模拟精华30题高考数学(文)
全国高考数学模拟考试新题精选30题(解析版)
全国高考数学模拟考试新题精选30题（解析版）1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线：的焦点为，准线为，过抛物线上的点作于点，若，则（）A. B. C. D.2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“MOD ”表示除以的余数），若输入的，分别为72，15，则输出的=（）A. 12B. 3C. 15D. 453．（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A. B. C. D.4．（等比数列与定积分相结合的创新题）等比数列{a n}中，a3＝9，前3项和为S3＝，则公比q的值是 ( )A. 1B. －C. 1或－D. －1或－5．（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（）A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚6．（统计与数列相结合的创新题）统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为( )A. 0.001B. 0.1C. 0.2D. 0.37．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为6O%8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 表示的复数的模为( )A. B. 1 C. D.9．（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在R上的偶函数（函数f(x)的导函数为）满足，e3f(2018)＝1，若，则关于x的不等式的解集为A. B. C. D.10．（线性规划的创新题）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料2千克，原料3千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗原料都不超过12千克的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为（）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元11．（向量与三角函数相结合的创新题）已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A. B.C. D.12．（解三角形与向量相结合的创新题）设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数（）A. 3B. 2C.D.13．（三视图的创新题）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为，则该石雕构件的体积为（）A. B. C. D.14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D均为球O的表面上, ,若三棱锥D-ABC体积的最大值为,则球O的表面积为( )A. B. C. D.15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. B. C. D.16．（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是___________.(填序号)①直线：与直线：平行的充要条件是；②若，则的最大值为1；③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为；④若二项式的展开式系数和为1，则.17．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．19．（抛物线与定积分相结合的创新题）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．20．（球与三棱锥相结合的创新题）已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为__________．21．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列{a n}为等差数列,且a2 013+a2 015=dx,则a2 014(a2 012+2a2 014+a2 016)的值为_.22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）函数f(x)＝2sin x sin－x2的零点个数为________．23．（函数的性质与数列相结合的创新题）高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根，，.则：（1）__________；（2）__________.24．（双曲线与圆相结合的创新题）已知双曲线=的离心率为,左焦点为,当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆=上运动时, 的最小值为_____.25．（独立性检验与分布列相结合的创新题）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望.附:，其中.26．（函数与导数的创新题）已知函数，. （1）求的值域；（2）若使得，求的取值范围；（3）对，总存在使得，求的取值范围.27．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.28．（圆锥曲线的创新题）已知点满足条件.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）直线与圆：相切，与曲线相较于，两点，若，求直线的斜率.29．（立体几何的创新题）在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.30．（数列的创新题）已知数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，且. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.全国高考数学模拟考试新题精选30题（解析版）1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线：的焦点为，准线为，过抛物线上的点作于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“MOD ”表示除以的余数），若输入的，分别为72，15，则输出的=（）A. 12B. 3C. 15D. 45【答案】B【解析】辗转相除法求的是最大公约数，的最大公约数为.3．（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B4．（等比数列与定积分相结合的创新题）等比数列{a n}中，a3＝9，前3项和为S3＝，则公比q的值是 ( )A. 1B. －C. 1或－D. －1或－【答案】C【解析】由题意得．①当q≠1时，则有，解得或（舍去）．②当q＝1时，a3＝a2＝a1＝9，故S3＝27，符合题意．综上或．选C．5．（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（）A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚【答案】A【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.6．（统计与数列相结合的创新题）统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为( )A. 0.001B. 0.1C. 0.2D. 0.3【答案】D【解析】根据直方图的含义，每组的频率即为相应小长方形的面积，所以新生婴儿体重在克内的频率为,故选D.7．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为6O%【答案】C【解析】从图中看，男生中喜欢理科的人多，喜欢理科的与性别有关；男生比女生喜欢理科的可能性大些；女生中喜欢理科的只有20%；男生中不喜欢理科的有40%．故选C．8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 表示的复数的模为( )A. B. 1 C. D.【答案】B9．（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在R上的偶函数（函数f(x)的导函数为）满足，e3f(2018)＝1，若，则关于x的不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】是偶函数，，，，，即，设，则，在上递增，由，得，相减可得，的周期为，，，，结合的周期为可化为，，不等式解集为，故选B.10．（线性规划的创新题）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料2千克，原料3千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗原料都不超过12千克的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为（）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元，则根据题意可得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线，然后把直线向可行域平移，可得，此时最大，故选C.11．（向量与三角函数相结合的创新题）已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B12．（解三角形与向量相结合的创新题）设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数（）A. 3B. 2C.D.【答案】C【解析】如图连接，延长交交于，由于为重心，故为中点，由重心的性质得，，即由余弦定理得，，可得：，故选D．13．（三视图的创新题）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为，则该石雕构件的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中，正方体的棱长为5，圆柱体的直径为3，高为5，两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖该石雕构件的体积为14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D均为球O的表面上, ,若三棱锥D-ABC体积的最大值为,则球O的表面积为( )A. B. C. D.【答案】B15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. B. C. D.【答案】C16．（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是___________.(填序号)①直线：与直线：平行的充要条件是；②若，则的最大值为1；③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为；④若二项式的展开式系数和为1，则.【答案】②③【解析】当且时，，故①错；若同为正，则，同为负，则；异号，，所以②正确；③作图即可确认正确；当时，，则或，故④错．17．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】，，因此，由题意，圆心(0，0)到直线的距离d满足．，，即．18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．【答案】【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积，故所求概率.19．（抛物线与定积分相结合的创新题）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积,故填.20．（球与三棱锥相结合的创新题）已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为__________．【答案】【解析】由题意可知,该三棱锥为正三棱锥,三棱锥的体积设内切圆的半径为,则21．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列{a n}为等差数列,且a2 013+a2 015=dx,则a2 014(a2 012+2a2 014+a2 016)的值为_.【答案】【解析】表示半圆的面积，，，则，故答案为.22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）函数f(x)＝2sin x sin－x2的零点个数为________．【答案】2【解析】函数f(x)＝2sin x sin－x2的零点个数等价于方程2sin x·si n－x2＝0的根的个数，即函数g(x)＝2sin x sin＝2sin x cos x＝sin 2x与h(x)＝x2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．故函数f(x)有2个零点．23．（函数的性质与数列相结合的创新题）高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根，，.则：（1）__________；（2）__________.【答案】 2【解析】设，则，所以函数单调递增，当时，且，所以在内有唯一的实数根，所以，所以，所以.24．（双曲线与圆相结合的创新题）已知双曲线=的离心率为,左焦点为,当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆=上运动时, 的最小值为_____.【答案】25．（独立性检验与分布列相结合的创新题）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望.附:，其中.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）列出列联表，利用公式求得，即可作出判断；（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取人，可以近似看作次独立重复实验，所以的取值依次为，且服从二项分布，即可求解分布列和数学期望.详解：(1)列联表补充如下,故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以的取值依次为0,1,2,3，且服从二项分布所以的分布列为26．（函数与导数的创新题）已知函数，.（1）求的值域；（2）若使得，求的取值范围；（3）对，总存在使得，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）求函数导数，利用函数单调性求最值即可得值域；（2）原问题等价于方程在上有解，令，求函数导数，利用单调性求得得值域即可得解；则原问题等价于，分别求值域即可.（3）令，，详解：（1）由题可知，，不难得到，在上单调递增，在上单调递减，∴，，，∴的值域为（2）原问题等价于方程在上有解，令，，∴在上单调递增，∴的值域为，∴.27．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）;(2).【解析】试题分析：（1）余弦定理，结合已知条件求的大小，得到角，（2）根据两角差的正弦公式以及化简等式，得到，结合（1）的结果再计算面积.试题解析：（1）把整理得，，由余弦定理有，∴.(2)中，，即，故，由已知可得，∴，整理得.28．（圆锥曲线的创新题）已知点满足条件.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）直线与圆：相切，与曲线相较于，两点，若，求直线的斜率.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．（Ⅱ）当轴时，l：，代入曲线C的方程得，不妨设，，这时，所以直线斜率存在．设，，直线l的方程为，由直线l与圆O：相切，．∵直线与曲线相交，成立，，，．29．（立体几何的创新题）在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接交于点，则为的中点，连接.由三角形中位线的性质可得，结合线面平行的判断定理可得平面.（2）取的中点，连接，，.由几何关系可证得平面.且，则.在中，由余弦定理可得.由勾股定理可得，则等腰的面积为，设点到平面的距离为，利用体积相等列方程可得点到平面的距离为.试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接.在中，，∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点，连接，，.∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴平面.∵，，，∴，，，∴，∴.在中，，，，由余弦定理，得.∴，∴的面积为，设点到平面的距离为.∵，∴，∴.即点到平面的距离为.30．（数列的创新题）已知数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，且. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件及等差数列的定义求解；（2）运用列项相消法求解：试题解析：解：（1）∵，∵，∴，，∴，∴，∵，∴.31页。
江苏高考数学模拟考试考前必做基础30题(解析版)
