非线性振动
机械结构的非线性振动分析与控制
机械结构的非线性振动分析与控制导言机械结构的振动问题一直是工程领域研究的热点之一。
在很多实际工程中，机械结构的非线性振动常常会导致系统的不稳定，严重影响系统的性能和寿命。
因此，对机械结构的非线性振动进行准确分析和有效控制具有重要意义。
本文将探讨机械结构的非线性振动分析与控制方法。
1. 非线性振动的特点非线性振动是指振动系统中存在非线性力学特性，无法用简谐运动描述的振动现象。
相比于线性振动，非线性振动具有以下几个主要特点：1.1 非线性受力关系：非线性振动系统的受力关系与位移和速度等参数呈现非线性特性，可能存在诸如摩擦力、硬度非线性等现象。
1.2 非线性固有频率：非线性振动系统的固有频率可能随着振幅的变化而发生变化，即频率可参量现象。
1.3 多周期运动：非线性振动系统的周期可以是整数倍的基频周期，即存在周期倍频振动。
2. 非线性振动分析方法为了准确地分析机械结构的非线性振动特性，研究者们提出了许多有效的方法。
下面介绍三种常用的非线性振动分析方法：2.1 广义多自由度方法：该方法基于插值函数（如模态函数或形态函数），将振动系统转化为有限多自由度系统。
通过求解广义动力学方程，可以得到系统的响应和频率响应曲线。
2.2 数值模拟方法：该方法通过建立机械结构的非线性数学模型，并采用数值计算方法（如有限元法）对方程进行求解。
数值模拟方法对于非线性振动系统的分析提供了一种直观、高精度的手段。
2.3 非线性正交函数方法：该方法利用正交函数展开法将非线性振动系统的运动方程转化为一组非线性代数方程。
通过求解非线性代数方程，可以得到系统的响应特性。
3. 非线性振动的控制方法针对机械结构的非线性振动问题，研究者们也提出了多种控制方法。
以下是两种常见的非线性振动控制方法：3.1 被动控制方法：被动控制方法通过改变机械结构的刚度、质量、阻尼等参数来降低非线性振动的影响。
例如，采用阻尼器、振动吸收器等装置来减小振动幅值，提高系统的稳定性。
非线性振动系统的动力学模拟和分析
非线性振动系统的动力学模拟和分析一、引言非线性振动系统是实际工程中经常遇到的一种振动模式，其动力学行为与线性振动系统有很大不同。
为了解决实际问题，需要对非线性振动系统进行深入研究，进一步分析其动力学行为。
本文将着重介绍非线性振动系统的动力学模拟和分析方法，并结合具体实例进行讲解。
二、基本概念1. 非线性振动系统非线性振动系统是指其运动方程中含有非线性项的振动系统。
其动力学行为与线性振动系统有很大不同，例如出现分岔、混沌等现象。
2. 动力学模拟动力学模拟是通过计算机模拟的方法研究动力学系统的行为。
它可以帮助我们深入理解非线性系统的物理现象，预测系统的行为以及设计系统的参数。
三、非线性振动系统动力学模拟方法1. 常微分方程方法其基本思路是通过建立非线性振动系统的运动方程，并运用数值分析方法进行求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程，可以将其展开为泰勒级数的形式，如下：$$f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$$将运动方程离散化后，可以利用数值分析方法，如欧拉法、隐式欧拉法等，进行求解。
2. 辛普森法辛普森法是一种常用的非线性振动系统动力学模拟方法。
其基本思路是利用曲面的形状来逼近曲线，进而求解非线性振动系统的运动方程。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程离散化后，可以利用辛普森法进行求解。
3. 傅里叶级数方法其基本思路是将一个非线性振动系统的运动方程分解为一系列线性微分方程的和，进而用傅里叶变换的方法求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程展开为傅里叶级数的形式后，可以用傅里叶变换求解。
非线性振动技术的应用研究
非线性振动技术的应用研究随着科技的不断发展，振动控制技术的研究成为了许多领域的重要课题。
其中，非线性振动技术应用在许多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍非线性振动技术的基本概念、原理和应用。
一、非线性振动技术的基本概念非线性振动技术是一种新型的振动控制技术，它是研究物体振动的非线性特性，从而用于控制和改善物体振动的技术。
非线性振动主要表现在振动系统的非线性动力学特性上，其中包括振幅的依赖性、阻尼的非线性、系统失稳性和混沌现象等。
二、非线性振动技术的原理非线性振动技术主要依靠振动系统的非线性特性来进行控制。
其原理主要包括两方面，即非线性振动特性的研究和控制策略的设计。
在非线性振动特性的研究方面，主要是通过分析振动系统的非线性特性，如系统的非线性阻尼、系统的共振和失稳等，来确定系统振动的特点和规律。
在控制策略的设计方面，主要是通过选择合适的控制方法和参数，来改善振动系统的性能和稳定性。
三、非线性振动技术的应用非线性振动技术具有广泛的应用，特别是在工程和科学领域中。
其中，应用最为广泛的领域之一是试验力学领域，如地震工程、风振工程等。
通过非线性振动技术的应用，可以有效地降低地震和风的破坏力，保证建筑物和结构的安全性和稳定性。
此外，非线性振动技术还可以应用在信号处理、机械工程等领域中，如在噪声控制中的应用。
四、非线性振动技术在工程领域的应用案例1.地震工程非线性振动技术应用于地震工程中，可以通过减震和隔震等技术来控制地震对建筑物和结构的破坏力。
其中，隔震技术是一种有效的非线性振动控制技术，其原理是通过设置隔震层，降低地震对建筑物的冲击力。
2.风振工程非线性振动技术应用于风振工程中，可以通过风振控制设备和技术，来降低风对建筑物和结构的影响。
