非线性振动
非线性振动系统稳定性及分析方法综述
非线性振动系统稳定性及分析方法综述非线性振动是指系统在受到外界激励下，系统的响应不仅与激励的大小和频率有关，还与系统自身的非线性特性有关。
非线性振动在工程和科学中具有广泛的应用，然而，非线性振动系统的稳定性分析是一个复杂而重要的问题。
本文将对非线性振动系统的稳定性及分析方法进行综述。
首先，我们需要了解非线性振动系统的稳定性定义。
稳定性是指系统在扰动下具有恢复到平衡位置或围绕平衡位置进行周期性运动的能力。
在线性振动系统中，稳定性的判断相对简单，通常通过分析系统的特征方程的特征根来进行判断。
然而，在非线性振动系统中，由于存在非线性项，特征方程的解析解通常难以获得，因此需要借助其他分析方法来评估系统的稳定性。
非线性振动系统的稳定性分析方法主要有两种：解析法和数值法。
解析法基于系统的数学模型，通过对系统进行分析和求解来得到系统的稳定性判断。
数值法则是基于数值计算的方法，通过数值模拟来评估系统的稳定性。
解析法中最常用的方法是利用极限环理论进行分析。
极限环理论是利用极限环的性质来判断非线性振动系统的稳定性，主要包括判断极限环存在与否以及存在的极限环的形状和大小。
该方法适用于无阻尼非线性振动系统的稳定性判断，但对于有阻尼的系统则需要引入其他修正方法。
此外，解析法中还包括利用能量法、均衡法、周期解法等方法进行稳定性分析。
能量法是通过系统能量的变化来推导系统的稳定性判断条件，均衡法是通过判断系统的平衡位置的稳定性来得到系统的整体稳定性，周期解法则是通过求解系统的周期解来评估系统的稳定性。
另一种方法是数值法，数值法通过数值模拟计算来评估系统的稳定性。
数值法可以利用现代计算机技术进行大规模模拟计算，得到系统的响应曲线和稳定性判断结果。
数值法具有灵活性和高精度的特点，在实际工程中得到了广泛应用。
常用的数值方法包括有限元法、多体动力学法、广义谱方法等。
非线性振动系统的稳定性分析方法还可根据系统的特点分为两类：周期系统和非周期系统。
非线性振动
能够求出精确解的非线性系统极少，一般使用数值方法计算。采用近似计算的方法大部分是针对 弱非线性系统。对于强非线性系统，首先需要求出与之相近，而又精确可积的非线性系统精确解，然后 对精确非线性解进行摄动，所导出的微分方程仍然需要借助数值方法求解。
1. 线性振动一般解与典型非线性方程
0 x 0 有阻尼自由振动系统 x 20 x
取决于系统阻尼比与固有频率和激励频率的关系，有
arctan
2 / 0 2 1 2 / 0
1
稳态相应振幅与激励振幅的比值有
A2 B
1
2
2 / 0 2 / 0 2
2
(t ) cx (t ) kx(t ) F cos t kA cos t 对方程 mx
2 2 (t ) n 变形为 x(t ) 2n x x(t ) n A cos t
通解 X cos(t ) ， 表响应对激励的滞后：
通解 X1 为： x
2 0
v n x0 0
2 d
2
v n x0 e nt cos d t 0 ，瞬态响应，逐步衰减。 d
2
A cos nt ，且根据
n 1 n
2
非线性振动
u u (1 u ) 0 ，主要研究自激振动 Van der Pol 方程 u
2 2
实际可能，将谐波取到 3 倍频：(根据实际情况略去无用的高阶项，但求解会存在不少问题！)
x x An cos nt An n 2 2 cos nt
记录非线性的现象和原因，记录求解非线性问题的计算方法 很多问题不实际算，是不会发现问题的 陈小飞，2009-10-16 目 录
机械系统的非线性振动分析与控制
机械系统的非线性振动分析与控制引言机械系统是现代工程中广泛应用的一种系统，其具有非线性特性。
非线性振动是机械系统中一个常见且复杂的问题，对于系统的可靠性与效果具有重要影响。
因此，对机械系统的非线性振动进行深入分析与控制具有重要的理论和实践价值。
一、机械系统的非线性振动特性1.1 线性振动与非线性振动的区别线性振动是指系统的响应与激励之间存在简单的比例关系，即满足叠加原理。
而非线性振动则不满足叠加原理，系统的响应与激励之间存在复杂的非线性关系。
非线性振动会导致系统的摆动幅度增大或者系统出现周期倍频振动。
1.2 非线性振动的原因机械系统中产生非线性振动的原因主要有两个方面：一是系统的非线性特性，例如刚度非线性、摩擦非线性等；二是系统的非线性激励，例如周期激励、随机激励等。
1.3 非线性振动的现象非线性振动的现象非常多样化，常见的有分岔现象、周期倍频共振现象、混沌现象等。
这些现象给机械系统带来了挑战，也为研究非线性振动提供了契机。
二、非线性振动的分析方法2.1 解析法解析法是一种基于数学模型的非线性振动分析方法。
通过建立机械系统的非线性微分方程，并应用数学工具进行求解，可以得到系统的解析解。
然而，由于非线性振动问题的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
因此，需要借助于数值解法。
2.2 数值法数值法是一种基于数值计算的非线性振动分析方法。
通过将非线性微分方程转化为差分方程，采用逐步逼近的方法进行计算，可以得到系统的数值解。
常用的数值法有欧拉法、龙格-库塔法等。
数值法具有灵活性和广泛适用性，可以应对复杂的非线性振动问题。
三、非线性振动的控制方法3.1 被动控制被动控制是一种利用物理手段抑制非线性振动的方法。
例如，利用阻尼器、质量阻尼器等装置来减小系统的振动幅度，或者采用增加刚度、惯性等手段来改变系统的频率响应特性。
被动控制相对简单易行，但只能对系统进行抑制，无法从根本上解决非线性振动问题。
3.2 主动控制主动控制是一种利用外部激励来主动干预系统的振动行为的方法。
(振动理论课件)非线性振动概述
