场的概念—散度
散度
定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。
给定一个三维空间中的向量场以及一个简单有向曲面，则向量场通过曲面的通量就是曲面每一点上的场向量在曲面法向方向上的分量的积分:其中是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。
如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。
通量描述了一定区域中向量场的方向趋势，散度则是这个性质的一种局部描述[1]:7-8。
某一点的散度是指包含这一点的某一个封闭曲面的通量除以封闭曲面围起来的微小体元的体积得到的比值在趋向于0时的极限：[2]:4如果用Nabla算子表示的话，向量场的散度记作：[2]:5从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度[1]:7-8。
物理上，散度的意义是场的有源性。
某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。
这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）[1]:8。
举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。
散度等于零的区域称为无源场或管形场。
流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量。
在不同的坐标系下，向量场的散度有不同的表达方式。
直角坐标系在三维直角坐标系Oxyz中，设向量场的表示为[2]:8：，其中的分别是x轴、y轴、z轴方向上的单位向量，场的分量P、Q、R 具有一阶连续偏导数，那么向量场A的散度就是：圆柱坐标系圆柱坐标系中，假设物体的位置为，定义其径向单位矢量、横向单位矢量和纵向单位矢量为，那么向量场可以表示成：向量场A的散度就是[4][5]:73：球坐标系球坐标系中，假设物体的位置用球坐标表示为，定义它的基矢：，则向量场A可以表示成：向量场A的散度就是[6][5]:73：以下的性质都可以从常见的求导法则推出。
变化率、散度和旋度——定义及公式
变化率、散度和旋度——定义及公式概述：变化率、散度和旋度是矢量计算中常用的概念，用于描述矢量场在空间中的变化情况。
本文将介绍变化率、散度和旋度的定义及其相关的公式。
1.变化率：变化率用于描述矢量场每单位距离内的变化情况。
对于一个二维矢量场F(x。
y)，其变化率表示为：变化率= (ΔF/Δs)其中，ΔF表示单位距离内的矢量场变化量，Δs表示单位长度。
对于三维矢量场F(x。
y。
z)，其变化率可以表示为：变化率= (ΔF/Δs)2.散度：散度用于描述矢量场在某点的流出或汇聚程度。
对于一个二维矢量场F(x。
y)，其散度表示为：散度= (∂Fx/∂x) + (∂Fy/∂y)其中，∂Fx/∂x表示矢量场在x方向上的变化率，∂Fy/∂y表示矢量场在y方向上的变化率。
对于三维矢量场F(x。
y。
z)，其散度可以表示为：散度= (∂Fx/∂x) + (∂Fy/∂y) + (∂Fz/∂z)其中，∂Fz/∂z表示矢量场在z方向上的变化率。
3.旋度：旋度用于描述矢量场在某点的旋转情况。
对于一个二维矢量场F(x。
y)，其旋度表示为：旋度= (∂Fy/∂x) - (∂Fx/∂y)其中，∂Fx/∂y表示矢量场在y方向上的变化率，∂Fy/∂x表示矢量场在x方向上的变化率。
对于三维矢量场F(x。
y。
z)，其旋度可以表示为：旋度= (∂Fz/∂y) - (∂Fy/∂z) + (∂Fx/∂z) - (∂Fz/∂x) + (∂Fy/∂x) - (∂Fx/∂y)综上所述，变化率、散度和旋度是描述矢量场在空间中变化情况的重要工具。
了解它们的定义及相关公式可以帮助我们更深入地理解矢量场的行为和特性。
旋度散度梯度计算公式
旋度散度梯度计算公式在物理学和工程学中，旋度、散度和梯度是描述场的重要概念。
它们可以用于描述矢量场的变化情况，从而帮助我们更好地理解自然界中的各种现象。
本文将介绍旋度、散度和梯度的计算公式。
旋度旋度是矢量场的一个性质，用于描述一个场在某点旋转的强度和方向。
一般来说，旋度表示矢量场的局部旋转性质。
对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其旋度计算公式如下：$abla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} $其中$abla \times \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} 的旋度， \vec{i} 、 \vec{j} 和 \vec{k}分别表示x、y和z$方向的单位矢量。
散度散度描述了矢量场的流出或流入程度，它表示一个矢量场在某点的流出量与该点周围的体积之比。
对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其散度计算公式如下：$abla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} $其中$abla \cdot \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} $的散度。
梯度梯度描述了标量场在某点的变化率和方向，它表示一个标量场在某点的最大变化率和该点的方向。
