非线性振动与线性振动对比
物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点
物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点一、物体在弹簧上的振动1.弹簧振动的定义：物体在弹簧支撑下，由于外力作用或初始位移，进行周期性的往复运动。
2.弹簧振动的类型：根据弹簧的振动方式，可分为线性振动和非线性振动。
线性振动是指振动方程为线性方程的振动；非线性振动是指振动方程为非线性方程的振动。
3.弹簧振动的动力学方程：弹簧振动的动力学方程为胡克定律，即F = -kx，其中F为弹簧所受的合外力，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的位移。
4.弹簧振动的周期性：物体在弹簧上的振动具有周期性，周期T与弹簧的劲度系数k和质量m有关，即T = 2π√(m/k)。
5.弹簧振动的频率：频率f是指单位时间内振动的次数，与周期T的关系为f = 1/T。
频率与弹簧的劲度系数k和质量m有关。
二、弹簧振动的特点1.自由振动：弹簧在无外力作用下，由于初始位移或初速度，进行的振动。
自由振动分为简谐振动和非简谐振动。
2.简谐振动：当弹簧的振动满足胡克定律F = -kx时，称为简谐振动。
简谐振动的特征是振动曲线为正弦或余弦曲线，振幅不变，周期恒定。
3.非简谐振动：当弹簧的振动不满足胡克定律F = -kx时，称为非简谐振动。
非简谐振动的特征是振动曲线不遵循正弦或余弦规律，振幅可能随时间变化。
4.阻尼振动：在实际过程中，弹簧振动过程中会受到阻力的作用，导致振动逐渐衰减。
阻尼振动的特点是振动幅度随时间逐渐减小，振动周期不变。
5.受迫振动：当弹簧振动受到外部驱动力的作用时，称为受迫振动。
受迫振动的特征是振动曲线随外部驱动力的变化而变化，振动周期与外部驱动力的周期相等。
6.共振：当外部驱动力的频率与弹簧振动的固有频率相等时，弹簧振动幅度达到最大，称为共振。
共振现象在实际工程应用中具有重要意义。
7.弹簧振动的应用：弹簧振动在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，如音乐乐器、机械设备、建筑结构等。
知识点总结：物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点涉及到振动的基本概念、动力学方程、周期性、频率、自由振动、简谐振动、非简谐振动、阻尼振动、受迫振动、共振等方面。
非线性振动
能够求出精确解的非线性系统极少，一般使用数值方法计算。采用近似计算的方法大部分是针对 弱非线性系统。对于强非线性系统，首先需要求出与之相近，而又精确可积的非线性系统精确解，然后 对精确非线性解进行摄动，所导出的微分方程仍然需要借助数值方法求解。
1. 线性振动一般解与典型非线性方程
0 x 0 有阻尼自由振动系统 x 20 x
取决于系统阻尼比与固有频率和激励频率的关系，有
arctan
2 / 0 2 1 2 / 0
1
稳态相应振幅与激励振幅的比值有
A2 B
1
2
2 / 0 2 / 0 2
2
(t ) cx (t ) kx(t ) F cos t kA cos t 对方程 mx
2 2 (t ) n 变形为 x(t ) 2n x x(t ) n A cos t
通解 X cos(t ) ， 表响应对激励的滞后：
通解 X1 为： x
2 0
v n x0 0
2 d
2
v n x0 e nt cos d t 0 ，瞬态响应，逐步衰减。 d
2
A cos nt ，且根据
n 1 n
2
非线性振动
u u (1 u ) 0 ，主要研究自激振动 Van der Pol 方程 u
2 2
实际可能，将谐波取到 3 倍频：(根据实际情况略去无用的高阶项，但求解会存在不少问题！)
x x An cos nt An n 2 2 cos nt
记录非线性的现象和原因，记录求解非线性问题的计算方法 很多问题不实际算，是不会发现问题的 陈小飞，2009-10-16 目 录
非线性振动系统的动力学行为
非线性振动系统的动力学行为引言振动是物体在固有频率下的周期性运动。
在自然界和工程领域中，非线性振动系统的研究具有重要意义。
非线性振动系统的动力学行为常常具有复杂性和多样性，如混沌、周期倍增等现象。
本文将探讨非线性振动系统的动力学行为，包括混沌、周期倍增和双稳态等方面。
一、混沌现象混沌是非线性振动系统中一种复杂的动力学行为。
与线性振动系统的周期性运动不同，混沌运动是无规律、无周期的。
混沌现象的出现是由于非线性振动系统中各种非线性项的相互作用导致的。
例如，双摆系统中的混沌现象是由于摆角的非线性耦合引起的。
混沌现象的研究对于理解非线性振动系统的行为具有重要意义。
二、周期倍增现象周期倍增是非线性振动系统中的另一种重要动力学行为。
周期倍增是指系统在某一参数变化的过程中，周期解的周期逐渐增加。
周期倍增现象常常出现在非线性振动系统的临界点附近。
例如，当驱动力的频率接近系统的固有频率时，非线性振动系统可能出现周期倍增现象。
周期倍增现象的研究对于预测和控制非线性振动系统的行为具有重要意义。
三、双稳态现象双稳态是非线性振动系统中的一种特殊现象。