江苏高考数学模拟考试考前必做基础30题（解析版）1．已知集合，，若，则实数__________．2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为3．若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是 5．过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________． 6．直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________． 7．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．8．设函数()3,1{11,1x x f x x x x<=-+≥，则不等式()()26f x f x ->的解集为__________．9．函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________． 10．已知，直线，，则直线的概率为_________．11．根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，最后输出的S 的值为__________．12．已知sin 2cos 0θθ+=，则21sin2cos θθ+=_________．13．等比数列{}n a 中， 11a =，前n 项和为n S ，满足765430S S S -+=，则4S =_________． 14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．16．已知ABC ∆中， BA AC ⊥,且060,2,ACB AC BE EC ∠===,若P 是BC 边上的动点，则AP AE⋅的取值范围是__________．17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________．18．若不等式()222x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．19．已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为__________．20．若函数()()()21x f x x ax a e a N =-++∈在区间()1,3只有1个极值点，则曲线()f x 在点()()0,0f 处切线的方程为__________．21．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，点,P Q 分别为棱1,CC BC 的中点，则四面体11A B PQ -的体积为______．22．已知双曲线2221(0)4x y b b-=> 1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B ()0,b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为________.23．已知直线3460x y --=与圆()2220x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为______.24．已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于,A B 两点，抛物线的焦点为F ，则·FA FB 的值为__________．25．在中，角，，所对的边分别为，，，且,.⑴求的值； ⑵若，求的面积.26．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， c =，且()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的值；（2）若()cos 4cos cos c b A a A B +=+，求ABC ∆的面积.27．如图，是菱形，平面，，.（1）求证：平面； （2）求证：平面.28．如图，多面体ABCDS 中，四边形ABCD 为矩形， SD AD ⊥， SD AB ⊥，且22AB AD ==，M ， N 分别为AB ， CD 中点.（1）若三棱锥B SAC -SD 的长； （2）求证： SM AN ⊥.29．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：341wx=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x（单位：百元）.（1）求利润函数()L x的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？30．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为. （1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.江苏高考数学模拟考试考前必做基础30题（解析版）1．已知集合，，若，则实数__________．【答案】3 【解析】,故2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为【答案】{|1}x x ≤3．若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．【答案】6 【解析】为纯虚数，故4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是 ． 【答案】(),3-∞【解析】因为()cos 10f x x =-≤'，所以函数()sin f x x x =-是单调递减函数；又()()sin f x x x f x -=-+=-，即是奇函数，所以原不等式可化为()()221f x f x +<-，则函数的单调性可知2213x x x +>-⇒< ．5．过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________． 【答案】19【解析】6．直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为7．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．【答案】1024【解析】由已知得；当 或 时得最大值 .8．设函数()3,1{11,1x x f x x x x<=-+≥，则不等式()()26f x f x ->的解集为__________．【答案】()3,2-【解析】函数()f x 在R 上单调递增，则不等式()()26f x f x ->等价于26x x ->， 解得32x -<<，故本题答案为()3,2-.9．函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________． 【答案】【解析】平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故,即.10．已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线 与直线 垂直，则，使直线的，故直线的概率11．根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，最后输出的S 的值为__________．【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算： 3a =， 0,1S I ==;①13≤是， 3S =, 6a =， 2I =; ②23≤是， 9S =, 12a =， 3I =;③33≤是， 21S =, 24a =， 4I =;④43≤否，输 出21S =。
2018年全国高考数学(文)模拟考试模拟精华30题(解析版)
2018年全国高考数学（文）模拟考试模拟精华30题（解析版）1．【热点：逻辑命题】（2018河南六市联考）下列命题中错误的是A. 若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“pV(¬q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7,则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题“若x2-x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0,则x≠0且x≠1”D. 命题p: ∃x>0,sinx>2x-1,则⌝p为∀x>0,sinx≤2x-1【答案】C点睛：该题考查的是有关逻辑的问题，在解题的过程中，需要对各项逐个分析，需要对复合命题的真值表清楚，还有就是对原命题和你否命题等价这个结论的熟练应用，再者就是对含有一个量词的命题的否定要明确其形式.2．【热点：充分条件与必要条件】（2018云南曲靖一中4月考试）已知：函数为增函数，，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：先通过指数函数的单调性、不等式恒成立问题化简两个命题对应的数集，再利用数集间的包含关系进行判定．详解：若函数为增函数，则，即，；若，，则，即，；显然，是的充分不必要条件.故选A．点睛：本题考查指数函数的单调性、全称命题、简单的逻辑连接词、充分条件和必要条件等知识，意在考查学生的逻辑推理能力和基本运算能力．3．【热点：分段函数求参数范围】（2018宁夏银川二中二模）设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，－1)∪(0，1)B. (－∞，－1)∪(1，+∞)C. (－1，0)∪(0，1)D. (－1，0)∪(1，+∞)【答案】D故选D.点睛：本题主要考查的是解分段函数不等式，做此类题根据变量的不同取值范围进行讨论，代入相应的解析式求解.4．【热点：比较大小】（2018福建龙岩4月质检），则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5．【热点：利用函数性质求范围】（2018百校联盟4月联考）已知，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．6．【热点：函数性质与零点】（2018佛山质检二）下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )A. 222y x x x --=B. 2y x x =+C. 11y 212x =+-D. 21y sin 42x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】分析：利用奇函数的定义判断各函数是琐是奇函数，再通过解方程()0f x =或画出函数()y f x =的图象可判断各函数是否零点.点睛：解决本题首先要掌握函数奇偶性的定义，即满足()()f x f x -=-恒成立，则()f x 为奇函数，满足()()f x f x -=恒成立，则()f x 为偶函数，判断奇偶性一般用定义判断，有时也可从图象是否关于原点或y 轴对称进行判断；其次要掌握零点的定义，即解方程()0f x =以确定零点；第三本题一般要对每一个函数进行判断才可得出结论.7．【热点：解三角形】（2018宁夏银川二模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，，则C =( )A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45° 【答案】A【解析】分析：由三角形的内角和公式可得 B=π﹣（A+C ）=90°﹣2C ，根据正弦定理有：sinA+sinC=，化简可得cos （C+45°）=，由此求出锐角C 的大小．详解：由A ﹣C=90°，得A=C+90°，B=π﹣（A+C ）=90°﹣2C （事实上0°＜C ＜45°），由a+c=b ，根据正弦定理有：sinA+sinC=，∴sin （90°﹣2C ），即cosC+sinC=（cosC+sinC ）（cosC ﹣sinC ），∵cosC+sinC≠0，∴cosC﹣sinC=，C+45°=60°，∴C=15°． 故选：A点睛：本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，得到cos （C+45°）=，是解题的关键．8．【热点：三角函数的图像变换与性质】（2018宁夏银川二模）将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A.左移个单位 B.右移个单位 C.左移个单位 D.右移个单位 【答案】C点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大. 9．【热点：三角恒等变换】（2018湖北4月调研）已知10,,cos ,263ππαα⎛⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin α的值等于( )B.D. 【答案】C【解析】分析：由已知求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，展开两角差的正弦求解.详解：因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则sin sin sin cos cos sin666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326=-⨯=，故选C.点睛：本题考查了三角函数的化简求证，考查了同角三角函数基本关系式的应用，关键是“拆角配角”思想的应用，属于基础题.10．【热点：向量共线的坐标表示】（2018百校联盟4月联考）已知向量，，若共线，则的最大值为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合均值不等式的结论得到关于代数式xy的不等式，求解不等式即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由，，且共线，可得又，所以，当且仅当或时取等号.本题选择A选项.点睛：本题主要考查向量共线的充分必要条件，均值不等式求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【热点：线性规划】（2018云南曲靖一中4月质检）若不等式，表示的平面区域为三角形且其面积等于，则的最小值为（）A. -2B.C. -3D. 1【答案】A【解析】分析：先做出不等式组对应的平面区域，求出三角形的各顶点坐标，利用三角形的面积公式确定值，再利用平移目标函数直线确定最优解．取得最小值为.故选A．点睛：本题考查不等式组和平面区域、简单的线性规划问题等问题，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本运算能力．12．【热点：三视图】（2918广东揭阳二模）如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为2的正方体截去两个角所得的组合体,其直观图如下图所示:故组合体的体积.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．13．【热点：几何体上点与点的距离最值】（2018百校联盟4月联考）已知在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，且，若点是棱上一个动点，则的最小值为（）A. 6B.C.D.【答案】D【解析】分析：首先确定内切球半径，然后结合几何关系将空间几何体在平面上展开，据此求解AQ+D1Q的最小值即可.则A，Q，D1共线时AQ+D1Q最小，最小值为：D1A=.本题选择D选项.点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．14．【热点：抛物线的性质】（2018广东揭阳二模）过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B据此可得线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.本题选择B选项.点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．【热点：双曲线的性质】（2018广东揭阳二模）已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合焦点三角形的性质求得左焦半径的表达形式，结合双曲线的性质和题意求解的取值范围即可.详解：设，由双曲线的定义可得：，①由题意可得：，②联立①②可得：，在双曲线中：，则：，即的取值范围是.本题选择C选项.点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．16．【热点：几何概型】（2018云南曲靖一中4月质检）如图，正方形和的边长分别为，，连接和，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用三角形相似得出，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解．详解：设，由，得，即，则，，由几何概型的概率公式，得.故选C．点睛：本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力．17．【热点：程序框图】（2018百校联盟4月联考）执行如图所示的程序框图，则的值变动时输出的值不可能是（）A. B. 9 C. 11 D. 13【答案】C点睛：本题主要考查流程图知识与程序运行等知识，意在考查学生的分析问题和计算求解能力.18．【热点：曲线的切线问题】（2018广东揭阳二模）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】点睛：本题主要考查利用导函数求解切线方程的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【热点：三角形外接圆】（2018福建龙岩4月质检）在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.【答案】【解析】分析：由余弦定理结合基本不等式可得，再利用正弦定理可得，利用圆的面积公式可得结果. 详解：由余弦定理可得，，可得，，，即外接圆面积最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20．【热点：数列递推公式与不等式】（2018湖南株洲二模）已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．数列满足时，时也成立．则数列中第4项最小．即答案为4.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义项公式与求和公式、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【热点：数列中的新定义】（2018四川南充三模）在数列中，若 (，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列；③若是等方差数列，则 (，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为__________(写出所有正确命题的序号).【答案】①②③③数列{}中的项列举出来是,,,…,,…,，…数列中的项列举出来是,,…,，…，∵，∴.∴∴ (k∈N∗,k为常数)是等方差数列；故③正确；故答案为：①②③.点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；（2）验证数列是否为等差数列时，一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.22．【热点：平面向量夹角】（2018山西二模）已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．【答案】【解析】分析：根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可．详解：向量与的夹角是，且||=|+|，∴=+2•+，∴2•+=0，即2||×||×cos+=0，化简得||=||，∴cosθ====﹣，∴向量与+的夹角是120°．故答案为：120°．点睛：本题考查了利用平面向量的数量积求夹角、模长的问题，考查了运算能力及逻辑推理能力.23．【热点：解三角形】（2018“皖南八校”4月联考）在中，角的对边分别为。
黄金30题系列高三年级数学(文)大题好拿分【提升版】
