非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
混沌理论概述
第一章混沌理论概述引言混沌是指确定动力系统长期行为的初始状态,或系统参数异常敏感, 却又不发散, 而且无法精确重复的现象, 它是非线性系统普遍具有的一种复杂的动力学行为。
混沌变量看似杂乱的变化过程, 其实却含有内在的规律性。
利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性可以进行优化搜索, 其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间, 然后利用混沌变量进行搜索。
但是, 该算法在大空间、多变量的优化搜索上, 却存在着计算时间长、不能搜索到最优解的问题。
因此, 可利用一类在有限区域内折叠次数无限的混沌自映射来产生混沌变量,并选取优化变量的搜索空间, 不断提高搜索精度等方法来解决此类难题。
混沌是非线性科学的一个重要分支, 它是非线性动力系统的一种奇异稳态演化行为, 它表征了自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象的本质特征。
因此, 混沌科学倡导者Shlesinger和著名物理学家Ford 等一大批混沌学者认为混沌是20 世纪物理学第三次最大的革命, 前两次是量子力学和相对论, 混沌优化是混沌学科面对工程应用领域的一个重要的研究方向。
它的应用特点在于利用混沌运动的特性, 克服传统优化方法的缺陷, 从而使优化结果达到更优。
1.混沌的特征从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。
混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌，而随机过程则是由外部特性的噪声引起的。
混沌有着如下的特性:（1）内在随机性混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的，形势复杂的运动。
第一，混沌是固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的，内在因素决定的，并不是在外界干扰下产生的，是系统的内在随机性的表现。
第二，混沌的随机性是具有确定性的。
混沌的确定性分为两个方面，首先，混沌系统是确定的系统;其次，混沌的表现是貌似随机，而并不是真正的随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响是确定出现的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这和随机系统不同。
大物实验-混沌（ＰＤＦ）
1非线性电路中的混沌现象（2011修订版）混沌（Chaos ）研究是20世纪物理学的重大事件。
长期以来，物理学用两类体系描述物质世界：以经典力学为核心的完全确定论描述一幅完全确定的物质及其运动图象，过去、现在和未来都按照确定的方式稳定而有序地运行；统计物理和量子力学的创立，揭示了大量微观粒子运动的随机性，它们遵循统计规律，因为大多数的复杂系统是随机和无序的，只能用概率论方法得到某些统计结果。
确定论和随机性作为相互独立的两套体系，分别在各自领域里成功地描述世界。
混沌的研究表明，一个完全确定的系统，即使非常简单，但由于自身的非线性作用，同样具有内在随机性。
绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动。
而混沌既不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对无序，而是可用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌呈现非周期有序性。
混沌研究最先起源于Lorenz 研究天气预报时用到的三个动力学方程。
后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无规，但实际是非周期有序运动，即混沌现象。
现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术等众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响。
混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等。
目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。
5.20.1实验目的本实验研究一个简单的非线性电路，分析其电路特性和产生周期与非周期振荡的条件，从而对电路中混沌现象的基本性质和混沌产生的方法有初步了解。
有兴趣的同学在实验后可从附录中选择进一步研究的课题做更深入的研究。
5.20.2实验原理 5.20.2.1非线性电路方程 一个简单而典型的非线性电路如图5.20.1，它又称蔡氏电路（Chua’s circuit ），即三阶互易非线性自治电路。
非线性振动与混沌简介.