双稳态现象是指系统在某一参数范围内存在两个稳定解。
这意味着系统可以在两个不同的状态之间切换。
双稳态现象的出现是由于非线性项的非线性饱和效应引起的。
例如，光纤中的非线性光学效应可以导致双稳态现象的出现。
双稳态现象的研究对于设计和优化非线性振动系统具有重要意义。
结论非线性振动系统的动力学行为具有复杂性和多样性。
混沌、周期倍增和双稳态是非线性振动系统中常见的动力学现象。
混沌现象是非线性振动系统中无规律、无周期的运动，周期倍增现象是系统周期解周期逐渐增加的现象，双稳态现象是系统存在两个稳定解的现象。
研究非线性振动系统的动力学行为对于理解和应用于实际问题具有重要意义。
总之，非线性振动系统的动力学行为是一个复杂而有趣的研究领域。
通过深入研究非线性振动系统的混沌、周期倍增和双稳态等现象，我们可以更好地理解和控制非线性振动系统的行为，为实际应用提供理论基础和指导。
振动理论06(1-2)-非线性振动
6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。
令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。
单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。
如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。
公务员行测真题类比推理试卷每日一练(852)
公务员行测真题类比推理试卷每日一练一、单选题(共计40题,每题1分) 1.单选题寥寥无几:数不胜数A.恒河沙数:一星半点B.独一无二:所剩无几D.屈指可数:比比皆是2.单选题青春:奋斗:幸福A.韶华:建功:立志B.青年:开拓:创新C.科技:发展:驱动D.人生:耕耘:收获3.单选题玻璃幕墙:光源:光污染正确的一项是( )。
A.汽车尾气:凝结核:酸雨B.海上风暴:气压:海啸C.火山喷发:板块:地震D.空气消毒:紫外线:臭氧4.单选题学习菜谱:下厨烹饪:总结经验A.通过安检:车站候车:登上列车B.投寄稿件:编辑排版:读者阅读C.发布公告:制作标书:签订合同D.撰写邮件:发送邮件:回复邮件5.单选题红颜:娥眉:女性A.襁褓:垂髫:幼儿B.花甲:耄耋:老人C.四海:八荒:天下D.婵娟:玉盘:月亮6.单选题逗号:停顿:短暂A.飞机:运输:快捷B.光盘:存储:科技C.果汁:营养:甘甜D.书籍:阅读:进步7.单选题高兴对于( )相当于()对于巧夺天工A.得意；匠心独运B.谈笑风生；鬼斧神工C.悲哀；照猫画虎D.心花怒放；精巧8.单选题出国:护照:签证A.升学:录取:成绩B.开会:时间:地点C.乘高铁:身份证:车票D.跟团游:旅行社:机票9.单选题呼气之于吸气相当于( )之于()A.救火；灭火B.治病；养病C.入神；出神D.出世；入世10.单选题降温:冻结:坚硬A.饥荒:打猎:灭绝B.切割:金属:成型C.接触:感染:咳嗽D.计数:运算:建模11.单选题( )对于大厦相当于琵琶对于()A.城堡；电吉他B.高楼；舞台C.工人；制琴师12.单选题恳求:要求A.复杂:嘈杂B.恪守:遵守C.动机:动力D.妥协:协调13.单选题药物:手术:治疗A.警察:法律:追捕B.汽车:火车:陆地C.读书:授课:上学D.跑步:游泳:锻炼14.单选题质量:重力( )A.年龄:幼稚B.电源:电阻C.海拔:气压15.单选题大步流星:寸步难行与( )在内在逻辑关系上最为相似。
非线性振动系统的动力学模拟和分析
非线性振动系统的动力学模拟和分析一、引言非线性振动系统是实际工程中经常遇到的一种振动模式，其动力学行为与线性振动系统有很大不同。
为了解决实际问题，需要对非线性振动系统进行深入研究，进一步分析其动力学行为。
本文将着重介绍非线性振动系统的动力学模拟和分析方法，并结合具体实例进行讲解。
二、基本概念1. 非线性振动系统非线性振动系统是指其运动方程中含有非线性项的振动系统。
其动力学行为与线性振动系统有很大不同，例如出现分岔、混沌等现象。
2. 动力学模拟动力学模拟是通过计算机模拟的方法研究动力学系统的行为。
它可以帮助我们深入理解非线性系统的物理现象，预测系统的行为以及设计系统的参数。
三、非线性振动系统动力学模拟方法1. 常微分方程方法其基本思路是通过建立非线性振动系统的运动方程，并运用数值分析方法进行求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程，可以将其展开为泰勒级数的形式，如下：$$f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$$将运动方程离散化后，可以利用数值分析方法，如欧拉法、隐式欧拉法等，进行求解。
2. 辛普森法辛普森法是一种常用的非线性振动系统动力学模拟方法。
其基本思路是利用曲面的形状来逼近曲线，进而求解非线性振动系统的运动方程。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程离散化后，可以利用辛普森法进行求解。
