非线性振动
非线性振动系统稳定性及分析方法综述
非线性振动系统稳定性及分析方法综述非线性振动是指系统在受到外界激励下，系统的响应不仅与激励的大小和频率有关，还与系统自身的非线性特性有关。
非线性振动在工程和科学中具有广泛的应用，然而，非线性振动系统的稳定性分析是一个复杂而重要的问题。
本文将对非线性振动系统的稳定性及分析方法进行综述。
首先，我们需要了解非线性振动系统的稳定性定义。
稳定性是指系统在扰动下具有恢复到平衡位置或围绕平衡位置进行周期性运动的能力。
在线性振动系统中，稳定性的判断相对简单，通常通过分析系统的特征方程的特征根来进行判断。
然而，在非线性振动系统中，由于存在非线性项，特征方程的解析解通常难以获得，因此需要借助其他分析方法来评估系统的稳定性。
非线性振动系统的稳定性分析方法主要有两种：解析法和数值法。
解析法基于系统的数学模型，通过对系统进行分析和求解来得到系统的稳定性判断。
数值法则是基于数值计算的方法，通过数值模拟来评估系统的稳定性。
解析法中最常用的方法是利用极限环理论进行分析。
极限环理论是利用极限环的性质来判断非线性振动系统的稳定性，主要包括判断极限环存在与否以及存在的极限环的形状和大小。
该方法适用于无阻尼非线性振动系统的稳定性判断，但对于有阻尼的系统则需要引入其他修正方法。
此外，解析法中还包括利用能量法、均衡法、周期解法等方法进行稳定性分析。
能量法是通过系统能量的变化来推导系统的稳定性判断条件，均衡法是通过判断系统的平衡位置的稳定性来得到系统的整体稳定性，周期解法则是通过求解系统的周期解来评估系统的稳定性。
另一种方法是数值法，数值法通过数值模拟计算来评估系统的稳定性。
数值法可以利用现代计算机技术进行大规模模拟计算，得到系统的响应曲线和稳定性判断结果。
数值法具有灵活性和高精度的特点，在实际工程中得到了广泛应用。
常用的数值方法包括有限元法、多体动力学法、广义谱方法等。
非线性振动系统的稳定性分析方法还可根据系统的特点分为两类：周期系统和非周期系统。
非线性振动方程的同伦摄动法求解
非线性振动方程的同伦摄动法求解
近年来，同伦摄动法已经成为一种有效的求解非线性振动方程的方法。
它具有收敛性高、速度快、容易实现的特点，可用来求解简单或复杂的振
动系统的解析解。
同伦摄动法的基本思想是，将非线性振动方程转化为一组常微分方程（ODE），使用迭代方法求解这组ODE，得到解析解。
首先，引入特征量，将原问题转化为一组ODE；其次，构造适当的迭代公式，通过迭代算法计
算特征量；最后，以特征量为基础求得解析解。
设有n个节点的同伦摄动法，其基本思想是将n个节点的非线性振动
方程，通过引入n个特征量，组成n个ODE，构造n个迭代公式，通过迭
代求解，求得节点振动方程的解析解。
对于节点振动方程，特征量可以是振动幅度或加速度，构造n个ODE 时，都以特征量为基础，求得n个ODE的解析解，便是求得节点振动方程
的解析解。
另外，同伦摄动法可以用来求解非线性振动方程的一般解，如求解常
微分方程的路径积分和求解复杂的非线性振动方程的解。
这种方法可以有
效地降低计算复杂度，大大简化计算过程。
机械系统的非线性振动分析与控制
机械系统的非线性振动分析与控制引言机械系统是现代工程中广泛应用的一种系统，其具有非线性特性。
非线性振动是机械系统中一个常见且复杂的问题，对于系统的可靠性与效果具有重要影响。
因此，对机械系统的非线性振动进行深入分析与控制具有重要的理论和实践价值。
一、机械系统的非线性振动特性1.1 线性振动与非线性振动的区别线性振动是指系统的响应与激励之间存在简单的比例关系，即满足叠加原理。
而非线性振动则不满足叠加原理，系统的响应与激励之间存在复杂的非线性关系。
非线性振动会导致系统的摆动幅度增大或者系统出现周期倍频振动。
1.2 非线性振动的原因机械系统中产生非线性振动的原因主要有两个方面：一是系统的非线性特性，例如刚度非线性、摩擦非线性等；二是系统的非线性激励，例如周期激励、随机激励等。
1.3 非线性振动的现象非线性振动的现象非常多样化，常见的有分岔现象、周期倍频共振现象、混沌现象等。
这些现象给机械系统带来了挑战，也为研究非线性振动提供了契机。
二、非线性振动的分析方法2.1 解析法解析法是一种基于数学模型的非线性振动分析方法。
通过建立机械系统的非线性微分方程，并应用数学工具进行求解，可以得到系统的解析解。
然而，由于非线性振动问题的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
因此，需要借助于数值解法。
2.2 数值法数值法是一种基于数值计算的非线性振动分析方法。
通过将非线性微分方程转化为差分方程，采用逐步逼近的方法进行计算，可以得到系统的数值解。
常用的数值法有欧拉法、龙格-库塔法等。
数值法具有灵活性和广泛适用性，可以应对复杂的非线性振动问题。
三、非线性振动的控制方法3.1 被动控制被动控制是一种利用物理手段抑制非线性振动的方法。
例如，利用阻尼器、质量阻尼器等装置来减小系统的振动幅度，或者采用增加刚度、惯性等手段来改变系统的频率响应特性。
被动控制相对简单易行，但只能对系统进行抑制，无法从根本上解决非线性振动问题。