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学 中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的 科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动 力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性 和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散 结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨 落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往 会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观 察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月 食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹 教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种 信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了 这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的 桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈 频 繁 地 出 现 。 早 在 1940 年 美 国 塔 可 马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故 就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系 统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的 物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非 线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
机械系统的非线性振动动力学分析方法
机械系统的非线性振动动力学分析方法在现代工程领域中，机械系统的性能和可靠性至关重要。
而机械系统中的非线性振动现象常常会对系统的正常运行产生显著影响，甚至可能导致系统失效。
因此，深入研究机械系统的非线性振动动力学分析方法具有重要的理论和实际意义。
机械系统的非线性振动是指系统的振动响应与激励之间的关系不是线性的。
这种非线性关系可能源于多种因素，例如材料的非线性特性、几何非线性、接触非线性以及各种非线性阻尼和恢复力等。
与线性振动相比，非线性振动具有更加复杂和多样化的行为，如多值响应、跳跃现象、混沌运动等。
为了有效地分析机械系统的非线性振动，研究人员提出了多种方法。
其中，数值方法是应用最为广泛的一类。
有限元法是一种常见的数值方法，它将连续的机械系统离散化为有限个单元，通过建立单元的刚度矩阵和质量矩阵，进而求解整个系统的运动方程。
在处理非线性问题时，可以通过迭代的方式逐步逼近真实的解。
另一种重要的数值方法是龙格库塔法。
它是一种求解常微分方程的数值方法，适用于求解机械系统非线性振动的动力学方程。
通过在时间域上逐步推进求解，可以得到系统在不同时刻的状态。
解析方法在非线性振动分析中也具有一定的地位。
谐波平衡法是一种常用的解析方法，它假设振动响应为一系列谐波的叠加，通过将非线性项展开并与谐波项进行比较，从而得到方程的近似解。
这种方法对于具有弱非线性的系统较为有效。
摄动法也是一种经典的解析方法，它通过引入小参数将非线性方程进行近似处理，从而得到可解的方程。
例如，林滋泰德庞加莱摄动法在处理非线性振动问题时发挥了重要作用。
除了上述方法，实验研究也是理解机械系统非线性振动的重要手段。
通过在实际系统上安装传感器，测量振动信号，然后对信号进行分析和处理，可以获得系统的振动特性。
例如，使用加速度传感器测量振动加速度，通过频谱分析可以了解振动的频率成分。
在进行非线性振动分析时，还需要考虑系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性理论为判断系统的稳定性提供了有力的工具。
桥梁非线性振动分析
桥梁非线性振动分析桥梁作为重要的交通基础设施，在现代社会发挥着不可替代的作用。
然而，桥梁在运行过程中受到各种因素的影响，包括自然环境作用力、交通荷载、地震等，这些因素会导致桥梁的非线性振动现象，进而对桥梁的安全性和可靠性产生不良影响。
因此，对桥梁的非线性振动进行准确分析具有重要的理论和实践意义。
一、桥梁非线性振动的起因桥梁非线性振动的起因主要有以下几个方面：1. 材料非线性：桥梁所采用的材料存在一定的非线性特性，包括材料的弹性模量、剪切模量、泊松比等。
2. 结构非线性：桥梁结构在受力过程中可能会出现非线性行为，如支座摩擦、接缝间隙、支承刚度的非线性等。
3. 荷载非线性：桥梁在运行过程中受到的荷载存在一定的非线性特性，如交通荷载的变化、集中荷载的作用等。
4. 地震非线性：桥梁在地震作用下会出现非线性振动，地震荷载一般具有突发性和非正弦性。
二、桥梁非线性振动的分析方法为了准确分析桥梁的非线性振动特性，需要采用适当的分析方法。
常用的桥梁非线性振动分析方法主要有以下几种：1. 数值模拟方法：利用有限元分析方法、动力学数值模拟方法等，对桥梁的非线性振动进行计算模拟。