黄金30题系列高三年级数学（文）大题好拿分【提升版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()ππ2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x R ∈． （Ⅰ）求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值．（Ⅲ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调区间．2．在ABC ∆中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，且满足2cos cos a b Bc C-=． （1）求角C 的大小；（2）设函数()22sin cos cos 2sin sin f x x x C x C =+，求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．3．在数列{}n a 中， 14a =， ()()1121n n na n a n n +-+=+. （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出数列{}n a 通项公式n a ； （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．4．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S .（1）若对任意的*n N ∈， 21n a -， 21n a +， 2n a 组成公差为4的等差数列，且11a =，求2n S ； （2）若数列n n S a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q （1q ≠-）的等比数列， a 为常数， 求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件为11q a=+. 5．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：6．2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（提示数据：711372i ii x y==∑，(2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 2.5PM 的浓度.参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+， 其中()()()1122211ˆˆˆ,n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b a y bx x nx x x ====∑--∑-⋅===-∑-∑-. 7．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校:，1）计算,x y 的值；，2）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；，3）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， n a b c d =+++. 8．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90ABC ∠=︒，AD SD =，12BC CD AB ==，侧面SAD ⊥底面ABCD ．（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；（2）若120SDA ∠=︒，且三棱锥S BCD -SAB ∆的面积． 9．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.10．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PAB ∆与ABC ∆是等腰三角形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，AD =AC BA ⊥，点E 是线段AB 上靠近点B 的一个三等分点，点F ，G 分别在线段PD ，PC 上．（1）证明：CD AG ⊥； （2）若三棱锥E BCF -的体积为16，求FD PD的值． 11．已知点P ()2,2-，圆C ， 2280x y x +-=，过P 的动直线l 与，C 交,A B 两点，线段AB 中点为M ， O 为坐标原点． ，1）求点M 的轨迹方程；，2）当OP OM =时，求直线l 的方程以及，POM 面积．12．已知圆22:100C x y ++-=点A ,P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线I 和半径CP 相交于点Q ．（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）直线y kx =+Q 的轨迹交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=（其中 O 为坐标原点），求k 的值.13．已知曲线C 的方程为222240ax ay a x y +--=（0a ≠，a 为常数）. （1）判断曲线C 的形状；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B （A ，B 不同于原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且85OM ON ⋅=-，求a 的值.14．已知函数()2ln 2x f x x =-， ()22x g x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（Ⅲ）设()()()()1h x af x a g x =++，其中01a <≤，证明：函数()h x 仅有一个零点．15．已知函数()ln f x x =()()ln 1g x x t x =--. （Ⅰ）求证：当0x >时， ()0f x <；（Ⅱ）若函数()g x 在（1，+∞）上有唯一零点，求实数t 的取值范围． 16．设函数()ln ,R mf x x m x=+∈ （Ⅰ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数()()3xg x f x -'=存在唯一零点，求m 的取值范围． 17．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,{x t y =+=，t 为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为,{x y sin θθ==，θ为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 18．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θθ==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛⎫⎪⎝⎭，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211||||OA OB +的值.19．选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =（1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.20．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．参考答案1．（Ⅰ）π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭（Ⅱ）7π12x =时， ()min 2f x =- πx =时， ()max f x =（Ⅲ）()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，单调增区间7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间π7,π212⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的余弦公式，二倍角公式化简()π 2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭即得解（Ⅱ）∵ππ2x ≤≤， 4π72π333x x ≤+≤，结合正弦函数图像得()2f x -≤≤，则及()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的对应x 的值易得解（Ⅲ）4π7π2π333x ≤+≤， 由正弦函数图象知，当4π3π2π332x ≤+≤时，即π7π212x ≤≤时， ()f x 单调递减，当3π7π2π233x ≤+≤时，即7ππ12x ≤≤时， ()f x 单调递增，则()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调区间得解. 试题解析：（Ⅰ）∵()ππ2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin2cos2cossin2sin cos2cos sin2sin 6666x x x x x =+++-，sin2x x =+，12sin22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππ2sin 212123f ⎛⎫⎛⎫=⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 2= 2=．（Ⅱ）∵ππ2x ≤≤， 4π72π333x x ≤+≤， ()2f x -≤≤，当π32π32x +=时， 7π12x =， 此时()min 7π212f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 当π72π33x +=时， πx =，，此时()()max πf x f == （Ⅲ）∵ππ2x ≤≤， 4π7π2π333x ≤+≤， 由正弦函数图象知，当4π3π2π332x ≤+≤时， 即π7π212x ≤≤时， ()f x 单调递减， 当3π7π2π233x ≤+≤时， 即7ππ12x ≤≤时， ()f x 单调递增． 故()f x 单调减区间为π7,π212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调增区间为7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2．（1）π3C ∠=（2）⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角以及两角和正弦公式化简得2cos 1C =，解得角C 的大小；（2）先根据二倍角公式以及配角公式将函数()f x 化为基本三角函数形式，再根据自变量范围以及正弦函数单调性确定函数值域 试题解析：（1）∵2cos cos a b Bc C-=，∴()2cos cos a b C c B -=，∴2sin cos sin cos cos sin A C B C B C =+，∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=． ∵A ∠是ABC ∆的内角，∴sin 0A ≠，∴2cos 1C =，∴3C π∠=．（2）由（1）可知3C π∠=，∴())21sin212sin 2f x x x =-1sin22x x = sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦．3．（1）222n a n n =+（2）()21n nS n =+【解析】试题分析：（1）将()()1121n n na n a n n +-+=+两边同时除以()1n n +，即可证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再根据14a =，即可求出数列{}n a 通项公式n a ；（2）根据（1）写出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合数列的特点，利用裂项相消求数列和即可求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．试题解析：（1）∵()()1121n n na n a n n +-+=+，∴121n na a n n+-=+ ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以公差为2的等差数列 ∵14a =，∴()42122na n n n=+-=+，即222n a n n =+ （2）∵222n a n n =+，∴2111112221n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和()1231111111111111122233412121n n n n S a a a a n n n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯= ⎪+++⎝⎭.4．（1）()223n s n n =+；（2）证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意,可求得21214n n a a +--=， 2218n n a a -=+（*n N ∈）,从而得1a ， 3a ， 5a ，……， 21n a -， 21n a +是公差为4的等差数列,且2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++,于是可求()2223n S n n =+；(2)由()11n nnS a a q a -+=+ ,可求得()11n n n n S a q a aa -=+-,()+1+1+11n n n n S a q a aa =+-,两式相减得()()()11111n n n n a q a a a q a -+⎡⎤+-=-+⎣⎦,若11q a =+,可证得数列{}n a 为等比数列,(充分性);若数列{}n a 为等比数列,可证得11q a=+,(必要性). 试题解析：（1）因为21n a -， 21n a +， 2n a 成公差为4的等差数列， 所以21214n n a a +--=， 2218n n a a -=+（*n N ∈），所以1a ， 3a ， 5a ，……， 21n a -， 21n a +是公差为4的等差数列，且2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++，又因为11a =，所以()21352128n n S a a a a n -=+++++()()2124846232n n n n n n n n ⎡⎤-=+⨯+=+=+⎢⎥⎣⎦（2）因为()11n nnS a a q a -+=+，所以()11n n n n S a q a aa -=+-，① 所以()+1+1+11nn n n S a q a aa =+-，②②-①，得()()()11111n n n n a q a a a q a -+⎡⎤+-=-+⎣⎦，③（i ）充分性：因为11q a=+，所以0a ≠， 1q ≠， 1a aq +=，代入③式，得 ()()111n n n n q q a q a +-=-，因为1q ≠-，又1q ≠，所以11n n a a q+=， *n N ∈，所以{}n a 为等比数列，（ii ）必要性：设{}n a 的公比为0q ，则由③得()()()10111n n a q q a a q -+-=-+， 整理得()()00111na q a a q q q ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭， 此式为关于n 的恒等式，若1q =，则左边=0，右边=-1，矛盾：若1q ≠±，当且仅当()()()001{111a q a a q a q+=+=+，时成立，所以11q a=+. 由（i ）、（ii ）可知，数列{}n a 为等比数列的充要条件11q a=+. 5．(1)见解析;(2) 910P =. 【解析】试题分析：，1）计算k 2，与2.027比较大小得出结论，，2）根据分层抽样即可求出经常使用共享单车和偶尔或不用共享单车的人数，）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e ，根据古典概率公式计算即可． 试题解析：（1）由列联表可知：()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关． （2）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）． 设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ，b ，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d ，e ．则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共10种，其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e 共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=． 点睛：古典概型的概率求解步骤(1)判断试验是否为古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型；(2)计算基本事件的总数n ；(3)计算事件A 包含的基本事件的个数m ； (4)计算事件A 的概率()=m P A n. 6．(1) ˆ619yx =+，(2) 车流量为 12 万辆时， 2.5PM 的浓度为91微克/立方米. 【解析】试题分析：（1）根据公式求出ˆ,,b x y ,利用ˆˆa y bx =-求得ˆa ，可写出线性回归方程； （2）根据（1）的线性回归方程，代入12求出 2.5PM 的浓度； 试题解析：（1)由数据可得：()1123456747x =++++++= ()128303541495662437y =++++++= 772111372,140i i i i i x y x ====∑∑1221137212041ˆ614012ni i i n i i x y nx y b x nx==-⋅-===--∑∑ 4ˆˆ34619ay bx =-=-⨯=，（注:用另一个公式求运算量小些） 故y 关于x 的线性回归方程为ˆ619yx =+. (2)当车流量为12万辆时，即12x =时，612199ˆ1y=⨯+=.故车流量为 12 万辆时，2.5PM 的浓度为91微克/立方米.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过,x y （） 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．7．，1，6,7x y ==，，2，40%，，3）有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 【解析】试题分析：，1）由分层抽样知甲校抽取11001052100⨯，乙校抽取10001052100⨯； （2）由表格统计考试成绩在[]120,150内人数比上总人数即可得解； （3）利用2K 公式计算2K 的值，进而查表下结论即可. 试题解析：（1）由题意知，甲校抽取1100105552100⨯=人，乙校抽取1000105502100⨯=人， ∴6,7x y ==.（2）由题意知，乙校优秀率为2040%50=. （3）()22105103020453366.109 5.024********55K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.8．(1)证明见解析； (2)2. 【分析】（1）由梯形ABCD ，设BC a =，则CD a =，2AB a =，运用勾股定理和余弦定理，可得AD ，由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面SAD ，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得1BC =，运用勾股定理和余弦定理，可得SA ，SB ，运用三角形的面积公式，即可得到所求值． 【详解】（1）在梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，12BC CD AB ==， 设BC a =，则CD a =，2AB a =，在直角三角形BCD 中，90BCD ∠=︒，可得BD =，45CBD ∠=︒，45ABD ∠=︒，由余弦定理可得AD =，则BD AD ⊥，由面SAD ⊥底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SAD ， 又BD ⊂平面SBD ， 所以平面SBD ⊥平面SAD ；（2）解：120SDA ∠=︒，且三棱锥S BCD -由AD SD ==，在SAD ∆中，可得2sin 60SA SD =︒=，SAD ∆的边AD 上的高sin 60SH SD =︒=， 由SH ⊥平面BCD ，可得21132a ⨯⨯=， 解得1a =，由BD ⊥平面SAD ，可得BD SD ⊥，2SB a =，又2AB a =，在等腰三角形SBA 中，边SA =，则SAB ∆的面积为12SA ⨯==．