 师范 学 院 数 学 系．湖 北 黄 州 ．４ ０ ０ ２ 扬 州 大学 理 学 院 数学 系 ，江苏 扬 州 ．２５ ０ １ 粥 ０ ２０２
引理 ．
， ｔｎ ｐ ＣＲ ， ｌ ， ］ ） 首先证 明两个
引 理 １ 设 ∈Ｊ ） 是 方 程（ ） （ ， ） （ ２ 的解 ， （） ａ ，Ｅ （ ， ． ｌ 坠 二 存 在 ， ＿ ｚ ｖ ｏ ｔ ｎ ） 若 ｉ ｙ ｍ 则在 闭 区 间 ［ ， 上 成立 恒等式 。 ］
二阶非线性阻尼差分方程的振动性
。 ｉ ， ｌ ｌ
０．
由归纳 法 知 Ａ ＜ ０ 此 与 ｛ ｘ ｝ 动相 矛 盾 ． ｘ ， Ａ 振 其次 ， Ａ 设 ｘ
。
＝
０ ，则 由方 程 （ ）知 △ ｚ １ ２
。
＝ 一
Ａ ｘ 一 ｑ 厂 ｚ １ ｇ ｚｘ ）＜ （ ＋） （ｘ ．
。 ，
０ ，
Ａ ｘ
．
＋＜ ０ １ ．由归 纳法 知 △ ＜ ０ ｚ ．此 与 ｛ ｚ ｝ 动 相 矛 盾 ， 而 ｛ ｘ ｝ 固定 符 号 ． △ 振 因 Ａ 有 现令 △ ＜０ ７≥ Ｎ ∈Ｚ， ，＂ ／ 记 ＝一△ 则 由方程 （） 一Ａ 一Ｐ ＋ｑ ｚ＋） （ ｚ， １有 ｕ （ １ｇ 一
中图分 类号 ： １ ５ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
考 虑 阻尼差 分 方程
Ａ， ７ ７ ＋Ｐ Ａ ＋ ｇ （ １ｇ（ ３ ）＝ ０ ｘ ３ ＋） Ａ ２ ２ ，
∈ ｚ，
（） １
其 中 ｚ为 自然数 集 ， ３ ２ ＋ —３ ，｛ 为实 数 序 列 ，ｑ ｝ Ａ ＝３ １ ２ Ｐ ｝ ２ ｛ 为正 实数 序列 ， ｇ∈Ｃ Ｒ， ． ｆ， （ Ｒ） 对 于方 程 （ ） １ 的特 殊情 况 Ａ ３ ｑ （ １ ０ 文 献 ［ ］～ ［ ］ 立 了振 动定 理 ． 文 ＋ ． ３ ＋）＝ ， ２ ｆ２ １ ３建 本 的 目的是 在 允 许 ｛ 振 动 或 为负 时建 立 方 程 （ ）的 振 动 准 则 ， 得 结 果 是 新 的 ， 时 文 献 Ｐ｝ １ 所 同 ［ ］中定理 ４的离 散 类 似可 视 为其 的一 个 特例 ． ４ 为 叙述 方便 我 们 给 出如下 条 件 ：
１～Ｐ ≥ ０ ， ≥ Ｎ， （） ２
∑ ∑ （ Ｐ ＝∞， 卜 １ ）
０．
由归纳 法 知 Ａ ＜ ０ 此 与 ｛ ｘ ｝ 动相 矛 盾 ． ｘ ， Ａ 振 其次 ， Ａ 设 ｘ
。
＝
０ ，则 由方 程 （ ）知 △ ｚ １ ２
。
＝ 一
Ａ ｘ 一 ｑ 厂 ｚ １ ｇ ｚｘ ）＜ （ ＋） （ｘ ．
。 ，
０ ，
Ａ ｘ
．
＋＜ ０ １ ．由归 纳法 知 △ ＜ ０ ｚ ．此 与 ｛ ｚ ｝ 动 相 矛 盾 ， 而 ｛ ｘ ｝ 固定 符 号 ． △ 振 因 Ａ 有 现令 △ ＜０ ７≥ Ｎ ∈Ｚ， ，＂ ／ 记 ＝一△ 则 由方程 （） 一Ａ 一Ｐ ＋ｑ ｚ＋） （ ｚ， １有 ｕ （ １ｇ 一
中图分 类号 ： １ ５ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
考 虑 阻尼差 分 方程
Ａ， ７ ７ ＋Ｐ Ａ ＋ ｇ （ １ｇ（ ３ ）＝ ０ ｘ ３ ＋） Ａ ２ ２ ，
∈ ｚ，
（） １
其 中 ｚ为 自然数 集 ， ３ ２ ＋ —３ ，｛ 为实 数 序 列 ，ｑ ｝ Ａ ＝３ １ ２ Ｐ ｝ ２ ｛ 为正 实数 序列 ， ｇ∈Ｃ Ｒ， ． ｆ， （ Ｒ） 对 于方 程 （ ） １ 的特 殊情 况 Ａ ３ ｑ （ １ ０ 文 献 ［ ］～ ［ ］ 立 了振 动定 理 ． 文 ＋ ． ３ ＋）＝ ， ２ ｆ２ １ ３建 本 的 目的是 在 允 许 ｛ 振 动 或 为负 时建 立 方 程 （ ）的 振 动 准 则 ， 得 结 果 是 新 的 ， 时 文 献 Ｐ｝ １ 所 同 ［ ］中定理 ４的离 散 类 似可 视 为其 的一 个 特例 ． ４ 为 叙述 方便 我 们 给 出如下 条 件 ：
