非线性振动
非线性振动系统的动力学行为研究
非线性振动系统的动力学行为研究随着科学技术的发展和人类对自然规律的不断探索，非线性振动系统的研究日益受到重视。
非线性振动系统是指受到外界激励时，系统的响应不遵循线性关系的一类特殊振动系统。
非线性振动系统的动力学行为研究涉及到许多重要的概念和理论，对于深入理解和掌握非线性振动现象具有重要意义。
一、简介非线性振动系统非线性振动系统包括包括单自由度、多自由度和连续系统。
在非线性振动系统的研究中，常常使用数学模型来描述其中的动力学行为。
典型的非线性振动系统包括摆钟、双摆、自激振子等。
二、非线性振动系统的动力学方程非线性振动系统的动力学方程是研究其动力学行为的基础。
通过将非线性振动系统的运动方程推导为一阶或二阶非线性微分方程的形式，可以对系统的运动进行描述和分析。
例如，通过对单摆的运动进行建模，可以得到如下的动力学方程：$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0$$其中 $\theta$ 表示摆角，$g$ 表示重力加速度，$l$ 表示摆长。
这一方程是非线性的，无法用简单的解析方法求解，需要借助数值模拟和数学工具进行研究。
三、非线性振动系统的动力学行为非线性振动系统的动力学行为包括周期解、混沌现象等。
周期解是指振动系统在一定的激励下呈现周期性的运动状态，可以用具体的数学方法求解。
通过对非线性振动系统进行合适的近似和变换，可以得到周期解的解析表达式。
例如，对于单摆系统，可以通过正弦级数的方法得到近似的解析解。
除了周期解，非线性振动系统还具有复杂的动力学行为，其中最常见的就是混沌现象。
混沌现象是指振动系统的运动变得极其复杂，难以预测和描述。
混沌现象是非线性振动系统的重要特征之一，也是非线性动力学研究的热点之一。
在混沌现象的研究中，常常采用相图、Lyapunov指数等工具进行分析。
四、非线性振动系统的控制非线性振动系统的控制是指通过合适的方法和手段对系统的振动行为进行调控和稳定。
机械结构的非线性振动分析与控制
机械结构的非线性振动分析与控制导言机械结构的振动问题一直是工程领域研究的热点之一。
在很多实际工程中，机械结构的非线性振动常常会导致系统的不稳定，严重影响系统的性能和寿命。
因此，对机械结构的非线性振动进行准确分析和有效控制具有重要意义。
本文将探讨机械结构的非线性振动分析与控制方法。
1. 非线性振动的特点非线性振动是指振动系统中存在非线性力学特性，无法用简谐运动描述的振动现象。
相比于线性振动，非线性振动具有以下几个主要特点：1.1 非线性受力关系：非线性振动系统的受力关系与位移和速度等参数呈现非线性特性，可能存在诸如摩擦力、硬度非线性等现象。
1.2 非线性固有频率：非线性振动系统的固有频率可能随着振幅的变化而发生变化，即频率可参量现象。
1.3 多周期运动：非线性振动系统的周期可以是整数倍的基频周期，即存在周期倍频振动。
2. 非线性振动分析方法为了准确地分析机械结构的非线性振动特性，研究者们提出了许多有效的方法。
下面介绍三种常用的非线性振动分析方法：2.1 广义多自由度方法：该方法基于插值函数（如模态函数或形态函数），将振动系统转化为有限多自由度系统。
通过求解广义动力学方程，可以得到系统的响应和频率响应曲线。
2.2 数值模拟方法：该方法通过建立机械结构的非线性数学模型，并采用数值计算方法（如有限元法）对方程进行求解。
数值模拟方法对于非线性振动系统的分析提供了一种直观、高精度的手段。
2.3 非线性正交函数方法：该方法利用正交函数展开法将非线性振动系统的运动方程转化为一组非线性代数方程。
通过求解非线性代数方程，可以得到系统的响应特性。
3. 非线性振动的控制方法针对机械结构的非线性振动问题，研究者们也提出了多种控制方法。
以下是两种常见的非线性振动控制方法：3.1 被动控制方法：被动控制方法通过改变机械结构的刚度、质量、阻尼等参数来降低非线性振动的影响。
例如，采用阻尼器、振动吸收器等装置来减小振动幅值，提高系统的稳定性。