【点睛】本题考查面面垂直的判定定理的运用、三棱锥的体积公式，考查转化与化归思想的运用，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．9【解析】试题分析：（，）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MN AT，由此结合线面平行的判断定理可证；（，）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（，）由已知得，取的中点T，连接，由N为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（，）因为平面，N为的中点，所以N到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=.所以四面体的体积14532N BCM BCMPAV S-=⨯⨯=.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．10．(1)见解析；（2）38FD FH PD PA ==. 【解析】试题分析：，1）由AB，CD，AC，BA ，可得AC，CD ．由PA ⊥底面ABCD ，可得PA，CD ，可得CD ⊥平面PAC ，即可证明CD，AG，，2）设点F 到平面ABCD 的距离为d ，利用三棱锥的体积计算公式可得：V E -BCF =V F -BEC ，可得d ，进而得出答案． 试题解析：，1，依题意，因为//AB CD ，AC BA ⊥，所以AC CD ⊥， 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为AC PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ， 因为AG ⊂平面PAC ，所以CD ⊥ AG ，，2，设点F 到平面ABCD 的距离为d ，则1122sin 2233BEC S BE BC EBC ∆=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=， 由1136E BCF F BEC BEC V V S d --∆===，得34d =，故38FD d PD PA ==. 11．，，，()()22312x y -+-=，，）直线l 的方程为3x -y -8=0，，POM 面积是165【详解】试题分析：，Ⅰ）圆C 的方程可化为（x -4，2+y 2=16，由此能求出圆心为C，4，0），半径为4，设M，x，y ），求出向量CM，MP 的坐标，由0CM MP ⋅=运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M 的轨迹方程；，Ⅱ）由（Ⅰ）知M 的轨迹是以点N，3，-1为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上，可得ON，PM ，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l 的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM 的面积 试题解析：，Ⅰ）圆C 的方程可化为：()22416x y -+=，所以圆心C(4,0)半径为4， 设M，x,y ，,则CM =，x -4，y，，()2,2MP x y =--则由条件知，0CM MP ⋅= 故（x -4，，2-x，+y，2-y，=0，即()()22312x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M的轨迹方程是()()22312x y -+-=，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M 的轨迹是以点N （3，1）为圆心，以2为半径的圆．又OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，显然P 在圆N 上，从而ON⊥PM．K ON =13,所以直线l 的斜率为－3，故直线的方程为3x ＋y -8=0.又OP OM ==22，O 到l 的距离为008410510+-=，由勾股定理可得|PM|=4105,所以△面积是1410410162555⨯⨯=． 12．（1）2213x y +=（2）±【解析】试题分析，，，）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合已知可得点Q 的轨迹是椭圆，并求出a ，c 的值，进一步得到b 的值，则椭圆方程可求；，，）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得A ，B 的横坐标的和与积，再由1OA OB ⋅=，即可求出k 的值. 试题解析：（I ）配方，圆((222:C x y ++=由条件，QC QA CP CA +=>，故点Q 的轨迹是椭圆，1a c b ===，椭圆的方程为2213x y +=（II ）将y kx =+2213x y +=得221330k x +++=（）.由直线与椭圆交于不同的两点，得()()()2222130,121312310.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >. 设()(),,,A A B B A x y B x y ，则223,1313A B A Bx x x x k k +=-=++.由1OA OB ⋅=,得2A B A B x x y y +=.而(()()2(12A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=++=++++()2222235312131331k k k k k -=++=+++.于是2253131k k -=+.解得k =故k 的值为点睛：转化定义法是求轨迹方程的常用方法，转化定义时一般需要用到几何关系，如本题就利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；涉及直线与圆锥曲线相交时，一般要联立方程组，得一元二次方程，利用韦达定理写出12x x +及12x x ，再根据具体问题应用上式，其中注意判别式条件的约束作用.13．(1)以点2(,)a a .(2)答案见解析；(3)2a =或12a =. 【解析】试题分析，，1，将原式子化简配方，得到()222224x a y a a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可知曲线是圆；（2，因为这个三角形是直角三角形，三角形面积是底乘高，直接求出曲线和坐标轴的交点即可．（3，首先向量坐标化，得到()1212858165OM x x x x ⋅=-++=-，联立直线和曲线得到二次方程，根据韦达定理得22520a a -+=，求出即可． 解析：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a +--=，整理得()222224x a y a a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可知曲线C 是以点2,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为半径的圆.（2）AOB ∆的面积S 为定值.证明如下：在曲线C 的方程中令0y =，得()20ax x a -=，得()2,0A a ， 在曲线C 方程中令0x =，得()40y ay -=，得40,B a⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1142422S OA OB a a=⋅=⋅=（定值）. （3）直线l 与曲线C 方程联立得()225216816160ax a a x a -+-+-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则21221685a a x x a+-+=，1216165a x x a -=， ()12121212858165OM ON x x y y x x x x ⋅=+=-++=-，即28080161286480855a a a a a ---++=-，即22520a a -+=，解得2a =或12a =，当2a =时，满足0∆>；当12a =时，满足0∆>. 故2a =或12a =. 点睛：这个题目考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系．考查学生分析解决问题的能力，属于基础中档题，在这里涉及到向量在曲线中的应用，一般要有向量坐标化的意识，通过坐标化发现点之间的关系，进而决定采用什么方法．14．（Ⅰ）12y =-（Ⅱ）单调增区间为()0,1单调减区间为()1,+∞（Ⅲ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导()1f x x x '=-，所以()11101f '=-=，又()112f =-可得()f x 在1x =处的切线方程（Ⅱ）令()0f x '>，解出01x <<，令()0f x '<，解出1x >，可得()f x 的单调区间．（Ⅲ） ()()211ln 2h x x a x a x =-++， ()()()()111a h x x a x x a x x=+-+=--' ()h x 在()0,a 单调递增在(),1a 单调递减，在()1,+∞单调递增，且()h x 极大值()21ln 02h a a a a a ==--+<， ()h x 极小值()1102h a ==--<可得()h x 在()0,1无零点，在()1,+∞有一个零点，所以()h x 有且仅有一个零点．试题解析：（Ⅰ）∵()21ln 2f x x x =-， ()1f x x x'=-， ∴()11101f '=-=． ()1111122f ln =-⨯=-，∴()f x 在11,2⎛⎫-⎪⎝⎭处切线为102y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即为12y =-． （Ⅱ）令()0f x '>，解出01x <<，令()0f x '<，解出1x >． ∴()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞．（Ⅲ）()()22ln 122x x h x a x a x ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()211ln 2x a x a x =-++，()()1a h x x a x '=+-+ ()211x a x a x ⎡⎤=-++⎣⎦ ()()11x x a x=--． 令()0h x '>，解出0x a <<或1x >，令()0h x '<，解出1a x <<． ∴()h x 在()0,a 单调递增在(),1a 单调递减，在()1,+∞单调递增，()h x 极大值()21ln 02h a a a a a ==--+<， ()h x 极小值()1102h a ==--<，∵在x a =时， ()h x 极大值小于零，在1x =时， ()h x 极小值小于零．在()1,+∞， ()h x 单调递增，说明()h x 在()0,1无零点，在()1,+∞有一个零点，∴()h x 有且仅有一个零点．点睛：本题考查了利用导数求函数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问题，注意()h x '处理时采用因式分解很容易得出()0h x '=的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题. 15．，，）见解析（，，(0，1)【解析】试题分析：（Ⅰ）求导()1'0f x x ===，得4x =，分析单调性得当0x >时， ()()()4ln42ln210f x f ≤==-<即得证；（Ⅱ） ()1'g x t x=-对t 进行讨论①0t ≤， ()g x 在[1，+∞)上是增函数，所以当1x >时， ()()10g x g >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，②若1t ≥， ()g x 在[1，+∞)上是减函数，所以当1x >时，()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，③若0<t <1时分析单调性借助于第一问，找到21x =⎝⎭，则当1x x >时20t t >，()1t x <-成立；取211max ,x x t ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则当2x x >时， ()ln 1x t x <<-，即()0g x <，说明存在01x t>，使得()00g x <，即存在唯一零点；试题解析：（Ⅰ）由()1'0f x x ===，得4x =． 当x 变化时， ()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以当0x >时， ()()()4ln42ln210f x f ≤==-<； （Ⅱ）()1'g x t x=- ①若0t ≤，则当1x >时， ()1'0g x t x=->，所以()g x 在[1，+∞)上是增函数， 所以当1x >时， ()()10g x g >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，所以0t ≤不满足条件．②若1t ≥，则当1x >时， ()1'0g x t x=-<，所以()g x 在[1，+∞)上是减函数， 所以当1x >时， ()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，所以1t ≥不满足条件．③若0<t <1，则由()1'0g x t x =-=，得11x t=> 当x 变化时， ()'g x 与()g x 的变化情况如下表：记21x =⎝⎭，则当1x x >时20t t >()1t x <-成立；由（Ⅰ）知当10x x >>时， ()0f x <，即ln x <211max ,x x t ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则当2x x >时， 1x x >且1x t >，从而ln x <()1t x <-，即()0g x <，这说明存在01x t>，使得()00g x <，结合上表可知此时函数()g x 在(1，+∞)上有唯一零点，所以0<t <1满足条件． 综上，实数t 的取值范围为(0，1)．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0<t <1时，注意前后问间的联系，找到01x t>，使得()00g x <，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；16．（Ⅰ）()f x 的极小值为2；（Ⅱ）当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先化简()g x ，再利用参变分离法得31(0)3m x x x =-+>，利用导数研究函数()()3103x x x x ϕ=-+≥，由图像可得存在唯一零点时m 的取值范围 试题解析：（1）由题设，当m e =时， ()ln ef x x x=+，则()2x ef x x='-，由()0f x '=，得x e =．∴当()0,x e ∈， ()0f x '<， ()f x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞， ()0f x '>， ()f x 在(),e +∞上单调递增， ∴当x e =时， ()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=， ∴()f x 的极小值为2. （2）由题设()()21(0)33x m xg x f x x x x =-=-->'， 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>． 设()()3103x x x x ϕ=-+≥，则()()()2111x x x x ϕ=-+=--+'，当()0,1x ∈时， ()0x ϕ'>， ()x ϕ在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<， ()x ϕ在()1,+∞上单调递减．∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点． ∴()x ϕ的最大值为()213ϕ=． 又()00ϕ=，结合()y x ϕ=的图象（如图），可知当23m =时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点． 所以，当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.17．(1)直线l 的普通方程为0y --=，曲线C 的普通方程为2212x y +=.(2)⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）根据参普互化的公式求得直线的普通方程，和曲线的普通方程。
2018年全国高考数学(文)模拟考试最有可能考的30题(解析版)
