振动理论06(1-2)-非线性振动
振动理论-连续系统与非线性系统的振动
第六章 连续线性振动系统离散线性振动系统具有两个鲜明的特征：其一是描述系统在任一时刻的位形只需有限个自由度；其二是描述系统的状态用的是二阶常微分方程组，而在数学上对此类常微分方程组的处理可以很容易地转化为对一组线性代数方程组的处理，因此研究此类系统所需的数学工具自然而然地就是矩阵代数[1]。
工程实际中的许多结构均是可变形的弹性体，当这些弹性体的弹性恢复力和变形服从胡克定律时，通常将其当作线性连续媒质来处理，这里的连续指的是系统的质量、刚度、阻尼等在空间上的连续不间断的分布，因此是宏观意义上的，如果在物质的分子、原子等微观尺度上来考虑问题，则任何媒质均是不连续的。
任何物体均可以看作是由无限多个无穷小的微元体所组成的，为描述物体未变形时这些微元体在空间中的确切位置。
一般需事先在空间中建立一个参考坐标系。
参考坐标系的维数视情况而定，可能是一维的，也可能是二维的或三维的每个微元体在空间中的位置，就由该微元体所占空间位置在参考坐标系中的坐标来确定。
物体在变形过程中各微元体在t时刻的位置，由其位移矢量来描述。
因此位移矢量是各微元体在参考坐标系中的坐标和时间t的函数，位移矢量在参考坐标系中各坐标轴上投影的个数就称为该微元体的自由度数由于组成物体的微元体的个数是无限的，因此整个系统的自由度数是无限的为了保证不引入几何非线性。
一般要求物体的变形为小变形，即各微元体离开静止位置的位移为小位移。
且要求各微元体的位移函数对参考坐标和时间t具有足够阶数的连续偏导数。
由以上分析可知，连续线性振动系统是一个具有无限多个自由度的系统。
描述该系统运动过程的是偏微分方程。
典型的连续线性振动系统有作横向振动的弦、作纵向振动的杆、作扭转振动的轴、作弯曲振动的梁和板等。
本章主要讨论连续线性振动系统的运动微分方程、边界值问题、在初始条件下的自由振动响应、强迫振动响应、波在结构中的传播特性、连续线性系统的近似解法等。
§6.1 二阶系统的振动这里所讲的二阶系统是指其运动微分方程归结为二阶偏微分方程的系统，典型的有弦的横向振动、杆的纵向振动和轴的扭转振动等。
机械振动学中的非线性振动理论
机械振动学基础知识振动系统的有限元分析方法机械振动学是研究机械系统在受到外力作用时所产生的振动现象的科学。
振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的分析方法之一，它通过将振动系统离散化为有限个单元，利用数值计算方法来模拟和分析系统的振动特性。
本文将介绍机械振动学的基础知识以及振动系统的有限元分析方法。
机械振动学基础知识振动系统是由弹性元件和质量元件构成的，当受到外力作用时，系统会发生振动。
振动系统包括弹簧、阻尼器和质量块等元件。
其中，弹簧用于恢复系统的位移；阻尼器用于阻碍系统振动的增长；质量块用于储存和释放振动系统的动能。
振动系统的有限元分析方法有限元法是一种数值计算方法，它将连续的振动系统分解为有限个单元，每个单元包括节点和单元内部的位移场。
通过求解各节点的位移场，可以得到整个系统的振动响应。
1. 建立有限元模型首先，需要建立振动系统的有限元模型。
对于简单的振动系统，可以直接建立单元模型，包括节点、单元和材料属性等。
对于复杂的振动系统，可以采用现有的有限元软件进行建模。
2. 离散化在建立有限元模型后，需要对振动系统进行离散化。
将连续系统离散化为有限个单元，每个单元包括节点和连接节点的单元。
通过离散化，可以得到系统的离散动力学方程。
3. 求解动力学方程在得到系统的离散动力学方程后，可以利用数值计算方法求解系统的振动响应。
常用的方法包括有限差分法、有限元法、模态分析法等。
4. 分析结果最后，根据求解的振动响应结果，可以分析系统的振动特性，如频率响应、模态形态等，为系统设计和优化提供参考。
结论机械振动学是研究机械系统振动现象的科学，而振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的重要方法之一。
通过建立有限元模型、离散化系统、求解动力学方程和分析结果，可以深入了解振动系统的振动特性，为系统设计和优化提供有效的手段。
希望本文能够帮助读者更好地理解机械振动学的基础知识和有限元分析方法。
