非线性振动汇总讲解
机械系统的非线性振动分析与控制
机械系统的非线性振动分析与控制引言机械系统是现代工程中广泛应用的一种系统，其具有非线性特性。
非线性振动是机械系统中一个常见且复杂的问题，对于系统的可靠性与效果具有重要影响。
因此，对机械系统的非线性振动进行深入分析与控制具有重要的理论和实践价值。
一、机械系统的非线性振动特性1.1 线性振动与非线性振动的区别线性振动是指系统的响应与激励之间存在简单的比例关系，即满足叠加原理。
而非线性振动则不满足叠加原理，系统的响应与激励之间存在复杂的非线性关系。
非线性振动会导致系统的摆动幅度增大或者系统出现周期倍频振动。
1.2 非线性振动的原因机械系统中产生非线性振动的原因主要有两个方面：一是系统的非线性特性，例如刚度非线性、摩擦非线性等；二是系统的非线性激励，例如周期激励、随机激励等。
1.3 非线性振动的现象非线性振动的现象非常多样化，常见的有分岔现象、周期倍频共振现象、混沌现象等。
这些现象给机械系统带来了挑战，也为研究非线性振动提供了契机。
二、非线性振动的分析方法2.1 解析法解析法是一种基于数学模型的非线性振动分析方法。
通过建立机械系统的非线性微分方程，并应用数学工具进行求解，可以得到系统的解析解。
然而，由于非线性振动问题的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
因此，需要借助于数值解法。
2.2 数值法数值法是一种基于数值计算的非线性振动分析方法。
通过将非线性微分方程转化为差分方程，采用逐步逼近的方法进行计算，可以得到系统的数值解。
常用的数值法有欧拉法、龙格-库塔法等。
数值法具有灵活性和广泛适用性，可以应对复杂的非线性振动问题。
三、非线性振动的控制方法3.1 被动控制被动控制是一种利用物理手段抑制非线性振动的方法。
例如，利用阻尼器、质量阻尼器等装置来减小系统的振动幅度，或者采用增加刚度、惯性等手段来改变系统的频率响应特性。
被动控制相对简单易行，但只能对系统进行抑制，无法从根本上解决非线性振动问题。
3.2 主动控制主动控制是一种利用外部激励来主动干预系统的振动行为的方法。
振动理论及工程应用10第十章 非线性振动
一般来说，振动系统总是非线性的，线性系 统只是一种简单模型。如果线性理论能反映所要 考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果， 那么就把它当作线性系统来处理；否则，就要研 究非线性系统。
在线性系统的研究中可以应用叠加原理，即 系统对不同激励的响应可以线性相加，而对非线 性系统叠加原理不成立，因此对非线性系统的研 究比线性系统要复杂得多。
,d
Y y
O
不妨设平衡点O为原点，则方程式可写成
x ax by X1x, y, y cx dy Y1x, y
对于线性方程组
x ax by, y cx dy
特征方程为
2 p q 0
两个特征根为
1
1 2
x f x, x 0
x y, y f x, y
对于更一般的情形，方程可表示为
x X x, y, y Y x, y
式中x表示质点的位移， y x 表示质点的速度。如
果把(x, y)看作平面上点的坐标（称为相点） ，该平 面称为相平面。
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
当 0 时表示软弹簧。
硬弹簧曲线示意图 软弹簧曲线示意图
如果系统还受到阻力强迫力的作用，则系统的运
动微分方程为
mx x Fx Ft
在一般情况下，单自由度系统的运动微分方程为
若相平面上的点为
x 0, y 0
即
X xS , yS 0, Y xS , yS 0
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
非线性振动系统的分析和应用
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
非线性振动概论
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
ml d 2 l d mg sin F cost
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
• 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分
• 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
• 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目 将多于系统的自由度
(6) 存在多个简谐激振力作用下的组合振动
线性振动与非线性振动的最大区别：
线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
非线性振动方程的一般形式
线性振动方程 mx cx kx f (t) 非线性振动方程
fm (x, x, x) fc (x, x, x) fk (x, x, x) f (x, x, x,t)
变质量 惯性力
非线性 阻尼力
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
谐波平衡法
谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用 系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的 傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数 相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振 动系统微分方程傅立叶级数形式的解。
F(t) f1n cos(n t) f2 n sin(n t)
n1
其中,
f1 n
1 T
T/
T
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
机械动力学中的非线性振动研究
机械动力学中的非线性振动研究引言机械振动是自然界和工程实践中普遍存在的现象。
振动的研究不仅对于理解自然现象有重要意义，而且在机械设计、结构优化等领域中也起到关键的作用。
振动问题通常都涉及非线性因素，因此非线性振动的研究成为了机械动力学的重要分支。
非线性振动的定义和特点非线性振动是指系统在振动过程中，系统响应不遵循线性叠加原理的振动。
与线性振动相比，非线性振动具有以下几个特点。
首先，非线性振动的频率特性是复杂的。
在非线性系统中，自由振动的频谱通常会出现各种谐波以及倍频。
这些谐波和倍频的出现是非线性系统对外界激励的非线性响应。
其次，非线性振动的幅频特性也是非线性的。
在非线性系统中，系统的响应幅值随着激励幅值的增加会产生非线性变化，比如出现硬化或者软化的现象。
最后，非线性振动还可能具有一些特殊的现象，比如倍周期运动、混沌现象等。
这些现象是线性系统所不具备的，对于非线性系统的研究具有重要的意义。
非线性振动的数学描述非线性振动通常可以通过微分方程来描述。
一般来说，非线性振动微分方程可以分为两类，一类是简单非线性，另一类是复杂非线性。
简单非线性是指各个分量之间只存在乘积关系的非线性项，比如二次项、三次项等。
复杂非线性则是指不仅存在乘积关系的非线性项，还存在其他一些非线性函数关系，比如正弦函数、指数函数等。
对于非线性振动问题，目前常用的数学分析方法有多种，比如周期平均法、多尺度方法、能量法等。
