数学倍长中线法
倍长中线法经典例题较难
倍长中线法经典例题较难在说到倍长中线法，大家可能会觉得这是什么神秘的东西，其实并没有那么复杂。
想象一下，我们在课堂上，老师拿着一个三角形，指着那根中线，眼睛闪闪发光，像是在说：“看，这就是你们的未来！”这时的我们，或许有点懵，心里想着：“我能干嘛呢？”可这玩意儿就像一块儿美味的蛋糕，切开来让大家分享，越吃越觉得香。
倍长中线法的核心就像是我们生活中的很多道理，简单明了。
想象一个三角形，边边角角都各有千秋，老师告诉我们，长的那条中线就像是三角形的心脏，连接着两个顶点，恰到好处。
这时候，你可能会想：“这和我有什么关系？”可实际上，这就是几何的魅力所在！你看，学习数学就像是打怪升级，每个定理、每条公式都是你在游戏中的技能点，越多越好。
说到倍长中线，得先搞清楚中线是啥。
简单来说，三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
它像个桥，把三角形的两边连成一体，真是个绝佳的搭档。
老师总爱用“中线”来解释一些深奥的道理，仿佛在说：“只要你找到这个点，生活就会变得简单。
”可这条中线可不止是个连接的角色，它还能让我们看见美丽的几何图形之舞，优雅而又有趣。
再说说倍长的意思。
倍长中线法的“倍长”其实就是中线的长度变成了原来的两倍。
这时候，想象一下我们平常买的衣服，如果腰围从30寸变成了60寸，那可就得赶紧去找裁缝了。
这种变化让我们不仅能观察到三角形的变化，更能思考背后隐藏的数学美感。
倍长中线法就像是一种魔法，把简单的三角形变成了充满可能的世界。
有人会问，倍长中线法到底有什么用呢？这就像问“为什么要吃水果”，答案是让我们更健康。
用倍长中线法，我们可以求得三角形的周长、面积，还能算出各种角度。
学会这招，就像拥有了打开数学大门的钥匙。
数学不仅仅是书本上的公式，更是我们生活中的每一个细节。
在解题时，倍长中线法也特别好用。
拿个简单的例子来说，给你个三角形，让你找出它的面积。
用倍长中线法，你只需简单几步，仿佛在解密一样，轻松搞定，心里那种成就感，简直就像是打通了一个难关，爽得不行。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法例 1：△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一， 添加辅助线．在利用中线解决几何问题时， 常常采用 “倍长中线法 ”所谓倍长中线法， 就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形， 从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某， 使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成 【方法精讲 】常用辅助线添加方法——倍长中线SAS 全等三角形模型的构造。
AA△ ABC 中 AD 是 BC 边中线BDC方式 1： 延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BEB DCE方式 2：间接倍长AAF 作 CF ⊥ AD 于 F ， MDB D C作 BE ⊥ AD 的延长线于 连接 BEE BC 延长 MD 到 N ， 使 DN=M ，D 连接 CNEN经典例题讲解：例2：已知在△ABC中，AB=AC，D 在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEADBFCE例3：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线， E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFAFEBD C例4：已知：如图，在ABC 中，AB 交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC AC ，D、E 在BC上，且DE=EC，过D作DF // BAAFB D E C例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEABCE D自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E 为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ADBE CF3、如图，AD为ABC 的中线，DE平分BDA 交AB于E，DF平分ADC 交AC于F. 求证：BE CF EFAEFB CD第14 题图4、已知：如图，ABC中，C=90 ，CM AB于M，AT 平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.A MD BETCWelcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
数学倍长中线法