6
类似地，当令0=0， 2 4 g ，则解为 0
0 cos
2
l
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。 ★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。 结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。 他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
2
●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
3
非线性振动系统及混沌的基本概念 一、任意摆角情况下单摆的运动
相轨线
相轨线
12
2n
2
三维相空间
2(n 1)
2n
环形相空间
●相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图。 ★通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。
相轨线
7
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
详解非线性动力学的混沌和复杂性
详解非线性动力学的混沌和复杂性非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，在这门学科中，混沌和复杂性是两个习惯性使用的术语。
混沌指的是非线性系统的表现极其高度不稳定和难以预测，而复杂性则指的是系统中的各个部分之间相互影响并产生的多种自组织现象。
这篇文章将更加详细地解释混沌和复杂性的概念以及它们在非线性动力学中的应用。
一、混沌的概念在非线性动力学研究中，混沌通常用于描述非线性系统的性质。
混沌行为的表现形式很多，其中最常见的现象是所谓的“无限迭代”。
在数学上，无限迭代意味着函数值的变化是在一个短时间内不断变化，并且难以预测。
某些非线性系统的动力学方程式就是无限迭代的。
一个经典的例子是“洛伦兹吸引子”（Lorenz attractor）。
该吸引子是由爱德华·洛伦兹在20世纪60年代概括出来的，他以一种简单的三维微分方程作为基础。
虽然该方程式在形式上非常简单，但它却表现出了高度不稳定、难以预测的行为表现形式。
也就是说，任何初始状态的微小变化都会导致最终结果完全不同的结论，因此在实际应用中非常难以精确预测。
二、复杂性的概念除了混沌之外，非线性动力学还以其复杂性而著名。
复杂性的概念可以追溯到20世纪40年代，但其实质在于多个元素之间的相互作用和组织。
例如，一个降雨系统可能会受到多个独立的天气系统的影响，它需要在这些不同的系统中寻找一条路径，以便让雨水流向正确的方向。
这个过程需要同时考虑外部环境、降雨规律、地形和土地使用等多方面因素。
在非线性动力学中，一个复杂系统的行为不仅受到其各个组成部分的属性所决定，还受到它们之间的相互作用和反馈机制所影响。
更进一步，这种相互作用可以导致系统一些非常有趣的自组织现象出现。
例如，人工神经网络可以通过逐层逼近降低误差来学习和识别各种类型的信息，而无需显式编程或指令。
三、非线性动力学和实际应用混沌和复杂性的理论虽然很有趣，但是它们在实际的应用中也具有非常广泛的应用价值。
04非线性振动与混沌简介
非线性系统（描述系统运动状态 的方程为非线性方程），当其非线 性程度足够高时，系统将出现混沌 状态。
14
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
d g sin 2 dt l
2
A
故自由单摆为非线性振动系统：
O
l
m
N
令
d 0 , , ， ，以及 t 0 0 dt
则上式变为
2 g 2 2 2 c o s 1 c o s 0 0 l 2
2
11
O
自治系统的相空间与相轨线 ●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。 而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二 维 ( ) 相平面上相轨线有相交情况。
18
4. 彭加勒截面图
若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的 性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次 性的穿过每一个截面。 因 ，若以2 为周长，将相空间弯成 t 2 n 一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为彭加勒截面。
相轨线
相轨线
19
2 n
2
三 维 相 空 间
2 ( n 1 )
非线性动力学与混沌现象
非线性动力学与混沌现象非线性动力学是研究非线性系统中粒子、流体、光、电磁场等物理现象的科学领域。
混沌现象是非线性动力学中的一个重要概念，指的是复杂系统中表现出难以预测的、极其敏感的、具有随机性的行为。
本文将基于非线性动力学与混沌现象展开讨论，探究其背后的科学原理和实际应用。
1. 动力学与线性动力学动力学研究的是物体受力以及运动状态的变化规律。
线性动力学假设系统的行为是可预测的并且呈线性关系，即物体的运动状态可以通过线性方程准确地描述。
然而，在现实世界中，很多系统的行为并不符合线性关系，这就需要引入非线性动力学的概念。
2. 非线性动力学的基本概念非线性动力学研究的是非线性系统中的运动规律。
非线性系统的特点是系统元素之间存在非线性的相互作用，导致系统行为的复杂性和难以预测性。
例如，弹簧振子系统中的弹簧力与位移之间并非线性关系，所以该系统不能简化为线性动力学模型。