１～Ｐ ≥ ０ ， ≥ Ｎ， （） ２
∑ ∑ （ Ｐ ＝∞， 卜 １ ）
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
“
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
:
,
使得 0 < 双 卜 叻 ( M
0
,
,
, 艺 少乙
.
从 (1 ) 有 (8)
歹1
口( ) f 〔 (
,
t
一
,
) ]>
t> t
;
从 夕( t ) 的 定 义 知 今(约必 有 界
夕` l i m 即( t
一 今。 , 心
从 而 容 易导 出
,
( )<
t
0
t> t
,
及
lim y ’
,
p”的
,
Q(t ) 为 常数 及 f ( 幻
。 ,
=
劣
的 意 义 下 该 条件 也 是 必 要 的
。 ,
。
我 们 也 给 出 了 方程
(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
"
于 方程
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
:
,
使得 0 < 双 卜 叻 ( M
0
,
,
, 艺 少乙
.
从 (1 ) 有 (8)
歹1
口( ) f 〔 (
,
t
一
,
) ]>
t> t
;
从 夕( t ) 的 定 义 知 今(约必 有 界
夕` l i m 即( t
一 今。 , 心
从 而 容 易导 出
,
( )<
t
0
t> t
,
及
lim y ’
,
p”的
,
Q(t ) 为 常数 及 f ( 幻
。 ,
=
劣
的 意 义 下 该 条件 也 是 必 要 的
。 ,
。
我 们 也 给 出 了 方程
(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
"
于 方程
二阶非线性动力方程有界解振动的充分必要条件
２ ０ １ ３年
９ 月
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
文章编号： １ ６ ７ ４ － ８ ０ ８ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ０ ９ — ０ ４
二阶非线 性动 力方程 有界解 振动 的充分必要条件
王志伟， 邓志云，杨云苏
（ 井冈山大学数理学院，江西，吉安 ３ ４ ３ ０ ０ ９ ）
（ ｐ （ ｔ ） ｘ ） ） ＋ｇ （ ｆ ） 厂 （ （ ｇ （ ｆ ） ） ） ＝０ ，ｔ ∈ Ｔ ， ｔ ｔ ０
（ ０ ． １ ）
方程 上 去 。但 在某 些结 论上 ，他们 又有 着本 质 的不 同。这 时人们 把 目光放 在这 个 问题上 ，能 不能找 到
一
在 文 中假 设 ： （ ／ ４ １ ） 时 标 它 是 实数 尺 上 的非 空 闭子 集） 是 无 上 界 的 ， 设 ｔ ０∈Ｔ ， ｔ ０ ＞０ ， 定 义 时 标 ［ ， ０ ０ ） ＝［ ｔ ０ ， Ｏ ０ ） ｎＴ； ㈣ ） ＞０ ， ） Ｃｒ ａ （
个 新 的东 西 ， 能够将 二者 统一 起来 。 １ ９ ８ ８ 年Ｓ ｔ ｅ ｆ ａ ｎ
Ｈｉ ｌ ｇ ｅ ｒ首 先提 出 了时标 的概 念 ，它将连 续分 析和 离
散 分析 两种 理论 统一起 来 。实 际生活 中有 许 多时标 的例子 。例如 ，一 年生 植物 的繁 殖模 型 ，假设 该植 物 的数 量在 某一 季节 是连 续 的 ，而在 冬季 会全 部死 亡 ，但 是他们 的种 子 又会在 新 的季 节生根 发 芽 ，成
为不交 叉 的种群 数 量 。泛 函微分 方程 的振 动性 理论 和 差 分 方 程 的振 动 理 论 是方 程 定性 理 论 的两 个 重 要分 支 ，如 文献 【 ２ ］ ＿ ［ ７ 】 ，而 时标 上 动力 方程 作 为方