倍长中线法1.如图, 在正方形ABCD中, E为AB边的中点, G、F分别为AD, BC边上的点, 若AG=1, BF=2, ∠GEF=90°, 求GF的长2.如图, CB.CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线, 且AC=AB. 求证: ①CE=2CD. ②CB平分∠DCE.3.如图已知△ABC, AD是BC边上的中线, 分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 求证EF＝2AD.4.如图, 在△ABC中, D是BC边的中点, E是AD上一点, BE＝AC, BE 的延长线交AC于点F, 求证: ∠AEF=∠EAF5..如图, 在△ABC中, AD交BC于点D, 点E是BC中点, EF∥AD交CA的延长线于点F, 交EF于点G, 若BG=CF, 求证: AD为△ABC的角平分线.6..如图, △ABC中, BD=DC=AC,E是DC的中点, 求证, AD平分∠BAE.7.: 已知在△ABC中, AB=AC, D在AB上, E在AC的延长线上, DE交BC于F, 且DF=EF, 求证: BD=CEA9.在四边形ABCD 中, AB ∥DC, E 为BC 边的中点, ∠BAE=∠EAF, AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系, 并证明你的结论10.已知: 如图, XXXABC 中, XXXC=90XXX, CMXXXAB 于M, AT 平分XXXBAC 交CM 于D, 交BC 于T, 过D 作DE//AB 交BC 于E, 求证: CT=BE.DABCMTEGDE12.13.四边形ABCD是矩形, 将沿着直线AE翻折, 点A落在点F处, 直线AF与直线CD交于点G,如图1, 若E为BC的中点, 请探究线段AB、AG、DG之间的关系FGB.。
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )＜AB＜12 ＜AB＜12 ＜AB＜19 ＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④ 答案：A解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。
由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 答案：A解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。
④不正确。
4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）答案：C解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C5.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE 个个个个答案：D解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。
初中数学倍长中线法,经典题型解析
初中数学倍长中线法,经典题型解析《初中数学倍长中线法》小朋友们，今天我来给大家讲讲初中数学里一个很有趣的方法，叫倍长中线法。
比如说，有一个三角形，中间有条中线把三角形分成了两半。
那如果我们把这条中线延长一倍，会发生什么神奇的事情呢？就像有一次，小明在做数学题的时候，遇到了一个三角形，怎么都解不出来。
后来老师告诉他可以用倍长中线法，他一试，哇，一下子就找到答案啦！其实啊，倍长中线法就像是给我们打开了一扇神奇的门，能让我们更容易地解决三角形的问题。
只要我们认真学，也能像小明一样变得很厉害哟！小朋友们，你们学会了吗？再给大家讲一个例子。
小花也遇到了一个三角形的难题，怎么都想不明白。
后来她想到了倍长中线法，把中线延长一倍后，她突然就发现了其中的秘密，很快就把题目做出来啦。
所以呀，这个倍长中线法真的很有用，大家要好好记住哦！《初中数学倍长中线法》小朋友们，今天咱们来认识一个初中数学里的好方法，叫倍长中线法。
举个例子，假如有个三角形，就像一个小蛋糕被切成了两半，中间切的那一刀就是中线。
那如果我们把这中线变得更长，两倍那么长，会怎么样呢？有个叫小军的同学，数学题总是做不好。
有一次碰到一个三角形的题目，怎么都解不出来，急得都快哭了。
这时候老师教了他倍长中线法，小军一下子就明白了，很快就把答案算出来了，高兴得又蹦又跳。
再比如说，小美的数学也不太好。
有一回考试，就有一道三角形的题，她不会。
后来老师讲了倍长中线法，小美记住了，下次再遇到类似的题，一下子就做出来啦。
所以呀，倍长中线法能帮我们解决很多三角形的难题，小朋友们以后上了初中可要好好学哟！《经典题型解析》小朋友们，今天来给大家讲讲数学里的经典题型。
比如说，有这样一道题：小明有 5 个苹果，小红的苹果比小明多3 个，那小红有几个苹果呀？这是不是很简单？其实经典题型就是这样，看着不难，但能让我们学会很多知识。
还有一次，老师出了一道题：树上有 10 只鸟，飞走了 3 只，又飞来了 2 只，现在树上有几只鸟？小朋友们都积极思考，很快就算出了答案。
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题中线是三角形中的重要线段之一。
为了解决几何问题，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线法的过程是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。
倍长中线最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
