2019-2020学年高中数学模块综合测试卷 人教版A 必修二.doc
2019高中数学必修二(人教A版)模块综合测试 含解析
人教版高中数学必修精品教学资料模块综合试题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．下列命题正确的是( )A ．四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一个平面,第三条直线与其相交,由公理1可知,这三条直线共面,故B 正确．答案：B2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行,则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在,且－a －2a ＝－23,解得a ＝6. 答案：B3．圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )A ．3πa 2B ．4πa 2C ．5πa 2D ．6πa 2解析：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图所示,∠ASO ＝30°,在Rt △SA ′O ′中,r SA ′＝sin30°,∴SA ′＝2r.在Rt △SAO 中,2rSA ＝sin30°, ∴SA ＝4r.∴SA －SA ′＝AA ′, 即4r －2r ＝2a,r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2. 答案：C4．若直线l 过点A(3,4),且点B(－3,2)到直线l 的距离最远,则直线l 的方程为( )A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当l⊥AB时,符合要求．∵k AB＝4－23＋3＝13,∴l的斜率为－3,∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3),即3x＋y－13＝0.答案：D5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：直线方程为y＝3x,圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4,圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l＝222－12＝2 3.答案：D6．如图,在三棱锥S－ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能题图答图解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵SG1G1M＝SG2G2N，∴G1G2∥MN.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.故G1G2∥BC.答案：B7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则() A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知SS1＝⎝⎛⎭⎪⎫2121＝14S；SS2＝212＝12S；⎝⎛⎭⎪⎫SS33＝213＝134S，故S1<S2<S3.答案：A8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足()A．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1. ∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3 解析：取AC 的中点O.由O 到各顶点距离相等，知O 是球心． 设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52.故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．解析：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝014．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.答案：4815．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a，2该球的表面积为3πa2.答案：3πa216．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，＝4. 则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×205答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．解：设l：3x＋4y＋m＝0.当y＝0时，x＝－m；3当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C(－D 2，－E2)．∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ， 又平面BDE ，平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.同理，可证BC ⊥平面PAB ，平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB·AD ＝2 3.所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM`FM ＝233.由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝2333＝＝23.21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.(2)设SB 的中点为M ，当CD AB 为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.又∵SD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴SD ⊥AB.又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.又∵平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.(2)当CD AB ＝2时，能使DM ⊥MC.证明：连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝2a，∠BDA＝45°，∴SD＝BD.又∵M为SB的中点，∴DM⊥SB.①设CD的中点为P，连接BP，∴DP∥AB，且DP＝AB.故四边形ABPD是平行四边形．∴BP∥AD.故BP⊥CD.因而BD＝BC.又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.又∵平面SBD，∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC，又∵平面SBC，∴DM⊥MC.22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)∵点M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上，∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N到该直线的距离d＝3，2则弦长为2r2－d2＝33.。
2019-2020学年高中数学 本册综合素质检测 新人教A版必修2.doc
2019-2020学年高中数学 本册综合素质检测 新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2012·湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .8π3 B ．3π C .10π3D ．6π[命题意图] 本题考察空间几何体的三视图． [答案] B[解析] 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B .2．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2B .223 C .423D .433[答案] D[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝323π，∴R＝2.又∵3a ＝2R ＝4，∴a＝433.3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0[答案] D[解析] 在所求直线上任取一点P(x ，y)，则点P 关于直线x ＝1的对称点为P′(2－x ，y)，且P′在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，整理得x ＋2y －3＝0，故选D .4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A(12，12，12)，B(12，12，0)，C(13，13，13)，则( )A ．OA⊥AB B ．AB⊥AC C ．AC⊥BCD ．OB⊥OC[答案] C[解析] |AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.5．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0[答案] A[解析] 设圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C(1,0)，则AB⊥CP， ∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴y＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选A .6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m∥α，m∥β，则α∥βD ．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[答案] D[解析] A 中还可能m ，n 相交或异面，所以A 不正确；B 、C 中还可能α，β相交，所以B 、C 不正确．很明显D 正确．7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 因为MN⊥DC，MN⊥MC，所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM. 