第6章非线性振动-1讲解

X 1 ( x1 , x2 ) a11 x1 a12 x2 e1 ( x1 , x2 ) X 2 ( x1 , x2 ) a21 x1 a22 x2 e 2 ( x1 , x2 )
叠加原理不成立
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
设n自由度系统的运动微分方程为
i (t ) fi (q1, q2 , ...; qn , q 1, q 2 , ..., q n ; t ) q
(i 1, 2, ..., n)
其中， qi是广义坐标，fi是广义坐标和广义速度的非线性函数。 位形空间 由变量qi规定的n维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解qi(t) 可用位形空间的n维矢量表示。
非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法， 改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。
非线性振动的研究方法
非线性振动研究的方法有：定性分析、定量分析和数值分析方法。 定性法
研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时 间历程。通常采用几何方法描述系统的运动特征。
定量法 通过一些渐近的解析方法研究系统运动的时间历程。 数值法 通过数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。
相轨迹，或相迹。
不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
奇点
相平面内能使状态方程右端等于零的特殊点称为相 轨迹的奇点。表明系统的速度和加速度均等于零，奇点 的物理意义即系统的平衡状态，因此也可将奇点称为平 衡点。 对单自由度自治系统的自由振动，状态方程为：

材料非线性 几何非线性 非线性阻尼 负刚度负阻尼
非线性特性
振幅过大超出材 料线弹性范围 位移或变形过大使结 构几何形状显著变化 材料内摩擦阻尼、流体 阻尼等都是非线性阻尼 有些情况下会存在 负刚度和负阻尼
第6章 非线性振动 非线性振动研究的内容
6.1 非线性振动概述
设由 xi 规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运 动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：
1 T 2 2 x ({ x} {x}) xi i 1
2n
1 2
Lyapunov稳定性定义
渐近稳定
不稳定
若给定任意小的正数e，存在正数 d，对于一切受扰运动，只要其初始扰 动满足 x(t0 ) d，对于所有的 t t 0 均满足 x(t ) e ，则称平凡解是稳定 的。
从状态方程可以看出平衡点的速度与加速度为零。 未扰解和被扰解 xi= fi (t )为方程的一个已知解，称为未扰解。研究系统 在fi (t )领域中的运动xi (t )称为被扰运动。 特别有意义的两类未扰解是对应于平衡点的常数解和对 应于封闭轨线的周期解。
i 1
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
第6章 非线性振动 自治系统和非自治系统
6. 2 非线性振动的定性分析方法
Xi中没有一个显含时间t 时，系统称为自治系统， Xi中至 少有一个显含时间t 时，系统称为非自治系统。 普通点和奇异点
T 2 凡是{ X } { X } X i 0的点称为普通点、相点或正则 2n
点；而{X} ＝{ 0 }的点称为奇异点或平衡点。
1 X 1 ( x1 , x2 ) x 2 X 2 ( x1 , x2 ) x
相平面
对于单自由度系统，相空 间缩减为以x1和x2为直角坐标 系的（x1，x2 ）平面，称为系 统线性振动的定性分析方法
相轨迹
与系统的运动状态 一一对应的相平面上的 点称为系统的相点。 系统的运动过程可用相 点在相平面上的移动过程来 描述。相点移动的轨迹称为
振动理论及其应用
第6章 非线性振动
6.1 非线性振动概述
6.2 非线性振动的定性分析方法 6.3 非线性振动的近似解析方法 6.4 非线性振动的数值分析方法 6.5 分叉与混沌的概念
第6章 非线性振动
6.1 非线性振动概述
非线性系统
当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元 件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不 能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可 忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。
} { X } i (t ) X i ( x1 , x2 , ..., x2 n , t ) 或 {x 方程可写为 x
则矢量{x}可唯一表示系统在任一时刻t的状态。 相空间
i xn i 和 xn i X i，fi X n i q 设 qi xi ，
i规定的2n维空间称为状态空间或相空间。 由变量qi和 q
1 X 1 ( x1 , x2 ) x 2 X 2 ( x1 , x2 ) x
相平面上个别的平衡点就是以下方程的解：
X1 ( x1 , x2 ) 0, X 2 ( x1 , x2 ) 0
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
不失一般性，将坐标原点移至奇点处，并将函数在奇 点（0，0）附近展开为泰勒级数，得到：
第6章单 非线性振动 非线性振动与线性振动的区别 线性振动 自由振动频率与初始条件无关 强迫振动频率与激励力频率相 等 稳定平衡位置附近的运动是稳 定的 强迫振动中每个激励频率 有一个对应的振幅 叠加原理成立
6.1 非线性振动概述
非线性振动 自由振动频率与振幅有关 强迫振动频率成分复杂，有时 与激励频率不相等的频率成分 突出 稳定平衡位置附近具有多种 稳定和不稳定运动 强迫振动中幅频与相频曲线 发生弯曲，产生多值性
稳定
若这个平凡解是Lyapunov稳定的， 稳定性的几何解释 而且 lim x (t ) 0 ，则解是渐近稳定的。
t
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
讨论一单自由度自治系统的自由振动，其动力学方程 的一般形式为：
f (q, q ) q x2 和 x2 X1 ， f X 2 ，上式可以 设 q x1 ， q 写为状态变量的一阶微分方程组：