3. 傅里叶级数方法其基本思路是将一个非线性振动系统的运动方程分解为一系列线性微分方程的和，进而用傅里叶变换的方法求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程展开为傅里叶级数的形式后，可以用傅里叶变换求解。
理论力学中的非线性振动与混沌理论研究
理论力学中的非线性振动与混沌理论研究在理论力学中，振动和混沌是两个重要的研究领域。
非线性振动和混沌理论的研究对于理解自然界的复杂现象以及应用于工程实践具有重要的意义。
本文将探讨理论力学中的非线性振动和混沌理论的研究进展及其应用。
一、非线性振动的基本概念与理论非线性振动是相对于线性振动而言的，而线性振动是振动系统中的基本概念。
在线性振动中，振动系统的响应与外部激励之间存在线性关系，振动的特征可以由线性微分方程描述。
然而，在实际的振动系统中，往往存在着非线性因素的影响，例如摩擦、弹性的非线性等。
非线性振动的研究旨在揭示非线性振动系统的特点与行为规律。
在非线性振动的研究中，常常使用多尺度分析方法。
多尺度分析的基本思想是根据振动系统的性质和具体问题的需求，选择合适的变量和时间尺度，并将振动系统的行为分解为各个尺度下的变化。
常用的多尺度分析方法包括平均法、正则变换法等。
非线性振动的研究不仅限于理论分析，还包括实验研究和数值模拟。
实验可以通过测量振动系统的响应来验证理论预测，并获得系统的动力学行为；数值模拟可以通过模拟振动系统的微分方程，得到系统的时间演化过程。
实验和数值模拟的结果可以相互印证，从而更加全面地理解非线性振动系统。
二、混沌理论的发展与应用混沌理论是上世纪70年代发展起来的，并在之后的几十年中得到了广泛的应用。
混沌现象是指一个动力系统的演化在初态非常微小的扰动下会发生显著的变化，导致系统行为无法准确预测。
混沌理论的研究对于理解非线性系统的复杂性、探索系统演化规律以及开展实际应用具有重要的意义。
混沌理论的研究方法一般包括分岔图、Lyapunov指数、Poincaré截面等。
分岔图是通过调整系统参数并观察系统响应的变化来研究系统周期解和混沌解之间的转变。
Lyapunov指数是用来刻画系统演化的敏感程度，通过计算系统的特征指数来衡量系统的混沌程度。
Poincaré截面则是通过选择适当的截面来研究振动系统的相轨迹和相空间的结构。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
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1
x
F F0 cos t
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Phase modulation
x
stiffness increase
x
1 0.8 0.6
F F0 cos t
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
非线性振动的近似解析方法
4
c1 2 t X e c2
m1 0 0 m 2
c1 2 t k1 k2 k2 c1 t c e k c e 0 k2 2 2 2
k2 c1 c 0 k2 2
K s /( K s 1 '2 ) ( K s e '2 ) /( K s 1 '2 )
em 2
2
m
2
m
2
m
em
2
Phase modulation/ stiffness increase x
2 k1 k2 m12 c22 c21 k2
k2 c21 c 0 k2 22
6
振型：
1 c11 C c11 2 c12 (k1 k2 m11 ) / k2
1
第一阶振型
1 C 2 (k1 k2 m12 )k2
kr
cr
m e
cs ks
kr
Or
cr
Os
Where P is the elastic potential energy-a piece wisely differentiable
cs ks
Three Elements Amplitude, Frequency and Phase (difference)
f s ' e ' cos( ) 0
2 2
em 2
f s 1 ' e '2 sin( ) 0
0 e ' / (1 ' ) (1 ')
2 2 2 2
2
m
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定 性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对
象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不
能获得系统的频率、振幅等基本参数。 只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性 系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。
1
1 C 2 (k1 k2 m12 )k2
2
8
例：已知质量m, 杆长l, 求系统运动方程
o
系统的动能和势能 1 1 2 2 1 T ( ml ) ; V mgl (1 cos ) 2 3 2
2 l g sin 0 3
非线性运动形式通常无法用 初等函数表示 非线性振动仍然可以用周期、振幅、 相位等来刻画, 方法?