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
非线性振动
非线性振动百科名片恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说,线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
目录编辑本段简介非线性振动恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性振动只适用于小运动范围，超过此范围，就变成非线性振动。
非线性系统的运动微分方程是非线性的，不能用叠加原理求解。
方程中不显含时间的非线性系统称为非线性自治系统；显含时间的称为非线性非自治系统。
保守非线性自治系统的自由振动仍是周期性的，但其周期依赖于振幅。
对于渐硬弹簧，振幅越大，周期越短；对于渐软弹簧，振幅越大，周期越长。
非保守非线性自治系统具有非线性阻尼，阻尼系数随运动而变化，因而有可能在某个中间振幅下等效阻尼为零，从而能把外界非振动性能量转变为振动激励而建立起稳定的自激振动（简称自振）。
弦乐器和钟表是常见的自振系统。
周期地改变系统的某个参量而激起系统的大幅振动称参变激发。
当系统的固有频率⑴等于或接近参量变化频率的一半时，参变激发现象最易产生。
具有非线性恢复力的系统受到谐激励时，其定常受迫振动存在跳跃现象，即激励频率3缓慢变化时，响应振幅一般也平稳变化，但通过某些特定3值时，振幅会发生跳跃突变。
具有非线性恢复力且固有频率为 3 n 的系统，在受到频率为3的谐激励时，有可能产生频率为 3 /n （心3 n）的定常受迫振动（n为正整数），称为亚谐共振或分频共振。
它的出现不仅与系统和激励的参数有关，而且依赖于初始条件。
亚谐共振可以解释为，由于非线性系统的响应不是谐和的，频率3/n的响应中存在频率为 3 的高次谐波，激励对高次谐波作功而维持了振动。
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
《振动理论》课件
振动控制通过控制振动源和结构减少振动对系统的影响其他应用领域
振动理论在航空航天、车辆工程和建筑工程等领域 中有广泛应用
总结
• 振动理论在工程领域中具有重要的应用价值 • 随着科学技术的发展，振动理论仍在不断完善和优化 • 未来的发展趋势包括更精确的模拟和更高效的数值计算方法
2 混沌和奇异吸引子
非线性系统的振动可能表现出混沌和奇异吸 引子行为
3 周期倍增
周期倍增是非线性振动出现周期性振幅倍增 现象
4 分岔与现象分析
分岔是非线性系统参数变化时振动解的结构 突变现象
应用实例
振动传感器
用于测量和监测机械设备振动状态的传感器
振动测量及分析
通过振动测量和分析了解设备运行状态和故障诊断
《振动理论》PPT课件
振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用的学科。本课件将介 绍振动理论的基本概念、解析解和数值解法，以及其在实际应用中的重要性。
概述
• 振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用 • 常见的振动现象包括机械振动、声学振动和电子振动等 • 振动理论的应用广泛，涵盖领域包括建筑工程、机械制造和航天航空等
单自由度振动
定义及简介
单自由度振动是指系统中只有一个自由度参与振 动的情况
阻尼、弹性及质量对运动的影响
阻尼、弹性系数和质量是影响振动运动特性的重 要参数
系统模型及运动方程
用微分方程描述单自由度振动系统的运动
解析解及其特点
解析解提供了一种可精确计算振动响应的方法
多自由度振动
1
定义及简介
多自由度振动研究系统中具有多个自由
系统模型及运动方程
2
度参与振动的情况
用一组微分方程描述多自由度振动系统
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
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6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。
