数学思想方法的应用
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例1.归纳法：归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，通常应用于证明一些性质在所有情况下成立。
例如，我们可以使用归纳法来证明1+2+3+...+n的总和公式为n(n+1)/2、首先，当n=1时，左侧为1，右侧为1(1+1)/2，成立。
接下来，假设对于一些k成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2、那么当n=k+1时，左侧为1+2+3+...+k+(k+1)，右侧为(k+1)((k+1)+1)/2、我们可以将左侧拆分为k(k+1)/2+(k+1)，然后代入归纳假设得到右侧，因此可以推断1+2+3+...+n=n(n+1)/2对于所有自然数n成立。
2.递推法：递推法是一种逐步推进的思想方法，在每一步中根据前一步的结果得到下一步的结论。
递推法常常应用于数列和数列的性质推导。
例如，斐波那契数列就是一个典型的应用递推法得到的数列。
斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数都是1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
即，F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。
通过递推法，我们可以计算任意给定项的斐波那契数列。
3.反证法：反证法是一种通过假设命题的否定形式为真，再通过推导推出与已知事实矛盾的结论，从而推断原命题为真的思想方法。
例如，我们想要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q是互质的。
如果我们将这个假设代入p^2/q^2=2，可以得到p^2=2q^2、这意味着p的平方是一个偶数，因此p也是一个偶数（偶数的平方是偶数）。
我们可以将p表示为2k，其中k是一个整数，那么我们得到(2k)^2=2q^2，即4k^2=2q^2，化简为2k^2=q^2、这表明q的平方也是偶数，进一步可以推断q也是偶数。
但这与p和q是互质的假设相矛盾，因此根号2不可能是有理数，即它是无理数。
4.数学归纳法：数学归纳法是一种证明自然数性质的方法，适用于证明具有递推性质的命题。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些
小学数学中常见的数学思想方法有哪些1.归纳法：通过观察一般情况，从而推断出普遍规律。
例如，通过寻找一些数列的规律，利用归纳法可以推出数列的通项公式。
2.逆向思维：通过逆向思考问题，从结果出发逆推回起始状态。
逆向思维常用于解决逻辑推理和问题求解。
例如，将一个求和问题转化为找到使得等式成立的数。
3.分解与组合：将一个大问题分解为若干个较小的子问题，然后通过解决子问题得到解决整个问题的方法。
这种思想方法常用于解决复杂的问题，可以降低问题的难度。
4.比较与类比：通过比较或类比不同的情况或对象，找到相似之处或变化的规律，从而解决问题。
例如，可以通过类比找到两个数的最大公约数和两个数的最大公倍数之间的关系。
5.推理与证明：通过逻辑推理和数学证明解决问题。
推理与证明是数学思维中最基本和最重要的方法之一、通过推理和证明，可以建立数学定理和推理规则，从而解决更复杂的问题。
6.抽象与泛化：将问题抽象为一般性质或模式，从而简化问题，找到问题的本质。
抽象与泛化是数学思想中的核心思维方法之一，通过抽象和泛化，可以建立数学概念和定理。
7.反证法：通过反证得到正证结论。
反证法常用于证明一些结论的唯一性或否定性。
通过假设结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结果，从而得到结论的成立性。
8.猜想与验证：通过猜想和验证的方法解决问题。
猜想与验证是一种探索性的方法，通过发现规律和验证猜想的正确性，找到问题的解决方法。
9.近似与估算：通过近似和估算的方法解决问题。
近似与估算是数学思维中的实用方法之一，可以在缺乏精确计算方法时得到近似的结果。
以上是小学数学中常见的数学思想方法，请注意，数学思想方法的具体应用还受到问题性质、题型以及学生认识和思维水平的影响，因此，教学中还应根据具体情况灵活运用。
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用数学思想方法是指基于数学思维和数学方法，用于解决问题和推理的一种思考方式。
在高中数学教学中，数学思想方法的应用可以起到以下几个作用。
数学思想方法可以培养学生的逻辑思维能力。
数学是一门逻辑性很强的学科，通过学习数学思想方法，可以锻炼学生的逻辑思维能力。
在解答数学问题时，需要学生能够分析问题、归纳问题、进行推理和证明。