2018年全国高考数学（文）模拟考试最有可能考的30题（解析版）1．【一元二次不等式与集合的并集】设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．【复数的运算与共轭复数】设，则z的共轭复数为( )．A. －1＋3iB. －1－3iC. 1＋3iD. 1－3i【答案】D【解析】分析：将复数分母实数化，进而可得共轭复数.详解：由，得z的共轭复数为.故选D.点睛：本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.3．【三角恒等变换】若是第二象限角，且，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为位第二象限角，且，所以，所以，故选C.4．【古典概型】已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得实数x 的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.共10种，这2个数字之积大于5的结果有：，共5种，所以所求概率为.本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5．【双曲线的定义和离心率】双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.【答案】B【解析】分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P 的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.6．【程序框图的应用】已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和【解析】分析：详解：运行程序如下：s=0,n=1,s=,n=3,3＜2018；s=,n=3,s=,n=5,5＜2018；；s=,n=1007,s=,n=1009,2019＜2018；，故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的功能，意在考查学生对程序框图的理解能力，属于基础题.7．【三视图中投影问题】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)，(0，0，1)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把所给点放到正方体中，四面体的顶点坐标在zOx平面上的投影组成等腰直角三角形，即可得到正视图．详解：如图所示，四面体的顶点坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)，(0，0，1)，该四面体的顶点在zOx平面上的投影是（1，0，1），（1，0，0），（0，0，1），这四点组成等腰直角三角形，即得正视图为选项D中的图形．点睛：本题考查了空间直角坐标系中的点的坐标在坐标平面内的投影问题，考查了空间想象能力，是基础题目．8．【绝对值形式的线性规划】已知实数x,y满足不等式组,则z=∣x-最大值为（）A. 0 B. 3 C. 9 D. 11【答案】C【解析】分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出的取值范围.详解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：点睛：该题属于线性规划类问题，在解题的过程中，首先需要根据题意画出其对应的可行域，之后分析目标函数的特征，分析其代表的几何意义，从而能够确定对应的最优解是哪个，解决该题还需要注意所求的不是单纯的截距，而是绝对值，所以先求绝对值符号里边的式子的范围，之后再求绝对值的范围，从而确定好最大值时多少.9．【函数图像的应用】若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若时，图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“对称函数”.若函数是区间上的“对称函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】分析：由图象变换知识明确函数的对称中心，结合新定义问题转化为求端点值到中心的最值问题.详解：函数的图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移m个单位得到，故函数的图象关于点对称.由图可知，当或点的距离最大，最大值为，根据条件只需M.故选：A点睛：三次函数具有良好的对称性，其对称中心的横坐标是三次函数二阶导数的零点，把零点代入即可得到对称中心的纵坐标.10．【三角函数的图像与性质】已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D得的图象，平移后图象关于轴对称，，，，故选D.点睛：已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数.11．【利用导数研究函数的单调性与极值】如图，已知直线与曲线相切于两点，则函数有( )A. 个零点B. 个极值点C. 个极大值点D. 个极大值点【答案】D【解析】分析：根据函数有三个极大值点，两个极小值点，判断，在极值点左右两边的符合，可得函数五个极值点，三个极大值，两个极小值，从而可得结果.详解：直线与曲线相切于两点，有两个根，且，由图象知，则即，则函数，没有零点，函数有三个极大值点，两个极小值点，则，设的三个极大值点分别为，由图可知，在的左侧的右侧，此时函数有三个极大值，在的左侧，的右侧，，此时函数有两个极小值点，故函数有五个极值点，三个极大值，两个极小值，故选D.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.12．【平面向量的模与平面向量基本定理】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.详解：以为原点，以为轴，建立坐标系，为边长为的正三角形，，，，，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.13．【函数性质与比较大小】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用14．【抛物线于椭圆性质综合应用】已知椭圆与抛物线的交点为，连线经过抛物线的焦点，且线段的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意求得点A,B的坐标后代入椭圆的方程，可得间的关系式，于是可得椭圆的离心率．详解：由题意得抛物线的焦点为，∵连线经过抛物线的焦点，且，∴点的坐标分别为，不妨设点B坐标为．由点B在抛物线上可得，∴，故点B坐标为，又点B在椭圆上，∴，整理得，∴．故选A．点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．15．【分段函数与函数零点】设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：不失一般性可设，利用，结合图象可得的范围及，，将所求式子转化为的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围.点睛：本题考查函数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用．16．【函数性质与求值】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当02x <<时，()21x f x =-，则()()2116f f -+=__________．【答案】-1.【解析】()()()21111f f f -=-=-=-，()()16?00f f ==，∴()()21161f f -+=- 故答案为： 1-17．【直线与圆相切】若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】 由题意过点有两条直线与圆相切，则点在圆外，即，解得，由方程表示圆，则，解得，综上，实数的取值范围是.18．【圆锥与球外接】已知球O 的体积为36,则该球的内接圆锥的体积的最大值为_________.【答案】点睛：该题所考查的是有关几何体的内接问题，在解题的过程中，直角三角形中摄影定理在寻求的关系时起着关键性的作用，还有就是在求最大值的时候，也可以应用导数来完成.19．【解三角形与三角形面积】四边形ABCD 中，AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【解析】设BD b =,224222221211311321013111sin cos cos 22424416b b S S A C A C -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯⨯=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22512322416b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-,当25,22b b ==,取得最大值,故填2.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 20．【等差数列与等比数列】在正项等比数列{}n a 中，若1321,,22a a a 成等差数列，则53aa =__________．【答案】3+【解析】由于1321,,22a a a 成等差数列,所以3122a a a =+,即21112a q a a q =+,2210q q --=,解得1q =.故2533a q a ==+.21．【含参一元二次不等式解法】若，则的取值范围是________.【答案】【解析】当时，显然成立；当时，，得；综上，的取值范围是。
2018年全国高考数学(文)模拟考试考前必做难题30题(解析版)
2018年全国高考数学（文）模拟考试考前必做难题30题（解析版）1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.2．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C故选：C点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．3．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由椭圆定义可知，可知△AF1B的周长为，从而得，再设点，可得，从而可得，进而得解.详解：由△AF1B的周长为，可知.解得：.则.设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得.即.①又，所以，②由①②解得：.所以C的方程为.故选D.点睛：此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义而得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积，考查了斜率的坐标表示，及点在椭圆上方程的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 【答案】C()54f x x x '=-，则()000541f x x x '=-=-，解得01x =，所以切点(1,2)P ，又由点P 到直线0x y +=的距离为2d ==，故选C ． 5．内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由题意，在内有一点，满足，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．详解：由题意，在内有一点，满足，由奔驰定理可得，所以，故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．6．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C7．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】令由得所以，选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等8.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.【答案】B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力.9.已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由于定义在上的偶函数在上递减，则()f x 在(,0)-∞上递增，又ln 1(ln 1)ax x ax x --=--++，则(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥ 可华化为： 2(ln 1)2(1)f ax x f --≥，即(ln 1)(1)f ax x f --≥对恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以：ln x a x ≥且ln 2x a x +≤ 对[1,3]x ∈同时恒成立. 设2ln 1ln (),()x x g x g x x x -'==，则()g x 在[1,)e 上递增，在(,3]e 上递减，min 1()()g x g e e ∴==. 设ln 2()x h x x += ，21ln ()0x h x x --'=< ，()h x 在[1,3]上递减，min2ln 3()(3)3h x h +==. 综上得：a 的取值范围是12ln 3[,]3e +.10．已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标与半径，利用点到直线的距离，结合已知条件转化求解即可．详解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，圆的圆心，半径为 ，渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，可得：可得又可得可得：，由可得所以双曲线的离心率的取值范围是．故选D ．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力．11．已知函数()[]()()21(02)12x x x f x x ⎧--<⎪=⎨=⎪⎩，≤，，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n ∈N ，定义函数()n f x ：()()1f x f x =，()()()21f x f f x =，···，()()()()12n n f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有（ ）个①y 的定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； ②设{}012A =，，，()3{|}B x f x x x A ==∈，，则A B =； ③201620178813999f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|02}M x f x x x ==∈，，，则M 中至少含有8个元素． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①()0x f x -≥，当01x <≤时，[]()()20213x f x x x x ==-⇒，≤≥，所以213x <≤；当12x <≤时，[]()11x f x x x ==-，≤成立，所以12x <≤；当2x =时，()12f x =≤成立，所以213x <≤；因此定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；②()()()100221f f f ===，，∴1B ∈；()()()022110f f f ===，，，∴12. 已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标与半径，利用点到直线的距离，结合已知条件转化求解即可．详解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，圆的圆心 ，半径为 ，渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，可得：可得 又可得 可得： ，由 可得所以双曲线的离心率的取值范围是．故选D ．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力． 13．已知函数()2ln xf x x x=-，有下列四个命题， ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点， 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B14. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x，给出下列命题：①当0>x 时，)1()(x e x f x-=；②函数)(x f 有2个零点；③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ；④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f . 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D15.已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则抛物线的焦点为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为,抛物线的准线为,代入双曲线渐近线,求得,由于双曲线离心率为,即,即两点的纵坐标为,,解得,故焦点坐标为.选D.16. 在中，点在边上，平分，是边上的中点，，，，则_______.【答案】【解析】分析：根据向量的数量积概念可得，由正弦定理可得，根据两次运用余弦定理可得，继而可得结论.详解：如图所示，∵平分，∴，又∵，∴，即，∴由正弦定理可得，设，由余弦定理得，，又∵，∴，即，解得（舍负），可得，故答案为.点睛：本题主要考查了向量数量积的概念，正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握基本概念是解题的关键.17．已知实数满足条件，则的最小值是_______.【答案】1【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后整理目标函数的解析式，结合目标函数的几何意义即可求得目标函数的最小值.详解：线性约束条件所表示的可行域如图所示，其中A（2，1），所以2x+y-3>0，所以，其中表示点（x，y）与（0，3）连线的斜率，其最小值为点A与（0，3）连线的斜率，即，所以的最小值是1.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．18．已知等差数列中，，、、成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第行，从左到右的第个数值为__________．【答案】【解析】分析：应用首先求得数列的通项公式，然后确定第10行第11个数的下标，最后结合通项公式求解这个数即可.点睛：从数列到数阵，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要我们抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵中构造新数列，那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神不散”.19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C相交于点M （点M 位于第一象限），与它的准线相交于点N ，且点N 的纵坐标为4， :1:3FM MN =，则实数p =________．【解析】设准线与x 轴交于点A ，过点M 作MB⊥AN，垂足为B.设|MN|=3m,|FM|=|BM|=m,由题得,,,4NB BM mMNB ANF p AN AF p∆~∆∴=∴=∴=20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()xf x f x x '+>式()()()2444442x x f x f x ---<-的解集为 ． 【答案】()8,∞-【解析】取()12x f x =+，则()244143422x x x x -⎛⎫-+-<- ⎪⎝⎭，易解得8x <；故答案为()8,∞-． 21．已知数列{}n a 与{}n b 满足()1122n n n n a b b a n *+++=+∈N ，若193nn a b ==，()n *∈N 且()33633n n a n λλ>+-+对一切n *∈N 恒成立 ，则实数λ的取值范围是_________．【答案】13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭22. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A B 、两点.设直线AC BC 、的斜率分别为12k k 、，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线的离心率为___________. 【答案】323.已知函数，，其中，为常数．（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有2个零点，有6个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵，∴，∴，即．又，∴，∵，∴所求切线方程为，即．（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，设，则，令，得；令，得，，∴的极小值为．∵，∴由的图象可知．∵，∴令，得或，即或，而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，∴且，∴，∴． 24．（本小题满分12分）已知0p >，抛物线1C ： 22x py =与抛物线2C ： 22y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ， Q ，且PQ =1C 的方程； （2）证明： BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.