这些方法的应用使得非线性振动的研究更加深入和全面。
非线性振动的应用非线性振动的应用十分广泛。
首先，在机械工程领域中，非线性振动的研究成果被广泛应用于机械系统的优化设计和故障诊断中。
比如在飞机结构设计中，非线性振动的研究对于提高结构的稳定性和可靠性具有重要意义。
其次，在物理学和工程学中，非线性振动的研究也被应用于能量传递和信息传输等领域。
比如在能量收集和储存领域，非线性振动可以通过能量的分散和传递，实现机械系统能量的高效利用。
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
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目录1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1)1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3)1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4)1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5)1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5)1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7)1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7)1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 81.4.1同步涡动的临界转速： (9)1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9)1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10)1.5mathematic源代码 (11)2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12)2.1 分析 (12)2.2 MATLAB编程求解 (16)两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =⨯=⨯，材料密度337.810/Kg cm ρ-=⨯。
固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。
ϕ为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=。
假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。
求：①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。
1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。
随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。
假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。
因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。
下面导出单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。
欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图o x y z为过圆盘形心的圆盘无偏心，图中Axyz为固定坐标系，''''平动坐标系，0' 为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。
当圆盘以自转角速度C ϕ=Ω≠绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量ω在旋转后的动坐标系110'ξης中的投影用第2类欧拉角表示为111cos sin ξηςωβωαβωϕαβ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩（1-1） 注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负1'o ξ轴旋转，固角速度1ξωβ=-，这与第1章所述有所不同。
在平动坐标系'''o x y ς中圆盘对形心'o 的动量矩为o'ςx'y'H =H +H +H （1-2）式中''(cos sin cos )'(sin cos )'(sin )x p d y d p p J J J J J ςςϕβαβααϕβαϕαβ=-=+=+H i H j H k（1-3）由于动坐标轴''o x 与1'o ξ的夹角1,'','o y o αη的夹角β很小，有sin ,sin ,cos cos 1ααββαβ≈≈≈≈代入对圆盘形心'o 的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有''()x p p d y p p d p d J J J dt d J J J dt d J dt ςϕαϕαβϕβϕβαϕαβαβ=+-=++=++H H H（1-4） 注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一致的。
1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达下面分析作用在弹性轴上的力矩。
作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩e M 和阻力矩R M 。
由材料力学知，圆轴在xoz 平面上弹性恢复力和弯矩223322223()13x xx x x x a ab b a bF lEI x k x k a b a b a b M lEI x k x k a b ab αααααααα-+-=+=+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1-5）注意，力矩的下标x 表示在'''x o z 平面内的力矩。
同理圆轴在'yo z 平面内弹性恢复力y F 和恢复力矩11122213()y yy y y y F k y k k y k a b M lEI y k y k a b abββββββββ=+=+-=+=+（1-6） 因忽略阻尼，所以没有阻力矩。
由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影''''''()0x ex Rx x y ey Ry y M M M k x k M M M k y k M αααβββςαβ=+=-+=+=+=∑∑∑（1-7）注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右端等于零。