非线性振动系统的动力学模拟和分析
非线性振动系统的动力学模拟和分析一、引言非线性振动系统是实际工程中经常遇到的一种振动模式，其动力学行为与线性振动系统有很大不同。
为了解决实际问题，需要对非线性振动系统进行深入研究，进一步分析其动力学行为。
本文将着重介绍非线性振动系统的动力学模拟和分析方法，并结合具体实例进行讲解。
二、基本概念1. 非线性振动系统非线性振动系统是指其运动方程中含有非线性项的振动系统。
其动力学行为与线性振动系统有很大不同，例如出现分岔、混沌等现象。
2. 动力学模拟动力学模拟是通过计算机模拟的方法研究动力学系统的行为。
它可以帮助我们深入理解非线性系统的物理现象，预测系统的行为以及设计系统的参数。
三、非线性振动系统动力学模拟方法1. 常微分方程方法其基本思路是通过建立非线性振动系统的运动方程，并运用数值分析方法进行求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程，可以将其展开为泰勒级数的形式，如下：$$f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$$将运动方程离散化后，可以利用数值分析方法，如欧拉法、隐式欧拉法等，进行求解。
2. 辛普森法辛普森法是一种常用的非线性振动系统动力学模拟方法。
其基本思路是利用曲面的形状来逼近曲线，进而求解非线性振动系统的运动方程。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程离散化后，可以利用辛普森法进行求解。
3. 傅里叶级数方法其基本思路是将一个非线性振动系统的运动方程分解为一系列线性微分方程的和，进而用傅里叶变换的方法求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程展开为傅里叶级数的形式后，可以用傅里叶变换求解。
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
非线性振动系统的稳定性分析
非线性振动系统的稳定性分析引言非线性振动系统是一类具有复杂运动行为的系统，其稳定性分析对于工程和科学研究中的许多领域都具有重要意义。
本文将对非线性振动系统的稳定性进行详细的分析和探讨。
1. 线性振动系统与非线性振动系统的区别线性振动系统具有简单且可解析的特点，其运动方程遵循线性的微分方程，振动过程呈现出周期性和谐振的特征。
而非线性振动系统则受到非线性因素的影响，其运动方程包含非线性项，因此其振动过程呈现出复杂的行为，可能会出现混沌现象。
2. 稳定性分析的基本概念稳定性分析是研究振动系统在微扰下的响应行为，以确定系统是否趋于平衡态或者是发生不断放大的不稳定行为。
在非线性振动系统的稳定性分析中，我们通常采用线性化方法，即在系统平衡点附近进行线性化近似，然后分析线性化系统的特征值来判断系统的稳定性。
3. 线性化近似方法线性化近似方法是一种常用的稳定性分析方法，其基本思想是将非线性振动系统在平衡点附近展开为一阶偏导数项的泰勒级数，然后保留一阶项，忽略高阶项，从而得到近似的线性系统。
通过求解线性系统的特征值或通过模拟系统的响应行为，可以判断非线性振动系统的稳定性。
4. 线性化系统的特征值分析线性化系统的特征值分析是判断非线性振动系统稳定性的一种重要方法。
当线性化系统的特征值具有负实部时，系统为稳定；当特征值具有正实部时，系统为不稳定；当特征值包含纯虚数时，系统为临界稳定，其运动呈现振荡现象。
5. 非线性振动系统的稳定性分析方法除了线性化近似方法外，还存在其他一些用于非线性振动系统稳定性分析的方法。
常见的方法包括：Poincare映射法、Lyapunov方法、能量函数法等。
这些方法各有其适用范围和算法，可以根据具体问题的需求来选择合适的方法进行稳定性分析。
结论非线性振动系统的稳定性分析是研究非线性振动行为的关键环节，对于理解和控制非线性振动系统具有重要意义。