【解析】试题分析：（１）联立直线方程与抛物线方程，根据弦长公式以及韦达定理得等量关系，求出p ，（２）先求M 坐标，再求直线AM BM ，方程，进而求得A,B,C 坐标，即得面积，最后作商.（2）证明：由222{2y px x py==，得2x y p ==或0x y ==，则()2,2M p p .设直线AM ： ()122y p k x p -=-，与22x py =联立得()22112410x pk x p k ---=.由()22211141610p k p k ∆=+-=，得()2120k -=，∴12k =.设直线BM ： ()222y p k x p -=-，与22y px =联立得()22222410k y py p k ---=.由()2222241610p p k k ∆=+-=，得()22120k -=，∴212k =. 故直线AM ： ()222y p x p -=-，直线BM ： ()1222y p x p -=-，从而不难求得(),0A p ， ()2,0B p -， ()0,C p ，∴2BOC S p ∆=， 23ABMS p ∆=，∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为222132p p p =-（为定值）. 25．（本小题满分12分）设动点()(),0P x y y ≥到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求点P 的轨迹方程；（2）若圆心在曲线C 上的动圆M 过点()0,2A ，试证明圆M 与x 轴必相交，且截x 轴所得的弦长为定值. 【解析】试题分析：（1）由题意可得曲线C 为抛物线，根据抛物线的定义可得其方程．（2）结合题意设出圆心M 的坐标，并根据圆过点A 得到圆的标准方程，在圆方程中令0y =后可得关于x 的二次方程，根据此方程判别式可判断圆与x 轴相交，同时并根据数轴上两点间的距离求出弦长．（2）设圆心为(),M a b ，则24a b =， ∵圆M 过A ()0,2，∴圆的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-，令0y =得22440x ax b -+-=．∵()()22244441616160a b a b ∆=--=-+=>∴圆M 与x 轴必相交，设圆M 与x 轴的两交点分别为E ()1,0x ，G ()2,0x 则122x x a +=， 1244x x b ⋅=-，∴2||EG = ()()221212124x x x x x x -=+-⋅ 24161616a b =-+=，∴EG =4．故圆截x 轴所得的弦长为定值．26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭，椭圆22:14x C y +=．27．（本小题满分12分）已知函数()3228f x x ax =-+．（1）若()0f x <对[]1,2x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数a ，使得函数()()22341238g x f x ax a x a =+-+-在区间()0,2上存在极小值，若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()10,+∞；（2）存在整数1a =，使得函数()g x 在区间()0,2上存在极小值．【解析】（1）由()0f x <得3222882x a x x x+>=+， 设()282h x x x =+，则()3162h x x '=-， ∵[]1,2x ∈，∴()0h x '≤，则()h x 在[]1,2上是减函数， ∴()()max 110h x h ==， ∵()0fx <对[]1,2x ∀∈恒成立，即282a x x >+对[]1,2x ∀∈恒成立，∴10a >，则实数a 的取值范围为()10,+∞． （2）∵()322323123g x x ax a x a =+-+， ∴()()()22661262g x x ax a x a x a '=+-=-+，28．（本小题满分12分）设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c ∈R ，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x +≤恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数212()()ln (23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点，当2m ≥1212()()2x x y x x ϕ+'=-的最小值． 【答案】（1）2111()424k x x x =++；（2∴14a c ==，∴2111()424k x x x =++． （2）由（1）得，32111()1244f x x x x =++， ∴2()2ln 32h x x x mx =++-（0x >）由题意得2121240,,1,m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=⎩∵1x ，2x （12x x <）为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点， ∴21111()ln x x sx tx ϕ=--0=，22222()ln 0x x sx tx ϕ=--=，两式相减得，11212122ln()()()x s x x x x t x x x --+--0=1211222()ln x x x x x x --+ 1211222(1)ln 1x x xx x x -=-+，29．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a ∈R ．（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数， 当108a <<时，()f x在0 ⎛ ⎝⎭， ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数，在 ⎝⎭上为减函数．（2）[)1 -+∞， 【解析】（1）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，，()2221a x x a f x x x x-+'=+-=，设()22 18g x x x a a =-+∆=-，， ①当18a ≥时，()0 0g x ∆≤，≥成立，故()0f x '≥成立，()f x 在()0 +∞，上为增函数；②当108a <<时，0∆>，令()0g x =，得1211 44x x ==，． 显然220x x >>，当()10 x x ∈，时，()()0 0g x f x '>>，，()f x 为增函数，当()12 x x x ∈，时，()()0 0g x f x '<<，，()f x 为减函数，当()2 x x ∈+∞，时，()()0 0g x f x '>>，，()f x 为增函数， 综上，当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数，当108a <<时，()f x 在0 ⎛ ⎝⎭， ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数，在⎝⎭上为减函数．30.（本小题满分12分）已知()ln f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =≠， 证明：（1）122x x +> ，（2）121x x < .【答案】证明见解析【解析】说明：有时构造()(1)(1)g x f x f x =+--有效！！！（2）由（1）知()f x 在(0,1)上增，在(1,)+∞上减，不妨设1201x x <<<，欲证不等式121x x <，只需证121x x <，即证1221()()()f x f x f x =<，即证221()()0f x f x -<在(1,)+∞上恒成立. 构造函数1()()()h x f x f x =-1ln (1)x x x x -+>，22(1)()0x h x x-'=-<，()h x 在(1,)+∞上单减，()(1)0h x h <=，原不等式成立.数学之美，不同的构造给人以不同享受解法二：11()1x f x x x-'=-=，()f x 在(0,1)上增，在(1,)+∞上减，不妨设1201x x <<<，由12()()f x f x =，得1122ln ln x x x x -=-，222121111ln ln ,ln (1)x x x x x x x x x -=-=-， 令21(1)x t t x =>，则1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，于是不等式122x x +>化为l n l n 211t t t t t +>--，即证(1)l n 21t t t +>-，即证2(1)ln 01t t t -->+ 令2(1)()ln 1t g x t t -=-+ （求导证明略）（2）欲证121x x<，只需证ln ln111t t tt t⋅<--，（t>1）,即证21ln t tt<-，即证21ln0t tt-+<在(1,)+∞上恒成立.请欣赏三次求导的漂亮！！！。
经典母题30题-高考数学(文)走出题海之黄金30题系列(通用版) Word版含解析【KS5U 高考】
母题1【集合运算】（2017全国1卷文1）已知集合A=，B=，则（ ） A. AB = B. A B C. A B D. A B=R【答案】A 【解析】由得，所以，选A ．母题2【逻辑联结词与四种命题】（2017山东文5）已知命题2:,10p x R x x ∃∈-+≥，命题:q 若22a b <，则a b <下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∧⌝C. p q ⌝∨D. p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】因为:,p x R ∃∈ 1x e x ≥+是真命题，命题:q 若22a b <,则a b <是假命题，所以q ⌝是真命题，从而p q ∧⌝是真命题，故选B.母题3【复数的概念】（2017全国1卷文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. i(1+i)2B. i 2(1-i) C. (1+i)2D. i(1+i) 【答案】C【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.母题4【函数的性质】（2016甲卷文12）已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,m m x y x y x y ⋯，，，，则1mii x==∑（ ）.A.0B.mC.2mD.4m 【答案】B【解析】 ()()222314f x x x x =--=--，其图像关于1x =对称，()f x y =的根图像关于1x =对称，故112m x x +=，2112m x x -+=，L ，12212m mx x ++=，相加得1222m x x x m+++=L ，故1mm i x m ==∑.故选B.母题5【函数的图象】（2016乙卷文9）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.评注 排除B 选项的完整论述，设()g x =()f x '，则()4e x g x '=-.由()10g '>，()20g '<，可知存在()01,2x ∈使得()00g x '=且()0,2x x ∈时()0g x '<，所以()f x '在()0,2x 是减函数，即()0,2x x ∈时()f x 切线斜率随x 的增大而减小，排除B.母体6【导数的应用】已知函数()ln xf x x=，则（ ） A. ()f x 在x e =处取得最小值1eB. ()f x 有两个零点C. ()y f x =的图象关于点1,0（）对称D. ()()()43f f f π<<【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求得函数的最值，再根据当0x +→时， ()f x →-∞，当x →+∞时， ()0f x +→，即可判断零点个数，然后结合单调性即可判断函数值的大小． 详解：∵函数()ln xf x x=∴函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()21ln xf x x -'=令()0f x '>，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上为增函数； 令()0f x '<，得x e >，即函数()f x 在(),e +∞上为减函数. ∴当x e =时，函数()max 1f x e=，故排除A ；当0x +→时， ()f x →-∞，当x →+∞时， ()0f x +→，故排除B ；∵2313lnln1312313222ln ln ln 013222324222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⨯≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()y f x =的图象不关于点()1,0对称，故排除C ； ∵34e π<<< ∴()()()43f f f π<<故选D.母题7【三角形函数的图象和性质】下列关函数的命题正确的个数为（ ）①的图象关于对称；②的周期为；③若，则；④在区间上单调递减.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A母题8【解三角形】（2017全国1卷文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为．已知，，，则A.B. C. D.【答案】B母题9【平面向量数量积】（2017全国2卷4）设非零向量，满足，则A. ⊥B.C. ∥D.【答案】A 【解析】由平方得，即，则，故选A.母题10【等差数列通项公式和前n 项和公式】(2015·新课标全国Ⅰ，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192C.10D.12 【答案】 B【解析】由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)， 又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192.母题11【线性规划】（2017全国3卷5）设x ，y 满足约束条件3260{0 0x y x y +-≤≥≥，则z =x -y 的取值范围是A. [–3,0]B. [–3,2]C. [0,2]D. [0,3] 【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即y x z =-，易知直线y x z =-在y 轴上的截距最大时，目标函数z x y =-取得最小值；在y 轴上的截距最小时，目标函数z x y =-取得最大值，即在点()0,3A 处取得最小值，为min 033z =-=-；在点()2,0B 处取得最大值，为max 202z =-=.故z x y =-的取值范围是[–3,2]. 所以选B.母题12（2016全国丙文11）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA = 则V 的最大值是（ ）.A.4πB.9π2C.6πD.32π3【答案】B则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫===⎪⎝⎭.故选B.B ACC 1B 1A 1CBA母题13（2016全国乙文11）平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）．AB．2C．13【答案】A【解析】 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=A ． ABCDA 1B 1C 1D 1EF母题14【三视图】（2017全国2卷文6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.母题15【直线和双曲线位置关系】（2017全国1卷文5）已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为()1332122⨯⨯-=，选D ． 母题16【直线和抛物线位置关系】 (2014·新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B.6C.12D.7 3母题17【程序框图】（2017全国1卷文10）如图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. 1000A >和1n n =+B. 1000A >和2n n =+C. 1000A ≤和1n n =+D. 1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.母题18【几何概型】（2016全国甲文8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯维持时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）． A.710 B.58C.38D.310【答案】B 【解析】 概率40155408P -==.故选B. 母题19【直线和圆】（2016全国丙文17）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________________.【解析】解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB ==223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l：30mx y m ++=的距离3d ==，解得m = 因此直线l的方程为y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 母题20【线性规划】（2016全国1卷文16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
江苏高考数学模拟考试模拟精华30题(解析版)