2. 等效线性化方法：通过对非线性系统进行等效线性化处理，将非线性振动问题转化为线性振动问题来进行分析。
3. 实验方法：通过实验测试，获取桥梁的振动响应数据，并对其进行分析和研究。
三、桥梁非线性振动的影响桥梁的非线性振动会对桥梁的安全性和可靠性产生不利影响，主要表现在以下几个方面：1. 振动幅值增大：非线性振动会导致桥梁的振动幅值增大，使得桥梁结构产生更大的应力和变形，进而降低桥梁的承载能力。
2. 共振现象发生：非线性振动会增加桥梁的共振现象的发生概率，当共振频率与结构的固有频率相近时，可能引起桥梁的破坏。
3. 振动衰减不稳定：非线性振动会导致桥梁的振动衰减不稳定，使得桥梁在振动过程中产生额外的能量损耗。
四、桥梁非线性振动的控制措施为了减小桥梁的非线性振动，保证桥梁的安全性和可靠性，可以采取以下几种控制措施：1. 结构优化设计：通过合理的结构设计和材料选择，减小桥梁的非线性特性，提高桥梁的抗震性能和动力响应特性。
非线性振动-近似求解
这样，方程(10-1)可以写成以下形式：
2 2 2 & &0 + ω 2 && && x 0 x 0 + ε( x1 + ω 0 x1 ) + ε ( x 2 + ω 0 x 2 ) + L &0 ) &0 ) &0 ) &0 ) ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x0 , x & 0 ) + ε x1 &0 &2 +x = ε f ( x0 , x +x + ε 2 x2 & & ∂x ∂x ∂x ∂x 2 2 2 &0 ) & 0 ) 1 1 ∂ f ( x0 , x & 0 ) ∂ f ( x0 , x ∂ f ( x0 , x 1 & & + x12 + x x x 1 1 2 + L & &2 ∂x∂x 2! 2! ∂x 2 ∂x
2 & & + ω0 &) x x = ε 是 x 和 x & ) 是一个小量，以致于可以被看作是 & 的非线性解析函数，ε为小参数，ε f ( x, x 式中的 f ( x, x 一个摄动。当ε = 0，方程(10-1)变为
2 & & + ω0 x x=0
(10-2)
& &0 + ε& &1 + ε 2 & &2 + x 0 + εx1 + ε 2 x 2 + L x x x & 0 + εx &1 + ε 2 x & 2 + L) = ε[1 − ( x0 + εx1 + ε 2 x 2 + L) 2 ]( x
非线性振动第1章 等效
1 2 2 1 2
2
2
0
1 2 ( x, x)dx 2
2
2 2 2 [2 x x x f ( x , x )] d 0 0
f (a cos , a
0
2
2 [2 ( a0 sin ) 2 a cos 0 a cos 2 sin )] d 0
3 5 0 2 a 2 a 4 4 8
则原方程的等价线性方程为：
骣2 3 5 2 ç & & & x + cx + ç0 + a + a 4 ÷ x = F0 sin t ÷ ÷ ç 桫 4 8
强迫振动的稳态解为：
x t a cos t
1 kx x 3 x 5 ) 0 (cx m
x
k m
2 0
1 ) (cx kx x 3 x 5 ) f ( x, x m
1 2a0 1
2
x 2 x x 0
2
0
f (a cos , a0 sin )sin d
根据线性振动理论振幅和相位角分别为：
a F0 2 3 5 2 2 4 2 0 a a c 4 8
2 1/ 2
arctan
c 02 a 2 a4 2
3 4 5 8
2 3 5 & & & x + 0 x + (cx + x + x ) = F0 sin t
等效线性化方程
& & & x + e x + ke x = F0 sin t
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l
/ rad
t/s
Testing Techniques
工程振动与测试
质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在 长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从 其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力，
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
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工程振动与测试
10.1 非线性振动的例子
单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子
运动微分方程为
g sin 0
l
对于微小振动，sin
g 0
l
如果振幅不是很小
线性系统
g l
3
6
0
非线性系统
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工程振动与测试 单摆运动特性
m
它是x和 x 的非线性函数。
如果函数 f 不显含t，则称这个系统为自治系统， 否则称为非自治系统。
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工程振动与测试
10.2 相平面
设自治系统可表示为
或
x f x, x 0
x y, y f x, y
对于更一般的情形，方程可表示为
x X x, y, y Y x, y
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工程振动与测试