因为MN∥AD 1，所以AD 1⊥DM.8．(2012－2013·山东济宁模拟)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24) D ．(－18，18)[答案] C[解析] 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由于l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点，则需满足圆心到直线的距离d ＝|3k|k 2＋1＜1，解得－24＜k ＜24. 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] 过A 作AE⊥BC 于点E ，则易知AE⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求， 又tan ∠ADE＝AEDE＝3，故∠ADE＝60°.故选C .10．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A .85B .25C .285D .125[答案] D[解析] 因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行， 所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0， 即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋－2＝125.故选D . 11．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －4)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝1[答案] A[解析] 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.12．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则－2＋－2的最小值为( )A .26＋2B .26－2C ．5D ．6[答案] B[解析] 如图，设A(1,1)，－2＋－2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．顺次连结A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．[答案]184π3[解析] 所得旋转体的上底、下底分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱．V 台＝13(9π＋9π×25π＋25π)×4＝196π3，V 柱＝4π，则V ＝V 台－V 柱＝184π3.14．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为________．[答案] 4x －y －2＝0或x ＝1[解析] x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y－2＝4(x －1)， 即4x －y －2＝0.15．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝________，E ＝________.[答案] 6 －2[解析] 由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.16．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[答案] x ＋y －3＝0[解析] 设圆心(a,0)(a ＞0)， ∴(|a －1|2)2＋(2)2＝|a －1|2.∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x ＋y －3＝0.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2011·课标全国高考，文18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，AB ＝2AD ，PD⊥底面ABCD.(1)证明PA⊥BD；(2)设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高． [解析] (1)证明：因为∠DAB＝60°，AB ＝2AD ， 由余弦定理得BD ＝3AD. 从而BD 2＋AD 2＝AB 2， 故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD ，可得BD⊥PD. 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知PD＝1，则BD＝3，PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝32，即棱锥D－PBC的高为32.18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解析] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM|＝－2＋＋2＝2 2.所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.19．(本小题满分12分)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，求圆的方程．[解析] 方法一：设圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝10.因为圆心在直线y ＝2x 上，所以b ＝2a. ①解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－2＋－2＝10，得2x 2－2(a ＋b)x ＋a 2＋b 2－10＝0， 所以x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1·x 2＝a 2＋b 2－102.由弦长公式得2·＋2－2＋b 2－＝42，化简得(a －b)2＝4. ②解①②组成的方程组，得a ＝2，b ＝4， 或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10， 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝10，则圆心为(a ，b)，半径r ＝10，圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b|2.由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d 2＋(422)2＝r 2，即－22＋8＝10，所以(a －b)2＝4.又因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4， 或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10， 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.20．(本小题满分12分)(2012·山东卷)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.[解析](1)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE＝DE.(2)取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC ，故DM∥平面BEC.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.(1)若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程；(2)直线l 2的方程是x ＝52，证明：直线l 1上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 3和l 4，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等．[解析] (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意； 当直线l 1的斜率存在时， 设直线l 1的方程为y ＝k(x －2)， 即kx －y －2k ＝0， 由条件得|4k －5－2k|k 2＋1＝2， 解得k ＝2120，所以直线l 1的方程为x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0.(2)由题意知，直线l 3，l 4的斜率存在，设直线l 3的斜率为k ，则直线l 4的斜率为－1k ，设点P 坐标为(52，n)，互相垂直的直线l 3，l 4的方程分别为：y －n ＝k(x －52)，y －n ＝－1k (x －52)， 即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0，根据直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心C 1到直线l 3与圆心C 2到直线l 4的距离相等．故有⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k2＋1，化简得(52－n)k ＝212－n 或(12＋n)k ＝－n －12＝－(12＋n)． 关于k 的方程有无穷多解，有12＋n ＝0，即n ＝－12， 即直线l 2上满足条件的点P 是存在的，坐标是(52，－12)． 22．(本小题满分12分)(2013·全国高考卷Ⅱ文科18题)如图已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥面A 1CD 1；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．[解析] (1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD，由已知AC ＝CB ，D 为AB 中点，所以，CD⊥AB，又AA 1∩AB＝A ，于是CD⊥平面ABB 1A 1，由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得，∠ACB＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.。