江苏高考数学模拟考试模拟精华30题（解析版）1．【热点：平面向量数量积】【2018南通、徐州、扬州等六市二模】在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为____．【答案】10【解析】取AC 中点O ，连接BO ， DO .∴()()()()()1122AC BD AC BO OD AC BO AC OD BC BA BC BA DC DA DC DA ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+--+ ()222212BC BA DA DC =-+- ∵1423AB BC CD DA ====，，， ∴()116194102AC BD ⋅=-+-= 故答案为10.2．【热点：平面向量综合应用】【姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考】设,D E 分别为线段,AB AC 的中点,且0BE CD ⋅=,记α为AB 与AC 的夹角,则cos2α的最小值为____. 【答案】725【解析】∵D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，∴BD CD 分别为△ABC 的中线． ∵BE •CD =0，记α为AB 与AC 的夹角，∴BE •CD =12（BA BC +）•12（CA +CB ）=14（﹣AB +AC ﹣AB ）•（﹣AC +AB ﹣AC ） =14（AC ﹣2AB ）•（AB ﹣2AC ）=14（AB AC ⋅﹣22AC ﹣22AB +4AB AC ⋅ ）=0， ∴22AB +22AC =5AB •AC ，即 2AB 2+2AC 2=5AB •AC •cosA ≥4AB •AC ，∴cosA ≥45，即cosα≥45， ∵sin （2π﹣2α）=cos2α=2cos 2α﹣1≥725， 故答案为： 725．3．【热点：平面向量综合应用】【2017苏北三市三调】已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，当取得最大值时，的值为__________．【答案】4．【热点：函数零点】【2018南通、徐州、扬州等六市二模】设函数()31e 0{ 2320x x f x x mx x -->=--≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是____． 【答案】()1+∞，【解析】当0x >时， ()12xf x e -=-，画出函数图象如图所示：∴函数()f x 此时有1个零点∵函数()f x 在R 上有3个不同的零点∴当0x ≤时， ()332f x x mx =--有2个不同的零点∵()233f x x m '=-∴令()0f x '=，则20x m -=，若0m ≤，则函数()f x 为增函数，不合题意，故0m >.∴函数()f x 在(,-∞上为增函数，在(⎤⎦上为减函数，即()max 3222f x =-=.∵()020f =-<∴要使()332f x x mx =--在(],0-∞上有2个不同的零点，则()max220f x =>. ∴1m >故答案为()1,+∞.5．【热点：直线与圆的位置关系】【2017苏北三市三模】在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，，由于， ，，解得.【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.6．【热点：函数的零点】【姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x ＜＜＜，则()()41322x x x x -+-的取值范围是____.【答案】【解析】如图，由|x 2﹣2x ﹣1|﹣t=0得到：t=|（x ﹣1）2﹣2|，则0＜t ＜2．∴2＜2+t ＜4.0＜2﹣t ＜2．∴8，0＜∴∵方程|x 2﹣2x ﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 1＜x 2＜x 3＜x 4， ∴x 1+x 4=x 2+x 3=2，x 1•x 4=﹣1﹣t ，x 2•x 3=﹣1+t ， ∴2（x 4﹣x 1）+（x 3﹣x 2）∴2（x 4﹣x 1）+（x 3﹣x 2）＜故答案是：（．7．【热点：三角函数恒等变换】【2017南通全真模拟（一）】已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若()2sin 3αβ+=，则()sin αβ-的值为__________． 【答案】15-【解析】由已知，因为()()sin tan tan sin tan tan αβαβαβαβ++=--，又()2tan 7sin 3tan 13ααββ+==，，所以()()tan tan 1sin sin tan tan 5αβαβαβαβ+-=+⨯=--.8．【热点：平面向量】【2017如东高级中学高三2月摸底】已知是半径为的圆上的三点,为圆的直径,为圆内一点(含圆周),则的取值范围为__________．【答案】点睛：本题考查了向量的线性运算及向量得的坐标运算，涉及三角函数知识的运用，属于中档题．解题时首先根据向量的运算法则，将所求式子转化为关于的问题，然后设出点的坐标，引入三角函数，将问题转化为的最值问题，根据三角函数的有界性，及二次函数求最值得方法，可求出范围．9．【热点：函数的综合】【2017苏锡常镇调研（一）】若正数满足，则的最小值为______________．【答案】1【解析】由正数满足，可得，则，，又，其中，即，当且仅当时取得等号，设，的导数为，当时，，递增，时，，递减．即有在处取得极小值，也为最小值，此时，则．当且仅当，时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得，，又，求出，当且仅当时取得等号，设，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.10．【热点：三角与不等式的综合】【2017南京、盐城一模】在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．【解析】 试题分析：考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11．【热点：函数的综合应用】【2017徐州丰县民族中学高三上调考二】设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,e 【解析】考点：互为反函数的图象和性质及函数方程思想的综合运用．【易错点晴】函数与方程思想、等价转化与化归的数学思想是高中数学的重要思想方法,也高考必考的重要考点.本题以两个函数满足的关系式00(())f f y y =为背景,考查的是转化与化归思想和函数方程思想的灵活运用.解答时先依据题设条件将问题转化为即a x x e x +-=2在]1,0[有解,进而构造函数x x e x h x +-=2)(,运用导数求出其值域,从而使得问题巧妙获解.12．【热点：直线与圆的综合】【姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考】已知点()()3,0,1,2A B ---，若圆()()22220x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.【答案】,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意可得根据△MAB 和△NAB 的面积均为4， 可得两点M，N 到直线AB 的距离为 由于AB 的方程为020y ---=313x +-+，即x+y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为则有圆心（2，0）到直线AB若圆上只有3个点到直线AB 的距离为则有圆心（2，0）到直线AB=r ﹣； 综上，r的取值范围是（2，2）． 故答案为：（2， 2）． 13．【热点：函数的零点】【2017苏锡常镇调研（二）】已知函数()24,0,{3,0,x x x f x x x-≥=<若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为__________．【答案】()1,6,04⎛⎤-∞⋃-⎥⎝⎦【解析】3y x b =-与3(0)y x x=-<相切时6b =- （正舍），3y x b =-与()2404y x x x =-≤≤相切时14b =-， 3y x b =-与24(4)y x x x =->不相切.由图可知实数b 的取值范围为(),6-∞-⋃ 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．【热点：直线与圆】【2017苏北三市三调】在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)15．【热点：平面向量】【2017苏北三市三模】已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为____．【答案】,，则当，即：时，取得最大值为，此时中，.【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角的三角函数式，根据角的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.16．【热点：数列的综合应用】【2018南通、徐州、扬州等六市二模】设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列；（2）设11a =， 2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++，根据12b b ，， 3b 是等差数列及12a a ，， 3a 是等比数列，找出矛盾，假设不成立；（2）由11a =， 2q =得12n n a -=，根据数列123c c c ，，是等比数列得2213c c c =，化简求得223b d d =+，再根据2220c b =+≠，即可求得d 得范围；（3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④，解方程组即可；方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==，化简得()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+，即可求得()10q d -=，与1q ≠，且0d ≠矛盾，故可得证.试题解析：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++． ∵12b b ，， 3b 是等差数列∴2132b b b =+，从而2132a a a =+． 又∵12a a ，， 3a 是等比数列∴2213a a a =．∴123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立． ∴数列123c c c ，，不是等差数列．（3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④将①+③－2×②得， ()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得， ()()22111111a q q c q q -=-，⑥ ∵10a ≠， 1q ≠，由⑤得10c ≠， 11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． ∴1c ， 2c ， 3c ， 4c 不成等比数列．方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==． ∴32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a da a d a a d-+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． ∵等比数列1a ， 2a ， 3a ， 4a 的公比为()1q q ≠ ∴()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又∵()23211210a a a a q -+=-≠∴()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=．这与1q ≠，且0d ≠矛盾. ∴假设不成立．∴数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． 点睛：用反证法证明命题的基本步骤：①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏； ②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论； ③否定反设，从而得出原命题结论成立．17．【热点：椭圆的综合】【2017苏锡常镇二调】已知椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F -，左准线方程为2x =-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ， B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=， PB BF μ=.求证： λμ+为定值；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）①4-②2,32S ⎡∈⎢⎣⎦试题解析：解：（1）由题设知1c =， 22a c =， 22a c =， 22a ∴=， 2221b a c =-=，C ∴： 2212x y +=.（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，则()0,P k .设()11,A x y ， ()22,B x y ，直线l 代入椭圆得()222212x k x ++=，整理得，()222124k x k x ++ 2220k +-=， 2122412k x x k -∴+=+， 21222212k x x k -=+.由PA AF λ=， PB BF μ=知111x x λ-=+， 221x x μ-=+，λμ∴+= 1212121221x x x x x x x x ++-=+++ 22222222444121242211212k k k k k k k k --+++---++++ 441-=-=--（定值）.②当直线OA ， OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB的面积2S =， 当直线OA ， OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ： y kx =， OB ： 1y x k=-， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，212221x k ∴=+， 2212221k y k =+，同理222222k x k=+， 22222y k =+， AOB 的面积2OA OBS ⋅==令21t k =+ [)1,∈+∞， S==令()10,1u t =∈，则S==2,32⎡∈⎢⎣⎭. 综上所述， 23S ⎡∈⎢⎣⎦. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.18．【热点：平几图形应用题】【2018南通、徐州、扬州等六市二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面； 方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； （2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)r=；(2) .【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，根据题意得2 {20.x aax≤≤，.方法一：表示出正四棱柱的体积324{400xxV a xxx<≤=≤>，，，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及x的值；方法二：表示出x的范围，从而得到a的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及x的值.试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得r=．（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则2{1004xaa ax≤≤-，，即2{20.xaax≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积324{400xxV a xxx<≤=≤>，，记函数()34{400xxp xxx<≤=>，，则()p x在(0上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减.∴当x =时， ()max p x =∴当x =，a = max V =3．方法二：202a x a≤≤，从而a所得正四棱柱的体积222020V a x a a a ⎛⎫=≤=≤⎪⎝⎭∴当a =x =时， max V =3． 答：（1dm ；（2）当x 为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．19．【热点：导数与函数的综合】【2018南通、徐州、扬州等六市二模】设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()()1ln 102a g x f xb x b R b ==++∈≠，，， ()g x '是()g x 的导函数． ①若对任意的()00x g x '>>，，求证：存在0x ，使()00g x <； ②若()()()1212g x g x x x =≠，求证： 2124x x b <．【答案】(1) 01a <≤；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意， ()1cos 0f x a x '=-≥对x R ∈恒成立，根据0a >，等价为1cos x a ≥对x R ∈恒成立，即可求得a 得取值范围；（2）①分别求得()g x 与()g x '，若0b <，则存在02b->，使02b g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭'，从而得0b >，取30e b x -=，则001x <<，即可证明()00g x <；②不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >，由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-，根据()()12g x g x =，推出212120ln ln x x b x x-->>-，只需证明2121ln ln x xx x ->-成立，即只需证明ln 0t<成立，设())ln 1h t t t =>，求得函数()h t 的单调性，即可证明. 试题解析：（1）由题意， ()1cos 0f x a x '=-≥对x R ∈恒成立.∵0a > ∴1cos x a≥对x R ∈恒成立， ∵()max cos 1x =∴11a≥，从而01a <≤． （2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2bg x x x=-+'．若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意. ∴0b >． 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222bg x x x b x b e -=-++<+++=-<．∴存在00x >，使()00g x <． ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-． ∵()()12g x g x =∴11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++ ∴()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．∴212120ln ln x x b x x -->>-．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->，只要证明()ln 0*t -<． 设())ln 1h t t t =>，则()210h t '-=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->2124x x b <．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．【热点：圆与椭圆的综合】【姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m .（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2）在(1)的条件下，当e 取最大值时， A 点坐标为()2,0-，设,,B M N 是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+,求:以线段MN 的中点为圆心,过,A F 两点的圆的方程.