3. 混沌现象的定义与特征混沌现象是非线性动力学中一个非常重要的概念，是指在初值微小变化的情况下，系统演化结果出现剧烈差异的现象。
混沌现象的特征包括：灵敏依赖于初始条件、确定性系统却具有随机性质、具有吸引子和奇异吸引子等。
4. 混沌理论的起源与发展混沌理论的起源可以追溯到1960年代，由于计算机处理能力的提高，科学家们开始对非线性动力学进行深入研究。
著名的洛伦兹系统是混沌理论的经典范例，揭示了混沌现象的重要特征。
5. 混沌现象的数学模型为了更好地理解混沌现象，科学家们提出了一系列的数学模型，如Henon映射、Logistic映射和帐篷映射等。
这些模型可以通过简单的迭代计算得到混沌现象的演化规律。
6. 混沌现象与自然界的关系混沌现象不仅仅在数学和物理学中有广泛应用，它在生物学、经济学、气象学等各个领域也都有重要的应用价值。
例如，在气象学中，混沌现象可以用于天气预测和气候模拟。
7. 混沌现象的工程应用混沌现象在工程领域中也有广泛的应用。
例如，在通信领域，混沌信号可以用于加密通信和抗干扰技术。
非线性电路中的混沌现象_电子版实验报告
关于混沌现象的进一步研究学号：39133101姓名：高含日期：2011年5月16日摘要：论文从基础物理实验《非线性电路中的混沌现象》出发，进一步研究了复杂非线性系统中的混沌现象。
从理论上阐述了混沌现象的概念以及研究方法，并从原始数据上给予演示来验证混沌现象。
一：关于混沌现象的阐释混沌现象是一种非常普遍的非线性现象。
目前人们公认的基本特征是：1.宏观上的无序无律。
混沌该运动的规律在宏观上观察是一种混乱、貌似随机且对初始条件十分敏感的蝴蝶效应。
2.局部不确定性。
对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感3.非规则的有序：混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。
二．混沌研究方法在混沌研究方法中，主要从离散、连续、统计三个角度讨论奇异吸引子以及混沌。
这里介绍两种方法。
1.离散方法：一维映射法。
是目前研究得最深入、最全面的方法。
在一维映射法中，认为f（X）为含λ的一个动力系统。
F为非线性函数。
F’（X）<1为稳定，>1为不稳定。
在等于1时λ值可出现分叉，变为奇异吸引子并引发阵发混沌现象。
2.统计方法：麦尼科夫法。
这种方法给出了连续函数轨道经扰动后的稳定流与不稳定流的关系。
三．KAM定理当系统由连续可积情况受到不可积的微小扰动变为近乎可积时，连续光滑的同心圆将变形。
KAM定理指出，由于面积的保守性，同心圆出现双曲点的个数将与椭圆点相同。
下图是有三个双曲点和三个椭圆点的示意图。
于是在每个双曲点附近形成混沌河。
这种混沌河网络有无穷多个，外层有混沌海，有些混沌河与海相连接。
如单峰、双峰奇异吸引子就是小的混沌河。
但此时全局仍有界，如我们在试验中看到的奇异子是不规则椭圆或双曲状。
当系统自由度为3，如实验中的示波器平面，就不再有“被包住”的概念，所有的混沌区都形成网络（即混沌河），初始点落入某个区域时，在短时间内它似乎仍做规则运动，但实际上将来在某种意义上将沿这个网络进行漂移，这种漂移速度可能极慢，但最终将导致定性的变化。
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θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 → 0.506
混沌的初值敏感性
2
●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
3
非线性振动系统及混沌的基本概念
●处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感， 称这一特性为混沌的初值敏感性。
---蝴蝶效应---
x
运动的随机性
●相图（b）反映 出混沌运动的随机 性.即相轨道（运 动状态）完全不可 预测。
v
x
(b)
(a)
v
x
(c)
t
v
x
(d)
19
混沌的内在规律性----混沌吸引子
图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒 截面图[(c)和(d)]却又是完全相同的。把混沌的相轨线 在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
c. 越过该顶点继续向前运动。
6
类似地，当令θ0=0，ω02
=
4g l
，则解为
ω
=
±ω0
θ
cos 2
最高点(θ = ± π )，非稳平衡，运动非唯一性。
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
dt2 l
当θ 很小，
线性近似：d 2θ = − g θ (sinθ ≈θ )
dt 2 l
O
θl
m
N
4
若θ 为任意值， (sinθ ≠θ ) 而 sin(θ1 + θ2 ) ≠ sinθ1 + sinθ2
故自由单摆为非线性振动系统：
d 2θ
dt 2
=−
g sinθ
l
A
O
θl
m
N
令
dθ = ω
dt
，以及 t = 0,ω = ω0,θ = θ0 ，
而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二
维 (θ ∼ θ )相平面上相轨线有相交情况。
11
4. 彭加勒截面图
若沿φ方向截取一系列相距为 2π 的截面，则根据该
自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相 轨线一次性的穿过每一个截面。
因 φ = Ωt = 2nπ ，若以2π 为周长，将相空间弯成
★受迫振动：经过暂态 之后趋于一稳定的闭合 圈---周期吸引子或极限 环。
16
2. 非线性近似下的单摆运动 混沌