3.2 主动控制主动控制是一种利用外部激励来主动干预系统的振动行为的方法。
(振动理论课件)非线性振动概述
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学 中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的 科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动 力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性 和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散 结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨 落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往 会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观 察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月 食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹 教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种 信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了 这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的 桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈 频 繁 地 出 现 。 早 在 1940 年 美 国 塔 可 马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故 就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系 统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的 物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非 线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
机械系统的非线性振动动力学分析方法
机械系统的非线性振动动力学分析方法在现代工程领域中，机械系统的性能和可靠性至关重要。
而机械系统中的非线性振动现象常常会对系统的正常运行产生显著影响，甚至可能导致系统失效。
因此，深入研究机械系统的非线性振动动力学分析方法具有重要的理论和实际意义。
机械系统的非线性振动是指系统的振动响应与激励之间的关系不是线性的。
这种非线性关系可能源于多种因素，例如材料的非线性特性、几何非线性、接触非线性以及各种非线性阻尼和恢复力等。
与线性振动相比，非线性振动具有更加复杂和多样化的行为，如多值响应、跳跃现象、混沌运动等。
为了有效地分析机械系统的非线性振动，研究人员提出了多种方法。
其中，数值方法是应用最为广泛的一类。
有限元法是一种常见的数值方法，它将连续的机械系统离散化为有限个单元，通过建立单元的刚度矩阵和质量矩阵，进而求解整个系统的运动方程。
在处理非线性问题时，可以通过迭代的方式逐步逼近真实的解。
另一种重要的数值方法是龙格库塔法。
它是一种求解常微分方程的数值方法，适用于求解机械系统非线性振动的动力学方程。
通过在时间域上逐步推进求解，可以得到系统在不同时刻的状态。
解析方法在非线性振动分析中也具有一定的地位。
谐波平衡法是一种常用的解析方法，它假设振动响应为一系列谐波的叠加，通过将非线性项展开并与谐波项进行比较，从而得到方程的近似解。
这种方法对于具有弱非线性的系统较为有效。
摄动法也是一种经典的解析方法，它通过引入小参数将非线性方程进行近似处理，从而得到可解的方程。
例如，林滋泰德庞加莱摄动法在处理非线性振动问题时发挥了重要作用。
除了上述方法，实验研究也是理解机械系统非线性振动的重要手段。
通过在实际系统上安装传感器，测量振动信号，然后对信号进行分析和处理，可以获得系统的振动特性。
例如，使用加速度传感器测量振动加速度，通过频谱分析可以了解振动的频率成分。
在进行非线性振动分析时，还需要考虑系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性理论为判断系统的稳定性提供了有力的工具。
桥梁非线性振动分析
桥梁非线性振动分析桥梁作为重要的交通基础设施，在现代社会发挥着不可替代的作用。
然而，桥梁在运行过程中受到各种因素的影响，包括自然环境作用力、交通荷载、地震等，这些因素会导致桥梁的非线性振动现象，进而对桥梁的安全性和可靠性产生不良影响。
因此，对桥梁的非线性振动进行准确分析具有重要的理论和实践意义。