2019-2020高中数学必修二综合测试卷及答案解析
1 2019-2020数学必修二综合检测试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为 ( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在 2、下列命题正确的是( ) A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 3、已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45 D.45 4、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)： ①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、已知圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个 ( )A ．4B ．3C ．2D ．16、已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为 ( ) A ．(0,1，－1) B ．(0，－1,6) C ．(0,1，－6) D ．(0,1,6)7、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．238、圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A ．3πa 2 B ．4πa 2 C ．5πa 2 D ．6πa 29、点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )班级姓名考号密封线内不要答题。
2019_2020学年高中数学模块质量检测(含解析)新人教A版必修2
模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C2．已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，故选A . 答案：A3．点P(2，m)到直线l ：5x －12y ＋6＝0的距离为4，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：利用点到直线的距离公式． 答案：D4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3两圆的圆心距离为－2－22＋0－12＝17，则R －r<17<R ＋r ，所以两圆相交，选B .答案：B5．在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)： ①m⊥α，n∥α⇒m⊥n ②m∥n，n∥α⇒m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β ④m∩n＝A ，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β.其中正确的命题个数有( )A ．1个B ．2个C．3个D．4个解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.答案：C6．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C.答案：C7．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )A．1或－1 B．2或－2C．1 D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a＋0＋1|1＋a2＋1＝1，即|a＋2|＝a＋12＋1，平方整理得a＝－1，故选D.答案：D8．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形解析：∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形．答案：D9．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D .答案：D10．在四面体A －BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A ， 因为AB⊥平面ACD ，所以AB⊥CD. 因为AH⊥平面BCD ， 所以AH⊥CD，AB∩AH＝A ， 所以CD⊥平面ABH ，所以CD⊥BH. 同理可证CH⊥BD，DH⊥BC， 则H 是△BCD 的垂心．故选A . 答案：A11．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析：设直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0， 因为直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点， 所以圆心到直线的距离d 小于或等于半径， ∴d＝|2k －4k|k 2＋1≤1，解得－33≤k≤33. 答案：C12．设A ，B ，C ，D 是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：由于△ABC 为等边三角形且面积为93，故当三棱锥D －ABC 体积最大时，点D 到平面ABC 的距离最大．设等边△ABC 的边长为a ，则34a 2＝93，得a 2＝36，解得a ＝6.设△ABC 的中心为点E ，连接AE ，BE ，CE ，由正三角形的性质得AE ＝BE ＝CE ＝23，设球心为点O ，连接OA ，OB ，OC ，OE ，OD ，则OA ＝OB ＝OC ＝4，则OE ＝42－232＝2，故D 到平面ABC 的距离的最大值为OE ＋OD ＝2＋4＝6，则(V D －ABC )max ＝93×6×13＝18 3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，Rt △A′B′C′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC·AO＝12×2×22＝2 2.答案：2 214．已知点P(0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0① 又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0＋1x 0，所以由直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1②由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)． 答案：(2,3)15．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a)2＋(y ＋b)2＝1的圆心位于第________象限．解析：(－a ，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，故圆心位于第四象限．答案：四16．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．解析：半圆旋转一周形成一个球体，其体积V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V锥＝13πCD 2·AB＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·2R＝π2R 3，所以所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3. 答案：65πR 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)[2019·广州高一检测]三棱锥S －ABC 中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC 且AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.(1)证明：SC⊥BC. (2)求三棱锥的体积V S －ABC .解析：(1)证明：因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩A C ＝A ，所以SA⊥平面ABC ，所以AC 为SC 在平面ABC 内的射影，又因为BC⊥AC，所以SC⊥BC.(2)在△ABC 中，AC⊥BC，AC ＝2，BC ＝13，所以AB ＝4＋13＝17，因为SA⊥AB，所以△SAB 为直角三角形，SB ＝29，所以SA ＝29－17＝23，因为SA⊥平面ABC ，所以SA 为棱锥的高，所以V SABC ＝13×12×AC×BC×SA ＝16×2×13×23＝2393.18．(12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.19．(12分)已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：有两种方法． (1)方法一 (几何法)如图所示，过点O 作OC⊥AB.由已知条件得直线AB 的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝|－1|2＝22.因为r ＝22，所以|BC|＝8－⎝⎛⎭⎪⎫222＝302，所以|AB|＝2|BC|＝30. 方法二 (代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0. 所以x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，所以|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝30.(2)如图，当弦AB 被点P 平分时， OP⊥AB，因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线AB 的方程为y －2＝ 12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. 20．(12分)如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于低面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥PABCD 的体积．解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC∥平面PAD.