一类二阶混合非线性微分方程的振动准则
林锦滢，陈腾杰
关键词
振动性，二阶，微分方程，混合非线性，Riccati变换
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(4), 815-825 Published Online April 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.84092
已有大量文献研究了方程(1)的特殊情形，如(见[1]-[6]及其中的参考文献)
(r (t ) y′)′ + q (t ) y = e(t )
(2)
(r (t ) y′)′ + q (t ) f ( y) = e(t )
(3)
大多数著名的振动准则都关系到 f 和 q 在区间 [t0 , +∞) 上的积分，这使得这些结果很难被应用到更加
Received: Apr. 6th, 2019; accepted: Apr. 21st, 2019; published: Apr. 28th, 2019
Abstract
New oscillation criteria for a class of second-order mixed nonlinear damping equations are obtained by means of the integral averaging technique and a new kernel function combined with the Elure integral. The new results have a higher generality than some of previous results. The zero distribution information of the solution is also obtained.
一类二阶非线性差分方程的振动性质
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第２卷 第５ ４ 期
２ ０ 年 １ 月 ０７ ０
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ ｏ ５ ｏ ４ ． ． Ｎ
Ｏｃ ． ０ ７ ｔ ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧ Ｉ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
当 ≠０时， 得当 ≠０时， ｑ； Ｐ
（ ） Ｐ： ｎ） 。 Ｒ 是连续函数，并且存在实数序列 ｛ ） Ｐ Ｎ（０ 一 Ｒ，使 ４ Ｎ（ｏ ×Ｒ 一 ， ： ｎ ）
方程（） １的解指的是在 Ｎ（ｏ 上满足方程（） ｎ） １的序列 ｘ ）
。在 Ｎ（０ 上最终不恒等于 ｎ）
文章编Ｎ： ０—０５２０）５０７—６ －０５３８ （０７０—８９０ １
一
类二 阶非线性差分方 程 的振 动性质 水
张 全 信 燕 居 让 。 ，
（．滨州学院数学与信 息科 学系 ，山东滨州 ２ ６ ０ ； ２ １ ５ ６ ３ 一山西大 学数学科学学 院，太原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
一
（ ） ａ Ｎ（ｏ （， ∞ ） １ ｎ： ｎ ） ０＋ ； （２ Ａ） ： — Ｒ 是连续可微函数 ，并且 当 ≠０时 ， （） ， （） ０ Ｒ ＞０ ； （３ Ｑ ： ｎ ） Ａ） Ｎ（ｏ ×Ｒ — Ｒ 是连 续函数 ，并且存 在实数序列 ｛ ）和连续可微 函数 ｆｘ ： ‰ （） 其 中 ｑ ： ｎ ）一 Ｒ；ｆ ： — Ｒ，当 ≠ ０时 ，ｕ （）＞ ０ Ｎ（ｏ Ｒ ｆｕ ，并 且 ｆ（）＞ ０ 。使 得