【答案】(1) 102e <≤(2) 22157216x y ⎛⎛⎫++±= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：(1) 设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，把条件代数化，即可解得范围；(2)由题意易得椭圆方程是： 22143x y +=，设()()1122M x y N x y ，，， ，则 2211143x y +=， 2222143x y +=．由3455OB OM ON =+，得 12123434,5555B x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 因为B 是椭圆C 上一点，所以22121234345555+=143x x y y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，得到1212043x x y y +=，因为圆过,A F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +- 又()222221212121212111123131224444y y y y y y x x y y ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而求得圆的方程. 试题解析：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即2a c a c c -≥+,22a a c c ≥+,12a c c a ≥+,112e e ≥+,2210e e +-≤ 102e <≤（2）当12e =且()2,0A -时， ()1,0F ，故2,1a c ==，所以b =椭圆方程是： 22143x y += 设()()1122M x y N x y ，，， ，则 2211143x y +=， 2222143x y +=． 由3455OB OM ON =+，得 12123434,5555B x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 因为B 是椭圆C 上一点，所以22121234345555+=143x x y y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即222222112212123434214354355543x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212043x x y y += ………① 因为圆过,A F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +-又()222221212121212111123131224444y y y y y y x x y y ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………② 由①和②得()222212121212111313121313132224442444416y y x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤⎡⎛⎫=-+-+-=-+=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以圆心坐标为1(,2-故所求圆方程为221572416x y ⎛⎛⎫++±= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 21．【热点：函数的综合】【2017南京、盐城二模】已知函数f (x )＝e x－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R．（1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ． ①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； ②若函数()()(),{,f x x m F x g x x m≤=>的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1， 求证：e －1≤a ≤e 2－e ．【答案】（1）[0，12e]．（2）e－1≤a≤e2－e．试题解析：（1）当a＝e时，f (x)＝e x－ex－1．① h (x)＝f (x)－g (x)＝e x－2x－1，h′ (x)＝e x－2．由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2．所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．② f ′ (x)＝e x－e．当x＜1时，f′ (x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x＞1时，f′ (x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m≤1时，f (x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[e m－em－1，＋∞)，g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，因为F(x)的值域为R，所以e m－em－1≤(2－e)m，即e m－2m－1≤0．（*）由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．2° 当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，所以函数f (x)＝e x－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)．因为F(x)的值域为R，所以－1≤(2－e)m，即1＜m≤．综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，]．（2）f ′ (x)＝e x－a．若a≤0时，f ′ (x)＞0，此时f(x)在R 上单调递增． 由f(x 1)＝f(x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f(x)在(－∞，lna]单调递减，在[lna ，＋∞)上单调递增． 若x 1，x 2∈(－∞，lna]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[lna ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜lna ＜x 2≤2．点睛：本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的应用思想和分类讨论思想的综合考查，本题的解答中把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键。
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1．【热点：逻辑命题】（2018河南六市联考）下列命题中错误的是A. 若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“pV(¬q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7,则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题“若x2-x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0,则x≠0且x≠1”D. 命题p: ∃x>0,sinx>2x-1,则⌝p为∀x>0,sinx≤2x-1【答案】C点睛：该题考查的是有关逻辑的问题，在解题的过程中，需要对各项逐个分析，需要对复合命题的真值表清楚，还有就是对原命题和你否命题等价这个结论的熟练应用，再者就是对含有一个量词的命题的否定要明确其形式.2．【热点：充分条件与必要条件】（2018云南曲靖一中4月考试）已知：函数为增函数，，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：先通过指数函数的单调性、不等式恒成立问题化简两个命题对应的数集，再利用数集间的包含关系进行判定．详解：若函数为增函数，则，即，；若，，则，即，；显然，是的充分不必要条件.故选A．点睛：本题考查指数函数的单调性、全称命题、简单的逻辑连接词、充分条件和必要条件等知识，意在考查学生的逻辑推理能力和基本运算能力．3．【热点：分段函数求参数范围】（2018宁夏银川二中二模）设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，－1)∪(0，1)B. (－∞，－1)∪(1，+∞)C. (－1，0)∪(0，1)D. (－1，0)∪(1，+∞)【答案】D故选D.点睛：本题主要考查的是解分段函数不等式，做此类题根据变量的不同取值范围进行讨论，代入相应的解析式求解.4．【热点：比较大小】（2018福建龙岩4月质检），则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5．【热点：利用函数性质求范围】（2018百校联盟4月联考）已知，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可. 详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．6．【热点：函数性质与零点】（2018佛山质检二）下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )A. 222y x x x --= B. 2y x x =+ C. 11y 212x =+- D. 21y sin 42x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】分析：利用奇函数的定义判断各函数是琐是奇函数，再通过解方程()0f x =或画出函数()y f x =的图象可判断各函数是否零点.点睛：解决本题首先要掌握函数奇偶性的定义，即满足()()f x f x -=-恒成立，则()f x 为奇函数，满足()()f x f x -=恒成立，则()f x 为偶函数，判断奇偶性一般用定义判断，有时也可从图象是否关于原点或y 轴对称进行判断；其次要掌握零点的定义，即解方程()0f x =以确定零点；第三本题一般要对每一个函数进行判断才可得出结论.7．【热点：解三角形】（2018宁夏银川二模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，，则C =( )A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45° 【答案】A【解析】分析：由三角形的内角和公式可得 B=π﹣（A+C ）=90°﹣2C ，根据正弦定理有：sinA+sinC=，化简可得cos （C+45°）=，由此求出锐角C 的大小．详解：由A ﹣C=90°，得A=C+90°，B=π﹣（A+C ）=90°﹣2C （事实上0°＜C ＜45°）， 由a+c=b ，根据正弦定理有：sinA+sinC=，∴sin （90°﹣2C ），即cosC+sinC=（cosC+sinC ）（cosC ﹣sinC ）， ∵cosC+sinC≠0， ∴cosC﹣sinC=，C+45°=60°，∴C=15°． 故选：A点睛：本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，得到cos （C+45°）=，是解题的关键．8．【热点：三角函数的图像变换与性质】（2018宁夏银川二模）将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A. 左移个单位B. 右移个单位C. 左移个单位D. 右移个单位 【答案】C点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大. 9．【热点：三角恒等变换】（2018湖北4月调研）已知10,,cos ,263ππαα⎛⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin α的值等于( )【答案】C【解析】分析：由已知求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，展开两角差的正弦求解.详解：因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则sin sin sin cos cos sin666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11332=-⨯=，故选C. 点睛：本题考查了三角函数的化简求证，考查了同角三角函数基本关系式的应用，关键是“拆角配角”思想的应用，属于基础题.10．【热点：向量共线的坐标表示】（2018百校联盟4月联考）已知向量，，若共线，则的最大值为（ ）A.B. 1C.D.【答案】A【解析】分析：由题意结合均值不等式的结论得到关于代数式xy 的不等式，求解不等式即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 详解：由，，且共线，可得又，所以，当且仅当或时取等号.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查向量共线的充分必要条件，均值不等式求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【热点：线性规划】（2018云南曲靖一中4月质检）若不等式，表示的平面区域为三角形且其面积等于，则的最小值为（ ）A. -2B.C. -3D. 1【答案】A【解析】分析：先做出不等式组对应的平面区域，求出三角形的各顶点坐标，利用三角形的面积公式确定值，再利用平移目标函数直线确定最优解．取得最小值为.故选A．点睛：本题考查不等式组和平面区域、简单的线性规划问题等问题，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本运算能力．12．【热点：三视图】（2918广东揭阳二模）如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为2的正方体截去两个角所得的组合体,其直观图如下图所示:故组合体的体积.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．13．【热点：几何体上点与点的距离最值】（2018百校联盟4月联考）已知在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，且，若点是棱上一个动点，则的最小值为（）A. 6B.C.D.【答案】D【解析】分析：首先确定内切球半径，然后结合几何关系将空间几何体在平面上展开，据此求解AQ+D1Q的最小值即可.则A，Q，D1共线时AQ+D1Q最小，最小值为：D1A=.本题选择D选项.点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．14．【热点：抛物线的性质】（2018广东揭阳二模）过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B据此可得线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.本题选择B选项.点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．【热点：双曲线的性质】（2018广东揭阳二模）已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合焦点三角形的性质求得左焦半径的表达形式，结合双曲线的性质和题意求解的取值范围即可.详解：设，由双曲线的定义可得：，①由题意可得：，②联立①②可得：，在双曲线中：，则：，即的取值范围是.本题选择C选项.点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．16．【热点：几何概型】（2018云南曲靖一中4月质检）如图，正方形和的边长分别为，，连接和，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用三角形相似得出，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解．详解：设，由，得，即，则，，由几何概型的概率公式，得.故选C．点睛：本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力．17．【热点：程序框图】（2018百校联盟4月联考）执行如图所示的程序框图，则的值变动时输出的值不可能是（）A. B. 9 C. 11 D. 13【答案】C点睛：本题主要考查流程图知识与程序运行等知识，意在考查学生的分析问题和计算求解能力. 18．【热点：曲线的切线问题】（2018广东揭阳二模）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】点睛：本题主要考查利用导函数求解切线方程的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．【热点：三角形外接圆】（2018福建龙岩4月质检）在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.【答案】【解析】分析：由余弦定理结合基本不等式可得，再利用正弦定理可得，利用圆的面积公式可得结果.详解：由余弦定理可得，，可得，，，即外接圆面积最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20．【热点：数列递推公式与不等式】（2018湖南株洲二模）已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．数列满足时，时也成立．则数列中第4项最小．即答案为4.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义项公式与求和公式、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【热点：数列中的新定义】（2018四川南充三模）在数列中，若 (，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列；③若是等方差数列，则 (，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为__________(写出所有正确命题的序号).【答案】①②③③数列{}中的项列举出来是,,,…,,…,，…数列中的项列举出来是,,…,，…，∵，∴.∴∴ (k∈N∗,k为常数)是等方差数列；故③正确；故答案为：①②③.点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；（2）验证数列是否为等差数列时，一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.22．【热点：平面向量夹角】（2018山西二模）已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．【答案】【解析】分析：根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可．详解：向量与的夹角是，且||=|+|，∴=+2•+，∴2•+=0，即2||×||×cos+=0，化简得||=||，∴cosθ====﹣，∴向量与+的夹角是120°．故答案为：120°．点睛：本题考查了利用平面向量的数量积求夹角、模长的问题，考查了运算能力及逻辑推理能力.（2018“皖南八校”4月联考）在中，角的对边分别为。