这样的思维方式可以使学生更加理性、严谨和逻辑，对于解决各种问题都有很大的帮助。
数学思想方法可以帮助学生理解数学概念和定理。
数学思想方法往往强调抽象、概括、归纳等思维方式，通过培养学生这些思维方式，可以帮助学生更深入地理解和掌握数学概念和定理。
在教授函数概念时，可以通过引导学生观察函数的特点、分析函数的性质，从而让学生理解函数的定义和性质。
通过这种方式，学生可以更好地掌握函数的相关知识。
数学思想方法可以培养学生的问题解决能力。
数学思想方法注重解决问题的过程和方法，通过学习数学思想方法，可以帮助学生培养解决问题的能力。
在解决几何问题时，可以引导学生先观察图形的特点，分析问题的要求，然后根据已知条件进行推理和证明，最后得出解决问题的方法和结论。
通过这样的方法，学生可以提高解决问题的能力，不仅对数学问题有用，对于其他学科的问题也能够有所帮助。
数学思想方法可以培养学生的创新思维能力。
数学思想方法往往要求学生进行创造性思维，通过学习数学思想方法，可以培养学生的创新意识和创新思维能力。
在解决一些复杂的数学问题时，可能需要学生自己发现解题思路和方法，这就要求学生具备较强的创新能力和思维能力。
通过培养学生的创新思维能力，可以提高学生解决各种问题的能力。
数学思想方法在高中数学教学中的应用具有很大的意义。
它可以培养学生的逻辑思维能力，帮助学生理解数学概念和定理，培养学生的问题解决能力，以及培养学生的创新思维能力。
通过数学思想方法的应用，可以提高高中数学教学的质量，也可以培养学生的数学素养。
更高更妙的高中数学思想与方法
更高更妙的高中数学思想与方法导言高中数学作为学生学习的一门重要学科，在培养学生数学思维、逻辑推理能力、分析解决问题的能力等方面具有重要作用。
学习数学并不仅仅关乎于应试，更关乎于培养学生的综合素质和创新精神。
在传统教学模式的基础上，我们可以引入更高更妙的数学思想和方法，使数学学习更加生动有趣、高效有用。
本文将结合具体案例，探讨一些更高更妙的高中数学思想和方法。
一、启发式问题解决启发式问题解决是指通过一定的启发式方法和技巧，对具体问题进行分析和解决。
高中数学中的一些问题可以通过启发式问题解决的方法得到更妙的解决办法。
例：已知a、b、c是三个互质的正整数，求满足$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}=\\frac{1}{c}$的所有正整数解。
传统的解法是穷举法，尝试各种可能的a、b、c的取值，然后验证等式是否成立。
但是这种方法相对低效。
更高更妙的解法是运用启发式问题解决的方法。
我们假设a=m+n，b=m-n，其中m和n是任意正整数，代入原等式进行计算，并整理得到$\\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}=\\frac{1}{c}$。
我们可以得到这样的结论：如果$\\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}$是一个整数，那么$\\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}$的倒数就是c的可能取值。
通过这种思路，我们可以更高效地解决这个问题。
二、分析解决复杂问题高中数学中，有些复杂的问题可以通过分析解决的方法得到更妙的解决办法。
分析解决问题的方法是通过对问题进行逐步分解、拆解，然后分别解决每个小问题，最后结合各个小问题的解，得到整个问题的解决办法。
例：某公司有100辆汽车，每辆车只能载5个人。
某天，公司要搬运500个人，至少需要多少辆车？常规的思路是直接除法计算，得到答案是100辆车。
但是通过进一步分析，我们可以得到更妙的解决办法。
首先，我们可以得到等式：100辆车 × 5个人/辆 = 500个人。
更高更妙的高中数学思想与方法
更高更妙的高中数学思想与方法高中数学是一门非常深奥而且富有挑战性的学科，其中蕴含着许多精妙的思想和方法。
在这篇文章中，我将介绍一些更高级、更有趣的数学思想和方法，希望能够为你带来启发和挑战。
1. 数学归纳法：这是一种证明方法，用于证明某个命题对所有自然数都成立。
它的核心思想是通过证明命题在某个基础情况下成立，并且假设它在某个自然数$n$下成立，然后证明它在$n+1$下也成立。
这种方法在证明一些数列性质、不等式和恒等式等时非常有用。
2. 极限与无穷大：高中数学中引入了极限的概念，用于描述函数在某个点的趋势和性质。
例如，我们可以用极限来定义函数的导数和不定积分。
另外，无穷大也是一个重要的概念，用于描述函数在某个点无限接近于无穷大或者无限接近于零。
这些概念在微积分和数列等领域中有广泛的应用。
3. 复数与复平面：复数是由实数和虚数组成的数，可以用$a+bi$的形式表示，其中$a$和$b$分别表示实部和虚部。
复数可以在复平面上表示为一个点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