如果考虑扭转刚度k ϕ，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形成的弹性扭矩ςM 为k ςϕςϕ=-M k1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心o '的动量矩定理''''x y y x d M dt d M dt d M dt ςς===∑∑∑H H H（1-8） 整理得到描述相对圆盘形心运动的定点转动微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++++=+++--0)(00ϕϕβαβαϕααβϕαβϕββαϕαϕβϕϕααααββββk c J c k x k J J J c k y k J J J p x p d p y p p d（1-9） 再加上圆盘随形心运动的平动微分方程⎩⎨⎧=++=++00βαβαk y k y m k x k x m y yy x xx （1-10） 这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共计5个方程。
对于圆轴截面，k k k k k k k k y 22112112,======ββααβαβ。
第2和第3个方程可简化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++++=+++++=+++--000)(001211121122212221βαϕϕβαβαϕααβϕαβϕββαϕαϕβϕϕαβk y k y m k x k x m k c J c k x k J J J c k y k J J J p p d p p p d （1-11） 1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：由题目给出的条件代入数据，得：()1570.1425m 44a l ===，()0.4275mb l a =-=()23167.810 3.14159262 3.137kg 2m V A ρρ-⎛⎫==∆=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()2223.137160.0050192kg m 1616d mD J ⨯===⋅220.0100384kg m p d J J ==⋅（因为是动力对称转子圆盘）对于等截面轴，有2211333549858.9N/m a ab b k lEI a b ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭122122367161.07N a b k k lEI a b -⎛⎫===- ⎪⎝⎭4223 1.43610N m lEIk ab==⨯⋅ 1.4.1同步涡动的临界转速：当圆盘转动为同步正进动时ωΩ=。
由方程错误!未找到引用源。
：211221()2d p k k m J J ω=+±-（1-12）代入数据，得临界角速度：21278.87(rad/s )F ω=临界转速：1602663(r/min)2F n ωπ==当同步反进动时ωΩ=-，由方程错误!未找到引用源。
：211221,2123dk k m J ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1-13） 代入数据得临界角速度：临界转速：1260609836.7(r/min)2480.8(r/min)22B B n n ωωππ====，1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：由偏置单盘转子稳态自由涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为： ()432112************d p d p mJ mJ J k mk J k k k k k ωωωω-Ω-++Ω+-=（1-14）将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：4320.01570.031547807.175519.73385364480.460ωωωω-Ω-+Ω+=（1-15）Ω取不同值时，经Mathematic 算出对应的ω值，如下表所示：Ω1F ω2F ω1B ω2B ω1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：1.5mathematic源代码2. 威尔逊--θ法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 2.1 分析因假设没有作用在转子上的不平衡外力F ，不计重力m g ，没有重力矩gM ，只有保持转子作等加速转动的外力矩gM 。
取广义坐标(,,,,)Tx y βαϕ=q ，有前面分析可知，系统微分方程简化为11142223323341440()000dd p d p p d p p a m y cy k y k J c k J J J k y k c J J J k x k c ϕϕββϕαβαβϕϕβϕαϕαββαϕβϕβαα⎪⎪++-=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎪+-+++=⎩（1-16）转子形心的瞬态涡动幅频特性: 圆盘的转动惯量为220.0100384kg m p d J J ==⋅转轴的截面惯性矩及材料的弹性模量48411213.97610, 2.05810/64I d m E m π-==⨯=⨯4la =，由影响系数法假定转子受单位力P 作用求转子的位移11α和转角12α，其表达式为221112()()(2),33a l a a l a l a EIl EIl αα---==（1-17）假定转子受单位力矩M 作用求转子的位移12α和转角22α，其表达式为222122()(2)33,33a l a l a l la a EIl EIl αα---+==（1-18）从而得柔度矩阵2222()()(2)133()(2)3333a l a a l a l a EIl a l a l a l la a ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦α（1-19） 则刚度矩阵为111212122k k k k-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α（1-20） 对于等截面圆轴，有2211333549858.9N/m a ab b k lEI a b ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭122122367161.07N a b k k lEI a b -⎛⎫===- ⎪⎝⎭4223 1.43610N m lEIk ab==⨯⋅等加速过程中，不考虑11142223323341440()000dd p d p p d p p a m y cy k y k J c k J J J k y k c J J J k x k c ϕϕββϕαβαβϕϕβϕαϕαββαϕβϕβαα⎪⎪++-=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎪+-+++=⎩中的第三式222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=，由威尔逊--θ法设转子涡动微分方程为q q q ++=M C K F （1-21）式中,,,M C K F 分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外激励矩阵。