对于一个标量场$ \phi $，其梯度计算公式如下：$abla \phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} $其中$abla \phi 表示标量场 \phi $的梯度。
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
场的散度和旋度的基本概念
场的散度和旋度的基本概念在物理学中，一个场是指在空间上的某些点上具有特定物理量的函数。
场的散度和旋度是描述场的性质和行为的两个重要概念。
场的散度场的散度描述了场在某一点上的“发散程度”，即场的流量从该点流出的程度。
在数学上，场的散度是一个向量场的散度，它等于该向量场在某一点上的所有方向上的“出入量”之和。
具体而言，如果在某一点上，向量场的流量向外流出，那么该点的散度为正值；如果向量场的流量向内汇聚，那么该点的散度为负值；如果向量场在该点上没有流量变化，那么该点的散度为零。
通常，我们用数学公式表示场的散度。
对于一个向量场F，它的散度“div F”可以用下面这个公式表示：div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中Fx，Fy和Fz分别代表向量场F在x、y和z轴方向上的分量，而∂/∂x，∂/∂y和∂/∂z则表示对x、y和z的偏导数。
场的旋度场的旋度则描述了场在某一点上的“回旋程度”，即场的流线所绕成的环量。
在数学上，场的旋度是一个向量场的旋度，它等于该向量场在某一点上叉乘后的旋转角速度。
具体而言，如果一个向量场沿着流线的方向有一个旋转的趋势，那么该点的旋度为正值；如果一个向量场沿着流线的方向有一个反向的旋转趋势，那么该点的旋度为负值；如果一个向量场沿着任何方向都没有旋转趋势，那么该点的旋度为零。
同样地，我们也可以用数学公式表示场的旋度。
对于一个向量场F，它的旋度“rot F”可以用下面这个公式表示：rot F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k 其中i、j和k分别代表x、y和z轴方向上的单位向量。
场的散度和旋度的应用场的散度和旋度在物理学中有广泛应用。
例如，它们可以用来描述电场、磁场和流体力学中的速度场和压力场等。
在电学中，电场的散度和旋度可以帮助我们理解电场的分布和电荷的行为。
如果电场的散度在某一点上为正值，那么该点附近将有正电荷，否则将有负电荷。
散度、旋度、梯度释义
散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。
1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。
如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。
数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。
散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。
2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。
如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。
数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。
旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。
3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。
如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。
数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。
梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。
散度
散度是描述矢量场的，理解散度之前必须弄明白一个问题，矢量线是谁发出的？也就说，如果我们面前有一片矢量场，那么矢量场中的矢量线是从何处来。
一步一步来，先说通量。
在一个有向曲面S 中取一个面积元ds ，规定面积元的方向就是其法向单位矢量→n 的方向，假设有一片矢量→V 穿过面积元ds ，就类似于水流倾斜着穿过洞窟，那么总的流量就是水流的长度乘以洞窟大小，反应在矢量计算上，就是→V 与→n 的点乘再乘以ds ，即ds n V ⋅⋅→→，将其写为→→⋅ds V ，→ds 大小为ds ，方向为法线方向，这样便计算出了通过一个面积元ds 的流量，给它起个名叫通量，显然通量是个标量，只有大小，没有方向。
在整个有向曲面S 上，通量就是每一个面积元上通量的积分，即为 ⎰→→⋅=s ds V Q那么在一个闭合曲面上，计算公式为⎰→→⋅=s ds V Q 由于在闭合曲面上，通量有进有出，因此此时⎰→→⋅=s ds V Q 表示为净通量。
显然，矢量线不会是凭空产生的，不是无源的，因此，对一个矢量场作一个闭合曲面，如果净通量大于零或者小于零，就说明，闭合曲面内有场源分布，如果等于零，就说明无源或者正负源相抵消。
最简单的例子，想象正负电荷的场景。
但是通量只是描述了是否有场源的存在，并未确定场源的位置，如何确定场源的位置？从正电荷得到启发，如果闭合曲面仅仅包围了正电荷，那么很明显场源就是正电荷。
因此，将闭合曲面无限缩小，小到单位体积内只存在单一电荷不存在正负电荷相抵消的情况，此时我们就可以确定场源的分布。