复数的运算规则和性质与实数非常相似，但也有一些特殊的性质。
复数在解析几何、代数和物理等领域中有着重要的应用。
4. 矩阵与行列式：矩阵是由若干个数按照矩形排列而成的数组，行列式是矩阵的一个重要的数值特征。
矩阵和行列式在线性代数中起着核心的作用，被广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、向量空间的性质和变换的描述等。
5. 空间几何与立体图形：与平面几何相比，空间几何涉及到三维立体图形的性质和关系。
在空间几何中，我们可以通过向量、坐标、距离和角度等概念来描述点、线、面和体等几何对象。
空间几何在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
这些只是高中数学中一部分更高级、更妙的思想和方法，希望能够为你提供一些启示和挑战。
数学是一门需要不断探索和思考的学科，通过学习和应用这些思想和方法，你可以更深入地理解数学的美丽与奥秘。
数学思想方法的综合应用
► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________． 【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】 假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。
数学思想与方法
数学思想与方法数学是一门高度抽象和逻辑思维的学科，它通过数学思想和方法来解决现实生活中的问题。
数学思想和方法的运用不仅能够提高我们的逻辑思维能力，还可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将介绍数学思想和方法的几个方面，包括数学模型、推理与证明、问题求解及数学应用等。
一、数学模型数学模型是数学思想和方法的核心，它是将实际问题转化为数学形式的抽象描述。
通过建立数学模型，我们可以将复杂的实际问题简化为可以进行数学运算的数学问题，从而更好地理解和解决问题。
例如，在流量管道的设计中，我们可以建立流体力学模型来预测流体在管道中的流动情况，进而选择合适的管道尺寸和形状。
二、推理与证明数学思想和方法要求严谨的推理和证明过程。
在数学中，推理是通过逻辑关系和数学定义来得到新的结论，而证明是对这些推理过程进行严格的逻辑论证。
推理与证明不仅可以巩固我们对数学知识的理解，还可以培养我们的逻辑思维能力。
例如，通过证明勾股定理，我们可以深入理解直角三角形的性质，进而推广到其他几何形态中。
三、问题求解问题求解是数学思想和方法的重要应用。
在现实生活中，我们常常面临各种问题，包括数学问题和非数学问题。
数学思想和方法可以帮助我们理清问题的本质，分析问题的结构，然后采用适当的数学工具来解决问题。
例如，在时间管理中，我们可以使用优化模型来确定每项任务的最佳安排，以实现高效而有序的时间利用。
四、数学应用数学思想和方法广泛应用于各个领域。
无论是自然科学、工程技术还是社会科学，数学都发挥着重要的作用。
例如，在物理学中，数学方法被用于描述和解释物质的运动和变化规律；在经济学中，数学经济模型被用于分析市场行为和经济增长等问题。
数学应用的广泛性使得它成为现代社会不可或缺的一部分。
总之，数学思想和方法在解决实际问题、理解抽象概念和推广学科知识方面发挥着重要作用。
通过建立数学模型、进行推理与证明、进行问题求解和应用数学等方面的努力，我们可以更好地应用数学思想和方法来解决各领域的问题，提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
数学思想方法在生活中的应用
数学思想方法在生活中的应用
1、运用数学概率统计原理加快购物速度
现在的购物大多是在网上完成，买家要提出购买的条件，比如“要什么
产品，多少价格”，这时运用概率统计，令购物者根据一定的概率抽取
最适合他们的产品或者最优惠的价格，使购物者可以根据自己的需要
以更快速度和更方便的方式购买到他们想要的东西。
2、数学规律用于家居美化
许多家里装修师傅都运用数学美学原则和规律进行装修，比如运用金
砖铺面以及长宽比例等来进行美化装修。
一般而言，数学美学会探究
一种物品的运动情况，通过把一定的数学方程式分析运用于空间装饰，使家居美化变得更加合理、整齐、恰当。
3、数学思维改变餐饮消费
近年来，越来越多的餐饮企业依靠数学思维的改变为消费者提供更多
的服务和更多的选择，比如听说在一些餐饮厅里，顾客可以根据自己
的需求自由组合食物。
客户根据自己的口味，随着自己的喜好，按照
自己的实时把组合菜单拼成一份，实现快捷又有设计感的点餐方式。
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数学思想方法的应用
山东 于秀坤
数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程.
一、数学结合思想