其中，风振控制技术主要包括被动控制和主动控制两种方式。
被动控制主要是通过设置减振器和风阻尼器等装置，来控制建筑物的振动；而主动控制则是通过控制设备和参数等，来控制建筑物的振动。
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
非线性振动系统的稳定性分析
非线性振动系统的稳定性分析引言非线性振动系统是一类具有复杂运动行为的系统，其稳定性分析对于工程和科学研究中的许多领域都具有重要意义。
本文将对非线性振动系统的稳定性进行详细的分析和探讨。
1. 线性振动系统与非线性振动系统的区别线性振动系统具有简单且可解析的特点，其运动方程遵循线性的微分方程，振动过程呈现出周期性和谐振的特征。
而非线性振动系统则受到非线性因素的影响，其运动方程包含非线性项，因此其振动过程呈现出复杂的行为，可能会出现混沌现象。
2. 稳定性分析的基本概念稳定性分析是研究振动系统在微扰下的响应行为，以确定系统是否趋于平衡态或者是发生不断放大的不稳定行为。
在非线性振动系统的稳定性分析中，我们通常采用线性化方法，即在系统平衡点附近进行线性化近似，然后分析线性化系统的特征值来判断系统的稳定性。
3. 线性化近似方法线性化近似方法是一种常用的稳定性分析方法，其基本思想是将非线性振动系统在平衡点附近展开为一阶偏导数项的泰勒级数，然后保留一阶项，忽略高阶项，从而得到近似的线性系统。
通过求解线性系统的特征值或通过模拟系统的响应行为，可以判断非线性振动系统的稳定性。
4. 线性化系统的特征值分析线性化系统的特征值分析是判断非线性振动系统稳定性的一种重要方法。
当线性化系统的特征值具有负实部时，系统为稳定；当特征值具有正实部时，系统为不稳定；当特征值包含纯虚数时，系统为临界稳定，其运动呈现振荡现象。
5. 非线性振动系统的稳定性分析方法除了线性化近似方法外，还存在其他一些用于非线性振动系统稳定性分析的方法。
常见的方法包括：Poincare映射法、Lyapunov方法、能量函数法等。
这些方法各有其适用范围和算法，可以根据具体问题的需求来选择合适的方法进行稳定性分析。
结论非线性振动系统的稳定性分析是研究非线性振动行为的关键环节，对于理解和控制非线性振动系统具有重要意义。
本文通过介绍线性振动系统与非线性振动系统的区别，稳定性分析的基本概念，线性化近似方法以及线性化系统的特征值分析等内容，对非线性振动系统的稳定性分析进行了综合的阐述。
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一维非线性振动的数值求解
高雁军1吴少平2
(1．湖北民族学院物理系，恩施，445000；2．华中师范大学物理系，武汉，430079)
摘要利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，所得到的结果与用解析方法得到的结果完全一致，验证了四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度。
在此基础上，数值求解了在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。
关键词振动；非线性；龙格－库塔方法
振动是一种很常见的物理现象。
在线性振动理论中，研究的是系统在平衡位置附近的微小振动，它的特点之一是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化。
振动的例子有很多，比如，钟摆的摆动，活塞的往复运动，固体中原子的振动，交流电路中的电流在某一电流值附近作周期性的变化等，所以振动问题具有很重要、很广泛的应用。
在普通物理中讲的振动都是线性的，对于这种振动，从物理上说，非线性效应还不明显，从数学上说，振动方程中
的非线性项被忽略掉了，因而振动方程求解起来也比较容易。
但严格地说，物质世界没有真正的线性振动，它只是非线性振动的近似。
如果某一物理量对平衡位置有较大偏离，在处理这类振动问题时，就必须考虑非线性项的作用，从而会产生新的物理现象，因此非线性振动有重要的理论和实际意义。
不过，除了少数可以精确求解的非线性方程外，对于非线性问题，在数学上要得到解析解，也只能采取一些近似的、特别的方法(如摄动法、平均法、多尺度法、KMB法等)，还缺乏一种普遍的、行之有效的解析方法。
随着计算机技术的飞速发展和人们对数值计算方法的深入研究，数值方法作为一种重要的手段日益受到人们的重视，数值计算也被应用到非线性振动的研究中来。
对于常微分方程的初值问题，数值方法的基本思想就是离散化，即将求解区域分成各离散点，然后直接求出各离散点上的、满足精度要求的未知函数的近似值。
求解常微分方程的初值问题的数值方法有：欧拉方法、龙格－库塔法、阿达姆斯法等，其中四阶龙格－库塔法具有计算稳定、精度高的特点。
本文中，采用四阶龙格－库塔方法求解了一维阻尼振动方程和在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。
1．四阶龙格－库塔公式
设二阶微分方程的初值问题为
⎩⎨⎧===0000')(',)()
',,(''x t x x t x x x t f x
若令000')(','y x t x y x ===，则以上二阶微分方程可化为一阶
微分方程组 ⎩⎨⎧====0000)(,')(),,,('x t x y x y t y y x t f y
利用一阶微分方程组的龙格－库塔法，可以得到原二
阶微分方
程的解
用上述公式可以计算各种情况下振动的解。
2． 一维阻尼振动的数值解
一维阻尼振动的运动方程为 0'2''20=++x x x ωμ )0(>μ。
这个方程的解可以用解析方法得到。