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
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中心点
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工程振动与测试
总结以上各种情况，平衡点类型可在p－q平面 上简单表示，如图所示。
平 衡 点 类 型 示 意 图
2 p q 0
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工程振动与测试
例1 设质量为m,长为l的单摆在具有粘性阻尼的介质
中运动,阻尼系数为c,其运动微分方程为
式中x表示质点的位移， y x 表示质点的速度。如
果把(x, y)看作平面上点的坐标（称为相点） ，该平
面称为相平面。
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工程振动与测试
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。
若相平面上的点为
x 0, y 0
工程振动与测试
（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍 点，如图所示。
（4）特征值为复数，实部为负(p＞0 , 4q＞p2)，则 平衡点称为稳定焦点，如图所示。
鞍点
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稳定焦点
工程振动与测试 （5）特征值为复数，实部为正(p＜0 , 4q＞p2)， 则平衡点称为不稳定焦点，此时形状与上图相同， 但箭头方向相反。 （6）特征值为纯虚数，则平衡点称为中心，此时 相迹为封闭的圆，如图所示。
工程振动与测试
硬弹簧曲线示意图 软弹簧曲线示意图
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工程振动与测试
如果系统还受到阻力强迫力的作用，则系统的运
动微分方程为
mx x Fx Ft
在一般情况下，单自由度系统的运动微分方程为
mx F x, x, t 0
或
x f x, x, t 0
其中
f x, x, t 1 F x, x, t
工程振动与测试
一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
示软弹簧。
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对于线性方程组
x ax by, y cx dy
特征方程为
2 p q 0
两个特征根为
1
1 2
p
2
1 2
p
p2 4q p2 4q
Testing Techniques
工程振动与测试
平衡点（0，0）有如下类型： （1）特征值均为负实数(p＞0 , p2≥ 4q＞0)，则平衡 点是稳定结点
Testing Techniques
工程振动与测试
从研究方法上或是振动过程的变化规律上， 非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法 定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一 般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。 定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用 摄动法来求得这类方程的近似解析解。
即
X xS , yS 0, Y xS , yS 0
则称点(xs, ys)为方程式的平衡点。
设点O(xs, ys)是一个平衡点。令
a
X x
, b O
X y
O
c
Y x
O
,d
Y y
O
Testing Techniques
工程振动与测试
不妨设平衡点O为原点，则方程式可写成
x ax by X1x, y, y cx dy Y1x, y
1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
Testing Techniques
1 2
稳定星形结点
工程振动与测试 （2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平 衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非 正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似， 但箭头方向相反。
Testing Techniques
ml cl mgsin 0
试研究单摆运动的相图.
解： 令 则方程式可写成
再令
02
g ,
l
c
2m0
20 02 sin 0
x , y
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工程振动与测试
则方程式（b）可表示为
x y Xx, y, y Y x, y 20y 02 sin x
工程振动与测试
第10章 非线性振动
一般来说，振动系统总是非线性的，线性系 统只是一种简单模型。如果线性理论能反映所要 考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果， 那么就把它当作线性系统来处理；否则，就要研 究非线性系统。
在线性系统的研究中可以应用叠加原理，即 系统对不同激励的响应可以线性相加，而对非线 性系统叠加原理不成立，因此对非线性系统的研 究比线性系统要复杂得多。