零的解 ，这样的解叫做非平凡解 。方程 （） １ 的一个非平凡解 ｆ ，若对于任意 的 ｍ ∈ｇ（０ ， ｎ） 存 在 正整数 ｋ ｍ，使 得 Ｘ ｘ ＋ ０ ｋ １ ，则称 ｆ ）为振动 的 ；否则就 称 为非振 动 的 。对 于 方程（） １的一个非振动 解 ｛ ） ，若 ｛ Ａｘ ）为振动 的，则称 ｛ ）是 方程 （） １的弱振动解 。若方
第２卷 第５ ４ 期
２ ０ 年 １ 月 ０７ ０
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程
数
学
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Ｖ １２ ｏ ５ ｏ ４ ． ． Ｎ
Ｏｃ ． ０ ７ ｔ ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧ Ｉ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
当 ≠０时， 得当 ≠０时， ｑ； Ｐ
（ ） Ｐ： ｎ） 。 Ｒ 是连续函数，并且存在实数序列 ｛ ） Ｐ Ｎ（０ 一 Ｒ，使 ４ Ｎ（ｏ ×Ｒ 一 ， ： ｎ ）
方程（） １的解指的是在 Ｎ（ｏ 上满足方程（） ｎ） １的序列 ｘ ）
。在 Ｎ（０ 上最终不恒等于 ｎ）
文章编Ｎ： ０—０５２０）５０７—６ －０５３８ （０７０—８９０ １
一
类二 阶非线性差分方 程 的振 动性质 水
张 全 信 燕 居 让 。 ，
（．滨州学院数学与信 息科 学系 ，山东滨州 ２ ６ ０ ； ２ １ ５ ６ ３ 一山西大 学数学科学学 院，太原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
一
（ ） ａ Ｎ（ｏ （， ∞ ） １ ｎ： ｎ ） ０＋ ； （２ Ａ） ： — Ｒ 是连续可微函数 ，并且 当 ≠０时 ， （） ， （） ０ Ｒ ＞０ ； （３ Ｑ ： ｎ ） Ａ） Ｎ（ｏ ×Ｒ — Ｒ 是连 续函数 ，并且存 在实数序列 ｛ ）和连续可微 函数 ｆｘ ： ‰ （） 其 中 ｑ ： ｎ ）一 Ｒ；ｆ ： — Ｒ，当 ≠ ０时 ，ｕ （）＞ ０ Ｎ（ｏ Ｒ ｆｕ ，并 且 ｆ（）＞ ０ 。使 得
零的解 ，这样的解叫做非平凡解 。方程 （） １ 的一个非平凡解 ｆ ，若对于任意 的 ｍ ∈ｇ（０ ， ｎ） 存 在 正整数 ｋ ｍ，使 得 Ｘ ｘ ＋ ０ ｋ １ ，则称 ｆ ）为振动 的 ；否则就 称 为非振 动 的 。对 于 方程（） １的一个非振动 解 ｛ ） ，若 ｛ Ａｘ ）为振动 的，则称 ｛ ）是 方程 （） １的弱振动解 。若方
非线性二阶中立型差分方程解的振动性
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第 ２期
张晓建等 ： 非线性二阶中立型差分方程解的振动性
１７ ７
０ ＞０ 又令 ， ．
Ｙ ＝ ＋ＣＸ ， ｎ… （） ３
△， ＋∑ Ｐｑ ． ‘ ｉ ≤０ ￣Ｂ
（ｉ 当 Ｂ ｉ ） ＞０＞Ａ ， － ）知 （ 由（ ３ Ｈ Ｂ ）＞０ 即有 ，
研究还 比较少 １． ． 本文研究 了一类非线性二阶中 Ｊ ＿
立 型差 分方程
Ｉ
振动的， 即 既不最 终 为正 ， 也不最 终 为负 ； 称方程 （ ） 振动 的 ， 果方 程 （ ） １是 如 １ 的所 有解 都是 振动 的．
△（ ＋ｎ ）＝∑Ｐ （ ） （） Ｃ ｘ ， １ Ｚ
其 中｛ ｝ ｛ ｝ ｃ ，ｃ （ ：１２ … ， ） ｛ ｝ ｉ ， ， ，， ，Ｐ （ ＝１２ …，
ｆ 为实 数序 列 ， ， ）均 ｍ， 是 非 负整数 ， ，是 给 （ｆ ￡ ，
＝△（ ） △ ．
（４ ： ∑ｑ １ ￣ｋ 一 则方程 Ｈ） ∑ （ 一 ｎｎ Ｐ －）＝ ∞， ｉ