常用的辅助线添加方法有两种：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条边，然后连接这两个点构造全等三角形；二是通过作垂线和延长线来间接倍长中线。
例1：在△ABC中，已知AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：在△ABC中，已知AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证BD=CE。
例3：在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证AF=EF。
例4：在△ABC中，已知AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC。
过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC。
求证AE平分∠BAC。
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证∠C=∠BAE。
自检自测：1、在△ABC中，已知BD=DC=AC，E是DC的中点，求证AD平分∠BAE。
2、在四边形ABCD中，已知AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
3、在△ABC中，已知AD为中线，DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F。
求证BE+CF>EF。
4、在直角△ABC中，已知CM⊥XXX于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，XXX于E。
求证CT=BE。
倍长中线法经典例题
倍长中线法经典例题倍长中线法是一种常见的数学解题方法，运用它可以轻松解决很多简单的数学问题。
这种方法也被称作双倍长中线法，下面我们就这一方法来讲解一下，以帮助大家迅速掌握该方法，并应用于实际问题中。
倍长中线法的具体操作步骤如下：1.需要求解的数学问题转化为倍长的等式（如：x＝a+b+c），其中a、b、c均为常数；2.出倍长等式对应的图形，其中x表示一条中线，长度为2a＋2b＋2c；3. 从图形上画出相等的三角形，分别用1、2、3标记，其中：三角形1的边长等于a＋2b＋2c，三角形2的边长等于2a＋b＋2c，三角形3的边长等于2a＋2b＋c；4.三角形1、2、3平移至倍长等式中，依次放置左边，中间，右边，即倍长等式变为：a+2b+2c=1，2a+b+2c=2，2a+2b+c=3；5.三角形1、2、3进行运算，得出结果，即a=1，b=1，c=1。
通过以上操作，我们可以得出结果，即：x＝a+b+c＝1+1+1＝3。
以上就是倍长中线法的具体操作步骤，下面来看一个实际的例子，来详细说明倍长中线法的用法。
例题一：已知a＝2，求x的值解：将原等式x＝a+b+c转化为倍长等式：2a+2b+2c＝x，其中a ＝2，即2×2＋2b＋2c＝x，画出对应的图形，用1、2、3表示三角形，其边长分别为4＋2b＋2c，4＋b＋2c，4＋2b＋c，并将三角形移动至倍长等式中，即4＋2b＋2c＝1，4＋b＋2c＝2，4＋2b＋c＝3，再依次运算，可得到：b＝1，c＝1，从而可得出：x＝2a＋2b＋2c＝2＋2＋2＝6。
以上就是倍长中线法的简单介绍和经典例题，大家可以结合实际问题来练习，以加深对该方法的理解，掌握运用倍长中线法轻松解决各类数学问题的能力。
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倍长中线法
1. 如图，在正方形 ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD, BC边上的点，若AG=1, BF=2,
/ GEF=90，求 GF 的长
2. 如图，CB、CD分别是钝角 △ AEC和锐角△ ABC的中线，且 AC=AB.求证：①CE=2CD②CB平 分/
DCE.
3. 如图已知△ ABC, AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三 角形，
求证EF= 2AD.
C
4. 如图，在 △ ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE= AC, BE的延长线交 AC于点F, 求
证：/ AEF=Z EAF
5..如图，在 △ ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF// AD交CA的延长线于点 F,交EF 于点G,
若BG=CF,求证：AD ABC的角平分线.
6..如图，△ ABC中，BD=DC=AC,E是 DC 的中点，求证， AD平分/ BAE.
7.:已知在△ ABC中，AB=AC, D在AB 上, E在AC的延长线上,
BD=CE
DE交BC于F,A且DF=EF,求证:
A
D
F
Sfiffl：如图，在中，AB^AC, D、E在EC 上，且 DE=EC,过D 作 DF1/BA交
AE 于点F，DW|
求证！ AE平分乙嘶
9.
在四边形 ABCD中，AB// DC, E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交于点 F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
10.
