陕西省西安市曲江第一中学2015届高三数学上学期期中试题 理

西安市曲江第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，满分50分） 1．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，那么A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð 2．设0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，那么,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<3．已知函数()sin ()f x x x x R =∈，函数()f x ϕ+的图象关于直线0x =对称，那么ϕ的值可以是 A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．在ABC ∆中，3,a b ==60A ∠=︒，那么B ∠等于A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 5．方程111()()024x x a -++=有正数解，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞-C ．(3,2)--D ．(3,0)- 6．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若15160,0S S ><，那么11S a ，22S a ，315315,,S S a a 中，值最大的是 A ．1515S a B ．88S a C ．99S a D ．11S a7．若610a <<，22ab a ≤≤，c a b =+，那么c 的取值范围是 A ．918c ≤≤ B ．1530c << C ．930c ≤≤ D ．930c <<8．函数1||,(0)()0,(0)x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0c =D ．2b ≥-且0c =9．若,[,]22x y ππ∈-，且sin sin 0x x y y ->，那么下面关系正确的是A ．x y >B ．0x y +>C ．x y <D ．22x y >10．在平面直角坐标系中，若两点,P Q 满足条件：①,P Q 两点都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 两点关于坐标原点对称。

则对称点[,]P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”。

点[,]P Q 和[,]Q P 看作是同一对“友好点对”。

那么函数22log ,(0)()4(0)x x f x x x x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的“友好点对”有A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 二、填空题（每小题5分，满分25分）11． 已知,a b 均为正数，且1a b +=，那么11()()a b a b++的最小值是____________；12．在ABC ∆中，点H 是边BC 上异于端点,B C 的一点，M 是AH 的中点，AM AB AC λμ=+，那么λμ+=____________；13．函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，那么数列*1{},()n N f n ∈的前n 项和是____________；14．设2()f x ax bx =+，1(1)2f ≤-≤，2(1)4f ≤≤，则(2)f -的范围是____________； 15．观察下面算式：3235=+； 337911=++； 3413151719=+++； 352123252729=++++；…………312320a a a =+++ ，其中123a a a <<< ，那么1a =____________；西安市曲江第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）答题纸一、选择题（每小题5分，满分50分）二、填空题（每小题5分，满分25分）11．____________； 12．____________； 13．____________； 14．____________； 15．____________；三、解答题（满分75分）16．（满分12分）渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用了2小时追赶上渔船乙. （Ⅰ）求渔船甲的速度； （Ⅱ）求sin α的值.17．（满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足221n n n S a n =-（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n a 的项按上小下大，左小右大的原则排列成一个如图所示的三角形数阵，那么2015是否在该数阵中，若在，排在了第几行第几列？18．（满分12分）已知函数22sin 2sin cos 3cos ,y x x x x x R =++∈ （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调增区间.ACα北南1a2a 3a 4a 5a 6a19．（满分12分）已知向量1(1,0)e =，2(0,1)e =，动点P 从点0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +相同的方向做匀速直线运动，速度大小为12||e e +；另一动点Q 从点0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为12|32|e e +，设P 、Q 在0t =秒时刻分别在0P 、0Q 处.那么经过多长时间后00PQ P Q ⊥？ (Ⅰ)经过多长时间||PQ 最小？求出最小值； (Ⅱ) 经过多长时间后00PQ P Q ⊥，求出t 值.20．（满分13分）设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是3y =(Ⅰ)求()y f x =的解析式；(Ⅱ)证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(Ⅲ)证明：曲线()y f x =上任意一点的切线与直线1x =和直线y x =所围成的三角形的面积是定值，并求出这个定值.21．（满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()y f x =的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.西安市曲江第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，满分50分）二、填空题（每小题5分，满分25分） 11．254； 12 12； 13．1n n +； 14．[5,10]；15．381；三、解答题（满分75分）16．（Ⅰ）由题意，120BAC ∠=︒，12,21020AB AC ==⨯=，BCA α∠= 在ABC ∆中，根据余弦定理得2222cos 784BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠= 那么28BC =，所以渔船甲的速度是28214÷=里/小时. （Ⅱ）BCA α∠=，在ABC ∆中，根据正弦定理得sin sin AB BCBCA BAC=∠∠，那么 sin sin AB BAC BCA BC ⋅∠∠==，即sin α=.17．解：（Ⅰ）221n n n S a n =-，则21(1)(2)23n n S n n --=≥-，两式相减整理得121(2)23n n a n n a n --=≥- 依次得122325n n a n a n ---=-，2325,27n n a n a n ---=- 325,3a a =，上面2n -个等式相乘得2213n a n a -=，而23a =，那么21,(2)n a n n =-≥，11a =也满足该式，则21n a n =-.（Ⅱ）212015n a n =-=，则1008n =，前44行共123444990+++++= ，前45行共1234451035+++++= ，那么2015应在第45行，第100899018-=列. 18．．解：将22sin 2sin cos 3cos ,y x x x x x R =++∈化简整理得 sin 2cos22)24y x x x π=++=++.（Ⅰ）函数的最小正周期22T ππ==； （Ⅱ）要使函数为增函数，则222242k x k πππππ-≤+≤+，则388k x k ππππ-≤≤+，那么函数的增区间是3[,]88k k ππππ-+. 19．解：根据题意得0(1,2)P -，0(2,1)Q --，则00(1,3)PQ =--12(1,1)e e += ，12||e e += ；1232(3,2)e e += ，12|32|e e +=经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，(Ⅰ) (12,3)PQ t t =-+-+ ， ||PQ，当1t =时取最小值；(Ⅱ)由(12,3)PQ t t =-+-+ ，而00PQ P Q ⊥，那么(1)(12)(3)(3)0t t -⨯-++-⨯-+=，解得2t =，故经过2秒钟后，00PQ P Q ⊥ .20．解：(Ⅰ)将点(2,3)代入()y f x =得1322a b=++，又21()()f x a x b '=-+，由于(2)0f '=，则210(2)a b -=+，联立解得1b =-，83b =-（舍），1a =. 所以1()1f x x x =+-. (Ⅱ)函数1y x x =+是奇函数，图象关于坐标原点对称，11()1111f x x x x x =+=-++--，即将函数1y x x=+的图象向右平移一个单位，然后在向上平移一个单位，那么()y f x =的图象关于点(1,1)成中心对称；设(,)M a b 是()y f x =上任意一点，那么11b a a =+-，点M 关于点(1,1)的对称点(2,2)N a b --，1(2)221f a a b a-=-+=--，即点N 在()y f x =的图象上，由于(,)M a b 是()y f x =上任意一点，那么那么()y f x =的图象关于点(1,1)成中心对称； (Ⅲ)由于21()1(1)f x x '=--，则曲线()y f x =在x t =处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即2211(1)(1)x t y x t t t =-++---，该切线与直线1x =的交点为1(1,)1t P t +-；切线与直线y x =的交点为(21,2Q t t --，直线1x =与y x =的交点为(1,1)，那么111|||1||22|2221PQR PR t S PR h t t ∆+==⨯-⨯-=-. 21．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a .③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a<<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.。