本文通过介绍线性振动系统与非线性振动系统的区别，稳定性分析的基本概念，线性化近似方法以及线性化系统的特征值分析等内容，对非线性振动系统的稳定性分析进行了综合的阐述。
机械振动学基础知识振动系统的线性与非线性模拟
机械振动学基础知识振动系统的线性与非线性模拟机械振动学是力学的一个分支，主要研究物体在外力作用下的振动规律。
振动系统是机械振动学中的一个重要概念，它由质点（或刚体）、弹簧、阻尼器等元件组成。
振动系统可以分为线性和非线性两类，本文将从基础知识入手，探讨振动系统的线性和非线性模拟方法。
1.线性振动系统线性振动系统是指系统的运动方程为线性方程的振动系统。
“线性”即指系统的运动方程满足叠加原理，具有相对简单的动力学特性。
线性振动系统的模拟方法多为以二阶常微分方程为代表的系统状态空间方程，通过求解状态空间方程可以得到系统的时间响应和频率响应。
2.非线性振动系统非线性振动系统是指系统的运动方程为非线性方程的振动系统。
“非线性”即指系统的运动方程不能直接叠加或比例，并且系统的动力学特性较为复杂。
非线性振动系统的模拟方法相对复杂，通常需要采用数值模拟、仿真等方法进行分析。
3.模拟方法比较线性振动系统的模拟方法相对直观简单，在处理简单振动问题时具有一定的优势。
通过求解线性微分方程可以得到系统的精确解，便于分析系统的稳定性和响应特性。
而非线性振动系统的模拟方法更多依赖于数值计算，需要考虑系统的各种非线性因素，如摩擦、接触、非线性弹簧等，对于系统的建模和仿真要求较高。
4.实际应用在工程实践中，振动系统的模拟对于设计和分析振动系统具有重要意义。
在设计机械结构、振动降噪、控制系统等领域，振动系统的模拟可以帮助工程师预测系统的振动响应，指导系统的优化设计。
通过模拟线性和非线性振动系统，工程师可以更好地理解系统的动力学行为，提高设计效率和准确性。
5.结语通过对机械振动学基础知识振动系统的线性与非线性模拟的讨论，我们可以看到线性振动系统与非线性振动系统在模拟方法上的差异和优劣势。
在实际工程应用中，我们需要根据具体问题的要求选择合适的模拟方法，以实现系统的稳定性、准确性和性能优化。
振动系统的模拟研究将持续深入，为机械工程领域的发展和进步提供强有力的支持。
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
机械动力学中的非线性振动研究
机械动力学中的非线性振动研究引言机械振动是自然界和工程实践中普遍存在的现象。
振动的研究不仅对于理解自然现象有重要意义，而且在机械设计、结构优化等领域中也起到关键的作用。
振动问题通常都涉及非线性因素，因此非线性振动的研究成为了机械动力学的重要分支。
非线性振动的定义和特点非线性振动是指系统在振动过程中，系统响应不遵循线性叠加原理的振动。
与线性振动相比，非线性振动具有以下几个特点。
首先，非线性振动的频率特性是复杂的。
在非线性系统中，自由振动的频谱通常会出现各种谐波以及倍频。
这些谐波和倍频的出现是非线性系统对外界激励的非线性响应。
其次，非线性振动的幅频特性也是非线性的。
在非线性系统中，系统的响应幅值随着激励幅值的增加会产生非线性变化，比如出现硬化或者软化的现象。
最后，非线性振动还可能具有一些特殊的现象，比如倍周期运动、混沌现象等。
这些现象是线性系统所不具备的，对于非线性系统的研究具有重要的意义。
非线性振动的数学描述非线性振动通常可以通过微分方程来描述。
一般来说，非线性振动微分方程可以分为两类，一类是简单非线性，另一类是复杂非线性。
简单非线性是指各个分量之间只存在乘积关系的非线性项，比如二次项、三次项等。
复杂非线性则是指不仅存在乘积关系的非线性项，还存在其他一些非线性函数关系，比如正弦函数、指数函数等。
对于非线性振动问题，目前常用的数学分析方法有多种，比如周期平均法、多尺度方法、能量法等。
这些方法的应用使得非线性振动的研究更加深入和全面。
非线性振动的应用非线性振动的应用十分广泛。
首先，在机械工程领域中，非线性振动的研究成果被广泛应用于机械系统的优化设计和故障诊断中。