令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。
单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。
如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。
2014/11/14 15刚塑形理想弹塑性6.2 速度和周期的直接积分法具有非线性对称恢复力的无阻尼系统的自由振动或表示单位质量的弹性恢复力加速度表示为代入运动方程(c) 162014/11/14●假定单位质量的恢复力为如图所示●积分方程(c)，注意最大位移对应的速度为零(d)m(e)积分方程(e)，可得一周期之内任意部分的时间172014/11/14●一个完整周期为⏹给定恢复力解析表达式，上述积分可得系统固有周期●振动系统在任一点的单位质量的动能等于图中阴影部分表示的势能●平衡位置的动能为182014/11/14m几种特殊情况●弹性恢复力为的奇次幂的情况：●代入运动方程，并进行积分，有时，；时，●相应地，可以通过积分得到周期表达式192014/11/14●对于的线性情况()●时，恢复力正比于积分数值求解的结果为，周期这种情况下，振动周期与振幅成反比202014/11/14●如果弦的初始张力不为零，可设单位质量的恢复力有以下形式式中，,则相应的平衡位置最大速度可以表示为●自由振动的周期或212014/11/14把等式右边的椭圆积分转化为标准形式，令根据椭圆积分表是第一类椭圆积分，,222014/11/14对于本问题，有因此，周期可以用第一类椭圆积分记为232014/11/14●如果弹性性质偏离线性很小，可设，对应于线性恢复力的情况。
●如果及很大，的第一项可以忽略，, 因此的表达式为●其他属于两种极端之间的情况，必须数值计算, 并进一步查表确定响应椭圆积分的值242014/11/14软化弹簧的情形,252014/11/14●不同的可以近似模拟不同的硬化和软化弹簧●对于更一般的情况，可以用多项式来表征恢复力，仍然可以用椭圆积分来处理。
262014/11/14●运动方程●动能方程m m●周期积分方程●最大速度●周期mmm单摆问题2014/11/1427椭圆积分的标准形式引入记号，以及新的变量, 使得(v)可以求得(w)代入周期方程，即可得标准的第一类椭圆积分查表可以求得任意对应的方程的值最大转动位移很小时，的值也很小，在方程中可以忽略, 积分将等于, 即得小转动情况下的固有频率。
282014/11/14例题一包裹质量为m，包裹内有弹簧，从高处落到混凝土地板上。
根据实验，弹簧作用在质量上的恢复力可以近似表示为,是包裹内弹簧和质量之间的相对位移。
假定包裹与地板之间为非弹性冲击，确定其最大相对位移。
解下落的包裹受冲击的瞬间，其单位质量的动能为. 由单位质量的恢复力, 再由方程(6.9),所以有292014/11/146.3 自由振动的近似方法-Ritz平均法●考虑无阻尼系统的自由振动，其运动方程为●左侧两项分别代表单位质量的惯性力和弹性恢复力. 由D’Alembert原理，方程看成是两个力互相平衡的动力学平衡方程●令系统发生虚位移, 所有力的功等于零，因此有●首先假定一个自由振动的近似解式中，, 为选定的时间函数，为权系302014/11/14●虚位移为(t)●在一周内对虚功积分，有●并有以上n个代数方程联立求解，可得312014/11/14●考虑准线性方程●取自由振动的近似函数（一项）解解得从中解出，●更精确的满足对称性的近似结果可以通过假设以下的两项级数形式：322014/11/14332014/11/14振动理论(6-2)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系6.4 非线性受迫振动●假定系统具有与函数成比例的阻尼力，与函数成比例的弹性力，并受周期性激励的作用●采用Ritz法求解●先假定一个级数形式的稳态振动的近似解一周内的虚功为零，有352014/11/14●对于无阻尼情形，方程为称为Duffing方程。
⏹Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程。