5
4 3 2 1 0
K 18
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Phase modulation
stiffness increase: Phase-frequency
3.5 3
em 2
2
m
2.5 2 1.5 1 0.5 0 800
2 r ( g sin a0 cos sin 0t )sin 0
x a sin 0t
线性化？
14
分段线性
The motion equation
P mx cx em 2 cos x P my cy em 2 sin y
k2 c11 c 0 k2 12
k1 k2 m112 c12 c11 k2
c11 满足上述方程的 特征向量 c12
2 m1 0 k1 k2 2 k 0 m2 2
m1 0 2 k1 k2 k 2 0 m2
上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零
M2 K 0
特征根—纯虚根
特征方程
2 2 1 12 2 2 2
5
2 1
2 1
2 2
2 2
2 m1 0 k1 k2 1 k 0 m2 2
2 l g sin 0 3 2 l g 0 线性化 3
2 l g 0 3
13
线性与非线性的联系
周期系数非线性
例：当基座周期运动时，求系统运动方程 解：系统的动能和势能
1 T m[ x 2 2cos r sin x (r ) 2 ]; 2 V mgr sin cos
k1
l1 st 1
1 2 1 2 V k1 x1 k 2 ( x2 x1 ) 2 2
m1
k2
x1
l2 st 2
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 x m2 2 k2 x1 k2 x2 x
x1 c1e t ; x2 c2 e t ?
f ( x, x) F (t ) x
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
x(t ) a0 a1n cos(n t ) a2 n sin(n t )
n 1
非线性振动的近似解析方法 将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
em 2
x 2T / m cos y 2T / m sin
m
x2 y 2
2
V F cos( ) c 2T / m F cos c 2T / m
Or ,0
Stiffness increase
Mechanism on stiffness increase
Phase difference 0-π/2
em 2
[ K s e '2 cos( )]/( K s 1 '2 ) sin( ) [ K s ( 1) 1 ']/ e '2
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Phase modulation stiffness increase: Phase-frequency
em 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
K 18
K 30
K 45
2
m
sin( )
3
m2
x2
x1 c1 t x c e 2 2
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 x m2 2 k2 x1 k2 x2 x
m 1 0 k1 k2 k2 x1 M ; K k ; X x k2 0 m2 2 2
x1 X x 2
x m1 0 1 k1 k2 k2 x1 0 m k x 0 k2 2 2 x2 2
MX KX 0
X
x1 c1 t x c e 2 2
11
线性情况
x
1 1 2 2 mx kx c 2 2
c
c1
x0
2
k t m
2
0
x
x0
dx x dx x
x x C
相点沿相轨迹 匀速圆周运动
量纲看物理概念
无量纲概括一般规律
12
例：已知质量m, 杆长l, 求系统运动方程
o
解：系统的动能和势能 1 1 2 2 1 T ( ml ) ; V mgl (1 cos ) 2 3 2
P mx cx em 2 cos x P cy my em 2 sin y
cs ks
kr
cr
m e
kr
Or
cr
Os
Vibrating System
Driving System
cs
ks
Phase difference and vibration energy
2
第二阶振型
方程的解
x1 X a11C 1ei1t a12C 1e i1t x2 a21C 2 ei2t a22C 2 e i2t
7
线性系统具有‘特征’
M2 K 0
1 c11 C c12 (k1 k2 m112 ) / k2
0