比如在飞机结构设计中，非线性振动的研究对于提高结构的稳定性和可靠性具有重要意义。
其次，在物理学和工程学中，非线性振动的研究也被应用于能量传递和信息传输等领域。
比如在能量收集和储存领域，非线性振动可以通过能量的分散和传递，实现机械系统能量的高效利用。
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非线性振动
期
末
作
业
任课老师：
姓名：
学号：
专业：
课程：非线性振动
非线性振动的理论研究方法
非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。
下面简单叙述一下几种分析非线性振动的方法：
（1）摄动法
摄动法还可称作小参数法，这个思想是在19世纪，著名的学者S. D. Poisson 研究分析天体运动时提出的。
他在求解微分方程的近似解时采用了小参数级数形式，这种小参数法可以称作基本摄动法还可以称作直接展开法。
采用直接展开法求解非线性微分方程得到近似解的形式中通常都会有一个随着时间而无限增加的长久项，所以小参数法仅适用于较短时间的问题。
因此学者们为了把这个长久项去除掉，在19世纪80年代末 Lindstedt 创造一个新的方法，这个方法引入了新的变量t τω=，并且还将未知量x 和ω均展开成ε幂级数的形式。
在19世纪90年代初 Poincare 证明Lindstedt 级数具有渐进性，因此，这种方法被称为Lindstcdt-Poincare 方法，简称L-P 法。
（2）渐近法
求解非线性微分方程近似解的渐近法简称为KBM 法，国内外的学者们认为渐近法是参量变值法中最有效最基本适用范围最广的渐近算法，求解非线性微分方程还有其他的平均算法但全部都是由它演变过来的。
渐近法不仅能够研究稳定周期振动的相关问题，还能够分析瞬间振动的相关问题。
通常情况下使用渐近法求解非线性微分方程得出的第一次近似解与高次近似解的结果基本上是一样的，这是因为想要得到高次近似解就需要进行非常复杂的计算过程，因而很多学者求解非线性微分方程近似解时只求解了第一次近似解。
在20世纪80年代我国学者徐兆建立了一种新的渐近方法，新建立的渐近方法完全不同于经典的KBM 方法，两种方法求解非线性微分方程得到近似解的结构形式区别很大。
通常使用经典的KBM 方法来求解非线性微分方程得到近似解都是三角级数形式的，该近似解一般都是使用振幅和相角来进行表示，其中三角级数形式中相角以及振幅都使用微分方程来表示，并且这里的微分方程只和振幅有关。
新的渐近方法与经典KBM 方法的不同之处在于相角的微分方程是振幅和相角共同决定的。
（3）多尺度法
在20世纪50年代末学者斯特罗克首先提出了多时间尺度的概念，奈弗在多时间尺度的基础上把各阶近似解设成是t ，t ε ，2t ε ，…等函数，这些函数拥有多个时间尺度或者说成是这些函数拥有多个自变量，这样就创建了多尺度法。
多尺度法与摄动法不同之处在于，多尺度法不只是计算周期解，还可以用来计算
耗散系统的衰弱振动相关问题；多尺度法不只是计算稳态响应相关问题，还可以用计算非稳态过程相关问题，并且还能够用来研究稳念响应的稳定性相关问题以及描绘非自治系统全局运动行为的相关问题。
多尺度法拥有多个时间尺度或多个变量，所以在求解非线性微分方程的过程中能够不受定程式的约束。
（4）谐波平衡法
谐波平衡法也是求解非线性振动问题常用的一种近似解析法。
谐波平衡法在使用过程中可以把其归结为代数方程组的求解过程，这就不需要再去求解积分一微分方程组或者求解微分方程组，然而这种方法在应用的过程中也可能会出现不准确或者相互矛盾结果。
（5）频闪法
频闪法在求解非线性振动问题时需要把连续变量离散化，之后再把离散化变量进行连续化处理。
把非线性振动问题的变量转换过程连续进行两次以后就能够把原来是非自治型微分方程组转变为自治型辅助微分方程组，进行两次转化后得到的方程组也叫做频闪微分方程组。
通过频闪法对非线性振动问题进行变化之后就把求解原方程组周期解存在性与稳定性的问题转变为求解频闪方程组奇点的存在性与稳定性的问题。