●取一项近似的方程为●代入并积分q给出了稳态响应的与激励频率之间的关系362014/11/14硬化弹簧软化弹簧●上面两个方程可以看成是两个曲线的交点⏹等号左面的的立方函数和右面的线性函数⏹不同的对应不同的线性函数及两条曲线交点表示的解⏹可以建立横坐标为频率的谱分布372014/11/14●：在图(a)中标为 斜线与曲线交于点，对应于图(b)中的竖直线 ,与曲线交于●：在图(a)中标为 的斜线与曲线交于点，对应于图(b)中●: 在图(a)中标为●的水平线，在线性系统中代表共振，在这种情况下，仅仅是对应两个点对：点和硬化弹簧情况2014/11/14 38●随频率比继续增加，斜线的斜率增加，会达到一个临界条件：斜线与曲线上部相交()，同时在曲线的下部某点()相切；在图(b)中对应的响应谱上的两点()均发生于临界频率(), 即响应谱具有无限大斜率()。
●图(a)中比较陡的线 ，与曲线有三个交点()，在响应谱中分别对应().●利用以上方法，可构造出图(b)中的实线392014/11/14●图(b)中的虚线为硬化弹簧响应谱中的双曲渐近线⏹对应着非线性自由振动⏹令，得到自由振动的振幅-频率关系为●不同荷载值对应的一族响应谱曲线如图中的细实线所示●其临界点的连线如图中的点划线所示，其方程为⏹可以通过对方程微分得到●外荷载变化，即外载幅值和频率变化，系统振幅随之变化●对于硬化弹簧，幅值越大，或者频率越接近，导致的越大，弹簧愈刚硬，固有频率越大, 图(b)中的渐近虚线向频率轴的正方向弯曲●临界点处振幅随频率变化增加最快402014/11/14●线 和 均与立方曲线有三个交点；●线●与曲线有一个交点，并与曲线相切；●线❍和⏹与曲线各有一个交点●图(a)中的点在图(b)中有对应点.●响应谱在点有一个竖直切线⏹临界频率发生在受迫频率小于线性系统的共振频率软化弹簧2014/11/14 41中令, 得图(b)虚线对应的方程：是一个表示自由振动的椭圆。
422014/11/14不同荷载对应的响应谱曲线(细实线)的临界点的连线如图6.12(b)点划线所示，对应的方程为(对方程微分可得)432014/11/1412345-1-2-3-41无阻尼受迫振动响应谱●硬化弹簧和软化弹簧的响应谱表征跳跃现象(drop-jump)的数学模型⏹在非线性力学系统受简谐力函数的试验中可以观察到6.4.2 非线性系统的跳跃现象2014/11/1445●从开始逐渐增大受迫频率，其稳态振幅由图中响应曲线左分支确定●直到到达某点(如点), 由于外部扰动，振幅会突然从曲线的点跌落到点，此时的相位角会从变为180°●随后继续增大受迫频率，响应会沿着响应谱的右侧分支逐渐消失的部分变化●如果受迫频率从一个比较高的值（大于）缓慢减小，稳态响应也会逐渐增大，直到达到临界点. 然后振幅会从跳到,相位角会从180°→0°●继续减小受迫频率，响应会沿着变化直至消失●当受迫频率减小时，振幅一定会从跳到,因为在时，解是唯一的硬化弹簧的情况2014/11/1446●Klotter*曾经证明，图中的虚线和点划线确定描述了一个不稳定区域●曲线上的表示在物理上不能观察到的条件●点把响应谱的右侧分支分成两个部分⏹不稳定的上部⏹稳定的下部.2014/11/1447*K Klotter,E Pinney.A comprehensive stabilitycriterion for the forced vibrations of non-linearsystems.J Appl Mech.1953,20,P9●从0→缓慢增加受迫频率, 其稳定振幅沿着路径发展⏹从发生跳跃，相位角从0°转变为180°●如果从逐渐减小受迫频率，其响应会沿着变化⏹从发生突然跌落，相位角从180°→0°●不稳定区域由竖直线以及虚线和点划线围成●点把响应谱的左面的分支分为两个部分：不稳定的上部和稳定的下部。
软化弹簧的情况2014/11/14486.4.3 有粘性阻尼的情况，运动方程可以表示为假定其稳态受迫振动的一阶近似为(b)为了用Ritz法确定两个常数和, 要满足：492014/11/14把(b)代入上式并进行积分，利用和, 有(e)(f) 502014/11/14方程(e)+方程(f)，方程(e)+方程(f)，可得为了得到的关系，上面两个方程平方后相加,消去，有为了考虑相位的变化，两个方程相除，有512014/11/14。