江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7课二次函数与幂函数课时分层训练

1 第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第7课 二次函数与幂函数课时分层训练 A组 基础达标 (建议用时：30分钟) 一、填空题 1．(2017·南通第一次学情检测)设幂函数f(x)＝kxα的图象经过点(4,2)，则k＋α＝________. 32 [由题意可知k＝1,4a＝2，∴α＝12，∴k＋α＝1＋12＝32.]

2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为________. 【导学号：62172038】

13 [函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝m4，由函数f(x)的增减区间可知m4

＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.] 3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是________． 1或2 [由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.] 4．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________． 14 [令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－t－122＋14，结合图象(略)知，当t＝12，

即x＝14时，ymax＝14.] 5．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)．若f(x)在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a＝________，b＝________. 【导学号：62172039】 1 0 [因为函数f(x)的对称轴为x＝1，又a＞0， 所以f(x)在[2,3]上单调递增，所以{ f2＝1，f3＝4，

即 a·22－2a·2＋1＋b＝1，a·32－2a·3＋1＋b＝4，解方程得a＝1，b＝0.]

6．已知P＝2，Q＝253，R＝123，则P，Q，R的大小关系是________． P＞R＞Q [P＝2＝223，根据函数y＝x3是R上的增函数且22＞12＞25， 2

得223＞123＞253，即P＞R＞Q.] 7．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________． (－4,4) [由题意可得{ 5－a>0，Δ＝36－45－aa＋5<0， 解得－48．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________. 【导学号：62172040】 1 [∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，

∴ －a≥4－3a，－a＝1，或 －a≤4－3a，4－3a＝1，解得a＝1.] 9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是________． [2,3] [f(x)＝(x－a)2＋5－a2，根据f(x)在区间(－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f(1)≥f(a＋1)，

从而|f(x1)－f(x2)|max＝f(1)－f(a)＝a2－2a＋1， 由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3， 又a≥2，所以2≤a≤3.] 10．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 【导学号：62172041】 －2x2＋4 [∵f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，且f(x)为偶函数， 可知ab＋2a＝0，∴a＝0或b＝－2. 又f(x)的值域为(－∞，4]，所以b<0,2a2＝4. ∴f(x)＝－2x2＋4.]

二、解答题 11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围． [解] (1)由题意知 3

 －b2a＝－1，

f－1＝a－b＋1＝0，

解得 a＝1，b＝2.

所以f(x)＝x2＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立， 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

由g(x)＝x＋122＋34知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1， 即k的取值范围是(－∞，1)． 12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3， (1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值． [解] (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴x＝－32∈[－2,3]，

∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214， f(x)max＝f(3)＝15，

∴值域为－214，15.

(2)对称轴为x＝－2a－12. ①当－2a－12≤1，即a≥－12时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；

②当－2a－12＞1，即a＜－12时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．

综上可知a＝－13或－1. 4

B组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为________． (2－2，2＋2) [由题可知f(x)＝ex－1＞－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1， 若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]， 即－b2＋4b－3＞－1，即b2－4b＋2＜0， 解得2－2＜b＜2＋2. 所以实数b的取值范围为(2－2，2＋2)．] 2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

－94，－2 [由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]

上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知， 当x∈[2,3]时，

y＝x2－5x＋4∈－94，－2，

故当m∈－94，－2时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．] 3．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

[解] 幂函数f(x)经过点(2，2)， ∴2＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1， ∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N＋，∴m＝1. ∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．

由f(2－a)＞f(a－1)，得 2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a－1， 5

解得1≤a＜32. ∴a的取值范围为1，32. 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝ fx，x>0，－fx，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． [解] (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，

且－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1)2. ∴F(x)＝{ x＋12，x>0，－x＋12，x<0. ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，

即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．

又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，∴－2≤b≤0. 故b的取值范围是[－2,0]．