数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题，
例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2
m .
（1）写出y 与x 的函数关系式；
（2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
图1 图2
分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式.
解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′=
21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5
（3）由2x 2=21
×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去).
所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒.
评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查.
二、建模思想
所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实
际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题
建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想
的重要体现.
例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为
了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买
商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市
累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设
顾客预计累计购物x 元（x >300）．
(1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付
的费用；
(2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理
由．
分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3
超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。
解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y甲，在乙超市所付的购物费用为y乙，
则y甲=300+(x-300)×80%=0.8x+60,y乙=200+(x-200)×90%=0.9x+20.(x>300)
(2)在同一坐标系内画出两个函数的图象(如图3),从图象可以看出当x=400时,y甲=y乙;当x<400时, y甲>y 乙;当x>400时, y甲<y乙.所以当购买大于300而小于400元的商品时,应选择乙超市;当购买400元的商品时,两个超市都可以;当购买商品大于400元时,应选择甲超市.
评注：从实际问题构建函数模型，通过借助函数图象比较在哪个超市购买商品更优惠是建模思想的应用的重要体现.
三、旋转变换思想：
在处理一些数学问题时，可以借助旋转进行图形变换，从而解决
问题，这种解题思想为旋转变换思想.如利用旋转变换解决三角形、四边
形等计算问题等.
例3如图4，P是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若
将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P与点P' 之间的
距离为_______，∠APB＝______°．
分析：因为PA=6，PB=8，PC=10，且62+82=102，所以想到勾股定理的
应用，而PA、PB、PC不在同一个三角形内，所以可由旋转变换得到
PP′=AP，BP′=CP，这样就可以用到勾股定理了。
解：由旋转变换的特征可知△BP′A≌△CPA，可以得到AP′=AP，BP′=CP，图3
又因为从△CPA旋转到△BP′A，需要旋转60°，即∠PAP′=60°，所以可以得到△AP′P为等边三角形，故PP′=AP=6.∠P′PA=60°.
在△P′PB中，因为BP′=10，BP=8，P′P=6，62+82=102，所以∠BPP′=90°，
所以∠APB=60°+90°=150°.
所以填6，150.
评注：旋转变换思想是一种重要的数学思想，当题目当中存在满足勾股数的线段，而这些线段又不在同一个三角形内时，可以通过旋转其中的一个三角形解决问题.。