(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM⊥AD，因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD ，因为CM ⊂平面ABCD ，所以PM⊥CM，设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ，取CD 中点N ，连接PN ，则PN⊥CD，所以PN ＝142x ，因为△PCD 的面积为27，所以12×2x×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)，x ＝2，于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23，所以四棱锥PABCD 的体积V ＝13×2×2＋42×23＝4 3.21．(12分)[2019·上饶县校级月考]已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线的方程； (3)求公共弦的长度．解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，化为(x －3)2＋y 2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径为15；圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0化为x 2＋(y －2)2＝10，圆心坐标(0,2)，半径为 10.圆心距为：32＋22＝13，因为15 －10 ＜13 ＜15 ＋10 ，所以两圆相交．(2)将两圆的方程相减，得－6x ＋4y ＝0，化简得：3x －2y ＝0， ∴公共弦所在直线的方程是3x －2y ＝0；(3)由(2)知圆C 1的圆心(3,0)到直线3x －2y ＝0的距离d ＝99＋4＝913，由此可得，公共弦的长l ＝215－8113＝2 1 48213.22．(12分)[2019·大连高一检测]如图已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求二面角A 1ECC 1的正弦值．解析：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)连接A 1E ，C 1E ，过C 1作C 1G⊥EC，垂足为G ，连接A 1G ，由题意知，AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC⊥BC，又由直三棱柱得AC⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以∠A 1GC 1为二面角A 1ECC 1的平面角，在△CEC 1中，CE ＝C 1E ＝5，CC 1＝2，利用等面积法可知12CE·C 1G ＝12×2×2，所以C 1G ＝45，在Rt △A 1GC 1中，A 1C 1＝2，C 1G ＝45，所以A 1G ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫452＝65，所以sin ∠A 1GC 1＝A 1C 1A 1G ＝265＝53，所以二面角A 1EC－C 1的正弦值为53.。
人教A版高中数学必修二模块综合测试卷
人教A 版高中数学必修二模块综合测试卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（共10小题，每小题5分）1．某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 四面体D. 三棱柱 2．直线1l 与2l 垂直，则（ ）A ．1l 与2l 的斜率之积等于1-B ．1l 与2l 的斜率互为相反数C ．1l 与2l 的斜率互为倒数D ．以上答案都正确 3．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4．已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A. 若m∥α,n∥α,则m∥n B. 若m⊥α,n ⊂α,则m⊥n C. 若m⊥α,m⊥n,则n∥αD. 若m∥α,m⊥n,则n⊥α5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 6．下列四个命题中错误的．．．是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7．设m∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|²|PB|的最大值是（ ）A ．3B ．10C ．10D ．58．在平面直角坐标系中,A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.π54 B.π43 C. π)526(- D.π45 9. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN所成角的余弦值为( ) A.101 B.52 C.1030 D.22 10．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A ．62B ．6C ．42D ．4 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11．已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .12．三棱锥P-ABC 中,D,E 分别为PB,PC 的中点,记三棱锥D-ABE 的体积为1V , P-ABC 的体积为2V , 则21V V = . 13．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是_______. 14．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段CC 1上,直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是___ ____.三、解答题：（共6小题）15．（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2(含解析)新人教A版必修2
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34， 其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z1z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n(n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C. 10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( ) A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f(x)ex ，则g ′(x )＝f′(x)ex －f(x)(ex)′(ex)2＝f′(x)－f(x)ex ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f(x1)ex1＜f(x2)ex2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______． 解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.答案：5 14．(天津高考)已知函数f (x )＝ax lnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2 020＝2 017×1 010. 答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b＋a －cb －c＝a －b ＋b －ca －b＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数． 函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝an 2＋1an －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)a 1＝S 1＝a12＋1a1－1，所以a 1＝－1±3. 又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a22＋1a2－1，所以a 2＝5－3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a32＋1a3－1，所以a 3＝7－5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋12＋1ak ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ak 2＋1ak －1 ＝ak ＋12＋1ak ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 解：(1)由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)， 恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤ex －12x2－1x .令g (x )＝ex －12x2－1x ，则g ′(x )＝ex(x －1)－12x2＋1x2.令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。
2019_2020学年高中数学模块综合检测新人教A版选修2_2