对于无线小体积，如果不存在场源，那么穿入矢量就等于穿出矢量，如果有场源分布，那么矢量要么只有穿入要么只有穿出。
用散度来描述，散度公式为Vds A A div s V ∆⋅=⎰→→→∆→0lim 因此，散度是个标量，表示单位体积内净流通量，能够衡量通量源的强度。
如果在一个矢量场中，每一点的散度都确定，就可以确定哪里有场源，强度如何。
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
求 A
例
ˆ （ A xy 2 x -10 x,y 10）
A
Ax Ay Az y2 x y z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
对于静电场 E 而言： E r 正比于 r 点处 E 的通量源密度， 即 r 点处的电荷密度。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
7.有源(散)场和无源(散)场：
• 有源场（有散场）：
散度值不为零的矢量场，存在通量源，
矢量线有端点。 •无源场(无散场)：
正交曲线坐标系中：
( Fu2 h1h3 ) ( Fu3 h1h2 ) 1 Fu1 h 2 h 3 F h1h2 h3 u1 u2 u3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
6.散度的物理意义： Ar 正比于 r 点处 A 的通量源密度
Fx Fy Fz 直角坐标系中： F x y z
柱坐标系中： 球坐标系中：
1 ( Fr r ) 1 F Fz F r r r z
1 ( r 2 Fr ) 1 ( F sin ) 1 F F 2 r r r sin r sin
n2
F
n1
V2
F dS F dS F dS F dS F dS
S S1 S2 V1 V2
x
o y
对区域V=V1+V2的外闭合表面的 高斯积分等于对 V1 、 V2 的外闭 合表面高斯积分的代数和.
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
场的概念—散度
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 2.表达式：divF ( r ) lim 3.散度的计算： 在直角坐标系中，如图作一小长 方体，小长方体中心 r0 （x0 ,y0 ,z0）。
S
F ( r ) dS ( r ) V
V 0
第1章 矢量分析
场的概念—散度
在 x方向上：计算穿过 S1和 S 2面的通量为
S1
F dS Fx ( x0 -
x x ˆ yz ( x ˆ ) Fx ( x0 - , y0 , z0 )yz , y 0 , z0 ) x 2 2
x x ˆ yzx ˆ Fx ( x0 + , y0 , z0 )yz , y0 , z0 ) x 2 2
足够小的体积元ΔV有：
V
F dS F V
Vi
S
F d s FdV
V
z
（V是S面所围的体积）
x
作用：
S o
y
V j
V
1、通量等于散度的体积分。
2、面积分与体积分的转换公式。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
5.常用坐标系中，散度的计算公式
z
S3
S2
S6
S2
F dS Fx ( x0 +
S1 S4
x Fx ( x) x F ( x , y , z ) F ( x , y , z ) (- ) 因为： x 0 2 0 0 x 0 0 0 x 2
S5
y
则：
S1
F dS - Fx ( x0 , y0 , z0 )yz
Fx ( x ) xyz x 2
Fx ( x ) xyz x 2
x
同理：S F dS Fx ( x0 , y0 , z0 )yz
2
Fx 在 x 方向上的总通量： S1 F dS S2 F dS x （x ,y ,z ）xyz 0 0 0
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
同理：在 y方向上,穿过 S3和 S 4 面的总通量：
S3
F dS F dS
S4
Fy y
xyz
z
S3
S2
S6
S1 S4
在 z 方向上,穿过 S5和 S 6面的总通量：
Fz S5 F dS S6 F dS z A xy 2 x -10 x,y 10） 求 A
Ax Ay Az A y 2 +x 2 x y z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
例
E
q 4 0 r
3
r，求 E
z
r
o x
y
z
S3
S2
S6
S1 S4
S5
x
y
矢量场 F 表示为：
ˆ Fy y ˆ Fz z ˆ F Fx x
S
F dS F dS + F dS + F dS + F dS + F dS + F dS
S1 S2 S3 S4 S5 S6
电磁场与电磁波
S
F dS
V
Fx Fy Fz x y z
通常散度表示为：
divF F
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第1章 矢量分析
场的概念—散度
4.高斯公式（散度定理）：
S
F dS F dV
V
物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
S1
S2
V1
z
S12
整个封闭曲面的总通量：
S5
y
x
Fx Fy Fz xyz S F dS y z x （x0 ,y0 ,z0 ）
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
divF lim
V 0