一、桥梁非线性振动的起因桥梁非线性振动的起因主要有以下几个方面：1. 材料非线性：桥梁所采用的材料存在一定的非线性特性，包括材料的弹性模量、剪切模量、泊松比等。
2. 结构非线性：桥梁结构在受力过程中可能会出现非线性行为，如支座摩擦、接缝间隙、支承刚度的非线性等。
3. 荷载非线性：桥梁在运行过程中受到的荷载存在一定的非线性特性，如交通荷载的变化、集中荷载的作用等。
4. 地震非线性：桥梁在地震作用下会出现非线性振动，地震荷载一般具有突发性和非正弦性。
二、桥梁非线性振动的分析方法为了准确分析桥梁的非线性振动特性，需要采用适当的分析方法。
常用的桥梁非线性振动分析方法主要有以下几种：1. 数值模拟方法：利用有限元分析方法、动力学数值模拟方法等，对桥梁的非线性振动进行计算模拟。
2. 等效线性化方法：通过对非线性系统进行等效线性化处理，将非线性振动问题转化为线性振动问题来进行分析。
3. 实验方法：通过实验测试，获取桥梁的振动响应数据，并对其进行分析和研究。
三、桥梁非线性振动的影响桥梁的非线性振动会对桥梁的安全性和可靠性产生不利影响，主要表现在以下几个方面：1. 振动幅值增大：非线性振动会导致桥梁的振动幅值增大，使得桥梁结构产生更大的应力和变形，进而降低桥梁的承载能力。
2. 共振现象发生：非线性振动会增加桥梁的共振现象的发生概率，当共振频率与结构的固有频率相近时，可能引起桥梁的破坏。
3. 振动衰减不稳定：非线性振动会导致桥梁的振动衰减不稳定，使得桥梁在振动过程中产生额外的能量损耗。
四、桥梁非线性振动的控制措施为了减小桥梁的非线性振动，保证桥梁的安全性和可靠性，可以采取以下几种控制措施：1. 结构优化设计：通过合理的结构设计和材料选择，减小桥梁的非线性特性，提高桥梁的抗震性能和动力响应特性。
非线性振动-近似求解
这样，方程(10-1)可以写成以下形式：
2 2 2 & &0 + ω 2 && && x 0 x 0 + ε( x1 + ω 0 x1 ) + ε ( x 2 + ω 0 x 2 ) + L &0 ) &0 ) &0 ) &0 ) ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x0 , x & 0 ) + ε x1 &0 &2 +x = ε f ( x0 , x +x + ε 2 x2 & & ∂x ∂x ∂x ∂x 2 2 2 &0 ) & 0 ) 1 1 ∂ f ( x0 , x & 0 ) ∂ f ( x0 , x ∂ f ( x0 , x 1 & & + x12 + x x x 1 1 2 + L & &2 ∂x∂x 2! 2! ∂x 2 ∂x
2 & & + ω0 &) x x = ε 是 x 和 x & ) 是一个小量，以致于可以被看作是 & 的非线性解析函数，ε为小参数，ε f ( x, x 式中的 f ( x, x 一个摄动。当ε = 0，方程(10-1)变为
2 & & + ω0 x x=0
(10-2)
& &0 + ε& &1 + ε 2 & &2 + x 0 + εx1 + ε 2 x 2 + L x x x & 0 + εx &1 + ε 2 x & 2 + L) = ε[1 − ( x0 + εx1 + ε 2 x 2 + L) 2 ]( x
非线性振动第1章 等效
1 2 2 1 2
2
2
0
1 2 ( x, x)dx 2
2
2 2 2 [2 x x x f ( x , x )] d 0 0
f (a cos , a
0
2
2 [2 ( a0 sin ) 2 a cos 0 a cos 2 sin )] d 0
3 5 0 2 a 2 a 4 4 8
则原方程的等价线性方程为：
骣2 3 5 2 ç & & & x + cx + ç0 + a + a 4 ÷ x = F0 sin t ÷ ÷ ç 桫 4 8
强迫振动的稳态解为：
x t a cos t
1 kx x 3 x 5 ) 0 (cx m
x
k m
2 0
1 ) (cx kx x 3 x 5 ) f ( x, x m
1 2a0 1
2
x 2 x x 0
2
0
f (a cos , a0 sin )sin d
根据线性振动理论振幅和相位角分别为：
a F0 2 3 5 2 2 4 2 0 a a c 4 8
2 1/ 2
arctan
c 02 a 2 a4 2
3 4 5 8
2 3 5 & & & x + 0 x + (cx + x + x ) = F0 sin t
等效线性化方程
& & & x + e x + ke x = F0 sin t
非线性振动系统的稳定性分析方法
非线性振动系统的稳定性分析方法引言振动是自然界中广泛存在的一种现象，而非线性振动系统则是指振动系统中存在非线性项的情况。
非线性振动系统的稳定性分析是研究系统在扰动下是否保持原有的振动状态以及如何从扰动中恢复到原有状态的重要课题。
本文将介绍几种常见的非线性振动系统稳定性分析方法。
一、线性稳定性分析方法在介绍非线性振动系统的稳定性分析方法之前，我们先来了解一下线性稳定性分析方法。
线性稳定性分析方法主要用于分析线性振动系统的稳定性，其基本思想是通过线性化系统的方程，利用特征值分析来判断系统的稳定性。