已知：如图， ABC 中，C=90，CMAB 于 M， AT 平分 BAC 交CM于D,交BC于T,过D作DE
第1题图
D
B
C
11. "眈中，分别以AB、AC芮直角边向外做等膜直角三弟三角形MBD、^ACS, F
0C中舄FA朗延畏线交DE于点G,求证匕DE=2AF,氏口丄DE
12.
12如图空 3C中，&二勿：D为斜边EC的中点，E, F分别九AB, AC ±的貳 且
药丄若BE* CF-4
（
试求ET的长，
13.四边形ABCD是矩形，将 VABE沿着直线AE翻折，点A落在点F处，直线AF与直线CD交
于点G,
如图1,若E为BC的中点，请探究线段 AB、AG、DG之间的关系
15如图'是佔亡的中线I ^=k-AC,点卫是用亡延长线上一点，且厶&戸=如耳
即农珈延长銭于点F.採究丿E.卫尸的敌量关系.
17如图，等搀直角 3C与等睡直角ABDE9 P为CE中点连接刊、PD 探究阳、肋的关系.
]8 如图，AAEC 与 LBDE 中，ZCXB= Z.BDE =90°, AC^ k-ABf DE = k -DB 9 P 为 CE 中
点，连接血、PD.
探究刃1、卩D的数董关系.
A
1
19•如图，两个正方^ABDE^ACGF,点卩为的中点，连接刊交EF于点0 探究曲与商的关系.
20.⑴如图1,两个矩形ABDE^ ACGF相似，AE^k-AB,点F为眈的中点，连接血交EF
于点◎探究AP^EF的关系.
(2劝图2,若将'俩个矩形肋D陋加®相似”改为“两几平行四辺形ABDE^ ACGF^ 似匕 且Z^ = a.
探究处与防的关系.
« 1
B
图
2
2L已知：如图，正牙形廊J和正方形朋点M是线段DF的中点 试说明线段砲与恥的关系.
22.如图，若将上题中正芳形阳前绕点8顺时针旋转a度数（乂《90。），其他条件不变，上 述
结论还正确吗？若正确，请你证朋；若不正确，请说明理由.
23•如图1,正右形肋UD中，对角线力C、0Q交于点
操作：将三第板中的％ °肃的顶点与点°重合，使这个角落注倔C的內部，两边分别与正 方形
朋QD的边.肋、交于只 罗当几 左的位置发生变化时，诘你通过测量并回答， 鉛纽加\ FE、聽
三条銭段中，哪一条线段是中始终最长
1
24. 在23题条件下，以人〃、血、EC这三条线段能否生成以FE为斜边的直甬三角形? 若能.
谣你证明；若不能，谣你说明理由.
25. 探究如图2, AXPC, ZB.90-,点0是斜线71C的中為 当90。角的顶点与点。重合, 便这个角在
仙C的內部绕点O转动时，⑵中的结论是否仍然成立？请你证日月
26. (1)如图1,操作：把正方形CGM的对角线皿啟在正方^ABCD的边比的延长线上( CG>BC}
取鮭段应的中占P
探究 线段pQ' PF的关系，并加以证明.
(2曲图2将正椰C関F绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.探究：线段"、卅的 关系，并加以
证明.
图
1
B
图
2 &
刃•已知△ABC, AQ杲BC辺上的屮线，分别以AB辺、At辺沖直角辺各向外作寻腰宜角 三角
形，如图5・2,求证EF=2AD.
图5- 2
28•如图 7,在4ABC 中，ZBAC=90° , AB = AC. M 是 AC 边的中点。ADIBM^BC 于 D,交 BM
于 E。求证：ZAMB = ZDMC.
29•已知：如图，D为线段AB的中点，在AB ±任取一点C （不与点A, B, D重合），分别 以
AC, BC为斜边在AB同测作等曉RtZkACEZ等腫RtABCF, ZAEJZCFBTO。，连 接 DE, DF,
EF・
求证：ADEF汁弄彌直伯三伯彫.
30.在四边形ABCD中.AB〃DC\ E为BC边的中点、，NBAE=2EAF, AF与DC的延檢线 相交于点
F.试探究线段Ab与AF、CF之「可的数垦关系，并证明你的结I它。