６ ）时 ， （ ）≥ ｕ 当 ｕ∈ （ ，）时 ， 有 ｕ ｑ， 一６０ 有 ｕ ）≤ ｕ ｉ＝ １ ２ ｑ， ， 一， ｆ ．
≥ ０
而关 于二阶 中立 型 差 分 方 程 的 振 动性 同样 引 起 了 大批学者的关 注， 并得到了一些好 的结果¨ 如文 剖．
［］ ２ 研究了方程
ｉ＝ １
的懈的振动性 ， 出了其 解振 动的充分条件． 得 所得结果改进 和推广 了已有文献的结果． 关键词 ： 非线性 ；中立型差分方程 ； 振动性
中 图分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ．７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １ ３ ５ ２ ０ ） ２ １６０ １０ — ９ （ ０８ ０ － ７ －３ ８ ０
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项 的二 阶非线 性 中立 型时滞 差分 方程
ｍ
△（（） ｂｎｘ ｒ）一∑ （） ｓ ） ｝ ０ｎ≥ｎ， ｎ ＋ （）（ ） — 。 ａ ｛（（ 一 ） ＝ ， ０ ｍｘ
（） １
其 中 ： ≥ １ ｆ １ ７≥ １ ≥ ０ ， ０（ ｍ ，≥ ， ， ， ≥ ＝１ ２ … ， 下 同 ， ） 为给定 的 自然数 ； 向前差 分 ， ， ， ｍ， 略 均 △为
在 实 际问题 的研 究 中 ， 滞差分 方 程 已被广 泛应 用 于 经济 金 融 、 空航 天 、 物 医药 、 算 机科 学 、 时 航 生 计 自动控 制技 术等 领域 ． 如 ， 例 中立 型时滞 差分 方 程在 高速 计算 机连 接开关 电路 的无 损耗 传输 网络 以及弹 性体 上质 点振 动 问题 中都有 着 其实 际应 用背 景 ；ｏｉｉ方 程在 生物 工程 和技 术革 新 等方 面 的应 用有 着 Ｌｇ ｔ ｓｃ 悠久 的历 史 ．因而对 时滞 差分 方程 定性 理 论 的 研究 引起 了大批 学 者 的 广泛 兴 趣 和高 度 关 注 ¨ ． 近几
ａ （ ） （ ＋１ （ ）△ ） （ ｘ ） ；ｂ ） ，ｇ ， ｝ ｘ ＝ ）一 ｎ ， （ ＝ａ ｚ （ ） ｛（ ｝ ｛ Ｒ， ） （ 且
（ ） ＞０ （ ｕ Ｍ≠ ０ ． ）
收稿 日期 ：０ １ ０ — ９ ２ １ — ７ ０
带最大值项 的二阶非 线性差分方程的振动性定理
杨 甲 山 ， 继猛 李
（ 阳学 院 理 学与信息科学系 ， 邵 湖南 邵 阳 摘 ４ ２０ ） ２ ０ ４
要： 研究 一类 带有最大值项 的二 阶非线性 中立 型时滞差 分方程 的振动性 ， 利用 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间 的
不动点原理和一些分析技巧 ， 得到这类方程存在最终正解及方程振动 的充分条件 ． 关键词 ： 最大值项 ； 振动性 ； 动点原 理 ； 不 最终正解
２１ ０ ２年 ５月 第３ ６卷 第 ３期
安 徽 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ Ａ ｅ ｔ ｕ ｅ ｉ
Ｍ ａ ０１ ｖ２ ２ Ｖ０ ＿ ６ ． ｌ３ Ｎｏ ３
基金 项 目： 国家 自然科学基金 资助项 目（ １７． ２ ； １０ １２ ） 湖南省教育 厅 自然科 学基金重点资助项 目（ ９ ０ ２ ２ ０Ａ ８ ） 作者 简介 ： 甲山（ ９３ ） 男 ， 杨 １６ 一 ， 湖南城步人 ， 阳学院副教授． 邵 引文格式 ： 甲山， 杨 李继猛． 最大值项 的二阶非线性差分方程 的振 动性 定理 ［］ 安徽 大学学报 ： 带 Ｊ． 自然科 学版 ，０ ２ ２１ ，
年来 ， 由于实 际应 用 的需要 ， 于带 有最 大值 项 的差分 方 程 的有 关理 论 的研究 也 出现 了很 多 成果 ， 文 关 如