典型的线性稳定性分析方法包括利雅普诺夫稳定性判据、拉格朗日稳定性判据等。
二、平衡点分析法对于非线性振动系统，平衡点是指系统在无外力作用下达到的稳定状态。
平衡点分析法是一种基于系统平衡点的稳定性分析方法，其基本思想是通过线性化系统方程，分析平衡点的稳定性。
具体来说，可以通过计算平衡点处的雅可比矩阵的特征值来判断系统的稳定性。
若所有特征值的实部都小于零，则平衡点是稳定的；若存在特征值的实部大于零，则平衡点是不稳定的。
三、能量函数法能量函数法是一种基于系统能量的稳定性分析方法，其基本思想是通过构建系统的能量函数，分析能量函数的变化来判断系统的稳定性。
对于非线性振动系统，能量函数通常是系统的总能量或者某个子系统的能量。
通过计算能量函数的导数，可以得到能量函数的变化率。
若能量函数的变化率始终小于等于零，则系统是稳定的；若存在能量函数的变化率大于零的情况，则系统是不稳定的。
四、Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是一种基于Lyapunov函数的稳定性分析方法，其基本思想是通过构建Lyapunov函数，分析Lyapunov函数的变化来判断系统的稳定性。
对于非线性振动系统，Lyapunov函数通常是一个正定的函数，其导数可以表示系统的变化情况。
通过计算Lyapunov函数的导数，可以判断系统的稳定性。
非线性振动系统中的共振现象分析
非线性振动系统中的共振现象分析引言：振动是自然界中普遍存在的一种物理现象，而共振则是振动系统中的一种特殊现象。
在非线性振动系统中，共振现象更加复杂且具有一定的深度。
本文将对非线性振动系统中的共振现象进行分析。
一、非线性振动系统的基本概念非线性振动系统是指系统的振动力学方程中包含非线性项的振动系统。
与线性振动系统相比，非线性振动系统具有更加复杂的动力学行为。
非线性项的引入使得系统的运动方程不能简单地用线性微分方程描述，而需要采用更加复杂的数学工具进行分析。
二、共振现象的基本原理共振是指外界周期性激励与系统固有频率相匹配时，系统振幅出现明显增大的现象。
在非线性振动系统中，共振现象更加复杂。
非线性项的存在导致系统的固有频率与外界激励频率之间出现倍频关系，从而引发共振现象。
此外，非线性项还会导致系统的振动幅度出现非线性增长，进一步增强共振效应。
三、共振现象的分类根据振动系统的特点和共振效应的表现形式，非线性振动系统中的共振现象可以分为以下几类：1.硬对撞共振在非线性振动系统中，当系统的振动幅度达到一定程度时，系统中的非线性项会引发物体之间的硬对撞现象。
这种硬对撞共振现象在一些力学系统中常见，如钟摆系统中的碰撞共振。
2.软对撞共振与硬对撞共振不同，软对撞共振是指非线性振动系统中物体之间的非完全弹性碰撞现象。
在软对撞共振中，非线性项会引发物体之间的能量交换，从而导致振动幅度的增大。
3.倍频共振倍频共振是非线性振动系统中的一种特殊共振现象。
当外界激励频率为系统固有频率的整数倍时，非线性项会引发系统振动幅度的倍频增长。
倍频共振现象在电子系统中常见，如倍频振荡器中的倍频共振。
四、共振现象的应用非线性振动系统中的共振现象不仅仅是一种物理现象，还具有一定的应用价值。
共振现象的应用广泛涉及到多个领域，如工程、生物医学和天文学等。
例如，在工程领域中，共振现象可以用于设计和优化结构，提高系统的性能；在生物医学领域中，共振现象可以用于检测和治疗疾病；在天文学领域中，共振现象可以用于研究天体运动和行星轨道。
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非线性振动
期
末
作
业
任课老师：
姓 名：
学 号：
专 业：
课 程：非线性振动
非线性振动的理论研究方法
非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的
系统的振动。尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成
效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说，线
性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引
起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。理
论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的
基本理论和主要特点。非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方
程。学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限
之后，出现了三个比较重要的方向。其一是引入新的函数作为解的表达，并研究
这些函数的性质和数值解。非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解
方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的
