(振动理论课件)非线性振动概述

➢ 由于处理非线性振动问题的数学工具尚不完备，数 值方法起着非常重要甚至是不可替代的作用。数值 方法在非线性振动中的突出作用是发现新现象，这 已成为非线性振动现代发展的突出特点。
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学 中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的 科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动 力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性 和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散 结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨 落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往 会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观 察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月 食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹 教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种 信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了 这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的 桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈 频 繁 地 出 现 。 早 在 1940 年 美 国 塔 可 马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故 就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系 统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的 物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非 线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
❖ 几何方法的局限性是不能得到非线性振动的定量规律， 而且传统的几何方法通常难以推广到高维时变系统。
❖ 尽管如此，几何方法仍在非线性振动研究中起着重要 作用。几何方法不仅能得到直观的定性结果，而且可 为其他研究方法提供理论依据。
非线性振动概述
➢ 解析方法是研究非线性振动的定量分析方法。即通
过精确地或近似地寻求非线性微分方程的解析解， 得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和初 始条件的依赖关系。
非线性振动概述
➢ 数值方法是研究非线性振动系统的数值计算方法
➢ 数值方法通过数值求解非线性微分方程，得到非线 性系统在特定的参数条件和初始条件下的运动规律
➢ 数值方法的基础是常微分方程组的初值问题的数值 解法。数值方法既可以计算特定非线性系统的各种 运动的时间历程，包括 平衡、周期运动和非周期 运动等，也可以通过数值计算确定参数对系统运动 的影响及初始条件对系统运动的影响。
➢洛伦兹充满自信地进行计算机天气模拟的尝试。他把与天气 变化相关的温度、气压、风速、气流、风向等众多的关系方程 进行了计算机处理。用洛伦兹的话说，把复杂多变的天气简化 到只剩下骨头架子—数字规律，进行计算机天气模拟。
➢随着对计算机天气变化模型的逐步修正，计算机天气模拟的 输出曲线已开始接近实际天气变化的曲线。
非线性世界的发现
然而，有一天，洛伦兹为了方便起见，无意中对一个输入值 0.506127 作了一个小小的变动，改成了0.506，
没想到这个1‰的误差，引起了灾难性的后果：两次几乎相同 的天气模拟，结果导致了两条分道扬镳的曲线。
在经典科学中，1‰的数值误差常常是可以忽略不计的。在洛 伦兹看来，输入数值小小的变化，在整个天气中充其量只是一 阵小小的风，整个天气模拟系统何以如此敏感？
非线性振动概述
➢ 实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素
❖作用力非线性：非线性弹簧力，万有引力等 ❖运动学非线性：法向加速度、科氏加速度 ❖材料非线性：非线性本构关系等 ❖几何非线性 ：弹性大变形等
➢ 工程实际中振动系统绝大多数都是非线性系统 ➢ 由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，
非线性振动概述
➢ 解析方法的局限性是应用范围十分有限，仅用于讨 论可积和接近可积系统的平衡和周期运动。而且解 析方法得到的解未必具有稳定性，可能不是实际问 题中能出现的运动。
➢ 解析方法的优点是不仅能确定非线性系统的运动随 时间变化的规律，而且能得到运动特性与系统参数 之间的依赖关系，因此是非线性振动问题研究的重 要方法。
➢ 非线性微分方程的精确解通常涉及非初等函数（例 如椭圆函数）的引入和研究。能够得到精确解的非 线性系统称为可积系统，这种系统的数量极其有限。
➢ 更常用的解析方法是近似解析方法。近似解析方法 主要适用于弱非线性系统，即与线性系统十分接近 的非线性系统。通常是以线性振动理论中得到的精 确解为基础，将非线性因素作为一种摄动，求出近 似的解析解。
而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非 线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法， 但仅限于一定的范围。 ➢ 至于什么属于线性振动问题，在未说明该系统预期工 作范围之前没有明确答复。因为系统中某些部件响应 与其激励之间的关系可能会依赖与其工作范围
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
非线性振动概述
➢ 非线性振动理论的研究目的是基于非线性振动 系统的数学模型，在不同参数和初始条件下， 确定系统运动的定性特征和定量规律。
➢ 非线性振动系统的数学模型为非线性微分方程。 与线性微分方程不同，非线性微分方程尚无普 遍有效的求解方法，很难得到精确的解析解。
➢ 对于工程中的实际非线性振动问题，除采用实 验方法进行研究以外，常用的理论研究方法为： 几何方法、解析方法和数值方法。