模块综合检测(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z 等于 A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 ∵z ＋iz＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)． ∴z ＝i i －1＝i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝1－i 2＝12－i2.答案 B2．曲线y ＝3x －x 3上切点为P (2，－2)的切线方程是 A ．y ＝－9x ＋16 B ．y ＝9x －20C ．y ＝－2D ．y ＝－9x ＋16或y ＝－2解析 导数y ′＝3－3x 2，则切线斜率k ＝3－3×22＝－9，所以切线方程为y －(－2)＝－9(x －2)，即切线为y ＝－9x ＋16，选A.答案 A3．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案 C4．已知复数z 满足|z |＝ 10，且(1＋2i)z (i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y ＝x 上，则z ＝A ．3－iB ．3＋iC ．3－i 或－3＋iD ．3＋i 或－3－i解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，∵|z |＝10，∴x 2＋y 2＝10，又(1＋2i)z ＝(1＋2i)(x ＋y i)＝(x －2y )＋(2x ＋y )i ，且(1＋2i)z 在复平面上对应的点在直线y ＝x 上，∴x －2y ＝2x ＋y ，即x ＝－3y ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x ＝－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1，即z ＝±(3－i)．答案 C5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析 要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12.故P ＜Q .答案 C6．求证：7－1＞11－ 5. 证明：要证7－1＞11－5， 只要证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1， 即证35＞11，即证35＞11， ∵35＞11恒成立，∴原式成立． 以上证明过程应用了 A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析 由分析法的特点知应用了分析法． 答案 B7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.17解析 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案 C8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③解析 这些“三角形数”依次是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36，28＋36＝64，只有③⑤是对的．答案 C9．已知a >0，若函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是 A ．0B ．1C ．2D ．3解析 函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－a ，要使函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，则有f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤(3x 2)min .又3x 2≥3，所以a ≤3，即a 的最大值是3.答案 D10．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案 C11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a 的取值范围是A ．(0，2]B ．(0，2)C ．[3，2)D ．(3，2)解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a ）2－4×3×1>0－1<－2a 6<1f ′（－1）＝3－2a ＋1>0f ′（1）＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2，故选D.答案 D12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1解析 令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为________．解析等式的左边的通项为12n－1－12n，前n项和为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；右边的每个式子的第一项为1n＋1，共有n项，故为1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n14．已知复数(1－2i)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点M在直线y＝mx＋n上，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________．解析由题意得(1－2i)i＝2＋i，所以M(2，1)，代入直线方程得2m＋n＝1，则1m＋1n＝(1m＋1n)·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22，当且仅当nm＝2mn时等号成立．答案3＋2 215．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析由题意知，阴影部分的面积S＝⎠⎛12(4－x2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫4x－13x3⎪⎪⎪21＝53，∴所求概率P＝SS矩形ABCD＝531×4＝512.答案51216．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0<f(x)<1，当x∈(0，π)且x≠π2时，(x－π2)f′(x)<0，则方程f(x)＝cos x在[－2π，2π]上的根的个数为________．解析 由(x －π2)f ′(x )<0知，当π2<x <π时，导函数f ′(x )<0，函数f (x )在(π2，π)上单调递减；当0<x <π2时，导函数f ′(x )>0，函数f (x )在(0，π2)上单调递增．由题意可知函数f (x )的草图如图所示，由图象可知方程f (x )＝cos x 在[－2π，2π]上的根的个数为4.答案 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.证明 假设x 2＋2x －1＝0， 则x ＝－1± 2. 容易看出－1－2<12，下面证明－1＋2<12.要证：－1＋2<12，只需证：2<32，只需证：2<94.上式显然成立，故有－1＋2<12.综上，x ＝－1±2<12.而这与已知条件x >12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立． 18．(12分)已知：m >0，n >0，n m <1，证明：n ＋1m ＋1>nm.证明 证法一 (分析法)：因为m >0，所以m ＋1>0， 要证n ＋1m ＋1>nm， 只需证：m (n ＋1)>n (m ＋1)，即只需证：m >n . 因为m >0，n m<1，所以n <m 成立，即m >n 成立． 所以原不等式成立． 证法二 (比较法)：因为n ＋1m ＋1－n m ＝m （n ＋1）－n （m ＋1）m （m ＋1）＝m －nm （m ＋1）， 因为m >0，nm<1，所以n <m ，所以m －n >0，m ＋1>0， 所以m －nm （m ＋1）>0，所以n ＋1m ＋1－nm>0，原不等式成立． 19．(12分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率为多少时，银行可获得最大收益？解析 设存款利率为x ，则应有x ∈(0，0.048)，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0，得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0＜x ＜0.032时，y ′＞0；当0.032＜x ＜0.048时，y ′＜0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益．20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，S n ＋1S n ＝a n －2(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解析 (1)S 1＝a 1＝－23，因为S n ＋1S n＝a n －2(n ≥2，n ∈N ＋)，令n ＝2可得S 2＋1S 2＝a 2－2＝S 2－a 1－2，所以1S 2＝23－2，所以S 2＝－34.同理可求得S 3＝－45，S 4＝－56.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23，猜想成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2， 则当n ＝k ＋1时，因为S n ＋1S n ＝a n －2，所以S k ＋1＋1S k ＋1＝a k ＋1－2，所以S k ＋1＋1S k ＋1＝S k ＋1－S k －2，所以1S k ＋1＝k ＋1k ＋2－2＝－k －3k ＋2， 所以S k ＋1＝－k ＋2k ＋3＝－（k ＋1）＋1（k ＋1）＋2， 所以当n ＝k ＋1时，猜想仍然成立． 综合①②可得，猜想对任意正整数n 都成立， 即S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋成立． 21．(12分)(2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x. (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (Ⅱ)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解析 (Ⅰ)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x.f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x. 若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞22．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．解析 (1)f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f ′(x )＝1x ＋2（x －1）2＞0，所以f (x )在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1＜0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e ＜x 1＜e 2)， 即f (x 1)＝0.又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0，1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点． (2)证明 因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x在曲线y ＝e x上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1， 故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0·ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．。