为了检验四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度，在这里我们用解析方法和数值方法求解了一维阻尼振动，并将它们的结果进行了比较，见图1。
由图可见，随着时间的增长，由于阻尼的作用，振动最终停止下来，显然这一结果是合理的。
另外，数值解与解析解完全一致，说明了四阶龙格－库塔方法是可靠的，并且具有很高的精度。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=++++=+++==++6/)(6/)22()
,,()2/,4/2/,2/()2/,2/,2/(),,(32121432113224212312
1k k k h hy x x k k k k h y y hk y k h hy x h t f k hk y k h hy x h t f k hk y hy x h t f k y x t f k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
图1 一维阻尼振动的解 (实线为数值结果，虚线为解
析结果)
3． 达芬方程的数值解
在一维阻尼振动方程基础上，考虑系统还有一个与位移的立方成正比的恢复力320x εβ
-(0β为正的常量，ε<<1)。
这样，振动方程实际上是一个非线性方程。
运动方程为 0'2''32020=+++x x x x εβωμ。
采用四阶龙格－库塔
公式，求解了这一方程，结果见图2。
图2 达芬方程的数值解
(实线为达芬方程的数值解，虚线为不考虑恢复力
32
0x εβ-时方程的解)
由图2可以发现，与一维阻尼方程的解相比，在达芬方程中，由于考虑了非线性项的作用，振动出现了某种程度的恢复。
但因为存在阻尼，振幅慢慢减小，恢复力320x εβ
-也随着振幅的减小而减小，所以振动最后还是停止下来。
4． 范德堡方程的数值解
运动方程为 0')1(''2=++-+x x x x ε。
这个方程是范德堡在研究电子管振荡器电路时导出的方程，工程中许多实际的自激振动问题可以用范德堡方程来描述。
对于范德堡方程，可以用近似解析方法去求解，比如KBM 方法。
但用这种方法时，要求方程中的ε充分小，且要求振幅和频率缓慢变化，所以，在这里我们用具有高精度的数值方法去求解方程，而对方程中的参数没有限制条件。
图3 范德堡方程的数值解
图4 自激振动的相图
由图3可以发现，系统的振幅变化较小，即系统基本维持等振幅运动，这正是自激振动的特征，说明这类系统以自己的运动状态作为调节器，以控制能量的输入，当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统可维持等幅振动。
另外，从自激振动的相图(见图4)可以看出，系统从初始状态(即相点x=2.0,y=0.0)
出发向一条闭合曲线运动，这条闭合曲线即为相平面
的极限环。
这一极限环是稳定的，只有稳定的极限环才是物理上可实现的自激振动。
5．结论
本文利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，结果表明四阶龙格－库塔方法具有较高的精度，由此方法得到的结果是可靠和有效的。
对于达芬方程，由于考虑了与位移的立方成正比的恢复力的作用，振动出现了某种程度的恢复。
对于自激系统，当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统可维持等幅振动。
通过达芬方程和范德堡方程这两类比较典型的非线性方程的数值求解，可以看到，对于非线性方程的求解，数值方法是一种行之有效的方法。
参考文献
1．刘延柱，陈文良，陈立群. 振动力学北京：高等教育出版社，1998
2．徐士良. 计算机常用算法北京：清华大学出版社，1995
3．施吉林，刘淑珍，陈桂芝. 计算机数值方法北京：高等教育出版社，1999
Numerical solution of one-dimension nonlinear
vibration
Gao Yanjun1 Wu Shaoping2
1. Department of Physics, Hubei Institute for
Nationalities, Ensi 430079
2. Department of Physics, Huazhong Normal University,
Wuhan 430079
Abstract
The one-dimension damped vibration is resolved by using 4-order Runge-Kutta method. The numerical result is the same with the analytic result which shows the Runge-Kutta method has high precision and is valid. Some nonlinear equations, such as Duffing equation, Van der pol equation, are also resolved by the same numerical method. The result shows the vibration can be renewed in some degree because of renewing force. For the self-excited vibration, the system can keep vibration of equivalent amplitude if the importing energy is balanced by the dissipating energy.
Key words:vibration; nonlinearity; Runge-Kutta method。