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx +
β x3
=
f
cos Ωt
★方程代表复杂的非线性振动系统。
为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。
数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产 生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进 入混沌的演化过程。
则上式变为
ω2
=
2g l
2
cos2
θ
2
−1− cosθ0
+ ω02
5
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
ω2
=
2g l
2
cos
2
θ
2
−1−
cosθ0
+ ω02
θ0= ±π ，ω0=0，则其解为
A
ω = ±2
g
θ
cos
l2
运动分析：
在最高点θ = ±π，ω = 0，
dω = 0
dt
O
θl
m
N
◎混沌吸引子是非线 x
性耗散系统混沌的特
征，表明耗散系统演 v
化的归宿。
★代表混沌行为的全
x
局特征。
(b)
(a)
v
x
(c)
t
v
x
(d)
●混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。 20
x
初值悬殊的三 个吸引子
结论
★混沌行为具有 极为敏感的初值 依赖性；
v x
v x
t
v
x
★然而混沌的全局特征——混沌吸引子却具有不依赖 于初值的、确定的规则。 ●貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定 的规律---混沌运动的内在规律性。 ★混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。
y = 1− µ x2 ---抛物线方程
令 y = xn+1, x = xn ，得抛物线形迭代方程
xn+1 = 1 − µ xn2
xn
µ ∈[0, 2], xn ∈[−1,1]
在整个区间取值迭代便
得出由周期运动到倍周
期分岔，再进入混沌状
态的整个演化过程。
µ
23
倍周期分岔序列：1→2→4→8→…2n→… →∞. ●当n→∞，则解的数目→∞，意味着系统已进入混沌
注意：常数δ 并不只限于单摆公式，而是对所有同一 类的变换，所得的δ 值都精确地相同。 ●δ 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各
个系统的其他具体细节无关。
●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性.
●是混沌内在规律性的另一个侧面反映。
30
标度因子
在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各对 周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分岔中
ml d 2θ + γ l dθ + mg sinθ = F cosΩt
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
7
二、确定性系统中的内在随机性 ●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
2
框内再放大得下页图
26
3
27
2
1 3
混沌内部的自相似结构
28
b. 自相似结构 看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结 构。 ★任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整 体完全相似的规律。 ●在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构 称为自相似性。 ◎从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整 数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。
8
三、混沌的基本概念
1. 混沌定义：在确定性系统中所表现出来的内在随 机行为。是一个决定论的系统中所存在的运动的不 可预测性。
2. 相图 ●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：自由单摆（简谐振动）
d 2θ
dt 2
+γ
2θ
=
0
θ = Acost, ω = θ = Asin t
θ
θ
O
★简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复
原，所以相轨线 (θ ∼ θ )为一闭合曲线。 9
3. 自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显 含时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
★由线性单 摆方程可得
θ = ω ω = −γ 2θ
不显含t ，在二维相空 间中为自治系统。
（角谐振动）
★由受阻力 和周期策动 力作用的非 线性单摆方 程可得
32
●混沌的发现是对经典的决定论的冲击，或者说混 沌理论是对经典力学理论的补充和发展。 ●混沌现象无处不有。混沌规律不仅支配着整个自然 界的各个领域，而且也支配着人类的各种社会活动。
θ
θ
相轨线
θ
θφ
φ = 2nπ
∆φ = 2π
φ = 2(n +1)π
三维相空间
θ
θ φ
相轨线
φ = 2nπ