求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两
个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。定性理论不通过解的表达式来研
究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性
理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。把常微分方程定性理论与非
线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。这些学
者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。定性理论在
发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、
判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映
射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解
析法。定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研
究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本
理论和主要特点。使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、
平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。下面简单
叙述一下几种分析非线性振动的方法：
（1）摄动法
摄动法还可称作小参数法，这个思想是在19世纪，著名的学者S. D. Poisson
研究分析天体运动时提出的。他在求解微分方程的近似解时采用了小参数级数形
式，这种小参数法可以称作基本摄动法还可以称作直接展开法。采用直接展开法
求解非线性微分方程得到近似解的形式中通常都会有一个随着时间而无限增加
的长久项，所以小参数法仅适用于较短时间的问题。因此学者们为了把这个长久
项去除掉，在19世纪80年代末 Lindstedt创造一个新的方法，这个方法引入了
新的变量t，并且还将未知量x和均展开成幂级数的形式。在19世纪
90年代初 Poincare证明Lindstedt级数具有渐进性，因此，这种方法被称为
Lindstcdt-Poincare方法，简称L-P法。
（2）渐近法
求解非线性微分方程近似解的渐近法简称为KBM法，国内外的学者们认为渐
近法是参量变值法中最有效最基本适用范围最广的渐近算法，求解非线性微分方
程还有其他的平均算法但全部都是由它演变过来的。渐近法不仅能够研究稳定周
期振动的相关问题，还能够分析瞬间振动的相关问题。通常情况下使用渐近法求
解非线性微分方程得出的第一次近似解与高次近似解的结果基本上是一样的，这
是因为想要得到高次近似解就需要进行非常复杂的计算过程，因而很多学者求解
非线性微分方程近似解时只求解了第一次近似解。在20世纪80年代我国学者徐
兆建立了一种新的渐近方法，新建立的渐近方法完全不同于经典的KBM方法，两
种方法求解非线性微分方程得到近似解的结构形式区别很大。通常使用经典的
KBM方法来求解非线性微分方程得到近似解都是三角级数形式的，该近似解一般
都是使用振幅和相角来进行表示，其中三角级数形式中相角以及振幅都使用微分
方程来表示，并且这里的微分方程只和振幅有关。新的渐近方法与经典KBM
方法的不同之处在于相角的微分方程是振幅和相角共同决定的。
（3）多尺度法
在20世纪50年代末学者斯特罗克首先提出了多时间尺度的概念，奈弗在多
时间尺度的基础上把各阶近似解设成是t，t ，2t ，…等函数，这些函数拥
有多个时间尺度或者说成是这些函数拥有多个自变量，这样就创建了多尺度法。
多尺度法与摄动法不同之处在于，多尺度法不只是计算周期解，还可以用来计算
耗散系统的衰弱振动相关问题；多尺度法不只是计算稳态响应相关问题，还可以
用计算非稳态过程相关问题，并且还能够用来研究稳念响应的稳定性相关问题以
及描绘非自治系统全局运动行为的相关问题。多尺度法拥有多个时间尺度或多个
变量，所以在求解非线性微分方程的过程中能够不受定程式的约束。
（4）谐波平衡法
谐波平衡法也是求解非线性振动问题常用的一种近似解析法。谐波平衡法在
使用过程中可以把其归结为代数方程组的求解过程，这就不需要再去求解积分一
微分方程组或者求解微分方程组，然而这种方法在应用的过程中也可能会出现不
准确或者相互矛盾结果。
（5）频闪法
频闪法在求解非线性振动问题时需要把连续变量离散化，之后再把离散化变
量进行连续化处理。把非线性振动问题的变量转换过程连续进行两次以后就能够
把原来是非自治型微分方程组转变为自治型辅助微分方程组，进行两次转化后得
到的方程组也叫做频闪微分方程组。通过频闪法对非线性振动问题进行变化之后
就把求解原方程组周期解存在性与稳定性的问题转变为求解频闪方程组奇点的
存在性与稳定性的问题