献 ［—Ｏ ． ４ １ ］但这些文献所研究的方程多为低 阶的或线性 的， 而关于带有最大值项 的高阶非线性差分方 程 的定性 理论 的研 究成 果 ， 已知 的文献 中 尚不 多见 ． 文 将研究 如 下一类 形式 非 常广泛 的带 有最 大值 在 论
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中 图 分 类 号 ： ７ ． ０１５ ７ 文 献标 志 码 ： Ａ 文章 编 号 ：００ ２６ （０２ ０ — ０ ９ ０ １０ — １２ ２ １ ） ３ ０ １ — ４
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在 实 际问题 的研 究 中 ， 滞差分 方 程 已被广 泛应 用 于 经济 金 融 、 空航 天 、 物 医药 、 算 机科 学 、 时 航 生 计 自动控 制技 术等 领域 ． 如 ， 例 中立 型时滞 差分 方 程在 高速 计算 机连 接开关 电路 的无 损耗 传输 网络 以及弹 性体 上质 点振 动 问题 中都有 着 其实 际应 用背 景 ；ｏｉｉ方 程在 生物 工程 和技 术革 新 等方 面 的应 用有 着 Ｌｇ ｔ ｓｃ 悠久 的历 史 ．因而对 时滞 差分 方程 定性 理 论 的 研究 引起 了大批 学 者 的 广泛 兴 趣 和高 度 关 注 ¨ ． 近几
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收稿 日期 ：０ １ ０ — ９ ２ １ — ７ ０
带最大值项 的二阶非 线性差分方程的振动性定理
杨 甲 山 ， 继猛 李
（ 阳学 院 理 学与信息科学系 ， 邵 湖南 邵 阳 摘 ４ ２０ ） ２ ０ ４
要： 研究 一类 带有最大值项 的二 阶非线性 中立 型时滞差 分方程 的振动性 ， 利用 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间 的
不动点原理和一些分析技巧 ， 得到这类方程存在最终正解及方程振动 的充分条件 ． 关键词 ： 最大值项 ； 振动性 ； 动点原 理 ； 不 最终正解
２１ ０ ２年 ５月 第３ ６卷 第 ３期
安 徽 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ Ａ ｅ ｔ ｕ ｅ ｉ
Ｍ ａ ０１ ｖ２ ２ Ｖ０ ＿ ６ ． ｌ３ Ｎｏ ３
基金 项 目： 国家 自然科学基金 资助项 目（ １７． ２ ； １０ １２ ） 湖南省教育 厅 自然科 学基金重点资助项 目（ ９ ０ ２ ２ ０Ａ ８ ） 作者 简介 ： 甲山（ ９３ ） 男 ， 杨 １６ 一 ， 湖南城步人 ， 阳学院副教授． 邵 引文格式 ： 甲山， 杨 李继猛． 最大值项 的二阶非线性差分方程 的振 动性 定理 ［］ 安徽 大学学报 ： 带 Ｊ． 自然科 学版 ，０ ２ ２１ ，
年来 ， 由于实 际应 用 的需要 ， 于带 有最 大值 项 的差分 方 程 的有 关理 论 的研究 也 出现 了很 多 成果 ， 文 关 如
献 ［—Ｏ ． ４ １ ］但这些文献所研究的方程多为低 阶的或线性 的， 而关于带有最大值项 的高阶非线性差分方 程 的定性 理论 的研 究成 果 ， 已知 的文献 中 尚不 多见 ． 文 将研究 如 下一类 形式 非 常广泛 的带 有最 大值 在 论
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中 图 分 类 号 ： ７ ． ０１５ ７ 文 献标 志 码 ： Ａ 文章 编 号 ：００ ２６ （０２ ０ — ０ ９ ０ １０ — １２ ２ １ ） ３ ０ １ — ４
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