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2019-2020学年高中数学模块综合测试卷 人教版A 必修二一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析:命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段. 答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D. 答案：D3.(2006全国高考卷Ⅰ,理7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π. 答案：C4.(2005湖北高考,文5)木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍B.3060倍C.120倍D.30120倍解析:设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2,由题意,得302403231=r r ,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=∙=r r r r r r答案：C5.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC 是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC 是一个等边三角形. 答案：A6.(2005福建高考,理4)已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m； ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题. 答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3) 解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3). 答案：D8.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°解析:将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD 所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD 所成角为60°.答案：C9.(2006天津高考,文7)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β． 其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的. 答案：C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102 解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=555=.答案：A11.(2004全国高考，理8)在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析:与点A （1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B （3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜=5)12()31(22=-+-，且125+<，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.(2005江西高考,9)矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO=BO=CO=DO ，翻折后仍然，则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25，故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x ，故有4x=4+6，解得x=π425,25=S .答案：π425 14.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0，整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1，代入得3x+6y-2=0. 答案：3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________． 解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9.答案：x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ，S 底=πr 2，∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2，即l =2r.又l 2=r 2+h 2，解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q ,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π.答案：433QQ π17.已知圆柱的高为h ，底面半径为R ，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA=a ，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________. 解析:如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形 （如图乙），过P 作PE∥AB 交BB 1于E ， 则PE=AB=21·2πR=πR，QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案：22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________.解析:设弦的中点是P(x 0,y 0)，根据圆的几何性质得OP⊥AP，即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4，x∈［0,1).答案：(x-2)2+y 2=4，x∈［0,1)三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本小题满分10分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程. 解：设直线l 方程为4x+3y+b=0，则l 与轴、y 轴的交点为A(4b -,0),B(0,3b -). ∴｜AB ｜=b 125.由｜OA ｜+｜OB ｜+｜AB ｜=10,得12||53||4||b b b ++=10.∴b=±10. ∴l 方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图，设正方体棱长为x ，则CC 1=x,C 1D 1=2x.作SO⊥EF 于O ，则SO=2,OE=1,∵△ECC 1∽△ESO,∴EOEC SO CC 11=. ∴12212x x -=. ∴x=22(cm). ∴正方体棱长为22cm. 21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O 1与圆O 2的半径都是1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图4解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y)，则PM2=O1P2-O1M2=(x+2)2+y2-1.同理,PN2=(x-2)2+y2-1．∵PM=2PN，∴(x+2)2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1］，即x2-12x+y2+3=0，即-6)2+y2=33．这就是动点P的轨迹方程．22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC 的中点.图5（1）求二面角B1MNB的正切值；（2）求证：PB⊥平面MNB1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离.（1）解：连结BD交MN于F，连结B1F.∵平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD，AC⊥BD,∴AC⊥平面DD1B1B.又∵AC//MN，∴MN⊥平面DD1B1B.∵B1F,BF 平面DD1B1B，∴B 1F⊥MN,BF⊥MN. ∵B 1F ⊂平面B 1MN ，BF ⊂平面BMN ，则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角. 在Rt△B 1FB 中，设B 1B=1，则FB=42， ∴tan∠B 1FB=22.（2）证明：过点P 作PE⊥AA 1，则PE∥DA，连结BE. 又DA⊥平面ABB 1A 1，∴PE⊥平面ABB 1A 1,即PE⊥B 1M. 又BE⊥B 1M ，∴B 1M⊥平面PEB. ∴PB⊥MB 1.由（1）中MN⊥平面DD 1B 1B,得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB 1. （3）解：PB=213，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：。